2019-2020年高考數(shù)學(xué)備考試題庫 第八章 第8節(jié) 圓錐曲線的綜合問題 文(含解析).DOC
2019-2020年高考數(shù)學(xué)備考試題庫 第八章 第8節(jié) 圓錐曲線的綜合問題 文(含解析)1(xx湖南,13分)如圖所示, O為坐標(biāo)原點,雙曲線C1:1(a1>0,b1>0)和橢圓C2:1(a2>b2>0) 均過點 P,且以C1 的兩個頂點和C2的兩個焦點為頂點的四邊形是面積為2的正方形(1)求C1,C2 的方程;(2)是否存在直線l ,使得 l與 C1交于A,B 兩點,與C2 只有一個公共點,且 | |?證明你的結(jié)論解:(1)設(shè)C2的焦距為2c2,由題意知,2c22,2a12.從而a11,c21.因為點P在雙曲線x21上,所以21.故b3.由橢圓的定義知2a22.于是a2,bac2,故C1,C2的方程分別為x21,1.(2)不存在符合題設(shè)條件的直線()若直線l垂直于x軸,因為l與C2只有一個公共點,所以直線l的方程為x或x.當(dāng)x時,易知A(,),B(,),所以|2,|2.此時,|.當(dāng)x時,同理可知,|.()若直線l不垂直于x軸,設(shè)l的方程為ykxm.由得(3k2)x22kmxm230.當(dāng)l與C1相交于A,B兩點時,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1,x2是上述方程的兩個實根,從而x1x2,x1x2.于是y1y2k2x1x2km(x1x2)m2.由得(2k23)x24kmx2m260.因為直線l與C2只有一個公共點,所以上述方程的判別式16k2m28(2k23)(m23)0.化簡,得m22k23,因此x1x2y1y20.于是222222,即|2|2,故|.綜合()()可知,不存在符合題設(shè)條件的直線2(xx新課標(biāo)全國,12分)設(shè)F1 ,F(xiàn)2分別是橢圓C: 1(a>b>0)的左、右焦點,M是C上一點且MF2與x軸垂直,直線MF1與C的另一個交點為N.(1)若直線MN的斜率為,求C的離心率;(2)若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN|5|F1N|,求a,b.解:(1)根據(jù)a2b2c2及題設(shè)知M,故2b23ac.將b2a2c2,代入2b23ac,解得,2(舍去)故C的離心率為.(2)設(shè)直線MN與y軸的交點為D,由題意,原點O為F1F2的中點,MF2y軸,所以直線MF1與y軸的交點D(0,2)是線段MF1的中點,故4,即b24a.由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|.設(shè)N(x1,y1),由題意知y1<0,則即代入C的方程,得1.將及a2b2c2代入得1.解得a7,b24a28,故a7,b2,3(xx山東,14分)在平面直角坐標(biāo)系xOy 中,橢圓C1(a>b>0) 的離心率為,直線yx被橢圓C截得的線段長為.(1)求橢圓C的方程;(2)過原點的直線與橢圓C交于A,B兩點(A,B不是橢圓C的頂點)點D在橢圓C上,且ADAB,直線BD與x軸、y軸分別交于M,N兩點設(shè)直線BD,AM的斜率分別為k1,k2,證明存在常數(shù)使得k1k2,并求出的值;求OMN面積的最大值解:(1)由題意知,可得a24b2.橢圓C的方程可簡化為x24y2a2.將yx代入可得x,因此,可得a2.因此b1.所以橢圓C的方程為y21.(2)設(shè)A(x1,y1)(x1y10),D(x2,y2),則B(x1,y1),因為直線AB的斜率kAB,又ABAD,所以直線AD的斜率k.設(shè)直線AD的方程為ykxm,由題意知k0,m0.由可得(14k2)x28mkx4m240.所以x1x2,因此y1y2k(x1x2)2m.由題意知x1x2,所以k1.所以直線BD的方程為yy1(xx1)令y0,得x3x1,即M(3x1,0)可得k2.所以k1k2,即.因此存在常數(shù)使得結(jié)論成立直線BD的方程yy1(xx1),令x0,得yy1,即N.由知M(3x1,0),可得OMN的面積S3|x1|y1|x1|y1|.因為|x1|y1|y1,當(dāng)且僅當(dāng)|y1|時等號成立,此時S取得最大值,所以O(shè)MN面積的最大值為4(xx北京,14分)已知橢圓C: x22y24.