2019年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編 D單元 數(shù)列（含解析）.doc

2019年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編 D單元 數(shù)列（含解析）目錄D單元數(shù)列1D1 數(shù)列的概念與簡單表示法1D2 等差數(shù)列及等差數(shù)列前n項和1D3等比數(shù)列及等比數(shù)列前n項和1D4數(shù)列求和1D5 單元綜合1 D1 數(shù)列的概念與簡單表示法【浙江寧波高一期末xx】6. 已知數(shù)列滿足，則 2 【知識點】遞推關(guān)系式;數(shù)列的周期性.【答案解析】B解析 ：解：因為，所以由已知可得可以判斷出數(shù)列是以4為周期的數(shù)列，故故選：B.【思路點撥】利用遞推關(guān)系式依次求值，判斷出數(shù)列是以4為周期的數(shù)列即可.【浙江寧波高一期末xx】2.數(shù)列：、3、9、的一個通項公式是() () () ()【知識點】數(shù)列的概念及簡單表示法;數(shù)列的通項公式.【答案解析】B解析 ：解：設(shè)此數(shù)列的通項公式為an，奇數(shù)項為負(fù)數(shù)，偶數(shù)項為正數(shù)，符號為每一項的絕對值為，故其通項公式公式為.故答案為; B.【思路點撥】對每一項按符號和其絕對值分別討論即可得出D2 等差數(shù)列及等差數(shù)列前n項和【重慶一中高一期末xx】1. 已知等差數(shù)列中， ，則其公差是（ ） A 6 B 3 C 2 D 1【知識點】等差數(shù)列的性質(zhì);等差數(shù)列的通項公式【答案解析】D解析 ：解：等差數(shù)列an中，即,故選：D.【思路點撥】將兩式，作差，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)建立公差的等式，解之即可【浙江寧波高一期末xx】4.等差數(shù)列的前項和為，若，則 12 16【知識點】等差數(shù)列的性質(zhì)【答案解析】A解析 ：解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可知仍然成等差數(shù)列，所以，即，解得.【思路點撥】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)仍然成等差數(shù)列，根據(jù)仍然成等差數(shù)列進而代入數(shù)值可得答案【文浙江紹興一中高二期末xx】9設(shè)函數(shù)，則的值為（ ）A B C D【知識點】等差數(shù)列前n項和；誘導(dǎo)公式.【答案解析】C解析 ：解：因為，所以，則= += + =4027+ =.故選：C.【思路點撥】把值依次代入原式，轉(zhuǎn)化為兩部分的和，第一部分利用等差數(shù)列前n項和公式求和，而第二部分則利用誘導(dǎo)公式化簡，第三部分常數(shù)列求和，最后相加即可.【理浙江紹興一中高二期末xx】8設(shè)函數(shù)，則的值為A B2014 Cxx D0【知識點】等差數(shù)列前n項和；誘導(dǎo)公式.【答案解析】A解析 ：解：因為，所以，則= += + =4027+ =4027.故選：A.【思路點撥】把值依次代入原式，轉(zhuǎn)化為兩部分的和，第一部分利用等差數(shù)列前n項和公式求和，而第二部分則利用誘導(dǎo)公式化簡，最后相加即可.【理浙江寧波高二期末xx】11.等差數(shù)列的前項和為,若,則的值是 【知識點】等差數(shù)列的性質(zhì)；等差數(shù)列的前n項和【答案解析】28解析 ：解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：,故答案為28【思路點撥】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：,再利用其前n項和公式即可得出【理廣東惠州一中高三一調(diào)xx】4已知等差數(shù)列的前項和為，若，則 ( ) 【知識點】等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式.【答案解析】D 解析 ：解：由題意，等差數(shù)列中，所以，故選.【思路點撥】先應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)得，再應(yīng)用等差數(shù)列求和公式求和.【黑龍江哈六中高一期末xx】22（本小題滿分12分）各項均不為零的數(shù)列的前項和為，且，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，設(shè)，若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍【知識點】等差數(shù)列的性質(zhì)；等差數(shù)列的通項公式；遞推關(guān)系式；數(shù)列的單調(diào)性.【答案解析】（1）（2）解析 ：解：（1）當(dāng)時，由可得，即2分又，且，所以是以3為首項，以3為公差的等差數(shù)列，所以，所以，.4分當(dāng)時，所以6分（2）由，所以 所以，所以單調(diào)遞增10分所以，所以12分【思路點撥】（1）把已知條件變形后得，可判斷出是以3為首項，以3為公差的等差數(shù)列，進而可求出的通項公式；（2）利用判斷單調(diào)性后再求的取值范圍即可.【福建南安一中高一期末xx】11. 