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2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題訓(xùn)練九 第4講 轉(zhuǎn)化與化歸思想 理.doc

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2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題訓(xùn)練九 第4講 轉(zhuǎn)化與化歸思想 理.doc

2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題訓(xùn)練九 第4講 轉(zhuǎn)化與化歸思想 理轉(zhuǎn)化與化歸思想方法,就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化,進(jìn)而得到解決的一種方法一般總是將復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題,將難解的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問(wèn)題,將未解決的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化與化歸思想在高考中占有十分重要的地位,數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決,總離不開(kāi)轉(zhuǎn)化與化歸,如未知向已知的轉(zhuǎn)化、新知識(shí)向舊知識(shí)的轉(zhuǎn)化、復(fù)雜問(wèn)題向簡(jiǎn)單問(wèn)題的轉(zhuǎn)化、不同數(shù)學(xué)問(wèn)題之間的互相轉(zhuǎn)化、實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化等各種變換、具體解題方法都是轉(zhuǎn)化的手段,轉(zhuǎn)化的思想方法滲透到所有的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容和解題過(guò)程中1轉(zhuǎn)化與化歸的指導(dǎo)思想(1)把什么問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,即化歸對(duì)象(2)化歸到何處去,即化歸目標(biāo)(3)如何進(jìn)行化歸,即化歸方法化歸與轉(zhuǎn)化思想是一切數(shù)學(xué)思想方法的核心2常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化與化歸的方法轉(zhuǎn)化與化歸思想方法用在研究、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),思維受阻或?qū)で蠛?jiǎn)單方法或從一種狀況轉(zhuǎn)化到另一種情形,也就是轉(zhuǎn)化到另一種情境使問(wèn)題得到解決,這種轉(zhuǎn)化是解決問(wèn)題的有效策略,同時(shí)也是獲取成功的思維方式常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化方法有:(1)直接轉(zhuǎn)化法:把原問(wèn)題直接轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式或基本圖形問(wèn)題(2)換元法:運(yùn)用“換元”把式子轉(zhuǎn)化為有理式或使整式降冪等,把較復(fù)雜的函數(shù)、方程、不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易于解決的基本問(wèn)題(3)數(shù)形結(jié)合法:研究原問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系(解析式)與空間形式(圖形)關(guān)系,通過(guò)互相變換獲得轉(zhuǎn)化途徑(4)等價(jià)轉(zhuǎn)化法:把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)易于解決的等價(jià)命題,達(dá)到化歸的目的(5)特殊化方法:把原問(wèn)題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化,并證明特殊化后的問(wèn)題、結(jié)論適合原問(wèn)題(6)構(gòu)造法:“構(gòu)造”一個(gè)合適的數(shù)學(xué)模型,把問(wèn)題變?yōu)橐子诮鉀Q的問(wèn)題(7)坐標(biāo)法:以坐標(biāo)系為工具,用計(jì)算方法解決幾何問(wèn)題是轉(zhuǎn)化方法的一個(gè)重要途徑(8)類(lèi)比法:運(yùn)用類(lèi)比推理,猜測(cè)問(wèn)題的結(jié)論,易于確定(9)參數(shù)法:引進(jìn)參數(shù),使原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的形式進(jìn)行解決(10)補(bǔ)集法:如果正面解決原問(wèn)題有困難,可把原問(wèn)題的結(jié)果看做集合A,而把包含該問(wèn)題的整體問(wèn)題的結(jié)果類(lèi)比為全集U,通過(guò)解決全集U及補(bǔ)集UA獲得原問(wèn)題的解決,體現(xiàn)了正難則反的原則.