(1)求橢圓C的離心率;(2)設(shè)O為原點,若點A在直線y2上,點B在橢圓C上,且OAOB,求線段AB長度的最小值解:(1)由題意,橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.所以a24,b22,從而c2a2b22.因此a2,c.故橢圓C的離心率e.(2)設(shè)點A,B的坐標(biāo)分別為(t,2),(x0,y0),其中x00.因為OAOB,所以0,即tx02y00,解得t.又x2y4,所以|AB|2(x0t)2(y02)22(y02)2xy4x44(0<x4)因為4(0<x4),且當(dāng)x4時等號成立,所以|AB|28.故線段AB長度的最小值為2.5(xx陜西,13分)已知橢圓1(a>b>0)經(jīng)過點(0,),離心率為,左右焦點分別為F1(c,0),F(xiàn)2(c,0)(1)求橢圓的方程;(2)若直線 l:yxm與橢圓交于 A,B兩點,與以F1F2 為直徑的圓交于C,D 兩點,且滿足 ,求直線l 的方程解:(1)由題設(shè)知解得a2,b,c1,橢圓的方程為1.(2)由題設(shè),以F1F2為直徑的圓的方程為x2y21,圓心到直線l的距離d,由d1得|m|.(*)|CD|22 .設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由得x2mxm230,由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1x2m,x1x2m23.|AB| .由得 1,解得m,滿足(*)直線l的方程為yx或yx.6(xx四川,13分)已知橢圓C:1(a>b>0)的左焦點為F(2,0),離心率為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點,T為直線x3上一點,過F作TF的垂線交橢圓于P,Q.當(dāng)四邊形OPTQ是平行四邊形時,求四邊形OPTQ的面積解:(1)由已知可得,c2,所以a.又由a2b2c2,解得b,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是1.(2)設(shè)T點的坐標(biāo)為(3,m),則直線TF的斜率kTFm.當(dāng)m0時,直線PQ的斜率kPQ,直線PQ的方程是xmy2.當(dāng)m0時,直線PQ的方程是x2,也符合xmy2的形式設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立,得消去x,得(m23)y24my20,其判別式16m28(m23)0.所以y1y2,y1y2,x1x2m(y1y2)4.因為四邊形OPTQ是平行四邊形,所以,即(x1,y1)(3x2,my2)所以解得m1.此時,四邊形OPTQ的面積SOPTQ2SOPQ2|OF|y1y2|22.7(xx重慶,12分)如圖,設(shè)橢圓1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,點D在橢圓上,DF1F1F2,2,DF1F2的面積為.(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)是否存在圓心在y軸上的圓,使圓在x軸的上方與橢圓有兩個交點,且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點?若存在,求出圓的方程,若不存在,請說明理由解:(1)設(shè)F1(c,0),F(xiàn)2(c,0),其中c2a2b2.由2得|DF1|c.由DF1F1F2得SDF1F2|DF1|F1F2|c2,故c1.從而|DF1|,故|DF2|2|DF1|2|F1F2|2,因此|DF2|.所以2a|DF1|DF2|2,故a,b2a2c21.因此,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)如圖,設(shè)圓心在y軸上的圓C與橢圓y21相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是兩個交點,y1>0,y2>0,F(xiàn)1P1,F(xiàn)2P2是圓C的切線,且F1P1F2P2.由圓和橢圓的對稱性,易知,x2x1,y1y2.由(1)知F1(1,0),F(xiàn)2(1,0),所以(x11,y1),(x11,y1)再由F1P1F2P2得(x11)2y0.由橢圓方程得1(x11)2,即3x4x10.