(浙江專用)2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何與空間向量 8.7 立體幾何的綜合問題課件.ppt
8.7立體幾何的綜合問題,第八章立體幾何與空間向量,NEIRONGSUOYIN,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí),題型分類深度剖析,課時作業(yè),1,基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí),PARTONE,知識梳理,1.直線的方向向量與平面的法向量的確定(1)直線的方向向量:在直線上任取一向量作為它的方向向量.(2)平面的法向量可利用方程組求出:設(shè)a,b是平面內(nèi)兩不共線向量,n為平面的法向量,則求法向量的方程組為,ZHISHISHULI,非零,2.空間中平行、垂直關(guān)系的證明方法,(2)利用直線的方向向量和平面的法向量的關(guān)系.3.求兩條異面直線所成的角(1)用“平移法”作出異面直線所成角(或其補(bǔ)角).(2)用“向量法”求兩直線的方向向量所成的銳角.,4.求直線與平面所成的角(1)按定義作出線面角(即找到斜線在平面內(nèi)的射影)解三角形.(2)直線與平面所成角的求法設(shè)直線l的方向向量為a,平面的法向量為n,直線l與平面所成的角為,a與n的夾角為,則sin|cos|_.,5.求二面角的大小(1)如圖,AB,CD分別是二面角l的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線,則二面角的大小_.,(2)如圖,n1,n2分別是二面角l的兩個半平面,的法向量,則二面角的大小滿足|cos|_,二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角).,|cosn1,n2|,(6)若二面角a的兩個半平面,的法向量n1,n2所成角為,則二面角a的大小是.(),基礎(chǔ)自測,JICHUZICE,題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被颉啊?(1)平面的單位法向量是唯一確定的.()(2)若兩平面的法向量平行,則兩平面平行.()(3)若兩直線的方向向量不平行,則兩直線不平行.()(4)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角.(),1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,題組二教材改編2.P104T2設(shè)u,v分別是平面,的法向量,u(2,2,5),當(dāng)v(3,2,2)時,與的位置關(guān)系為_;當(dāng)v(4,4,10)時,與的位置關(guān)系為_.,解析當(dāng)v(3,2,2)時,uv(2,2,5)(3,2,2)0得.當(dāng)v(4,4,10)時,v2u得.,1,2,3,4,5,6,3.P111T3如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中點(diǎn),N是A1B1的中點(diǎn),則直線ON,AM的位置關(guān)系是_.,垂直,1,2,3,4,5,6,ON與AM垂直.,1,2,3,4,5,6,4.P104T2已知兩平面的法向量分別為m(0,1,0),n(0,1,1),則兩平面所成的二面角為_.,兩平面所成二面角為45或18045135.,45或135,1,2,3,4,5,6,題組三易錯自糾5.直線l的方向向量a(1,3,5),平面的法向量n(1,3,5),則有A.lB.lC.l與斜交D.l或l,解析由an知,na,則有l(wèi),故選B.,090,30.,30,1,2,3,4,5,6,2,題型分類深度剖析,PARTTWO,題型一證明平行或垂直問題,師生共研,A.相交B.平行C.垂直D.MN在平面BB1C1C內(nèi),解析以點(diǎn)C1為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以C1B1,C1D1,C1C所在直線為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,,又C1D1平面BB1C1C,,又MN平面BB1C1C,所以MN平面BB1C1C.,2.(2010浙江)設(shè)l,m是兩條不同的直線,是一個平面,則下列命題正確的是A.若lm,m,則lB.若l,lm,則mC.若l,m,則lmD.若l,m,則lm,解析對于A,由lm及m,可知l與的位置關(guān)系有平行、相交或在平面內(nèi)三種,故A不正確.B正確.對于C,由l,m知,l與m的位置關(guān)系為平行或異面,故C不正確.對于D,由l,m知,l與m的位置關(guān)系為平行、異面或相交,故D不正確.,3.如圖,在三棱錐PABC中,PA底面ABC,BAC90.點(diǎn)D,E,N分別為棱PA,PC,BC的中點(diǎn),M是線段AD的中點(diǎn),PAAC4,AB2.求證:MN平面BDE.,由題意,可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).,設(shè)n(x,y,z)為平面BDE的一個法向量,,因?yàn)镸N平面BDE,所以MN平面BDE.,4.如圖所示,已知四棱錐PABCD的底面是直角梯形,ABCBCD90,ABBCPBPC2CD,側(cè)面PBC底面ABCD.證明:,(1)PABD;,證明取BC的中點(diǎn)O,連接PO,平面PBC底面ABCD,PBC為等邊三角形,平面PBC底面ABCDBC,PO平面PBC,PO底面ABCD.