線性代數(shù)試題及答案

- 1 -（試卷一）一、 填空題（本題總計(jì) 20 分，每小題 2分）1. 排列 7623451 的逆序數(shù)是 15 。_2. 若 ，則 3 121a160321a3. 已知 階矩陣 、 和 滿足 ，其中 為nABCEABE階單位矩陣，則 。n 14. 若 為 矩陣，則非齊次線性方程組nm有唯一解的充分要條件是AXbR(A)=R(A,b)=n_5.設(shè) 為 的矩陣，已知它的秩為 4，則以86為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組的解空間A維數(shù)為_(kāi)2_。6. 設(shè) A 為三階可逆陣， ，則 12301A*A7.若 A 為 矩陣，則齊次線性方程組nm有非零解的充分必要條件是 R（A） 0xn - 2 -8.已知五階行列式 ，則12345015432D0 4543241AA9. 向量 的模（范數(shù)） 。(,12)T _10.若 與 正交，則 1kT1k1-2k+1=0二、選擇題（本題總計(jì) 10 分，每小題 2分）1. 向量組 線性相關(guān)且秩為 s，則(D)r,21 sr r s s2. 若 A 為三階 方陣，且，則 (A)043,02, EEA 8 8 3 343設(shè)向量組 A 能由向量組 B 線性表示，則( D ) )(RB )(ARB- 3 - )(ARB )(ARB4. 設(shè) 階矩陣 的行列式等于 ，則 等n Dk于 。C_)(Ak)(BAkn )(CAkn1D5. 設(shè) 階矩陣 ， 和 ，則下列說(shuō)法正確的nAC是 B 。_則 ,則 或)(ACB)(B0A0)(TTB)(D2)(B三、計(jì)算題（本題總計(jì) 60 分。1-3 每小題8 分 ,4-7 每小題 9 分）1. 計(jì)算 階行列式 。n221D232 1n222設(shè) A 為三階矩陣， 為 A 的伴隨矩陣，*且 ，求 .1*A)3(13求矩陣的逆- 4 -120A4. 討論 為何值時(shí)，非齊次線性方程組21231x 有唯一解； 有無(wú)窮多解； 無(wú)解。5. 求下非齊次線性方程組所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和此方程組的通解。521341x6.已知向量組 、 、T201T、 、 ，求此T313944 15向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，并把其余向量用該最大無(wú)關(guān)組線性表示7. 求矩陣 的特征值和特征向量20134A四、證明題（本題總計(jì) 10 分）設(shè) 為 的一個(gè)解， 為對(duì)應(yīng)bAX012,nr 齊次線性方程組 的基礎(chǔ)解系，證明線性無(wú)關(guān)。12,nr - 5 -（答案一）一、填空題（本題總計(jì) 20 分，每小題 2 分）115； 2、3； 3、 ；4、 ；5、2；6、CAnbAR),(；7、 ；8、0；9、3；10、1。.二、選1302nR擇題（本題總計(jì) 10 分，每小題 2 分 1、D；2、A；3、D；4、C；5、B三、計(jì)算題（本題總計(jì) 60 分，1-3 每小題 8 分，4-7 他每小題 9 分）1、 解： -D),43(2niri021 032n2-3 分-6 分12r0021 032n2-8 分)!()2(321)( n（此題的方法不唯一，可以酌情給分。 ）- 6 -解：（1） -1 分12412312AB-5260402分（2） -17602395132BA 16287-8 分3. 設(shè) A 為三階矩陣， 為 A 的伴隨矩陣，且 ，* 2A求 . 因 A ，故 3 分 *2)3(1*E2141n*5 分 *1A8 分2716434232)3(1 *4、解： -3 分101),(EA132r100-6 分23r20)(32r 21故 -8 分 （利用11A公式求得結(jié)果也正確。 ）A1- 7 -5、解； 21),(bA13r322102r-3 分)()(2012（1）唯一解： -3,bAR21且5 分（2）無(wú)窮多解： -7),()分（3）無(wú)解： -9),()bAR2分 （利用其他方法求得結(jié)果也正確。 ）6、解： -3 分520113),(bA r 003152基礎(chǔ)解系為 ， -24321x 0121026 分令 ，得一特解： -7 分 3524321x043x 035故原方程組的通解為：，其中 -9 分（此題結(jié)102035121 kk Rk21,果表示不唯一，只要正確可以給分。 ）- 8 -7、解：特征方程 從而21043()12AE(4 分)123,1當(dāng) 時(shí)，由 得基礎(chǔ)解系 ，即對(duì)應(yīng)于1(20AEX1(0,)T的全部特征向量為 (7 分)2 1k(0)當(dāng) 時(shí)，由 得基礎(chǔ)解系 ，即對(duì)應(yīng)3() 2(,1T于 的全部特征向量為 21 2k()四、證明題（本題總計(jì) 10 分）證： 由 為對(duì)應(yīng)齊次線性方程組 的基礎(chǔ)12,nr 0AX解系，則 線性無(wú)關(guān)。(3 分)12,nr 反證法：設(shè) 線性相關(guān)，則 可由12,nr 線性表示，即： (6 分)12,nr r1因齊次線性方程組解的線性組合還是齊次線性方程組解，故 必是 的解。這與已知條件 為0AX bAX的一個(gè)解相矛盾。(9 分 ). 有上可知，0b線性無(wú)關(guān)。(10 分)12,nr (試卷二)一、填空題（本題總計(jì) 20 分，每小題 - 9 -2 分）1. 排列 6573412 的逆序數(shù)是 2.函數(shù) 中 的系數(shù)是 ()fx21x3x3設(shè)三階方陣 A 的行列式 ,則 = A/3 3A*1()4n 元齊次線性方程組 AX=0 有非零解的充要條件是 R（A）n 5設(shè)向量 ， = 正交，則 -2 (1,2)T26三階方陣 A 的特征值為 1， ，2，則 A-2 7. 設(shè) ，則 .1203_8. 設(shè) 為 的矩陣，已知它的秩為 4，則A86以 為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組的解空間維數(shù)為_(kāi)2_9設(shè) A 為 n 階方陣，且 2 則 A 1*()3A21n）（ - 10 -10已知 相似于 ，則 2031Ax12Byx， y二、選擇題（本題總計(jì) 10 分，每小題 2 分）1. 設(shè) n 階矩陣 A 的行列式等于 ，則 等DA 5于 A (A) (B)-5 (C) 5 (5)nD D(D) 1()n2. 階方陣 與對(duì)角矩陣相似的充分必要條A件是 .(A) 矩陣 有 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向n量(B) 矩陣 有 個(gè)特征值A(chǔ)(C) 矩陣 的行列式 0A(D) 矩陣 的特征方程沒(méi)有重根3A 為 矩陣，則非齊次線性方程組mn有唯一解的充要條件是 C Xb(A) (B)(,)RAb- 11 -()RAm(C) (D)(),)RAbn(),)bn4.設(shè)向量組 A 能由向量組 B 線性表示，則( D )(A) (B)(RB)(ARB(C) (D)(A)(5. 向量組 線性相關(guān)且秩為 r，則 12,sB (A) (B) (C) rsrsrs(D) s三、計(jì)算題（本題總計(jì) 60 分，每小題 10 分）1. 計(jì)算 n 階行列式: .221D232 1n222已知矩陣方程 ，求矩陣 ,其中AXX- 12 -.2013A3. 設(shè) 階方陣 滿足 ,證明 可逆，nA042EA3AE并求 .1(3)E4求下列非齊次線性方程組的通解及所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系: 1234234895xx5求下列向量組的秩和一個(gè)最大無(wú)關(guān)組,并將其余向量用最大無(wú)關(guān)組線性表示 12341234,5.06已知二次型：，3231212321321 845),( xxxxf 用正交變換化 為標(biāo)準(zhǔn)形，并求出),(f其正交變換矩陣 Q四、證明題（本題總計(jì) 10 分，每小題 10 分）- 13 -設(shè) , , , , 且向量組1ba212a 12rrba線性無(wú)關(guān)，證明向量組 線性ra,21 rb,21無(wú)關(guān).(答案二)一、填空題（本題總計(jì) 20 分，每小題 2 分）1. 