解得x1或x10.當(dāng)x10時,P1,P2重合,此時題設(shè)要求的圓不存在當(dāng)x1時,過P1,P2分別與F1P1,F(xiàn)2P2垂直的直線的交點即為圓心C.設(shè)C(0,y0),由CP1F1P1,得1.而y1|x11|,故y0.圓C的半徑|CP1| .綜上,存在滿足題設(shè)條件的圓,其方程為x22.8(xx浙江,14分)已知ABP的三個頂點在拋物線C:x24y上,F(xiàn)為拋物線C的焦點,點M為AB的中點,3.(1)若|PF|3,求點M的坐標(biāo);(2)求ABP面積的最大值解:(1)由題意知焦點F(0,1),準(zhǔn)線方程為y1.設(shè)P(x0,y0),由拋物線定義知|PF|y01,得到y(tǒng)02,所以P(2,2)或P(2,2)由3,分別得M或M.(2)設(shè)直線AB的方程為ykxm,點A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0)由得x24kx4m0.于是16k216m>0,x1x24k,x1x24m,所以AB中點M的坐標(biāo)為(2k,2k2m)由3,得(x0,1y0)3(2k,2k2m1),所以由x4y0得k2m.由>0,k20,得<m.又因為|AB|4,點F(0,1)到直線AB的距離為d.所以SABP4SABF8|m1| .記f(m)3m35m2m1.令f(m)9m210m10,解得m1,m21.可得f(m)在上是增函數(shù),在上是減函數(shù),在上是增函數(shù)又f>f.所以當(dāng)m時,f(m)取到最大值,此時k.所以ABP面積的最大值為.9(xx新課標(biāo)全國,5分)設(shè)F為拋物線C:y23x的焦點,過F且傾斜角為30的直線交C于A,B兩點,則|AB|() A . B6 C12 D7解析:選C拋物線C:y23x的焦點為F,所以AB所在的直線方程為y,將y代入y23x,消去y整理得x2x0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2,由拋物線的定義可得|AB|x1x2p12,故選C.10(xx湖南,5分)平面上一機(jī)器人在行進(jìn)中始終保持與點F(1,0) 的距離和到直線x1 的距離相等若機(jī)器人接觸不到過點P(1,0) 且斜率為 k的直線,則k 的取值范圍是_解析:由題意可知機(jī)器人的軌跡為一拋物線,其軌跡方程為y24x,過點P(1,0)且斜率為k的直線方程為yk(x1),由題意知直線與拋物線無交點,聯(lián)立消去y得k2x2(2k24)xk20,則(2k24)24k4<0,所以k2>1,得k>1或k<1.答案:(,1)(1,)11(xx江西,13分)如圖,已知拋物線C:x24y,過點M(0,2)任作一直線與C相交于A,B 兩點,過點 B作y 軸的平行線與直線AO 相交于點D ( O為坐標(biāo)原點)(1)證明:動點 D在定直線上;(2)作C的任意一條切線 l(不含x 軸),與直線y2 相交于點 N1,與(1)中的定直線相交于點N2 .證明:|MN2|2 |MN1|2為定值,并求此定值證明:(1)依題意可設(shè)AB方程為ykx2,代入x24y,得x24(kx2),即x24kx80.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有x1x28,直線AO的方程為yx;BD的方程為xx2.解得交點D的坐標(biāo)為注意到x1x28及x4y1,則有y2,因此D點在定直線y2(x0)上(2)依題設(shè),切線l的斜率存在且不等于0,設(shè)切線l的方程為yaxb(a0),代入x24y得x24(axb),即x24ax4b0,由0得(4a)216b0,化簡整理得ba2.故切線l的方程可寫為yaxa2.分別令y2,y2得N1,N2的坐標(biāo)為N1a,2,N2,則|MN2|2|MN1|224228,即|MN2|2|MN1|2為定值8. 12(xx安徽,13分)已知橢圓C:1(a>b>0)的焦距為4,且過點P(,)(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)Q(x0,y0)(x0y00)為橢圓C上一點過點Q作x軸的垂線,垂足為E.取點A(0,2),連接AE.過點A作AE的垂線交x軸于點 D點G是點D關(guān)于y軸的對稱點,作直線QG.問這樣作出的直線QG是否與橢圓C一定有唯一的公共點?