以BC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),以BC所在直線為x軸,過點(diǎn)O與AB平行的直線為y軸,OP所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.,(2)平面PAD平面PAB.,又PAPBP,PA,PB平面PAB,DM平面PAB.DM平面PAD,平面PAD平面PAB.,(1)證明平行或垂直問題要以兩條直線的平行或垂直為基礎(chǔ),靈活轉(zhuǎn)化線線、線面、面面的關(guān)系.(2)利用向量法證明平行、垂直問題時,要充分應(yīng)用直線的方向向量和平面的法向量,將空間線面關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量的關(guān)系.,題型二空間角的計(jì)算,命題點(diǎn)1求直線和平面所成的角,(1)求AC的長;,多維探究,AD2AB2BD2,即ABBD.又平面ABD平面CBD,平面ABD平面CBDBD,AB平面ABD,AB平面CBD,ABBC,,(2)點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn),求直線BE與平面ACD所成角的正弦值.,解方法一由(1)可知AB平面CBD,如圖,過點(diǎn)B作BGDC的延長線于點(diǎn)G,連接AG,則有CD平面ABG,平面AGD平面ABG,過點(diǎn)B作BHAG于點(diǎn)H,平面AGD平面ABGAG,BH平面AGD,連接HE,則BEH為直線BE與平面ACD所成的角.,方法二在平面BCD上作BFBC,分別以B為原點(diǎn),BC,BF,BA所在直線為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,,設(shè)平面ACD的法向量為n(x,y,z),,設(shè)直線BE與平面ACD所成的角為,,命題點(diǎn)2求二面角例2(2018浙江名校(諸暨中學(xué))交流卷四)如圖,已知ABC為等邊三角形,M為AB的中點(diǎn),AA1,BB1分別垂直平面ABC于點(diǎn)A,B,AA1AB,BB1MNA1B1,垂足為N.,(1)求證:CNA1B1;,證明因?yàn)锳A1,BB1分別垂直平面ABC于點(diǎn)A,B,所以平面AA1B1B平面ABC,又M為AB的中點(diǎn),所以CMAB,于是CM平面A1ABB1,所以CMA1B1.又因?yàn)镸NA1B1,CMMNM,所以A1B1平面CMN,又CN平面CMN,所以A1B1CN.,(2)求平面ABC與平面A1B1C所成的銳二面角的正切值.,解方法一如圖,延長AB,A1B1相交于點(diǎn)D,連接CD,則CD為所求二面角的棱.,于是BDBCBA,于是ACD90,即CDCA.又因?yàn)镃DAA1,CAAA1A,所以CD平面AA1C,所以CDCA1.于是A1CA即為所求二面角的平面角.在RtA1AC中,AA1ABAC,所以A1CA45,所以tanA1CA1.綜上,平面ABC與平面A1B1C所成的銳二面角的正切值為1.,方法二如圖,以M為原點(diǎn),MA為x軸,MC為y軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB2.,設(shè)平面A1B1C的法向量為n1(x,y,z).,設(shè)所求二面角的大小為,又平面ABC的一個法向量為n2(0,0,1).,(1)利用定義法計(jì)算空間角的三步曲:一作二證三計(jì)算.(2)利用向量法求角時,可利用基底法或建立空間直角坐標(biāo)系,要注意兩個向量的夾角和所求角的關(guān)系.,(1)證明:AEMB;,證明方法一在梯形ABCD中,連接BD交AE于點(diǎn)N,,BC2BD2CD2,故BCBD.又BCAE,AEBD,從而AEBN,AEMN,且BNMNN,AE平面MNB,又MB平面MNB,AEMB.,得ME2CE2MC2,故CEME.又CEBE,且MEBEE,CE平面BEM.MB平面BEM,CEMB,又ABCE,ABMB.,又ABBEB,MB平面ABE,又AE平面ABE,AEMB.,(2)求直線CM與平面AME所成角的正弦值.,解方法一設(shè)直線MC與平面AME所成角為,,AEBC,點(diǎn)C到平面AME的距離即為點(diǎn)B到平面AME的距離.,方法二MB平面ABCE,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,,設(shè)平面AME的法向量為m(x,y,z),,設(shè)直線CM與平面AME所成角為,,思維點(diǎn)撥本題主要考查線線平行的證明,線面角的正弦值的求法以及空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等,意在考查考生的空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算.,例(15分)如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是邊長為4的正方形,側(cè)面PCD為正三角形且二面角PCDA的大小為60.(1)設(shè)側(cè)面PAD與側(cè)面PBC的交線為m,求證:mBC;(2)設(shè)直線AB與側(cè)面PBC所成的角為,求sin的值.,答題模板,DATIMUBAN,利用空間向量求空間角,規(guī)范解答(1)證明因?yàn)锽CAD,BC平面PAD,AD平面PAD,所以BC側(cè)面PAD.又側(cè)面PAD側(cè)面PBCm,所以mBC.5分(2)解方法一取CD的中點(diǎn)M,AB的中點(diǎn)N,連接PM,MN,則PMCD,MNCD.所以PMN是側(cè)面PCD與底面ABCD所成二面角的平面角,從而PMN60.