熱點(diǎn)一特殊與一般的轉(zhuǎn)化例1(1)AB是過(guò)拋物線(xiàn)x24y的焦點(diǎn)的動(dòng)弦,直線(xiàn)l1,l2是拋物線(xiàn)兩條分別切于A,B的切線(xiàn),則l1,l2的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為()A1 B4 C D(2)已知函數(shù)f(x)(a>0且a1),則fff的值為_(kāi)答案(1)A(2)解析(1)找特殊情況,當(dāng)ABy軸時(shí),AB的方程為y1,則A(2,1),B(2,1),過(guò)點(diǎn)A的切線(xiàn)方程為y1(x2),即xy10.同理,過(guò)點(diǎn)B的切線(xiàn)方程為xy10,則l1,l2的交點(diǎn)為(0,1)(2)由于直接求解較困難,可探求一般規(guī)律,f(x)f(1x)1,ffff149.思維升華一般問(wèn)題特殊化,使問(wèn)題處理變得直接、簡(jiǎn)單特殊問(wèn)題一般化,可以使我們從宏觀整體的高度把握問(wèn)題的一般規(guī)律,從而達(dá)到成批處理問(wèn)題的效果(1)在ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,若a、b、c成等差數(shù)列,則_.(2)已知函數(shù)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù),且對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有xf(x1)(1x)f(x),則f_.答案(1)(2)0解析(1)根據(jù)題意,所求數(shù)值是一個(gè)定值,故可利用滿(mǎn)足條件的直角三角形進(jìn)行計(jì)算令a3,b4,c5,則ABC為直角三角形,且cos A,cos C0,代入所求式子,得.(2)因?yàn)閤f(x1)(1x)f(x),所以,使f(x)特殊化,可設(shè)f(x)xg(x),其中g(shù)(x)是周期為1的奇函數(shù),再將g(x)特殊化,可設(shè)g(x)sin 2x,則f(x)xsin 2x,經(jīng)驗(yàn)證f(x)xsin 2x滿(mǎn)足題意,則f0.熱點(diǎn)二函數(shù)、方程、不等式之間的轉(zhuǎn)化例2(1)定義運(yùn)算:(ab)xax2bx2,若關(guān)于x的不等式(ab)x<0的解集為x|1<x<2,則關(guān)于x的不等式(ba)x<0的解集為()A(1,2)B(,1)(2,)C.D.(1,)(2)已知函數(shù)f(x)3e|x|.若存在實(shí)數(shù)t1,),使得對(duì)任意的x1,m,mZ且m>1,都有f(xt)3ex,則m的最大值為_(kāi)答案(1)D(2)3解析(1)1,2是方程ax2bx20的兩實(shí)根,12,12,解得由(31)x3x2x2<0,得3x2x2>0,解得x<或x>1.(2)因?yàn)楫?dāng)t1,)且x1,m時(shí),xt0,所以f(xt)3exextext1ln xx.所以原命題等價(jià)轉(zhuǎn)化為:存在實(shí)數(shù)t1,),使得不等式t1ln xx對(duì)任意x1,m恒成立令h(x)1ln xx(x1)因?yàn)閔(x)10,所以函數(shù)h(x)在1,)上為減函數(shù),又x1,m,所以h(x)minh(m)1ln mm.所以要使得對(duì)x1,m,t值恒存在,只須1ln mm1.因?yàn)閔(3)ln 32ln()>ln 1,h(4)ln 43ln()<ln 1,且函數(shù)h(x)在1,)上為減函數(shù),所以滿(mǎn)足條件的最大整數(shù)m的值為3.