若數(shù)列滿足(nN*，為常數(shù))，則稱數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”已知正項數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”，且，則的最大值是 ( ) A10 B100 C200 D400【知識點】等差數(shù)列的概念、等差數(shù)列的性質(zhì)與基本不等式求最值【答案解析】B解析：解：因為正項數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”，則，即數(shù)列為等差數(shù)列，由等差數(shù)列的性質(zhì)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即該數(shù)列為常數(shù)列時等號成立，所以選B.【思路點撥】根據(jù)所給的新定義可得到數(shù)列為等差數(shù)列，從所給的項的項數(shù)特征可發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的性質(zhì)特征，利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可得到則，再由和為定值求積的最大值利用基本不等式解答即可.【文江西鷹潭一中高一期末xx】11等差數(shù)列的前三項為，此數(shù)列的通項公式=_ 【知識點】等差數(shù)列的性質(zhì)；等差數(shù)列的通項公式【答案解析】 解析 ：解：已知等差數(shù)列an的前三項依次為a1，a+1，2a+3，故有2（a+1）=a1+2a+3，解得a=0，故等差數(shù)列an的前三項依次為1，1，3，故數(shù)列是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，故通項公式an=1+（n1）2=2n3，故答案為.【思路點撥】由條件可得2（a+1）=a1+2a+3，解得a=0，故可得等差數(shù)列an的前三項，由此求得數(shù)列的通項公式【文江西省鷹潭一中高二期末xx】7已知數(shù)列滿足，且，則的值是( )A B C5 D【知識點】等差數(shù)列的性質(zhì)；對數(shù)的運算性質(zhì)【答案解析】A 解析 ：解：，且數(shù)列為公比的等比數(shù)列，設(shè)首項為a，則=-5故答案為：-5【思路點撥】利用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡，得到確定出數(shù)列an為公比的等比數(shù)列，設(shè)首項為a，化簡已知的等式，得到一個等式，將所求式子的真數(shù)利用等比數(shù)列的性質(zhì)化簡后，把得出的等式代入，利用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡，即可求出值【理浙江溫州十校期末聯(lián)考xx】16已知數(shù)列滿足遞推關(guān)系式 (nN*)，且為等差數(shù)列，則的值是_【知識點】等差數(shù)列的應(yīng)用; 數(shù)列遞推式【答案解析】 解析 ：解：若為等差數(shù)列，則，為常數(shù)，即，則-1-2=0，解得=-1，故答案為：-1 【思路點撥】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式，結(jié)合等差數(shù)列的定義即可得到結(jié)論【理吉林一中高二期末xx】9. 已知數(shù)列是等差數(shù)列,且,則的值為（）ABCD【知識點】等差中項；等差數(shù)列的性質(zhì)；特殊角的三角函數(shù)值.【答案解析】A 解析 ：解：, .【思路點撥】先利用等差中項公式解得，求，即求，代入可得結(jié)果.【江西鷹潭一中高一期末xx】11等差數(shù)列的前三項為，此數(shù)列的通項公式=_ 【知識點】等差數(shù)列的性質(zhì)；等差數(shù)列的通項公式【答案解析】 解析 ：解：已知等差數(shù)列an的前三項依次為a1，a+1，2a+3，故有2（a+1）=a1+2a+3，解得a=0，故等差數(shù)列an的前三項依次為1，1，3，故數(shù)列是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，故通項公式an=1+（n1）2=2n3，故答案為.【思路點撥】由條件可得2（a+1）=a1+2a+3，解得a=0，故可得等差數(shù)列an的前三項，由此求得數(shù)列的通項公式【吉林一中高一期末xx】2. 的三個內(nèi)角ABC成等差數(shù)列，則一定是（）A直角三角形B等邊三角形C非等邊銳角三角形D鈍角三角形【知識點】等差中項的定義；向量的數(shù)量積的運算；兩個向量垂直的充要條件.【答案解析】B 解析 ：解：的三個內(nèi)角ABC成等差數(shù)列，所以，又，所以，.設(shè)為邊上的中點,則,又,所以，即，故ABC為等邊三角形，故選B【思路點撥】先由三個內(nèi)角ABC成等差數(shù)列得到 ，然后利用，得到，進而得到結(jié)論.D3等比數(shù)列及等比數(shù)列前n項和【浙江寧波高一期末xx】17.在數(shù)列中， （），把數(shù)列的各項按如下方法進行分組：()、()、()、，記為第組的第個數(shù)（從前到后），若=，則_.【知識點】等比數(shù)列的性質(zhì);數(shù)列的函數(shù)特性【答案解析】10 解析 ：解：，數(shù)列是等比數(shù)列，又，而根據(jù)條件中的分組可知，第組有項，前組總共有項，即，又，窮舉即可得或，.【思路點撥】利用已知條件得到與，然后解不定方程即可.