并說明理由解:本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì),直線和橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查數(shù)形結(jié)合思想、邏輯推理能力及運(yùn)算求解能力(1)因為焦距為4,所以a2b24.又因為橢圓C過點P(,),所以1,故a28,b24.從而橢圓C的方程為1.(2)由題意,知E點坐標(biāo)為(x0,0)設(shè)D(xD,0),則(x0,2),(xD,2)由ADAE知,0,即xDx080.由于x0y00,故xD.因為點G是點D關(guān)于y軸的對稱點,所以點G.故直線QG的斜率kQG.又因Q(x0,y0)在橢圓C上,所以x2y8.從而kQG.故直線QG的方程為y.將代入橢圓C方程,得(x2y)x216x0x6416y0.再將代入,化簡得x22x0xx0,解得xx0,yy0.即直線QG與橢圓C一定有唯一的公共點13(xx北京,14分)直線ykxm(m0)與橢圓W:y21相交于A,C兩點,O是坐標(biāo)原點(1)當(dāng)點B的坐標(biāo)為(0,1),且四邊形OABC為菱形時,求AC的長;(2)當(dāng)點B在W上且不是W的頂點時,證明:四邊形OABC不可能為菱形解:本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、函數(shù)與方程的思想,意在考查考生的運(yùn)算求解能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力、數(shù)形結(jié)合能力(1)因為四邊形OABC為菱形,所以AC與OB相互垂直平分所以可設(shè)A,代入橢圓方程得1,即t.所以|AC|2.(2)證明:假設(shè)四邊形OABC為菱形因為點B不是W的頂點,且ACOB,所以k0.由消去y并整理得(14k2)x28kmx4m240.設(shè)A(x1,y1),C(x2,y2),則,km.所以AC的中點為M.因為M為AC和OB的交點,且m0,k0,所以直線OB的斜率為.因為k1,所以AC與OB不垂直所以O(shè)ABC不是菱形,與假設(shè)矛盾所以當(dāng)點B不是W的頂點時,四邊形OABC不可能是菱形14(xx湖南,13分)已知F1,F(xiàn)2分別是橢圓E:y21的左、右焦點,F(xiàn)1,F(xiàn)2關(guān)于直線xy20的對稱點是圓C的一條直徑的兩個端點(1)求圓C的方程;(2)設(shè)過點F2的直線l被橢圓E和圓C所截得的弦長分別為a,b.當(dāng)ab最大時,求直線l的方程解:本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、圓的方程、弦長和弦長最值的求解,意在考查考生的計算能力、數(shù)據(jù)處理能力和轉(zhuǎn)化能力(1)由題設(shè)知,F(xiàn)1,F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為(2,0),(2,0),圓C的半徑為2,圓心為原點O關(guān)于直線xy20的對稱點設(shè)圓心的坐標(biāo)為(x0,y0),由解得所以圓C的方程為(x2)2(y2)24.(2)由題意,可設(shè)直線l的方程為xmy2,則圓心到直線l的距離d.所以b2.由得(m25)y24my10.設(shè)l與E的兩個交點坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則y1y2,y1y2.于是a.從而ab2.當(dāng)且僅當(dāng),即m時等號成立故當(dāng)m時,ab最大,此時,直線l的方程為xy2或xy2,即xy20或xy20.15(xx江西,13分)橢圓C:1(a>b>0)的離心率e,ab3.(1)求橢圓C的方程;(2)如圖,A,B,D是橢圓C的頂點,P是橢圓C上除頂點外的任意一點,直線DP交x軸于點N,直線AD交BP于點M,設(shè)BP的斜率為k,MN的斜率為m.證明:2mk為定值解:本題主要考查利用待定系數(shù)法求橢圓的方程,考查直線、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系,考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想,旨在考查推理論證能力與理性思維能力(1)因為e,所以ac,bc.