思維升華函數(shù)、方程與不等式就像“一胞三兄弟”,解決方程、不等式的問(wèn)題需要函數(shù)的幫助,解決函數(shù)的問(wèn)題需要方程、不等式的幫助,因此借助于函數(shù)、方程、不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸可以將問(wèn)題化繁為簡(jiǎn),一般可將不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為最值(值域)問(wèn)題,從而求出參變量的范圍(1)若關(guān)于x的方程9x(4a)3x40有解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_(2)設(shè)f(x)是定義在R上的單調(diào)增函數(shù),若f(1axx2)f(2a)對(duì)任意a1,1恒成立,則x的取值范圍為_(kāi)答案(1)(,8(2)(,10,)解析(1)設(shè)t3x,則原命題等價(jià)于關(guān)于t的方程t2(4a)t40有正解,分離變量a得a4,t>0,4,a8,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(,8(2)f(x)在R上是增函數(shù),由f(1axx2)f(2a),可得1axx22a,a1,1,a(x1)x210,對(duì)a1,1恒成立令g(a)(x1)ax21,則當(dāng)且僅當(dāng)g(1)x2x20,g(1)x2x0恒成立,解之,得x0或x1.故實(shí)數(shù)x的取值范圍為x1或x0.熱點(diǎn)三正難則反的轉(zhuǎn)化例3若對(duì)于任意t1,2,函數(shù)g(x)x3x22x在區(qū)間(t,3)上總不為單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案<m<5解析g(x)3x2(m4)x2,若g(x)在區(qū)間(t,3)上總為單調(diào)函數(shù),則g(x)0在(t,3)上恒成立,或g(x)0在(t,3)上恒成立由得3x2(m4)x20,即m43x在x(t,3)上恒成立,所以m43t恒成立,則m41,即m5;由得m43x在x(t,3)上恒成立,則m49,即m.所以,函數(shù)g(x)在區(qū)間(t,3)上總不為單調(diào)函數(shù)的m的取值范圍為<m<5.思維升華否定性命題,常要利用正反的相互轉(zhuǎn)化,先從正面求解,再取正面答案的補(bǔ)集即可一般地,題目若出現(xiàn)多種成立的情形,則不成立的情形相對(duì)很少,從反面考慮較簡(jiǎn)單因此,間接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命題情形的問(wèn)題中若二次函數(shù)f(x)4x22(p2)x2p2p1在區(qū)間1,1內(nèi)至少存在一個(gè)值c,使得f(c)>0,求實(shí)數(shù)p的取值范圍解如果在1,1內(nèi)沒(méi)有值滿(mǎn)足f(c)>0,則p3或p,取補(bǔ)集為3<p<,即為滿(mǎn)足條件的p的取值范圍故實(shí)數(shù)p的取值范圍為(3,)將問(wèn)題進(jìn)行化歸與轉(zhuǎn)化時(shí),一般應(yīng)遵循以下幾種原則(1)熟悉化原則:將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問(wèn)題(2)簡(jiǎn)單化原則:將復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題(3)直觀化原則:將較抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問(wèn)題(如數(shù)形結(jié)合思想,立體幾何問(wèn)題向平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化)(4)正難則反原則:若問(wèn)題直接求解困難時(shí),可考慮運(yùn)用反證法或補(bǔ)集法或用逆否命題間接地解決問(wèn)題.真題感悟1(xx山東)設(shè)集合Ax|x1|<2,By|y2x,x0,2,則AB等于()A0,2 B(1,3)C1,3) D(1,4)答案C解析由|x1|<2,解得1<x<3,由y2x,x0,2,解得1y4,所以AB(1,3)1,41,3)2(xx安徽)設(shè)函數(shù)f(x)(xR)滿(mǎn)足f(x)f(x)sin x當(dāng)0x<時(shí),f(x)0,則f等于()A. B.C0 D答案A解析f(x)f(x)sin x,f(x2)f(x)sin x.f(x2)f(x)sin xsin xf(x)f(x)是以2為周期的周期函數(shù)又f()f(4)f(),ffsin,ff.當(dāng)0x<時(shí),f(x)0,f0,ff.故選A.3(xx陜西)若圓C的半徑為1,其圓心與點(diǎn)(1,0)關(guān)于直線(xiàn)yx對(duì)稱(chēng),則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)答案x2(y1)21解析圓C的圓心為(0,1),半徑為1,標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(y1)21.4(xx山東)已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足ax<ay(0<a<1),則下列關(guān)系式恒成立的是()A.