【文浙江紹興一中高二期末xx】18（本題滿分10分）已知數(shù)列的首項，（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2） 若，求最大的正整數(shù)【知識點】構(gòu)造新數(shù)列；等比數(shù)列的前n項和公式.【答案解析】（）見解析（）99解析 ：解：（），且，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.（）由（）可求得，.，若，則.【思路點撥】（）把已知條件構(gòu)造成新數(shù)列即可；（）對數(shù)列求和后解不等式即可.【文浙江紹興一中高二期末xx】4設(shè)是等比數(shù)列，則“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的（ ） A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件【知識點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；等比數(shù)列的性質(zhì)【答案解析】B解析 ：解：是等比數(shù)列，由“”可知公比可以為負(fù)數(shù)，數(shù)列不一定是遞增數(shù)列，故充分性不成立若數(shù)列是遞增數(shù)列，則一定有，故必要性成立綜上，“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的必要不充分條件，故選：B【思路點撥】利用是等比數(shù)列，結(jié)合充要條件的判斷方法，即可得出結(jié)論【典型總結(jié)】本題考查充分條件、必要條件的定義，遞增數(shù)列的定義，判斷充分性是解題的難點.【文浙江寧波高二期末xx】6數(shù)列的首項為1，數(shù)列為等比數(shù)列，且，若則（ ） A. B. C. 1 D. 2 【知識點】等比數(shù)列的性質(zhì).【答案解析】A解析 ：解：由題意可得設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則解得即解得故選：A【思路點撥】由題意可得代入可得進而可得的值.【理浙江紹興一中高二期末xx】18（本題滿分10分）已知數(shù)列的首項，（）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（）若，求最大的正整數(shù)【知識點】構(gòu)造新數(shù)列；等比數(shù)列的前n項和公式.【答案解析】（）見解析（）99解析 ：解：（），且，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.（）由（）可求得，.，若，則.【思路點撥】（）把已知條件構(gòu)造成新數(shù)列即可；（）對數(shù)列求和后解不等式即可.【理吉林長春十一中高二期末xx】10.數(shù)列的首項為1，數(shù)列為等比數(shù)列且，若，則（ ） A. 20 B. 512 C. 1013 D. 1024【知識點】等比數(shù)列的性質(zhì).【答案解析】D解析 ：解：由，且，得，數(shù)列bn為等比數(shù)列，故選D【思路點撥】由，且，通過變形轉(zhuǎn)化，把數(shù)列an的項用數(shù)列bn中的項表示，然后利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解【黑龍江哈六中高一期末xx】19（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列的公差大于0，且是方程的兩根，數(shù)列的前項的和為，且（1）求數(shù)列，的通項公式； （2） 記,求數(shù)列的前項和【知識點】等差數(shù)列的通項公式；等比數(shù)列的通項公式；【答案解析】（1）（2）解析 ：解：（1）是方程的兩根，且數(shù)列的公差，公差.又當(dāng)時，有，.當(dāng)n2時，有， (n2).數(shù)列是等比數(shù)列，b1，q.（2）由（1）知，由倍差法求和可得.【思路點撥】（1）根據(jù)是方程的兩根，求得和，則公差可求，進而求得數(shù)列的通項公式，代入中根據(jù)求得n2時判斷出其為等比數(shù)列，公比為進而根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求得（2）用倍差法求數(shù)列的前n和.【福建南安一中高一期末xx】22. 已知數(shù)列的首項. （1）求證：是等比數(shù)列，并求出的通項公式；（2）證明：對任意的；（3）證明：.【知識點】等比數(shù)列的定義，不等式的證明，等比數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用【答案解析】略，解析：證明：（1），又所以是以為首項，以為公比的等比數(shù)列 （2）由（1）知（3）先證左邊不等式，由知；當(dāng)時等號成立；再證右邊不等式，由（2）知，對任意，有，取，則【思路點撥】一般證明數(shù)列是等比數(shù)列，可結(jié)合定義只需證明等于常數(shù)即可，在證明不等式中放縮法是常用的方法，本題第2問先通過對右邊湊項出現(xiàn)，再利用放縮法進行證明，第3問在第二問的基礎(chǔ)上先利用不等式的性質(zhì)得到數(shù)列的和滿足的不等式，再利用放縮法證明.【福建南安一中高一期末xx】10. 已知等差數(shù)列的公差，且成等比數(shù)列，則的值是 （ ）A. B. C. D.【知識點】等差數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的定義【答案解析】A解析：解：因為，則有，因為公差不等于0，得，所以，則選A.