代入ab3得,c,a2,b1.故橢圓C的方程為y21.(2)證明:法一:因為B(2,0),P不為橢圓頂點,則直線BP的方程為yk(x2),把代入y21,解得P.直線AD的方程為:yx1.與聯(lián)立解得M.由D(0,1),P,N(x,0)三點共線知,解得N.所以MN的斜率為m,則2mkk(定值)法二:設(shè)P(x0,y0)(x00,2),則k,直線AD的方程為:y(x2),直線BP的方程為:y(x2),直線DP的方程為:y1x,令y0,由于y01,可得N聯(lián)立解得M,因此MN的斜率為m,所以2mk(定值)16(xx廣東,14分)已知拋物線C的頂點為原點,其焦點F(0,c)(c0)到直線l:xy20的距離為,設(shè)P為直線l上的點,過點P作拋物線C的兩條切線PA,PB,其中A,B為切點(1)求拋物線C的方程;(2)當(dāng)點P(x0,y0)為直線l上的定點時,求直線AB的方程;(3)當(dāng)點P在直線l上移動時,求|AF|BF|的最小值解:本題主要考查點到直線距離公式的運(yùn)用、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及解析幾何中的最值問題,意在考查考生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想解決問題的能力(1)拋物線C的焦點F(0,c)(c0)到直線l:xy20的距離為,得c1,F(xiàn)(0,1),即拋物線C的方程為x24y.(2)設(shè)切點A(x1,y1),B(x2,y2),由x24y得yx,切線PA:yy1x1(xx1),有yx1xxy1,而x4y1,即切線PA:yx1xy1,同理可得切線PB:yx2xy2.兩切線均過定點P(x0,y0),y0x1x0y1,y0x2x0y2,由以上兩式知點A,B均在直線y0xx0y上,直線AB的方程為y0xx0y,即yx0xy0.(3)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y),由xy20,得xy2,則|AF|BF|(y11)(y21)y1y2(y1y2)1.由得y2(2yx2)yy20,有y1y2x22y,y1y2y2,|AF|BF|y2x22y1y2(y2)22y122,當(dāng)y,x時,即P時,|AF|BF|取得最小值.17(xx遼寧,12分)如圖,拋物線C1:x24y,C2:x22py(p0)點M(x0,y0)在拋物線C2上,過M作C1的切線,切點為A,B(M為原點O時,A,B重合于O)當(dāng)x01時,切線MA的斜率為.(1)求p的值;(2)當(dāng)M在C2上運(yùn)動時,AB中點N的軌跡方程(A,B重合于O時,中點為O.)解:本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,求導(dǎo)運(yùn)算、直線的點斜式方程,以及求軌跡方程,意在考查考生利用導(dǎo)數(shù)知識解決圓錐曲線問題的能力,以及處理直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的熟練程度和運(yùn)算化簡能力(1)因為拋物線C1:x24y上任意一點(x,y)的切線斜率為y,且切線MA的斜率為,所以A點坐標(biāo)為.故切線MA的方程為y(x1).因為點M(1,y0)在切線MA及拋物線C2上,于是y0(2),y0.由得p2.(2)設(shè)N(x,y),A,B,x1x2,由N為線段AB中點知x,y.切線MA,MB的方程為y(xx1),y(xx2).由得MA,MB的交點M(x0,y0)的坐標(biāo)為x0,y0.因為點M(x0,y0)在C2上,即x4y0,所以x1x2.由得x2y,x0.當(dāng)x1x2時,A,B重合于原點O,AB中點N為O,坐標(biāo)滿足x2y.因此AB中點N的軌跡方程為x2y.18(xx遼寧,5分)已知P,Q為拋物線x22y上兩點,點P,Q的橫坐標(biāo)分別為4,2,過P,Q分別作拋物線的切線,兩切線交于點A,則點A的縱坐標(biāo)為()A1B3C4 D8解析:因為P,Q兩點的橫坐標(biāo)分別為4,2,且P,Q兩點都在拋物線yx2上,所以P(4,8),Q(2,2)因為yx,所以kPA4,kQA2,則直線PA,QA的方程聯(lián)立得,即,可得A點坐標(biāo)為(1,4)答案:C19(xx新課標(biāo)全國,12分)設(shè)拋物線C:x22py(p0)的焦點為F,準(zhǔn)線為l,A為C上一點,已知以F為圓心,F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B,D兩點(1)若BFD90,ABD的面積為4,求p的值及圓F的方程;(2)若A,B,F(xiàn)三點在同一直線m上,直線n與m平行,且n與C只有一個公共點,求坐標(biāo)原點到m,n距離的比值解:(1)由已知可得BFD為等腰直角三角形,|BD|2p,圓F的半徑|FA|p.