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2019年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 8.7 證明平行與垂直 證明平行與垂直題組訓(xùn)練 理 蘇教版.doc

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2019年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 8.7 證明平行與垂直 證明平行與垂直題組訓(xùn)練 理 蘇教版.doc

2019年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 8.7 證明平行與垂直 證明平行與垂直題組訓(xùn)練 理 蘇教版基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時:40分鐘)一、填空題1平面的一個法向量為n(1,0),則y軸與平面所成的角的大小為_解析y軸的方向向量為m(0,1,0),設(shè)y軸與平面所成的角為,則sin |cosm,n|,cosm,n,sin ,.答案2. 如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N分別是棱CD,CC1的中點(diǎn),則異面直線A1M與DN所成的角的大小是_ 解析以D為原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB1,則D(0,0,0),N,M,A1(1,0,1),1,10110,A1M與DN所成的角的大小是90.答案903在正方體ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn),則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為_解析以A為原點(diǎn)建系,設(shè)棱長為1,則A1(0,0,1),E,D(0,1,0),(0,1,1),. 設(shè)平面A1ED的法向量為n1(1,y,z),則n1(1,2,2),平面ABCD的一個法向量為n2(0,0,1),cosn1,n2,故銳二面角的余弦值為.答案4正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a,點(diǎn)M在AC1上且,N為B1B的中點(diǎn),則|為_解析以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則A(a,0,0),C1(0,a,a),N.設(shè)M(x,y,z),點(diǎn)M在AC1上且,(xa,y,z)(x,ay,az)xa,y,z.得M,| a.答案a5在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA12AB,則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于_解析以D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,設(shè)AA12AB2,則D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),則(0,1,0),(1,1,0),(0,1,2) 設(shè)平面BDC1的法向量為n(x,y,z),則n,n,所以有令y2,得平面BDC1的一個法向量為n(2,2,1)設(shè)CD與平面BDC1所成的角為,則sin |cosn,|.答案6. 過正方形ABCD的頂點(diǎn)A,引PA平面ABCD.若PABA,則平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是_ 解析法一建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系,不難求出平面APB與平面PCD的法向量分別為n1(0,1,0),n2(0,1,1),故平面ABP與平面CDP所成二面角的余弦值為,故所求的二面角的大小是45.法二將其補(bǔ)成正方體如圖2,不難發(fā)現(xiàn)平面ABP和平面CDP所成的二面角就是平面ABQP和平面CDPQ所成的二面角,其大小為45.答案457在正三棱柱ABCA1B1C1中,ABAA1,則AC1與平面BB1C1C所成角的正弦值為_解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB2,則C1(,1,0),A(0,0,2),(,1,2),平面BB1C1C的一個法向量為n(1,0,0)所以AC1與平面BB1C1C所成角的正弦值為.答案8已知O點(diǎn)為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),向量(1,2,3),(2,1,2),(1,1,2),且點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動,當(dāng)取得最小值時,的坐標(biāo)是_解析點(diǎn)Q在直線OP上,設(shè)點(diǎn)Q(,2),則(1,2,32),(2,1,22),(1)(2)(2)(1)(32)(22)62161062.當(dāng)時,取得最小值.此時.