【思路點撥】可用等差數(shù)列的通項公式求出第一、三、九項，再利用等比數(shù)列的定義得出等差數(shù)列的首項與公差的關(guān)系，把所求的分式的分子與分母都用等差數(shù)列的首項表示，即可求其比值.【福建南安一中高一期末xx】5. 在等比數(shù)列中，已知前n項和=，則的值為（ ）A1 B1 C 5 D-5【知識點】等比數(shù)列的前n項和【答案解析】D 解析：解：因為，由等比數(shù)列的前n項和的特征可知a=5，所以選D.【思路點撥】當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比不為1時其前n項和公式為，其常數(shù)項與系數(shù)互為相反數(shù).【福建南安一中高一期末xx】2. 公比為的等比數(shù)列的各項都是正數(shù)，且，則= （ ）A. B. C. D.【知識點】等比數(shù)列的性質(zhì)及等比數(shù)列的定義【答案解析】B 解析：解：由等比數(shù)列的性質(zhì)得，又?jǐn)?shù)列的各項都是正數(shù)，所以=4，由等比數(shù)列的定義得=2，所以選B.【思路點撥】先觀察所給的項的項數(shù)，發(fā)現(xiàn)可利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出數(shù)列的第7項，再結(jié)合公比為2，利用等比數(shù)列的定義求第六項【文浙江溫州十校期末聯(lián)考xx】7設(shè)等比數(shù)列的前n項和為。若，,則( )A24 B12 C18 D22【知識點】等比數(shù)列的性質(zhì)【答案解析】B 解析 ：解：設(shè)S，則，故選：B 【思路點撥】設(shè)，則，利用，即可【文江西鷹潭一中高一期末xx】4等比數(shù)列an的前n項和為Sn，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，則a1=（ ）A B. C D 【知識點】等比數(shù)列的前n項和【答案解析】C解析 ：解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，解得,故選C【思路點撥】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，利用已知和等比數(shù)列的通項公式即可得到與的關(guān)系式，解出即可【文江西省鷹潭一中高二期末xx】17（本小題滿分12分）公差不為零的等差數(shù)列中，又成等比數(shù)列.（）求數(shù)列的通項公式.（）設(shè)，求數(shù)列的前n項和.【知識點】等比數(shù)列的性質(zhì); 等比數(shù)列的前n項和公式.【答案解析】（）（）解析 ：解：（）等差數(shù)列an中，成等比數(shù)列，即 -2分整理得：即 -4分又則數(shù)列an的通項公式為 -6分（）由（）得，因為 -9分所以是以為首項，以8為公比的等比數(shù)列，所以 -12分【思路點撥】（）由等差數(shù)列an中成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，再利用等差數(shù)列的通項公式化簡，得出首項與公差的關(guān)系，根據(jù)a3的值，確定出首項與公差，即可得到等差數(shù)列的通項公式；（II）由 (nN*)知，數(shù)列是一個等比數(shù)列，故求出其首項與公比，代入等比數(shù)列的前n項和公式即可.【文江西省鷹潭一中高二期末xx】5已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，則等于 ( )A B C D【知識點】等比數(shù)列的性質(zhì)；等差數(shù)列的通項公式【答案解析】A 解析 ：解：由題意可得即解之可得故.故選A. 【思路點撥】根據(jù)題意可得，解之可得a1=3，由等差數(shù)列的通項公式可得【理浙江溫州十校期末聯(lián)考xx】7設(shè)等比數(shù)列的前n項和為。若，,則( )A24 B12 C18 D22【知識點】等比數(shù)列的性質(zhì)【答案解析】B 解析 ：解：設(shè)S，則，故選：B 【思路點撥】設(shè)，則，利用，即可D4數(shù)列求和【浙江寧波高一期末xx】15.已知數(shù)列是首項為3，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列是首項為，公比也為的等比數(shù)列，其中，那么數(shù)列的前項和_.【知識點】錯位相減法求數(shù)列的和.【答案解析】解析 ：解：由題意可得，得，-，可得.故答案為：.【思路點撥】由題意可求出數(shù)列，數(shù)列的通項公式，再利用錯位相減法求數(shù)列的和即可.【理江蘇揚州中學(xué)高二期末xx】24（本小題滿分10分）已知數(shù)列為，表示，1 若數(shù)列為等比數(shù)列，求；若數(shù)列為等差數(shù)列，求【知識點】數(shù)列的求和;等差數(shù)列與等比數(shù)列【答案解析】見解析；見解析解析 ：解：，所以 4分，因為，兩邊同乘以，則有，兩邊求導(dǎo)，左邊，右邊，即（*），對（*）式兩邊再求導(dǎo)，得取，則有所以 10分【思路點撥】（1）由已知條件得，由此利用分組求和法能求出結(jié)果（2）由已知條件得，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出結(jié)果【理吉林長春十一中高二期末xx】16.定義在上的函數(shù)滿足：當(dāng)時，；.設(shè)關(guān)于的函數(shù)的零點從小到大依次為.若，則_.