2019年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 10.1 橢圓及其性質(zhì) 文.doc

2019年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 10.1 橢圓及其性質(zhì) 文考點(diǎn)一橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程1.(xx大綱全國(guó),9,5分)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2,離心率為,過(guò)F2的直線l交C于A、B兩點(diǎn).若AF1B的周長(zhǎng)為4,則C的方程為()A.+=1 B.+y2=1C.+=1 D.+=1答案A2.(xx四川,20,13分)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F(-2,0),離心率為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),T為直線x=-3上一點(diǎn),過(guò)F作TF的垂線交橢圓于P,Q.當(dāng)四邊形OPTQ是平行四邊形時(shí),求四邊形OPTQ的面積.解析(1)由已知可得,=,c=2,所以a=.又由a2=b2+c2,解得b=,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是+=1.(2)設(shè)T點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3,m),則直線TF的斜率kTF=-m.當(dāng)m0時(shí),直線PQ的斜率kPQ=,直線PQ的方程是x=my-2.當(dāng)m=0時(shí),直線PQ的方程是x=-2,也符合x(chóng)=my-2的形式.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立,得消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,其判別式=16m2+8(m2+3)>0,所以y1+y2=,y1y2=,x1+x2=m(y1+y2)-4=.因?yàn)樗倪呅蜲PTQ是平行四邊形,所以=,即(x1,y1)=(-3-x2,m-y2).所以解得m=1.此時(shí),S四邊形OPTQ=2SOPQ=2|OF|y1-y2|=2=2.3.(xx安徽,21,13分)設(shè)F1、F2分別是橢圓E:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A,B兩點(diǎn),|AF1|=3|F1B|.(1)若|AB|=4,ABF2的周長(zhǎng)為16,求|AF2|;(2)若cosAF2B=,求橢圓E的離心率.解析(1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4,得|AF1|=3,|F1B|=1.因?yàn)锳BF2的周長(zhǎng)為16,所以由橢圓定義可得4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8.故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5.(2)設(shè)|F1B|=k,則k>0且|AF1|=3k,|AB|=4k.由橢圓定義可得|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k.在ABF2中,由余弦定理可得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|BF2|cosAF2B,即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-(2a-3k)(2a-k).化簡(jiǎn)可得(a+k)(a-3k)=0,而a+k>0,故a=3k.于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k.因此|BF2|2=|F2A|2+|AB|2,可得F1AF2A,AF1F2為等腰直角三角形.從而c=a,所以橢圓E的離心率e=.4.(xx廣東,20,14分)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為(,0),離心率為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若動(dòng)點(diǎn)P(x0,y0)為橢圓C外一點(diǎn),且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直,求點(diǎn)P的軌跡方程.解析(1)由題意得c=,e=,a=3,b=2,橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.(2)當(dāng)過(guò)P點(diǎn)的兩條切線的斜率均存在時(shí),不妨設(shè)為k1、k2,則過(guò)P點(diǎn)的切線方程可設(shè)為y-y0=k(x-x0)y=kx+y0-kx0,由消去y,有(4+9k2)x2+18k(y0-kx0)x+9(y0-kx0)2-4=0,=18k(y0-kx0)2-4(4+9k2)9(y0-kx0)2-4=0,整理得(9-)k2+2x0y0k-+4=0,k1k2=(x03),由已知得k1k2=-1,=-1,+=13,即此時(shí)點(diǎn)P的軌跡方程為+=13.當(dāng)兩條切線中有一條垂直于x軸時(shí),此時(shí)兩條切線方程應(yīng)分別為x=3,y=2或x=-3,y=2或x=3,y=-2或x=-3,y=-2,P點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2)或(-3,2)或(3,-2)或(-3,-2),均滿足方程+=13(x03).綜上所述,所求P點(diǎn)的軌跡方程為+=13.考點(diǎn)二橢圓的性質(zhì)5.(xx江西,14,5分)設(shè)橢圓C:+=1(a>b>0)的左,右焦點(diǎn)為F1,F2,過(guò)F2作x軸的垂線與C相交于A,B兩點(diǎn),F1B與y軸相交于點(diǎn)D,若ADF1B,則橢圓C的離心率等于.答案6.(xx遼寧,15,5分)已知橢圓C:+=1,點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合.若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為A,B,線段MN的中點(diǎn)在C上,則|AN|+|BN|=.答案127.(xx天津,18,13分)設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B.已知|AB|=|F1F2|.(1)求橢圓的離心率;(2)設(shè)P為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn),以線段PB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)F1,經(jīng)過(guò)點(diǎn)F2的直線l與該圓相切于點(diǎn)M,|MF2|=2.求橢圓的方程.解析(1)設(shè)橢圓右焦點(diǎn)F2的坐標(biāo)為(c,0).由|AB|=|F1F2|,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,則=.所以,橢圓的離心率e=.(2)由(1)知a2=2c2,b2=c2.故橢圓方程為+=1.設(shè)P(x0,y0).由F1(-c,0),B(0,c),有=(x0+c,y0),=(c,c).由已知,有=0,即(x0+c)c+y0c=0.又c0,故有x0+y0+c=0.因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上,故+=1.由和可得3+4cx0=0.而點(diǎn)P不是橢圓的頂點(diǎn),故x0=-c,代入得y0=,即點(diǎn)P的坐標(biāo)為.設(shè)圓的圓心為T(x1,y1),則x1=-c,y1=c,進(jìn)而圓的半徑r=c.由已知,有|TF2|2=|MF2|2+r2,又|MF2|=2,故有+=8+c2,解得c2=3.所以,所求橢圓的方程為+=1.8.(xx課標(biāo),20,12分)設(shè)F1,F2分別是橢圓C:+=1(a>b>0)的左,右焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直.直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.(1)若直線MN的斜率為,求C的離心率;(2)若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.解析(1)根據(jù)c=及題設(shè)知M,2b2=3ac.將b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得=或=-2(舍去).故C的離心率為.(2)由題意,知原點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn),MF2y軸,所以直線MF1與y軸的交點(diǎn)D(0,2)是線段MF1的中點(diǎn),故=4,即b2=4a,由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.設(shè)N(x1,y1),由題意知y1<0,則即代入C的方程,得+=1.將及c=代入得+=1.解得a=7,b2=4a=28.故a=7,b=2.