答案二、解答題9(xx江蘇卷)如圖,在直三棱柱A1B1C1ABC中,ABAC,ABAC2,A1A4,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn) (1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值;(2)求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值解(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(1,1,0),A1(0,0,4),C1(0,2,4),所以(2,0,4),(1,1,4)因為cos,所以異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為.(2)設(shè)平面ADC1的法向量為n1(x,y,z),因為(1,1,0),(0,2,4),所以n10,n10,即xy0且y2z0.取z1,得x2,y2,所以,n1(2,2,1)是平面ADC1的一個法向量取平面AA1B的一個法向量為n2(0,1,0),設(shè)平面ADC1與平面ABA1所成二面角的大小為.由|cos |,得sin .因此,平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值為.10. (xx廣州質(zhì)檢)如圖所示,在四棱錐PABCD中,底面ABCD為矩形,PA平面ABCD,點(diǎn)E在線段PC上,PC平面BDE. (1)證明:BD平面PAC;(2)若PA1,AD2,求二面角BPCA的正切值(1)證明PA平面ABCD,BD平面ABCD,PABD.同理由PC平面BDE,可證得PCBD.又PAPCP,BD平面PAC.(2)解如圖,分別以射線AB,AD,AP為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系 由(1)知BD平面PAC,又AC平面PAC,BDAC.故矩形ABCD為正方形,ABBCCDAD2.A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1)(2,0,1),(0,2,0),(2,2,0)設(shè)平面PBC的一個法向量為n(x,y,z),則即取x1得n(1,0,2)BD平面PAC,(2,2,0)為平面PAC的一個法向量cosn,.設(shè)二面角BPCA的平面角為,由圖知0<<,cos ,sin .tan 3,即二面角BPCA的正切值為3.能力提升題組(建議用時:25分鐘)一、填空題1. 如圖,正方形ACDE與等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直,且ACBC2,ACB90,F(xiàn),G分別是線段AE,BC的中點(diǎn)則AD與GF所成的角的余弦值為_ 解析如圖,以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz,A(0,2,0),B(2,0,0),D(0,0,2),G(1,0,0),F(xiàn)(0,2,1),(0,2,2),(1,2,1), |2,|,2,cos,.直線AD與GF所成角的余弦值為.答案2在四面體PABC中,PA,PB,PC兩兩垂直,設(shè)PAPBPCa,則點(diǎn)P到平面ABC的距離為_解析根據(jù)題意,可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Pxyz,則P(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a)過點(diǎn)P作PH平面ABC,交平面ABC于點(diǎn)H,則PH的長即為點(diǎn)P到平面ABC的距離PAPBPC,H為ABC的外心又ABC為正三角形,H為ABC的重心,可得H點(diǎn)的坐標(biāo)為.PHa.答案a3在正四棱錐SABCD中,O為頂點(diǎn)在底面上的射影,P為側(cè)棱SD的中點(diǎn),且SOOD,則直線BC與平面PAC所成的角是_解析如圖,以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)ODSOOAOBOCa.則A(a,0,0),B(0,a,0),C(a,0,0),P.則(2a,0,0),(a,a,0),設(shè)平面PAC的一個法向量為n,設(shè)n(x,y,z),則解得可取n(0,1,1),則cos,n,n60,直線BC與平面PAC所成的角為906030.答案30二、解答題4(xx北京卷改編)如圖,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1C1C是邊長為4的正方形平面ABC平面AA1C1C,AB3,BC5. (1)求證:AA1平面ABC;(2)求二面角A1BC1B1的余弦值;(3)在線段BC1上是否存在點(diǎn)D,使得ADA1B?若存在,試求出的值(1)證明在正方形AA1C1C中,A1AAC.又平面ABC平面AA1C1C,且平面ABC平面AA1C1CAC,AA1平面ABC.(2)解由(1)知AA1AC,AA1AB,由題意知,在ABC中,AC4,AB3,BC5,BC2AC2AB2,ABAC.以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.A1(0,0,4),B(0,3,0),C1(4,0,4),B1(0,3,4),于是(4,0,0),(0,3,4),(4,3,0),(0,0,4)設(shè)平面A1BC1的法向量n1(x1,y1,z1),平面B1BC1的法向量n2(x2,y2,z2)取向量n1(0,4,3),由取向量n2(3,4,0),cos .由題圖可判斷二面角A1BC1B1為銳角,故二面角A1BC1B1的余弦值為.(3)解假設(shè)存在點(diǎn)D(x,y,z)是直線BC1上一點(diǎn),使ADA1B,且.(x,y3,z)(4,3,4),解得x4,y33,z4,(4,33,4),又ADA1B,03(33)160,解得,因為0,1,所以在線段BC1上存在點(diǎn)D,使得ADA1B.此時.

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