17 2. -2 3 4 5 6-2 1A()Rn7 或 8 29、 10、16A1032n）（ 2,0yx二、選擇題（本題總計(jì) 10 分，每小題 2 分）1. A 2. A 3.C 4.D 5. B三、計(jì)算題（本題總計(jì) 60 分，每小題 10 分）1、 解： -D),43(2niri021 032n2-4 分-7 分12r0021 032n2-10 分（此)!()2(321)( n- 14 -題的方法不唯一，可以酌情給分。 ）2求解 ，其中AX2013A解：由 得AX(31XAE分)(6 分) 120,31AE(8 分)102613r:所以 26031X(10 分)3解：利用由 可得： -042EA 0)(3EA-5 分即 -7 分 故 可逆且EA)(3 3-10 分)()3(14求下列非齊次線性方程組的通解及所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系- 15 -1234123895xx解： (2 分) 12328()9504Ab123040r:(4 分)則有 12100r:(6 分)14230x取 為自由未知量，令 ，則通解為： 4x 4xc1234102xc(8 分)cR對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為： 21(10 分)5求下列向量組的秩和一個(gè)最大無(wú)關(guān)組,并將其余向量用最大無(wú)關(guān)組線性表示解：12341234,5.0- 16 -= 12341231231235000: 102:(2 分) 為一個(gè)極大無(wú)關(guān)組 . (4 分) 設(shè) 12,， 312x412y解得 ， . 2x 12y(8 分) 則有 ， 314126 解 332123221 85),( xxxxf 的矩陣 (2 分) 的特42A A征多項(xiàng)式 (4 分)10()(的兩個(gè)正交的特征向量 , 121 10p142p的特征向量 03 213p正交矩陣 8 分) 正32140Q交變換 ：標(biāo)準(zhǔn)形 yx 3210yyf四、證明題（本題總計(jì) 10 分）若設(shè)且向量組 線性無(wú)關(guān)，,212121, rraabab ra,21證明向量組 線性無(wú)關(guān). 證明：設(shè)存在r,- 17 -，使得 也即 12,rR 12rb+b=0化簡(jiǎn)得 1212()()0rraa 12122()()rrra 又因?yàn)?線性無(wú)關(guān)，則 12,r120rr(8 分)解得 120r所以， 線性無(wú)關(guān).12rb, , （試卷三）一、填空題（本題總計(jì) 20 分，每小題 2分）1、按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序，則排列的逆序數(shù)為 (2)2n2、設(shè) 4 階行列式 ，則 0 4abcdD12314A3、已知 ，則 10327A1*A4、已知 n 階矩陣 A、B 滿足 ，則BA1EB5、若 A 為 矩陣，則齊次線性方程組m只有零解的充分必要條件是 x0- 18 -6、若 A 為 矩陣，且 ，則齊次nm()3min,RA線性方程組 的基礎(chǔ)解系中包含解向Ax0量的個(gè)數(shù)為 7、若向量 與向量 正交，則123T1T8、若三階方陣 A 的特征多項(xiàng)式為，則 2(1)AE9、設(shè)三階方陣 、 ，已知 ，12312B6A，則 1BAB10、設(shè)向量組 線性無(wú)關(guān)，則當(dāng)常數(shù)123,滿足 時(shí)，向量組l線性無(wú)關(guān).213213,二、選擇題（本題總計(jì) 10 分，每小題 2分）1、 以下等式正確的是( ) dcbak dcbak ab2、 4 階行列式 中的項(xiàng) 和 的det()ija1342a24312符號(hào)分別為（ ）- 19 -正、正 正、負(fù)負(fù)、負(fù) 負(fù)、正3、 設(shè) A 是 矩陣，C 是 n 階可逆陣，mn滿足 BAC. 