2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 三角恒等變換與解三角形.doc

2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 三角恒等變換與解三角形1(xx山東高考)函數(shù)ysin 2xcos2x的最小正周期為_【解析】ysin 2xcos2xsin 2xsin 2xcos 2xsin(2x).T.【答案】2(xx北京高考)在ABC中，a1，b2，cos C，則c_；sin A_.【解析】c2a2b22abcos C142124，則c2又cos C，則sin C，由得sin A.【答案】23(xx全國新課標(biāo)高考)如圖，為測量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點(diǎn)從A點(diǎn)測得M點(diǎn)的仰角MAN60，C點(diǎn)的仰角CAB45以及MAC75；從C點(diǎn)測得MCA60，已知山高BC100 m，則山高M(jìn)N_m.【解析】在AMC中，MAC75，MCA60，AMC180756045.由正弦定理：，又ABC中，ABC90，CAB45，BC100，AC100，AM sin 60100，在AMN中，MNAN，NAM60，MNAMsin 60100150.【答案】1504(xx安徽高考)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別是a，b，c，且b3，c1，A2B.(1)求a的值；(2)求sin的值【解】(1)因?yàn)锳2B，所以sin Asin 2B2sin Bcos B.由正、余弦定理得a2b.因?yàn)閎3，c1，所以a212，a2.(2)由余弦定理得cos A.由于0<A<，所以sin A.故sinsin Acoscos Asin.從近三年高考來看，該部分高考命題的熱點(diǎn)考向?yàn)椋?三角恒等變換及求值利用兩角和與差的三角函數(shù)公式進(jìn)行三角恒等變換及求值是高考必考內(nèi)容該類問題出題背景選擇面廣，解答題中易出現(xiàn)與三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識交匯綜合命題該類題目在選擇、填空、解答題中都有可能出現(xiàn)，屬中、低檔題2三角函數(shù)與平面向量的結(jié)合向量與三角函數(shù)相結(jié)合是高考的重要考查內(nèi)容，在近幾年的高考中，年年都會出現(xiàn)，成為了高考的主流趨勢這類問題一般比較綜合，考查綜合應(yīng)用知識分析問題、解決問題的能力一般以向量為工具，考查三角恒等變換及三角函數(shù)的性質(zhì)等多以解答題的形式出現(xiàn)，難度中檔3正、余弦定理及應(yīng)用該類問題是解三角形的主要考查類型，常以三角形中的邊長、角度、面積為知識載體，融平面向量、三角恒等變換等知識于其中，考查正弦(余弦)定理的應(yīng)用，預(yù)計(jì)將會成為今后高考題的一個熱點(diǎn)多以解答題形式出現(xiàn)，有時也在選擇、填空題中出現(xiàn)可單獨(dú)命題，也可在知識交匯處命制題目，重在體現(xiàn)三角函數(shù)知識的工具性，突出考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬中檔題.【例1】(xx江蘇高考)已知，sin .(1)求sin的值；(2)求cos的值【解】(1)因?yàn)椋瑂in ，所以cos .故sinsincos cossin .(2)由(1)知sin 22sin cos 2，cos 212 sin 2122，所以coscoscos 2sinsin 2.【規(guī)律感悟】三角函數(shù)恒等變換“六策略”：(1)常值代換：特別是“1”的代換，1sin2cos2tan 45等；(2)項(xiàng)的分拆與角的配湊：如sin22cos2(sin2cos2)cos2，()等；(3)降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦；(5)公式的變形應(yīng)用：如sin cos tan ，tan tan tan()(1tan tan)等；角的合成及三角函數(shù)名的統(tǒng)一：運(yùn)用輔助角公式合成角及統(tǒng)一三角函數(shù)名稱創(chuàng)新預(yù)測1(1)(xx全國新課標(biāo)高考)設(shè)，且tan ，則()A3B2C3 D2【解析】tan ，即sin cos cos sin cos sin cos cos sin cos ，即sin()cos sin又<<，0<<.