作POMN于點(diǎn)O,則PO底面ABCD.,以O(shè)為原點(diǎn),ON所在直線為x軸,OP所在直線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,,設(shè)n(x,y,z)是平面PBC的法向量,,取n(0,3,2).,方法二如圖,取CD的中點(diǎn)M,AB的中點(diǎn)N,連接PM,MN,則PMCD,MNCD,所以PMN是側(cè)面PCD與底面ABCD所成二面角的平面角,從而PMN60.作POMN于點(diǎn)O,則PO底面ABCD.,作OEAB交BC于點(diǎn)E,連接PE.因?yàn)锽CPO,BCOE,OPOEO,所以BC平面POE.從而平面POE平面PBC.,所以PEO就是直線OE即直線AB與平面PBC所成的角.所以PEO.,答題模板利用向量求空間角的步驟第一步:建立空間直角坐標(biāo)系,確定點(diǎn)的坐標(biāo);第二步:求向量(直線的方向向量、平面的法向量)坐標(biāo);第三步:計(jì)算向量的夾角(或函數(shù)值),并轉(zhuǎn)化為所求角.,3,課時作業(yè),PARTTHREE,基礎(chǔ)保分練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1.若直線l的方向向量為a(1,0,2),平面的法向量為n(2,1,1),則A.lB.lC.l或lD.l與斜交,解析a(1,0,2),n(2,1,1),an0,即an,l或l.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.如圖,在空間直角坐標(biāo)系中,有直三棱柱ABCA1B1C1,CACC12CB,則直線BC1與直線AB1所成角的余弦值為,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析設(shè)CA2,則C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,0,1),C1(0,2,0),B1(0,2,1),,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.在正方體ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn),則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析以A為原點(diǎn),AB,AD,AA1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,設(shè)棱長為1,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,n1(1,2,2).平面ABCD的一個法向量為n2(0,0,1),,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.(2018金華模擬)如圖,平面,l,A,B,A,B到l的距離分別是a和b,AB與,所成的角分別是和,線段AB在,內(nèi)的射影長分別是m和n,若a>b,則A.>,m>nB.>,mn,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.已知正三棱柱ABCA1B1C1,ABAA12,則異面直線AB1與CA1所成角的余弦值為,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析以A為原點(diǎn),在平面ABC內(nèi)過A作AC的垂線為x軸,以AC所在直線為y軸,以AA1所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,,設(shè)異面直線AB1和A1C所成的角為,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.(2018寧波十校高三適應(yīng)性考試)如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)P是棱AB上的動點(diǎn)(P點(diǎn)可以運(yùn)動到端點(diǎn)A和B),設(shè)在運(yùn)動過程中,平面PDB1與平面ADD1A1所成的最小角為,則cos等于,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長為1,APa(0a1),則易得D(0,0,0),P(1,a,0),B1(1,1,1),,設(shè)平面PDB1的法向量為n(x,y,z),,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,令xa,得平面PDB1的一個法向量為n(a,1,a1),易得平面ADD1A1的一個法向量為m(0,1,0),由圖易得平面PDB1與平面ADD1A1所成的二面角為銳角,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.在三棱錐PABC中,PA平面ABC,BAC90,D,E,F(xiàn)分別是棱AB,BC,CP的中點(diǎn),ABAC1,PA2,則直線PA與平面DEF所成角的正弦值為_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析以A為原點(diǎn),AB,AC,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,由ABAC1,PA2,,設(shè)平面DEF的法向量為n(x,y,z),,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,取z1,則n(2,0,1),設(shè)直線PA與平面DEF所成的角為,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.