南京航空航天大學(xué)計(jì)算方法期末考試.ppt

第二章非線性方程的數(shù)值解法,常用方法1二分法2一般迭代法3牛頓迭代法4弦截法,根的隔離；誤差估計(jì)；迭代收斂階,2一般迭代法,(1)迭代法,(1)把（1）等價(jià)變換為如下形式,(2)建立迭代格式,(3)適當(dāng)選取初始值x0，遞推計(jì)算出所需的解。,定理2.2（非局部收斂定理）如果在上連續(xù)可微且以下條件滿足：,命題2.2若在區(qū)間內(nèi)，則對任何，迭代格式不收斂。,推論設(shè)x*=g(x*)，若g(x)在x*附近連續(xù)可微且，則迭代格式xk+1=g(xk)在x*附近局部收斂。,(2)迭代法的收斂性,簡單地代之以,(3)迭代法的誤差估計(jì),3牛頓迭代法,其迭代函數(shù)為,4弦截法,第三章線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法,解線性方程組的消去法解線性方程組的矩陣分解法3解線性方程組的迭代法,給定一個(gè)線性方程組,求解向量x。,(1)高斯消去法,1.解線性方程組的消去法,1）消元過程：對k=1,2,n依次計(jì)算,2)回代過程：,這一無回代的消去法稱為高斯-若當(dāng)（Jordan）消去法,(2)高斯-若當(dāng)（Jordan）消去法,高斯-若當(dāng)（Jordan）消去法一般公式：,推論若系數(shù)矩陣嚴(yán)格對角占優(yōu)，即有,(3)選主元素的消去法,主元素的選取通常采用兩種方法：一種是全主元消去法；另一種是列主元消去法。,2解線性方程組的矩陣分解法,一、非對稱矩陣的三角分解法,解兩個(gè)三角形方程組。,矩陣的Crout分解的計(jì)算公式,(3-12),注：,3.3.3對稱正定矩陣的三角分解,定義3.1若n階方矩陣A具有性質(zhì)且對任何n維向量成立，則稱A為對稱正定矩陣。,定理3.4若A為對稱正定矩陣，則(1)A的k階順序主子式(2)有且僅有一個(gè)單位下三角矩陣L和對角矩陣D使得（3-16）這稱為矩陣的喬里斯基（Cholesky）分解。(3)有且僅有一個(gè)下三角矩陣，使（3-17）這稱為分解矩陣的平方根法。,3解線性方程組的迭代法,迭代法思想:(1)Ax=b(3-1),(2)建立迭代格式,這稱為一階定常迭代格式，M稱為迭代矩陣。,約化便得,從而可建立迭代格式,對（3-23）,以分量表示即,(1)、Jacob迭代法,則雅可比迭代格式（3-24）可用矩陣表示為,用矩陣表示為,對雅可比迭代格式修改得,(2)Gauss-Seidel迭代法,例3.10分別用雅可比迭代法和高斯-塞德爾迭代法求解線性方程組,解,相應(yīng)的迭代公式為,雅可比迭代,高斯-塞德爾迭代,令取四位小數(shù)迭代計(jì)算,由雅可比迭代得,由高斯-塞德爾迭代得,定理3.5若一階定常迭代格式（3-26）的迭代矩陣滿足條件,則該迭代格式對任何初始向量均收斂。,迭代法的收斂性,定理3.8一階定常迭代格式對任何初始向量均收斂的充分必要條件為其迭代矩陣的譜半徑小于1，即,這里為M的特征值,第四章函數(shù)的插值與擬合法,1插值多項(xiàng)式的構(gòu)造2最小二乘法,定義4.1設(shè)y=f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，在a,b內(nèi)n+1個(gè)互不相同的點(diǎn)上取值.求一代數(shù)多項(xiàng)式P(x)，使得,則稱P(x)為f(x)的插值函數(shù),1插值多項(xiàng)式,定理4.1在n+1個(gè)互異點(diǎn)上滿足插值條件(4-1)的次數(shù)不超過n次的插值多項(xiàng)式存在且惟一。,兩種插值多項(xiàng)式形式,(1)拉格朗日插值多項(xiàng)式,下列列表函數(shù)的多項(xiàng)式Ln(x),線性插值(n=1)，,拋物插值(n=2),(2)牛頓均差插值多項(xiàng)式,Ln(x)和N(x)插值多項(xiàng)式的余項(xiàng),例：已知列表函數(shù),并計(jì)算f(0.5)的計(jì)算值。,解：,(1)由數(shù)據(jù)表,構(gòu)造均差表,又解：,2數(shù)據(jù)的多項(xiàng)式最小二乘擬合,已知一組數(shù)據(jù)：,-這個(gè)多項(xiàng)式稱為這組數(shù)據(jù)的最小二乘擬合多項(xiàng)式,求最小二乘多項(xiàng)式的步驟,例4.5試對以下數(shù)據(jù)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合,解,