，即2，故選B.【答案】B(2)(xx重慶高考)4cos 50tan 40()A. B.C. D21【解析】借助商數(shù)關(guān)系，三角恒等變換及角度拆分求解4cos 50tan 404sin 40.【答案】C【例2】(xx山東高考)已知向量a(m，cos 2x)，b(sin 2x，n)，函數(shù)f(x)ab，且yf(x)的圖象過點(diǎn)和點(diǎn).(1)求m，n的值；(2)將yf(x)的圖象向左平移(0<<)個單位后得到函數(shù)yg(x)的圖象，若yg(x)圖象上各最高點(diǎn)到點(diǎn)(0,3)的距離的最小值為1，求yg(x)的單調(diào)遞增區(qū)間【解】(1)由題意知f(x)abmsin 2xncos 2x.因?yàn)閥f(x)的圖象過點(diǎn)和，所以即解得m，n1.(2)由(1)知f(x)sin 2xcos 2x2sin.由題意知g(x)f(x)2sin.設(shè)yg(x)的圖象上符合題意的最高點(diǎn)為(x0,2)，由題意知x11，所以x00，即到點(diǎn)(0,3)的距離為1的最高點(diǎn)為(0,2)將其代入yg(x)得sin1，因?yàn)?<<，所以.因此g(x)2sin2cos 2x.由2k2x2k，kZ得kxk，kZ.所以函數(shù)yg(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，kZ.【規(guī)律感悟】向量與三角函數(shù)的綜合，實(shí)質(zhì)上是借助向量的工具性，考查三角恒等變換及三角函數(shù)的性質(zhì)等問題解這類問題的基本思路是將向量轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，常用到向量的數(shù)乘、向量的代數(shù)運(yùn)算，以及數(shù)形結(jié)合的思想本題對向量的考查主要體現(xiàn)在向量的工具性解決這類問題的基本思路就是先通過向量的基本運(yùn)算，脫去向量的“外衣”，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)式的化簡求值等問題創(chuàng)新預(yù)測2(xx遼寧高考)設(shè)向量a(sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x0，(1)若|a|b|，求x的值；(2)設(shè)函數(shù)f(x)ab，求f(x)的最大值【解】(1)由|a|2(sin x)2(sin x)24sin2x，|b|2(cos x)2(sin x)21，及|a|b|，得4sin2x1.又x0，從而sin x，所以x.(2)f(x)absin xcos xsin2 xsin 2xcos 2xsin(2x)，當(dāng)x0，時，sin(2x)取最大值1. 所以f(x)的最大值為.【例3】(1)(xx江西高考)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.若3a2b，則的值為()A B.C1 D.(2)(xx四川高考)如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75，30，此時氣球的高是60 m，則河流的寬度BC等于()A240(1)m B180(1)mzC120(1)m D30(1)m(3)(xx北京高考)如圖，在ABC中，B，AB8，點(diǎn)D在BC邊上，且CD2，cosADC.求sin BAD；求BD，AC的長【解析】(1)2()2121.(2)由題意知AB，C30，BAC45.在ABC中，由正弦定理得，BCBC120(1)，故選C.(3)【解】在ADC中，因?yàn)閏osADC，所以sin ADC.所以sin BADsin(ADCB)sin ADCcosBcosADCsin B.在ABD中，由正弦定理得BD3.在ABC中，由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcosB825228549.所以AC7.【答案】(1)D(2)C(3)7【規(guī)律感悟】1.