由拋物線定義可知A到l的距離d|FA|p.因為ABD的面積為4,所以|BD|d4,即2pp4,解得p2(舍去)或p2.所以F(0,1),圓F的方程為x2(y1)28.(2)因為A,B,F(xiàn)三點在同一直線m上,所以AB為圓F的直徑,ADB90.由拋物線定義知|AD|FA|AB|,所以ABD30,m的斜率為或.當(dāng)m的斜率為時,由已知可設(shè)n:yxb,代入x22py得x2px2pb0.由于n與C只有一個公共點,故p28pb0,解得b.因為m的縱截距b1,3,所以坐標(biāo)原點到m,n距離的比值為3.當(dāng)m的斜率為時,由圖形對稱性可知,坐標(biāo)原點到m,n距離的比值為3.20(xx廣東,14分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C1:1(a>b>0)的左焦點為F1(1,0),且點P(0,1)在C1上(1)求橢圓C1的方程;(2)設(shè)直線l同時與橢圓C1和拋物線C2:y24x相切,求直線l的方程解:(1)根據(jù)橢圓的左焦點為F1(1,0),知a2b21,又根據(jù)點P(0,1)在橢圓上,知b1,所以a,所以橢圓C1的方程為y21.(2)因為直線l與橢圓C1和拋物線C2都相切,所以其斜率存在且不為0,設(shè)直線l的方程為ykxm(k0),代入橢圓方程得(kxm)21,即(k2)x22kmxm210,由題可知此方程有唯一解,此時4k2m24(k2)(m21)0,即m22k21.把ykxm(k0)代入拋物線方程得y2ym0,由題可知此方程有唯一解,此時1mk0,即mk1.聯(lián)立得解得k2,所以或所以直線l的方程為yx或yx.21(xx北京,14分)已知橢圓C:1(a>b>0)的一個頂點為A(2,0),離心率為.直線yk(x1)與橢圓C交于不同的兩點M,N.(1)求橢圓C的方程;(2)當(dāng)AMN的面積為時,求k的值解:(1)由題意得解得b,所以橢圓C的方程為1.(2)由得(12k2)x24k2x2k240.設(shè)點M,N的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則y1k(x11),y2k(x21),x1x2,x1x2,所以|MN|.又因為點A(2,0)到直線yk(x1)的距離d,所以AMN的面積為S|MN| d.由,化簡得7k42k250,解得k1.22(xx湖南,13分)在直角坐標(biāo)系xOy中,已知中心在原點,離心率為的橢圓E的一個焦點為圓C:x2y24x20 的圓心(1)求橢圓E的方程;(2)設(shè)P是橢圓E上一點,過P作兩條斜率之積為的直線l1,l2.當(dāng)直線l1,l2都與圓C相切時,求P的坐標(biāo)解:(1)由x2y24x20得(x2)2y22,故圓C的圓心為點(2,0)從而可設(shè)橢圓E的方程為1(a>b>0),其焦距為2c.由題設(shè)知c2,e.所以a2c4,b2a2c212.故橢圓E的方程為1.(2)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x0,y0),l1,l2的斜率分別為k1,k2,則l1,l2的方程分別為l1:yy0k1(xx0),l2:yy0k2(xx0),且k1k2,由l1與圓C:(x2)2y22相切得,即(2x0)22k2(2x0)y0k1y20.同理可得(2x0)22k2(2x0)y0k2y20.從而k1,k2是方程(2x0)22k22(2x0)y0ky20的兩個實根,于是且k1k2.由得5x8x0360,解得x02,或x0.由x02得y03;由x0得y0,它們均滿足式故點P的坐標(biāo)為(2,3),或(2,3),或(,),或(,)23.(2011山東,14分)(本小題滿分14分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:y21.