若 A 和 B 的秩分別為 和Ar，則有( )Br ABr ABr 以上都不正確 4、 設(shè) A 是 矩陣，且 ，則非齊mn()RAmn次線性方程組 ( )Axb有無(wú)窮多解 有唯一解無(wú)解 無(wú)法判斷解的情況5、已知向量組 線性無(wú)關(guān)，則以下1234,線性無(wú)關(guān)的向量組是（ ） 12341, 12341, 三、計(jì)算題（本題總計(jì) 60 分，每小題 10- 20 -分）1 求矩陣 的特征值和特征向量124A2 計(jì)算 階行列式n011100nnaDa3 已知矩陣 ，1A， ，且滿足 ，求矩10B4320CAXBC陣 X.4 求下列非齊次線性方程組所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系及此方程組的通解 12345123451605xx5 已知矩陣 ，求矩陣 A 的126397A列向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，并把其余向量用該最大無(wú)關(guān)組線性表示- 21 -6 已知 A 為三階矩陣，且 ，求2A1*32四、證明題（本題總計(jì) 10 分）設(shè)向量組 中前 個(gè)向量線性相12,n 1關(guān)，后 個(gè)向量線性無(wú)關(guān)，試證：1n（1） 可由向量組 線性表示；1 231,n（2） 不能由向量組 線性表示.n2,（試卷四）一、填空題（本題總計(jì) 16 分，每小題 2分）1、按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序，則排列的逆序數(shù)為 3(21)4(2)nn 2、4 階行列式 4816452D3、已知 ， 為 A 的伴隨矩陣，則1029A*1*4、已知 n 階方陣 A 和 B 滿足 ，則AB1EB5、已知 A 為 矩陣，且 ，則以mn()min,Rr- 22 -A 為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組 的Ax0基礎(chǔ)解系中包含解向量的個(gè)數(shù)為 6、已知四維列向量 、T31521、 ，且T105243，則 xx2137、把向量 單位化得 2T8、若三階方陣 A 的特征多項(xiàng)式為，則 2()1)(fE二、選擇題（本題總計(jì) 14 分，每小題 2分）1、 已知 ，則以下等式正確的是( ),abcdkR k dcbak dcbacba ab2、 設(shè) A 和 B 為 n 階方陣，下列說(shuō)法正確的是（ ）若 ，則 若 ，C 0AB則 或0AB若 ，則 或 若 ，0ABE則 E3、 設(shè) A 是 矩陣，且 ，則非齊mn()Rmn- 23 -次線性方程組 ( )Axb有唯一解 有無(wú)窮多解無(wú)解 無(wú)法判斷解的情況4、 向量組的秩就是向量組的（ ）極大無(wú)關(guān)組中的向量 線性無(wú)關(guān)組中的向量極大無(wú)關(guān)組中的向量的個(gè)數(shù) 線性無(wú)關(guān)組中的向量的個(gè)數(shù)5、 已知 n 階方陣 A、B 和 C 滿足ABC=E，其中 E 為 n 階單位矩陣，則( )1B 1AC AC 16、 設(shè) A 為三階方陣， 為 A 的伴隨矩陣，*且 ，則 （ ）41*A3)4(1 276 127、 已知 n 元齊次線性方程組 的系數(shù)Ax0- 24 -矩陣的秩等于 n-3，且 是 的三123,Ax0個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，則 的基礎(chǔ)解系可為（ ） 1231,312123, 31三、計(jì)算題（本題總計(jì) 60 分，1-3 每小題8 分，4-7 每小題 9 分）1 計(jì)算 階行列式nnxaDax2 已知三階方陣 ，求10A21()4)AE3 已知矩陣 ， ，求 .210102BB4 求下列非齊次線性方程組所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系及此方程組的通解 123451xx5 判定向量組- 25 -的線性相關(guān)性。123(2,),(0,),(2,41)TTT6 已知矩陣 ，求矩陣 的秩1201243AA及列向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組.7 已知 ，求可逆陣 P，使得21043A為對(duì)角陣. 1P四、證明題（本題總計(jì) 10 分）設(shè) 為非齊次線性方程組 的一個(gè)解，Axb為對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.試12,r證：向量組 線性無(wú)關(guān)。12,r