如圖,在正方形ABCD中,EFAB,若沿EF將正方形折成一個二面角后,AEEDAD則AF與CE所成角的余弦值為_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,AEED,即AE,DE,EF兩兩垂直,所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)ABEFCD2,則E(0,0,0),A(1,0,0),F(xiàn)(0,2,0),C(0,2,1),,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.如圖所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1底面ABC,ABBCAA1,ABC90,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是棱AB,BB1的中點(diǎn),則直線EF和BC1所成的角是_.,60,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以BC所在直線為x軸,BA所在直線為y軸,BB1所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)ABBCAA12,則C1(2,0,2),E(0,1,0),F(xiàn)(0,0,1),,異面直線所成角的范圍是(0,90,EF和BC1所成的角為60.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.已知點(diǎn)E,F(xiàn)分別在正方體ABCDA1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E2EB,CF2FC1,則平面AEF與平面ABC所成的銳二面角的正切值為_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析方法一延長FE,CB相交于點(diǎn)G,連接AG,如圖所示.設(shè)正方體的棱長為3,則GBBC3,作BHAG于點(diǎn)H,連接EH,則EHB為所求銳二面角的平面角.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法二如圖,以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,設(shè)DA1,,設(shè)平面AEF的法向量為n(x,y,z),,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,令y1,z3,x1,則n(1,1,3),取平面ABC的法向量為m(0,0,1),設(shè)平面AEF與平面ABC所成的銳二面角為,,證明由題易知ADEABC60,ADCD,E是CD的中點(diǎn),AECD.又ABCD,AEAB.PA平面ABCD,PAAE,又PAABA,AE平面PAB.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.(2018嘉興基礎(chǔ)測試)如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD為菱形,PA平面ABCD,PAAB2,E為CD的中點(diǎn),ABC60.(1)求證:AE平面PAB;,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求直線AE與平面PCD所成角的正弦值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解方法一連接PE,過點(diǎn)A作AHPE于點(diǎn)H(圖略).CDEA,CDPA,EAPAA,CD平面PAE,CDAH.又AHPE,CDPEE,CD,PE平面PCD,AH平面PCD.AEP為直線AE與平面PCD所成的角.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法二以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AE,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,,設(shè)平面PCD的法向量為n(x,y,z),,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,設(shè)直線AE與平面PCD所成的角為,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12.(2018浙江“七彩陽光”聯(lián)盟聯(lián)考)如圖,四邊形ABCD為正方形,四邊形PDCE為直角梯形,PDCE,PDC90,平面ABCD平面PDCE,且PDAD2EC2.(1)若PE和DC的延長線交于點(diǎn)F,求證:BF平面PAC;,證明在梯形PDCE中,PD2EC,C為DF的中點(diǎn),CFCDAB,又ABCF,四邊形ABFC為平行四邊形,BFAC,又AC平面PAC,BF平面PAC,BF平面PAC.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)若Q為EC邊上的動點(diǎn),求直線BQ與平面PDB所成角的正弦值的最小值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解方法一設(shè)點(diǎn)Q在平面PBD上的射影為O,連接OQ,OB(圖略),則QBO為直線BQ與平面PDB所成的角.ECPD,EC平面PBD,EC平面PBD.四邊形ABCD為正方形,ACBD,又平面ABCD平面PDCE,平面ABCD平面PDCECD,PDDC,PD平面PDCE,PD平面ABCD,PDAC,又BDPDD,AC平面PBD,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,EC平面PBD,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法二平面ABCD平面PDCE,平面ABCD平面PDCECD,PDDC,PD平面PDCE,PD平面ABCD,PDDA.