（用表示）【知識點】進行簡單的合情推理；函數(shù)的零點；數(shù)列的求和【答案解析】解析 ：解：當(dāng)時，；當(dāng)時，則，由可知：同理，當(dāng)時，當(dāng)時，由，可得，；同理，當(dāng)時，由，可得，；此時當(dāng)時則在區(qū)間和上各有一個零點，分別為，且滿足，依此類推：，當(dāng)時，故答案為：【思路點撥】當(dāng)時，不必考慮利用已知可得：當(dāng)時，由，可得，；同理，當(dāng)時，；此時分別找出，則在區(qū)間和上各有一個零點，分別為，且滿足，依此類推，利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出【福建南安一中高一期末xx】19. 已知數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列中，點在直線上（1）求數(shù)列的通項和；(2) 設(shè)，求數(shù)列的前n項和【知識點】等差數(shù)列，等比數(shù)列，數(shù)列求和【答案解析】（1）（2）解析：解：（1） . ；（2）因此：即：.【思路點撥】一般遇到數(shù)列的前n項和與通項的遞推公式，通常利用關(guān)系式轉(zhuǎn)化成單一的項的遞推關(guān)系或單一的前n項和的遞推關(guān)系，再利用特殊數(shù)列-等差數(shù)列或等比數(shù)列求通項公式；遇到數(shù)列求和問題先明確其通項公式，結(jié)合通項公式特征確定求和思路.【福建南安一中高一期末xx】16. 已知函數(shù)，且，則_.【知識點】函數(shù)的概念，數(shù)列求和【答案解析】1003解析：解：因為，所以.【思路點撥】一般遇到數(shù)列求和問題，通常先確定其通項公式，因為函數(shù)f(n)為分段函數(shù)，所以可對所求數(shù)列分段求其通項公式，最后結(jié)合通項公式特征用并項求和法求和即可.【福建南安一中高一期末xx】12. 設(shè)是定義在上的函數(shù)，若 ，且對任意，滿足，則= （ ）A B C D【知識點】函數(shù)的概念、數(shù)列累加求和的應(yīng)用、等比數(shù)列前n項和公式【答案解析】D解析：解：由f（x+2）-f（x）32 x，f（x+6）-f（x）632 x可得f（x+6）-f（x+2）602 x=152 x+2，即f（x+4）-f（x）152 x，由f（x+2）-f（x）32x，得f（x+4）-f（x+2）32 x+2，兩者相加得，得f（x+4）-f（x）152x，所以f（x+4）-f（x）=152x，則f（4）-f（0）=15，f（8）-f（4）=15，f（12）-f（8）=15，f（xx）-f（xx）=15，上述式子兩邊分別相加得f（xx）-f（0）=15=，所以f（xx）=，則選D【思路點撥】先利用所給的函數(shù)的不等關(guān)系通過對x的代換及不等式的性質(zhì)得到一個等量關(guān)系f（x+4）-f（x）=152x，再借助于數(shù)列的累加求和求通項公式的方法求f（xx）.【文浙江溫州十校期末聯(lián)考xx】19.（本題滿分12分）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，設(shè)為數(shù)列的前項和.【知識點】數(shù)列的求和；等差數(shù)列的性質(zhì)【答案解析】（1）an2n1（2）Tn3. 解析 ：解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的首項為a1，公差為d.由S44S2，a42a21得解得a11，d2. 4分因此an2n1，nN*. v 5分(2)由已知，nN*，由(1)知an2n1，nN*，所以bn，nN*. 6分又Tn，Tn，兩式相減得Tn 9分，所以Tn3. 12分【思路點撥】（1）由已知條件得，由此能求出an=2n-1（2）由已知得bn，利用錯位相減法求出Tn即可【文吉林一中高二期末xx】22. 數(shù)列的前n項和為,存在常數(shù)A,B,C,使得對任意正整數(shù)n都成立.若數(shù)列為等差數(shù)列,求證:3A-B+C=0;若設(shè)數(shù)列的前n項和為,求;若C=0,是首項為1的等差數(shù)列,設(shè),求不超過P的最大整數(shù)的值.【知識點】數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和【答案解析】見解析解析 ：解：因為為等差數(shù)列,設(shè)公差為,由, 得, 即對任意正整數(shù)都成立. 所以所以. 因為,所以, 當(dāng)時, 所以,即, 所以,而, 所以數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列,所以. 于是.所以, 由, 得. 所以. 因為是首項為的等差數(shù)列,由知,公差,所以. 而 , 所以, 所以,不超過的最大整數(shù)為. 【思路點撥】（1）先根據(jù)條件都轉(zhuǎn)化為首項和公差的形式，再根據(jù)等差數(shù)列的前n項和Sn所滿足的條件即可得到結(jié)論（2）先根據(jù)前n項和Sn以及通項之間的關(guān)系求出an的通項，進而得到數(shù)列nbn的通項，再結(jié)合錯位相減法即可求出Tn；（3）先根據(jù)條件求出an的通項；進而根據(jù)裂項求和法求出P的表達式，即可得到結(jié)論 【理浙江溫州十校期末聯(lián)考xx】19.（本題滿分12分）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，設(shè)為數(shù)列的前項和，試比較與的大小.