如圖所示,斜率為k(k>0)且不過原點的直線l交橢圓C于A,B兩點,線段AB的中點為E,射線OE交橢圓C于點G,交直線x3于點D(3,m)()求m2k2的最小值;()若|OG|2|OD|OE|,()求證:直線l過定點;()試問點B,G能否關(guān)于x軸對稱?若能,求出此時ABG的外接圓方程;若不能,請說明理由解:()設(shè)直線l的方程為ykxt(k>0),由題意,t>0.由方程組得(3k21)x26ktx3t230.由題意>0,所以3k21>t2.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由韋達(dá)定理得x1x2,所以y1y2.由于E為線段AB的中點,因此xE,yE,此時kOE.所以O(shè)E所在直線方程為yx,又由題設(shè)知D(3,m),令x3,得m,即mk1,所以m2k22mk2,當(dāng)且僅當(dāng)mk1時上式等號成立,此時由>0得0<t<2,因此當(dāng)mk1且0<t<2時,m2k2取最小值2.()()證明:由()知OD所在直線的方程為yx,將其代入橢圓C的方程,并由k>0,解得G(,)又E(,),D(3,),由距離公式及t>0得|OG|2()2()2,|OD|,|OE|,由|OG|2|OD|OE|得tk,因此直線l 的方程為yk(x1),所以直線l恒過定點(1,0)()由()得G(,),若B,G關(guān)于x軸對稱,則B(,)代入yk(x1)整理得3k21k,即6k47k210,解得k2(舍去)或k21,所以k1.此時B(,),G(,)關(guān)于x軸對稱又由()得x10,y11,所以A(0,1)由于ABG的外接圓的圓心在x軸上,可設(shè)ABG的外接圓的圓心為(d,0),因此d21(d)2,解得d,故ABG的外接圓的半徑為r.所以ABG的外接圓的方程為(x)2y2.24(2011江蘇,16分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,M、N分別是橢圓1的頂點,過坐標(biāo)原點的直線交橢圓于P、A兩點,其中點P在第一象限,過P作x軸的垂線,垂足為C.連接AC,并延長交橢圓于點B.設(shè)直線PA的斜率為k.(1)當(dāng)直線PA平分線段MN時,求k的值;(2)當(dāng)k2時,求點P到直線AB的距離d;(3)對任意的k0,求證:PAPB.解:(1)由題設(shè)知,a2,b,故M(2,0),N(0,),所以線段MN中點的坐標(biāo)為(1,)由于直線PA平分線段MN,故直線PA過線段MN的中點,又直線PA過坐標(biāo)原點,所以k.(2)直線PA的方程為y2x,代入橢圓方程得1,解得x.因此P(,),A(,)于是C(,0),直線AC的斜率為1,故直線AB的方程為xy0.因此,d.(3)證明:法一:將直線PA的方程ykx代入1,解得x.記,則P(,k),A(,k). 于是C(,0)故直線AB的斜率為,其方程為y(x),代入橢圓方程并由得(2k2)x22k2x2(3k22)0,解得x或x.因此B(,)于是直線PB的斜率k1.因此k1k1,所以PAPB.法二:設(shè)P(x1,y1),B(x2,y2),則x10,x20,x1x2,A(x1,y1),C(x1,0)設(shè)直線PB,AB的斜率分別為k1,k2.因為C在直線AB上,所以k2.從而k1k12k1k212110.所以k1k1,所以PAPB.25(2011遼寧,12分)如圖,已知橢圓C1的中心在原點O,長軸左、右端點M,N在x軸上,橢圓C2的短軸為MN,且C1,C2的離心率都為e.直線lMN,l與C1交于兩點,與C2交于兩點,這四點按縱坐標(biāo)從大到小依次為A,B,C,D.(1)設(shè)e,求|BC|與|AD|的比值;(2)當(dāng)e變化時,是否存在直線l,使得BOAN,并說明理由解:(1)因為C1,C2的離心率相同,故依題意可設(shè)C1:1,C2:1,(ab0)設(shè)直線l:xt(|t|a),分別與C1,C2的方程聯(lián)立,求得A,B.(4分)當(dāng)e時,ba,分別用yA,yB表示A,B的縱坐標(biāo),可知|BC|AD|.(2)t0時的l不符合題意,t0時,BOAN當(dāng)且僅當(dāng)BO的斜率kBO與AN的斜率kAN相等,即,解得ta.因為|t|a,又0e1,所以1.解得e1.所以當(dāng)0e時,不存在直線l,使得BOAN;當(dāng)e1時,存在直線l,使得BOAN.26(2011廣東,14分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l:x2交x軸于點A.