在解三角形時，正、余弦定理可解決的幾類問題：(1)正弦定理可解決兩類問題：已知兩角及任一邊，求其他邊或角；已知兩邊及一邊的對角，求其他邊或角(2)余弦定理可解決兩類問題：已知兩邊及夾角求第三邊和其他兩角；已知三邊，求各角2應(yīng)用解三角形知識解決實(shí)際問題的步驟：讀題分析題意，準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求，尤其要理解題中的有關(guān)名詞、術(shù)語，如坡度、仰角、俯角、方位角等；圖解根據(jù)題意畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出；建模將所求解的問題歸結(jié)到一個或幾個三角形中，通過合理運(yùn)用正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識正確求解；驗(yàn)證檢驗(yàn)解出的結(jié)果是否具有實(shí)際意義，對結(jié)果進(jìn)行取舍，得出正確答案創(chuàng)新預(yù)測3(1)(xx全國新課標(biāo)高考)鈍角三角形ABC的面積是，AB1，BC，則AC()A5 B.C2 D1【解析】SABCac sin B1sin B，sin B，B(0，)，B或.當(dāng)B時，由余弦定理b2a2c22accos B21211，b1，ABC為等腰直角三角形，不符合題意，舍去B時，由余弦定理：b2a2c22accos B5，b，故選B.【答案】B(2)(xx陜西高考)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcos Cccos Basin A，則ABC的形狀為()A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D不確定【解析】利用余弦定理的變形將角的余弦值轉(zhuǎn)化為三角形邊之間的關(guān)系bcos Cccos Bbcaasin A，sin A1.A(0，)，A，即ABC是直角三角形故選B.【答案】B總結(jié)提升通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，需掌握如下三點(diǎn)：失分盲點(diǎn)(1)忽視角的范圍：既要關(guān)注條件中角的范圍還應(yīng)考慮到隱含條件(2)忽視對解的檢驗(yàn)：已知兩邊及其中一邊的對角，利用正弦定理時，應(yīng)注意對解進(jìn)行檢驗(yàn)(大邊對大角)答題指導(dǎo)(1)看到三角形內(nèi)角，想到三角形內(nèi)角和定理(2)看到有邊又有角的等式，想到利用正、余弦定理進(jìn)行邊角之間的互化(3)看到求某個角，想到求該角的某種三角函數(shù)值方法規(guī)律1(1)弦切互化法：主要利用公式tan .(2)和積轉(zhuǎn)換法：利用(sin cos )212sin cos ；(sin cos )2(sin cos )22的關(guān)系，進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化(3)“1”的代換法：利用1sin2cos2(sin cos )22sin cos tan .2(1)減元法：利用ABC及誘導(dǎo)公式可得到以下公式：sin(AB)sin C，cos(AB)cos Csin cos ，cos sin .(2)邊角互化法：利用正、余弦定理進(jìn)行邊角之間的轉(zhuǎn)化正、余弦定理的合理運(yùn)用運(yùn)算的合理性是提高運(yùn)算能力的核心，運(yùn)算錯誤往往是由運(yùn)算不合理帶來的在運(yùn)算中由于選擇和運(yùn)用的概念、公式、定理不同，運(yùn)算往往簡繁各異學(xué)會運(yùn)算并不困難，困難的是怎樣進(jìn)行靈活、簡捷的運(yùn)算，使運(yùn)算不會走入誤區(qū)【典例】(xx重慶高考)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且abc8.(1)若a2，b，求cos C的值；(2)若sin Acos2sin Bcos22sin C，且ABC的面積Ssin C，求a和b的值【解】(1)由題意可知：c8(ab).由余弦定理得：cos C.(2)由sin Acos2sin Bcos22sin C可得：sin Asin B2sin C，化簡得sin Asin Acos Bsin Bsin Bcos A4sinC.因?yàn)閟in Acos Bcos Asin Bsin(AB)sin C，所以sin Asin B3sin C.由正弦定理可知：ab3c.又因abc8，故ab6.由于Sabsin Csin C，所以ab9，從而a26a90，解得a3，b3.