>Bln(x21)>ln(y21)Csin x>sin yDx3>y3答案D解析因?yàn)?<a<1,ax<ay,所以x>y.采用賦值法判斷,A中,當(dāng)x1,y0時(shí),<1,A不成立B中,當(dāng)x0,y1時(shí),ln 1<ln 2,B不成立C中,當(dāng)x0,y時(shí),sin xsin y0,C不成立D中,因?yàn)楹瘮?shù)yx3在R上是增函數(shù),故選D.押題精練1已知函數(shù)f(x)|ex|(aR,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增,則a的取值范圍是()A0,1 B1,0C1,1 D(,e2e2,)答案C解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增,取a1,則函數(shù)f(x)ex,當(dāng)0x1時(shí),f(x)ex>0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增,排除A,D;取a1,則函數(shù)f(x)ex,當(dāng)0x1時(shí),f(x)ex0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增,排除B,故選C.2過(guò)雙曲線(xiàn)1上任意一點(diǎn)P,引與實(shí)軸平行的直線(xiàn),交兩漸近線(xiàn)于R、Q兩點(diǎn),則的值為()Aa2 Bb2 C2ab Da2b2答案A解析當(dāng)直線(xiàn)RQ與x軸重合時(shí),|a,故選A.3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且anSnSn1 (n2),a1,則a10等于()A. B. C. D.答案C解析由anSnSn1 (n2),得1,(n1)(1),Sn,a10S10S9.4設(shè)函數(shù)f(x)則函數(shù)yf(f(x)1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)答案2解析令tf(x),則該函數(shù)的零點(diǎn)即f(t)10的解先解方程f(t)1.當(dāng)t0時(shí),方程為2t1,解得t0;當(dāng)t>0時(shí),方程為log2t1,解得t2;所以方程f(t)1的解為0或2.再解方程f(x)0和f(x)2.當(dāng)x0時(shí),因?yàn)?x>0,故由2x2,得x1;當(dāng)x>0時(shí),由log2x0,得x1;由log2x2,得x4;故函數(shù)yf(f(x)1的零點(diǎn)為1,4,共2個(gè)5(xx湖北)若函數(shù)f(x),g(x)滿(mǎn)足f(x)g(x)dx0,則稱(chēng)f(x),g(x)為區(qū)間1,1上的一組正交函數(shù)給出三組函數(shù):f(x)sinx,g(x)cosx;f(x)x1,g(x)x1;f(x)x,g(x)x2.其中為區(qū)間1,1上的正交函數(shù)的組數(shù)是()A0 B1C2 D3答案C解析f(x)g(x)dxsinxcosxdxsin xdx(cos x)|0,故第組是區(qū)間1,1上的正交函數(shù);f(x)g(x)dx(x1)(x1)dx(x21)dx(x)|0,故第組不是區(qū)間1,1上的正交函數(shù);f(x)g(x)dxxx2dxx3dx|0,故第組是區(qū)間1,1上的正交函數(shù)綜上,滿(mǎn)足條件的共有兩組6已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R,且f(x)在0,)上是增函數(shù),當(dāng)0時(shí),是否存在實(shí)數(shù)m,使f(cos 23)f(4m2mcos )>f(0)對(duì)所有的均成立?若存在,求出所有適合條件的實(shí)數(shù)m;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由解f(x)在R上為奇函數(shù),又在0,)上是增函數(shù),f(x)在R上為增函數(shù),且f(0)0.由題設(shè)條件可得,f(cos 23)f(4m2mcos )>0.又由f(x)為奇函數(shù),可得f(cos 23)>f(2mcos 4m)f(x)在R上為增函數(shù),cos 23>2mcos 4m,即cos2mcos 2m2>0.令cos t,0,0t1.于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)一切0t1,不等式t2mt2m2>0恒成立t22>m(t2),即m>恒成立又(t2)442,m>42,存在實(shí)數(shù)m滿(mǎn)足題設(shè)的條件,即m>42.

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