設(shè)P是l上一點,M是線段OP的垂直平分線上一點,且滿足MPOAOP.(1)當(dāng)點P在l上運(yùn)動時,求點M的軌跡E的方程;(2)已知T(1,1)設(shè)H是E上動點,求|HO|HT|的最小值,并給出此時點H的坐標(biāo);(3)過點T(1,1)且不平行于y軸的直線l1與軌跡E有且只有兩個不同的交點,求直線l1的斜率k的取值范圍命題意圖:本題考查的知識涉及動點、直線、軌跡、最值、參數(shù)范圍的綜合解析幾何問題(1)先畫出圖形,“以圖助算”勢在必行,而畫出圖形后可發(fā)現(xiàn)MPOA或點M在x軸上,也就找到了解決問題的入口與思路;(2)順著第(1)問的結(jié)果與思路,結(jié)合拋物線的定義可求得|HO|HT|的最小值;(3)再次回到畫出的圖形,可直觀地求得k的取值范圍解:(1)如圖1,可得直線l:x2與x軸交于點A(2,0),設(shè)P(2,m),當(dāng)m0時,點P與點A重合,這時OP的垂直平分線為x1,由AOPMPO0得M(1,0),當(dāng)m0時,設(shè)M(x0,y0),(i)若x01,由MPOAOP得MPOA,有y0m, 圖1又kOP,OP的中點為(1,),OP的垂直平分線為y(x1),而點M在OP的垂直平分線上,y0(x01),又my0,于是y0(x01),即y4(x01)(x01)(ii)若x01,如圖1,由MPOAOP得點M為OP的垂直平分線與x軸的交點,在y(x1)中,令y0,有x11,即M(1,0),點M的軌跡E的方程為y24(x1)(x1)和y0(x1)(2)由(1)知軌跡E為拋物線y24(x1)(x1)與射線y0(x1),而拋物線y24(x1)(x1)的頂點為B(1,0),焦點為O(0,0),準(zhǔn)線為x2,當(dāng)點H在拋物線y24(x1)(x1)上時,作HG垂直于準(zhǔn)線x2于點G,由拋物線的定義得|HO|HG|,則|HO|HT|HT|HG|,作TF垂直于準(zhǔn)線x2于點F,則|HT|HG|TF|,又T 圖2 (1,1),得|TF|3,在y24(x1)(x1)中,令y1得x,即當(dāng)點H的坐標(biāo)為(,1)時,|HO|HT|的最小值為3,當(dāng)點H在射線y0(x1)上時,|HO|HT|TF|,|HO|HT|的最小值為3,此時點H的坐標(biāo)為(,1)(3)由(2)得kBT,由圖2得當(dāng)直線l1的斜率k或k0時,直線l1與軌跡E有且只有兩個不同的交點直線l1的斜率k的取值范圍是(,(0,)27(xx山東,5分)已知拋物線y22px(p0),過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點,若線段AB的中點的縱坐標(biāo)為2,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為()Ax1Bx1Cx2 Dx2解析:拋物線的焦點F(,0),所以過焦點且斜率為1的直線方程為yx,即xy,將其代入得:y22px2p(y)2pyp2,所以y22pyp20,所以p2,所以拋物線的方程為y24x,準(zhǔn)線方程為x1.答案:B27(xx新課標(biāo)全國,12分)設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓E:1(a>b>0)的左、右焦點,過F1斜率為1的直線l與E相交于A,B兩點,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差數(shù)列(1)求E的離心率;(2)設(shè)點P(0,1)滿足|PA|PB|,求E的方程解:(1)由橢圓定義知|AF2|BF2|AB|4a,又2|AB|AF2|BF2|,得|AB|a.l的方程為yxc, 其中c.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則A,B兩點坐標(biāo)滿足方程組化簡得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0,則x1x2,x1x2.因為直線AB斜率為1,所以|AB|x2x1| .得a,故a22b2,所以E的離心率e.(2)設(shè)AB的中點為N(x0,y0),由(1)知x0c,y0x0c.由|PA|PB|得kPN1.即1,得c3,從而a3,b3.故橢圓E的方程為1.