【規(guī)律感悟】本題考查正弦定理和余弦定理，在化簡方程中應(yīng)用了三角恒等變換公式，三角形的內(nèi)角和定理在化簡方程時考查了對式子的變形能力，整個求解過程中考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力和分析問題、解決問題的能力建議用時實(shí)際用時錯題檔案45分鐘一、選擇題1設(shè)tan ，tan 是方程x23x20的兩根，則tan()的值為()A3B1C1 D3【解析】利用兩角和的正切公式求解tan ，tan 是方程x23x20的兩根，tan tan 3，tan tan 2，tan()3.【答案】A2(創(chuàng)新題)設(shè)向量a(1，cos )與b(1,2cos )垂直，則cos 2等于()A. B. C0 D1【解析】利用向量垂直及倍角公式求解ab，ab12cos20，cos2，cos 22cos21110.【答案】C3發(fā)電廠發(fā)出的電是三相交流電，它的三根導(dǎo)線上的電流強(qiáng)度分別是關(guān)于時間t的函數(shù)：IAIsin t，IBIsin(t)，ICIsin(t)，且IAIBIC0,02，則等于()A. B.C. D.【解析】由IAIBICIsin tIsin(t)Isin(t)Isin(t)Isin(t)0，得sin(t)sin(t)sin(t)故.【答案】C4(xx浙江高考)已知R，sin 2cos ，則tan 2()A. B.C. D.【解析】先利用條件求出tan ，再利用倍角公式求tan 2.把條件中的式子兩邊平方，得sin24sin cos 4cos2，即3cos24sin cos ，所以，所以，即3tan28tan 30，解得tan 3或tan ，所以tan 2.【答案】C5(xx遼寧高考)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若asin Bcos Ccsin Bcos Ab，且a>b，則B()A. B.C. D.【解析】根據(jù)正弦定理與和角公式求解由正弦定理可得sin Asin Bcos Csin Csin Bcos Asin B，又因?yàn)閟in B0，所以sin Acos Csin Ccos A，所以sin(AC)sin B.因?yàn)閍>b，所以B.【答案】A二、填空題6(xx天津高考)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知bca,2sin B3sin C，則cos A的值為_【解析】2sin B3sin C，由正弦定理得2b3c，bc，又bca，a4(bc)，a2c.cos A.【答案】7(xx東北三城聯(lián)考)若cos()sin ，則sin()_.【解析】cos()sin ，cos cos sin sin sin ，cos sin ，cos().sin()coscos().【答案】8(xx山東濰坊3月模擬)如圖，為測得河對岸塔AB的高，先在河岸上選一點(diǎn)C，使C在塔底B的正東方向上，測得點(diǎn)A的仰角為60，再由點(diǎn)C沿北偏東15方向走10米到位置D，測得BDC45，則塔AB的高是_米【解析】在三角形BCD中，可得CD10，BCD105，BDC45，由正弦定理可得BC10，在直角三角形ABC中可得AB10tan 6010.【答案】10三、解答題9(xx河北石家莊質(zhì)檢)如圖，A，B是海平面上的兩個小島，為測量A，B兩島間的距離，測量船以15海里/小時的速度沿既定直線CD航行，在t1時刻航行到C處，測得ACB75，ACD120，1小時后，測量船到達(dá)D處，測得ADC30，ADB45，求A，B兩小島間的距離(注：A，B，C，D四點(diǎn)共面)【解】由已知得CD15，ACD120，ADC30，CAD30，在ACD中，AD15.BDC75，BCD45，CBD60，在BCD中，BD5.在ABD中，ADB45，AB5，故兩小島間的距離為5海里10(xx浙江高考)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知4sin24sin Asin B2.(1)求角C的大??；(2)已知b4，ABC的面積為6，求邊長c的值【解】(1)由已知得21cos(AB)4sin Asin B2，化簡得2cos Acos B2sin Asin B，故cos(AB).所以AB，從而C.(2)因?yàn)镾ABCabsin C，由SABC6，b4，C，得a3，由余弦定理c2a2b22abcos C，得c.