【知識點】數(shù)列的求和；等差數(shù)列的性質(zhì)【答案解析】（1）an2n1（2）Tn<3解析 ：解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的首項為a1，公差為d.由S44S2，a42a21得解得a11，d2. 4分因此an2n1，nN*. v 5分(2)由已知，nN*， 由(1)知an2n1，nN*，所以bn，nN*. 6分又Tn，Tn，兩式相減得Tn 9分，所以Tn3. 11分故Tn<3 12分【思路點撥】（1）由已知條件得，由此能求出an=2n-1（2）由已知得bn，利用錯位相減法求出Tn3，從而能得到Tn3D5 單元綜合【重慶一中高一期末xx】21. （本小題滿分12分）已知數(shù)列滿足：（1）若數(shù)列是以常數(shù)為首項，公差也為的等差數(shù)列，求的值；（2）若，求證：對任意都成立；（3）若，求證：對任意都成立；【知識點】數(shù)列遞推式;數(shù)列與不等式的結(jié)合;放縮法.【答案解析】（1）（2）見解析（3）見解析解析 ：解：（1）由題意，又由得，即對一切成立，所以 （2）由得，兩邊同除以得（3），將代入，得 由得，所以，所以從而又由得所以，從而，綜上，【思路點撥】（1）由得：，從而可求的求得a1=0；（2）由得，兩邊同除以可得結(jié)論（3）由（2）可知，再進行放縮,可證得結(jié)論【重慶一中高一期末xx】16.（本小題滿分13分）在等比數(shù)列中，且，成等差數(shù)列.（1）求； （2）令，求數(shù)列的前項和.【知識點】等差、等比數(shù)列的通項與性質(zhì)；等差數(shù)列的前n項和公式；對數(shù)的運算法則.【答案解析】（1）（2）解析 ：解：（1）設(shè)的公比為，由，成等差數(shù)列，得.又，則，解得. （ ）. （2），是首項為0，公差為1的等差數(shù)列，它的前項和. 【思路點撥】（1）設(shè)an的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式與等差中項的定義，建立關(guān)于q的等式解出q=2，即可求出an的通項公式（2）根據(jù)（I）中求出的an的通項公式，利用對數(shù)的運算法則算出bn=n-1，從而證出bn是首項為0、公差為1的等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的前n項和公式加以計算，可得數(shù)列bn的前n項和Sn的表達式【重慶一中高一期末xx】15. (原創(chuàng)) 數(shù)列滿足,則的最小值是 【知識點】構(gòu)造新數(shù)列；等差數(shù)列的性質(zhì).【答案解析】解析 ：解：因為，整理得：，兩邊同時除以可得：，則數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，所以，即，當(dāng)時，當(dāng)時，故的最小值是.故答案為：.【思路點撥】先把原式變形構(gòu)造新數(shù)列進而判斷即可.【重慶一中高一期末xx】8.設(shè)是公比為的等比數(shù)列，令，若數(shù)列的連續(xù)四項在集合中，則等于( )ABC或D或【知識點】遞推公式的應(yīng)用；等比數(shù)列的性質(zhì)【答案解析】C解析 ：解：bn有連續(xù)四項在-53，-23，19，37，82中且bn=an+1 an=bn-1則an有連續(xù)四項在-54，-24，18，36，81中an是等比數(shù)列，等比數(shù)列中有負(fù)數(shù)項則q0，且負(fù)數(shù)項為相隔兩項等比數(shù)列各項的絕對值遞增或遞減，按絕對值的順序排列上述數(shù)值18，-24，36，-54，81相鄰兩項相除則可得，-24，36，-54，81是an中連續(xù)的四項，此時q= ,同理可求q= q=或 q= .故選B【思路點撥】根據(jù)bn=an+1可知 an=bn-1，依據(jù)bn有連續(xù)四項在-53，-23，19，37，82中，則可推知則an有連續(xù)四項在-54，-24，18，36，81中，按絕對值的順序排列上述數(shù)值，可求an中連續(xù)的四項，求得q.【浙江寧波高一期末xx】22.（本題滿分15分）設(shè)數(shù)列的首項，前項和為，且、成等差數(shù)列，其中.()求數(shù)列的通項公式；()數(shù)列滿足：，記數(shù)列的前項和為,求及數(shù)列的最大項.【知識點】數(shù)列的通項公式；裂項相消法求數(shù)列的和；數(shù)列單調(diào)性的判斷.【答案解析】() () 數(shù)列的的最大項是.解析 ：解：() 由、成等差數(shù)列知，1分當(dāng)時，所以， 4分當(dāng)時，由得， 5分綜上知，對任何,都有,又，所以，.6分所以數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，所以. 7分() 10分 ，12分，當(dāng)時，即；當(dāng)時，也有，但；當(dāng)時，即.所以數(shù)列的的最大項是. 15分【思路點撥】（1）根據(jù)題意可知，考慮到當(dāng)時，因此可以結(jié)合條件消去得到數(shù)列的遞推公式：當(dāng)時，容易驗證當(dāng)時，上述關(guān)系式也成立，從而數(shù)列的通項公式；（2）根據(jù)（1）中求得的通項公式，結(jié)合條件采用裂項相消法來求其前項和，再利用作差法判斷數(shù)列的單調(diào)性，可知，從而得到結(jié)果.【文浙江寧波高二期末xx】19（本小題滿分14分） 已知數(shù)列的前n項和 (n為正整數(shù))。