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,設(shè)Q(0,2,t)(0t1),,技能提升練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.(2019金華模擬)已知點(diǎn)P是正方體ABCDA1B1C1D1表面上一動點(diǎn),且滿足PA2PB,設(shè)PD1與平面ABCD所成的角為,則的最大值為,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析以B為坐標(biāo)原點(diǎn),BC,BA,BB1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長為2,P(x,y,z),則A(0,2,0),因?yàn)镻A2PB,,即為如圖的、,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,要使得PD1與底面ABCD所成的角最大,則PD1與底面ABCD的交點(diǎn)R到點(diǎn)D的距離最短,從而點(diǎn)P在上,且在QD上,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.(2018浙江名校聯(lián)盟聯(lián)考)在直三棱柱ABCA1B1C1中,ABACAA11,已知G和E分別為A1B1和CC1的中點(diǎn),D與F分別為線段AC和AB上的動點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),若GDEF,則線段DF的長度的取值范圍為_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,令D(0,b,0),F(xiàn)(a,0,0),0<a<1,0<b<1,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,A.等腰三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.鈍角三角形,拓展沖刺練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析連接AC與BD交于點(diǎn)O,連接A1O,C1O,A1B,A1D,依題意得,ACBD,AA1BD,又ACAA1A,BD平面AA1C1C.BDA1O,BDC1O,故A1OC1為二面角A1BDC1的平面角.,由勾股定理的逆定理,知A1OC190,故平面A1BD平面C1BD.連接PO,若A1PC1為直角,即A1PPC1,又A1OPC1,A1PA1OA1,C1P平面POA1,則C1PPO,此時P在BDC1內(nèi)的一段圓弧(該圓弧所在的圓的直徑為C1O)上,符合題意;,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,當(dāng)P在OC1上時,A1PC1為鈍角三角形;當(dāng)P無限接近B或D時,A1PC1為銳角三角形;若A1PC1為等腰三角形,,當(dāng)A1C1為等腰三角形A1PC1的底邊時,點(diǎn)P與A1C1中點(diǎn)的連線必垂直于A1C1,此時,在BDC1內(nèi)部不存在這樣的點(diǎn)P.故選A.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.(2018杭州地區(qū)四校聯(lián)考)如圖,在四棱錐PABCD中,PA平面ABCD,PAAD2,BCCDAB1,ADBC.,(1)若M是PD的中點(diǎn),證明:CM平面PAB.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,證明如圖,取AP的中點(diǎn)F,連接MF,BF.,所以MFBC,MFBC,所以四邊形MFBC是平行四邊形,所以CMBF,又BF平面PAB,CM平面PAB,所以CM平面PAB.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)E.方法一如圖,過點(diǎn)B作BH平面PCD,連接EH,則BEH即直線BE與平面PCD所成的角.,所以PC2CD2PD2,所以PCCD,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,因?yàn)閂PBCDVBPCD,,所以PB2BD2PD2,所以PBBD,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又BE2PB2PE22PBPEcosBPE,,所以當(dāng)E是線段PD的中點(diǎn)或是線段PD的靠近點(diǎn)D的四等分點(diǎn)時,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法二建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,其中O,G,N分別為AD,BC,PD的中點(diǎn),,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,設(shè)平面PCD的法向量為n(x,y,z),,設(shè)直線BE與平面PCD所成的角為,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以當(dāng)點(diǎn)E是線段PD的中點(diǎn)或是線段PD的靠近點(diǎn)D的四等分點(diǎn)時,,