（1）令，求證數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式，并求數(shù)列的前n項和【知識點】數(shù)列遞推式；數(shù)列的概念及簡單表示法;錯位相減法.【答案解析】（1）見解析（2）解析 ：解：（1）在中令可得即.1分當(dāng)時. 3分即. 4分. 5分 又?jǐn)?shù)列是首項和公差均為1的等差數(shù)列. 7分（2）于是 9分11分13分14分【思路點撥】（1）整理題設(shè)遞推式得進而表示出，進而根據(jù)，求得和的遞推式，整理得，進而根據(jù)求得，進而根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷出數(shù)列為等差數(shù)列（2）利用錯位相減法即可.【文四川成都高三摸底xx】16（本小題滿分12分） 已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且a2=3，S7=49，nN*。 （I）求數(shù)列an的通項公式； （）設(shè)，求數(shù)列bn的前n項和Tn【知識點】等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式【答案解析】（I）；（）.解析：解：（I）設(shè)公差為d，因為，解得，所以，即所求數(shù)列的通項公式為；（）由（I）得，所以【思路點撥】在解答題中一般遇到等差數(shù)列與等比數(shù)列通常利用其通項公式與求和公式列出首項與公差或公比的方程組，通過解方程組求出首項與公差或公比再進行解答.【文廣東惠州一中高三一調(diào)xx】19（本小題滿分14分）已知等差數(shù)列的首項公差且分別是等比數(shù)列的（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列對任意正整數(shù)均有成立，求的值.【知識點】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合；數(shù)列的求和【答案解析】（1）（2）解析 ：解：（1），且成等比數(shù)列， ，即， 2分 4分又6分（2）， ，即，又， 得 9分，11分則 14分【思路點撥】（1）利用等差數(shù)列的通項公式將用an的首項與公差表示，再據(jù)此三項成等比數(shù)列，列出方程，求出公差，利用等差數(shù)列及等比數(shù)列的通項公式求出數(shù)列與的通項公式（2）利用數(shù)列的第n項等于前n項和減去前n-1項的和求出，進一步求出cn，利用錯位相減法求和【理重慶一中高二期末xx】22、(12分)已知正項數(shù)列滿足（1） 判斷數(shù)列的單調(diào)性；（2） 求證：【知識點】數(shù)列的單調(diào)性；裂項相消法；放縮法證明不等式.【答案解析】（1）數(shù)列為遞增數(shù)列. (2)見解析解析 ：解：（1），即 故數(shù)列為遞增數(shù)列.(2) 不妨先證再證：.當(dāng)時，.易驗證當(dāng)n=1時,上式也成立.綜上,故有成立.【思路點撥】（1）利用已知條件判斷出即可；（2）先證通分整理即可；再證：利用放縮法以及裂項相消法即可得到結(jié)論.【理浙江紹興一中高二期末xx】14已知數(shù)列為等差數(shù)列，首項，公差，若成等比數(shù)列，且，則 【知識點】等差、等比數(shù)列的基本性質(zhì)；等差、等比數(shù)列的通項公式.【答案解析】14解析 ：解：設(shè)因為成等比數(shù)列，且，即成等比數(shù)列，所以，即，解得，故，而成等比數(shù)列，即成等比數(shù)列得，則有，把，代入解得.故答案為：14.【思路點撥】先由成等比數(shù)列求出公差，再由等比數(shù)列的性質(zhì)得到，最后借助于等差數(shù)列的通項公式求出【理浙江寧波高二期末xx】20.(本題滿分14分)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,且是與的等比中項,前n項和為;數(shù)列是等差數(shù)列,=8,其前n項和滿足(為常數(shù),且1)（I）求數(shù)列的通項公式及的值；（II）比較與的大小【知識點】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合；數(shù)列的求和【答案解析】（I）；（II）解析 ：解：（）由題意，可得，即，解之得=，數(shù)列an的通項公式為，又， ，即，解得或，為常數(shù)，且，；（）由（）知：， -又，可得【思路點撥】（I）根據(jù)是與的等比中項，建立關(guān)于的方程，解出=，從而得出數(shù)列的通項公式再由建立關(guān)于的公差d與的方程組，解之即可得到實數(shù)的值；（II）由（I）的結(jié)論，利用等比數(shù)列的求和公式算出的表達式，從而得到=-由等差數(shù)列的通項與求和公式算出的前n項和，利用裂項求和的方法算出結(jié)果，再將兩式加以比較，即可得到所求的大小關(guān)系【理浙江寧波高二期末xx】10.對數(shù)列,如果成立,則稱為階遞歸數(shù)列給出下列三個結(jié)論： 若是等比數(shù)列,則為1階遞歸數(shù)列； 若是等差數(shù)列,則為2階遞歸數(shù)列； 若數(shù)列的通項公式為an=n2,則為3階遞歸數(shù)列 其中正確結(jié)論的個數(shù)是 ( ) A0 B1 C2 D3【知識點】k階遞歸數(shù)列的定義; 數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用; 復(fù)合命題的真假【答案解析】D解析 ：解：是等比數(shù)列，使成立，為1階遞歸數(shù)列，故成立；是等差數(shù)列，使成立，為2階遞歸數(shù)列，故成立；若數(shù)列an的通項公式為，使成立，為3階遞歸數(shù)列，故成立故選D【思路點撥】利用等差數(shù)列、等比數(shù)列和數(shù)列的通項公式為的性質(zhì)，根據(jù)k階遞歸數(shù)列的定義，逐個進行判斷，能夠求出結(jié)果【理四川成都高三摸底xx】16（本小題滿分12分） 已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且a2=3，S7=49，nN*。 （I）求數(shù)列an的通項公式； （）設(shè)，求數(shù)列bn的前n項和Tn【知識點】等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式【答案解析】（I）；（）.解析：解：（I）設(shè)公差為d，因為，解得，所以，即所求數(shù)列的通項公式為；（）由（I）得，所以【思路點撥】在解答題中一般遇到等差數(shù)列與等比數(shù)列通常利用其通項公式與求和公式列出首項與公差或公比的方程組，通過解方程組求出首項與公差或公比再進行解答.【理廣東惠州一中高三一調(diào)xx】19（本小題滿分14分）已知數(shù)列中，前項和(1) 求數(shù)列的通項公式；(2) 設(shè)數(shù)列的前項和為，是否存在實數(shù)，使得對一切正整數(shù)都成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由【知識點】遞推公式法求通項，裂項相消法求和.【答案解析】(1) (2) 解析 ：解：（1）（解法一） 3分整理得 兩式相減得 5分即 ，即 7分 數(shù)列是等差數(shù)列 且，得，則公差 8分（解法二） 3分整理得等式兩邊同時除以得 ， 5分即 6分累加得 得 8分（2） 由（1）知 10分 12分 則要使得對一切正整數(shù)都成立，只要，所以只要 存在實數(shù)，使得對一切正整數(shù)都成立，且的最小值為14分【思路點撥】（1）當(dāng)遇到和的關(guān)系式為遞推公式時，常用思維是化“單一”，只含項或只含和的形式，然后再尋求概念或裂項相消法進一步求通項；（2）先裂項相消求和，再放縮法即可得結(jié)果.【文江西鷹潭一中高一期末xx】20.（本題13分）數(shù)列中，a1=1，前n項和是sn，sn=2an-1，。（1）求出a2，a3，a4； (2)求通項公式；（3）求證：sn sn+2 < 【知識點】數(shù)列與不等式的綜合；等比關(guān)系的確定【答案解析】（1）a2=2 ;a3=4;a4=8; (2) （3）見解析.解析 ：解：（1）a1=1，Sn=2an1，當(dāng)n=2時，a1+a2=2a21，a2=2當(dāng)n=3時，a1+a2+a3=2a31，a3=4當(dāng)n=4時，a1+a2+a3+a4=2a41，a4=8 （3分）(2)Sn=2an1，nN* （1）Sn1=2an11，n2，nN* （2）（1）（2）得an=2an1，數(shù)列an是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，（8分）（3）證明：Sn=2an1=2n1，SnSn+2=（2n1）（2n+21）=22n+22n+22n+1，=22n+22n+2+12n0 SnSn+2（13分）【思路點撥】（1）利用數(shù)列遞推式，代入計算，可求a2，a3，a4；(2)再寫一式，兩式相減，即可求數(shù)列an的通項公式；（3）求出前n項和，代入計算，可以證得結(jié)論【文吉林一中高二期末xx】15. 已知數(shù)列的通項公式為，前n項和為。若對于任意正整數(shù)n，不等式恒成立，則常數(shù)m所能取得的最大整數(shù)為_.【知識點】數(shù)列的求和【答案解析】5 解析 ：解：數(shù)列的通項公式為，前n項和為.=（+）（+）=+，設(shè)則（+）（+）=+0，bn是遞增數(shù)列bn的最小值是b1，不等式恒成立，b1，解得mm的最大值是5故答案為：5【思路點撥】由已知條件，推導(dǎo)出S2nSn=+，設(shè)推導(dǎo)出+0，得到bn的最小值是b1，由此能求出結(jié)果【典型總結(jié)】本題考查數(shù)列前n項和公式的求法和應(yīng)用，綜合性強，難度較大，對數(shù)學(xué)思維能力的要求較高，解題時要注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用【江西鷹潭一中高一期末xx】20（本題13分）數(shù)列中，前n項和是，。（1）求出;(2)求通項公式；（3）求證： 【知識點】數(shù)列與不等式的綜合；等比關(guān)系的確定【答案解析】（1）a2=2 ;a3=4;a4=8; (2) （3）見解析.解析 ：解：（1）a1=1，Sn=2an1，當(dāng)n=2時，a1+a2=2a21，a2=2當(dāng)n=3時，a1+a2+a3=2a31，a3=4當(dāng)n=4時，a1+a2+a3+a4=2a41，a4=8 （3分）(2)Sn=2an1，nN* （1）Sn1=2an11，n2，nN* （2）（1）（2）得an=2an1，數(shù)列an是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，（8分）（3）證明：Sn=2an1=2n1，SnSn+2=（2n1）（2n+21）=22n+22n+22n+1，=22n+22n+2+12n0 SnSn+2（13分）【思路點撥】（1）利用數(shù)列遞推式，代入計算，可求a2，a3，a4；(2)再寫一式，兩式相減，即可求數(shù)列an的通項公式；（3）求出前n項和，代入計算，可以證得結(jié)論