2019-2020年高考《考試大綱》調(diào)研卷理科數(shù)學（第二模擬）含解析.doc

2019-2020年高考考試大綱調(diào)研卷理科數(shù)學（第二模擬）含解析一、填空題：共14題1設全集U=1,3,5,7,集合M=1,a,UM=3,7,則實數(shù)a的值為.【答案】5【解析】本題考查集合的補運算.解題時,注意對補集概念的理解.根據(jù)補集的概念,易得a=5. 2已知i是虛數(shù)單位,復數(shù)z=(aR),若|z|=1,則a=.【答案】1【解析】本題主要考查復數(shù)的乘、除法運算,復數(shù)的模.因為z=+i,所以=1,解得a=1. 3已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差分別為4.8和3.6,若將這組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上32,則所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差分別為.【答案】36.8,3.6【解析】本題主要考查平均數(shù)與方差的相關知識,意在考查考生對統(tǒng)計的基礎知識、基本概念的掌握情況和運算求解能力.平均數(shù)反映的是一組數(shù)據(jù)的平均水平,與每一個樣本數(shù)據(jù)有關,任何一個數(shù)據(jù)改變都會引起平均數(shù)的改變,所以若將這組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上32,平均數(shù)也相應地增加32,為36.8;方差反映的是一組數(shù)據(jù)的離散程度,若將這組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上32,方差不變,仍然是3.6. 4如圖是一個算法流程圖,則輸出的結果為.【答案】16【解析】本題主要考查算法流程圖的相關知識,意在考查考生的閱讀理解能力.求解本題的關鍵是正確理解循環(huán)語句的特點,S的值本質(zhì)上形成了一個等比數(shù)列.由題意得,第一次循環(huán)的結果為2,第二次循環(huán)的結果為4,第三次循環(huán)的結果為8,第四次循環(huán)的結果為16,結束循環(huán),故輸出S的值為16. 5已知某興趣小組有男生2名,女生1名,現(xiàn)從中任選2名去參加問卷調(diào)查,則恰有1名男生與1名女生的概率為.【答案】【解析】本題主要考查古典概型的相關知識,考查考生對基礎知識的掌握情況.求解時,可以用枚舉法直接求解,也可間接求解.解法一：設2名男生分別為A1,A2,1名女生為B,則任選2名共有(A1,A2),(A1,B),(A2,B)三種情況,設“恰有1名男生與1名女生”為事件M,則事件M共包含(A1,B),(A2,B)兩種情況,故所求概率為P(M)=.解法二：設2名男生分別為A1,A2,1名女生為B,則任選2名共有(A1,A2),(A1,B),(A2,B)三種情況,設“2名都是男生”為事件N,則事件N包含的情況為(A1,A2),故所求概率為P()1-P(N)1-. 6已知=tan,且-=,則m=.【答案】【解析】本題主要考查三角恒等變換等知識,考查考生的轉(zhuǎn)化與化歸思想和運算求解能力. 由題意得=tan,又-=,所以tan=tan(-)=,所以,所以m=. 7若雙曲線-=1的左焦點為F,點P是雙曲線右支上的動點,A(1,4),則|PF|+|PA|的最小值是.【答案】9【解析】本題主要考查雙曲線的定義和幾何性質(zhì),考查考生的數(shù)形結合思想和基本的運算能力.由題意知,雙曲線-=1的左焦點F的坐標為(-4,0),設雙曲線的右焦點為B,則B(4,0),由雙曲線的定義知,|PF|+|PA|=4+|PB|+|PA|4+|AB|=4+=4+5=9,當且僅當A,P,B三點共線且P在A,B之間時取等號. 8已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且對任意的xR都有f(x+3)-f(-x)=0.當x(0,1時,f(x)=x2-4x,則f(2 015)+f(2 016)的值為.【答案】3【解析】本題主要考查奇函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的周期性、函數(shù)求值等知識,意在考查考生的計算能力,屬于中檔題.由f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且對任意的xR都有f(x+3)-f(-x)=0得,f(0)=0,f(x+6)=f(-x-3)=-f(x+3)=-f(-x)=f(x),函數(shù)f(x)的周期為6,f(2 015)+f(2 016)=f(-1+3366)+f(3366)=f(-1)+f(0)=-f(1)+0=3. 9已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn,且滿足S2=3,S3-S1=6,則a6=.【答案】32【解析】本題主要考查等比數(shù)列的前n項和及通項公式等知識,意在考查考生基本的運算能力.設等比數(shù)列an的公比為q,由S2=3,S3-S1=6,得a1+a2=3,a2+a3=6,則q=2,代入a1+a2=3得a1=1,所以a6=a1q5=25=32. 10設平面向量a,b,c都是單位向量,且向量a,b的夾角為60,若c=2xa+yb,其中x,y為正實數(shù),則xy的最大值為.【答案】【解析】本題主要考查平面向量數(shù)量積的概念及基本運算等知識,意在考查考生的運算能力.平方法是解此類問題的常用方法. 因為向量a,b的夾角為60,所以將c=2xa+yb兩邊平方得,c2=4x2a2+4xyab+y2b2=4x2a2+4xy|a|b|cos 60+y2b2,又a,b,c都是單位向量,所以1=4x2+2xy+y22(2xy)+2xy=6xy,當且僅當y=2x時等號成立,所以xy的最大值為. 11已知實數(shù)x,y滿足-x,-y.若23x+sinx-2=0,9y+sinycosy-1=0,則cos(x-2y)的值為.【答案】1【解析】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、特殊角的三角函數(shù)值等知識,意在考查考生的轉(zhuǎn)化與化歸思想及分析問題和解決問題的能力.抓住兩個已知等式結構上的相似性,合理變式是求解本題的關鍵.由9y+sinycosy-1=0得232y+sin 2y-2=0.又23x+sinx-2=0,得23x+sinx=232y+sin 2y,令f(x)=23x+sinx,因為函數(shù)y=23x和y=sinx在區(qū)間-,上都是單調(diào)遞增函數(shù),所以f(x)在區(qū)間-,上是單調(diào)遞增函數(shù).由于-x,-y,故x=2y,即x-2y=0,所以cos(x-2y)=cos 0=1. 12如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB1=BB1=BA=BC=2,B1BC=90,D為AC的中點,ABB1D,則三棱錐A1-B1AD的體積為.【答案】【解析】本題以三棱柱為背景,主要考查線面垂直的判定、三棱錐體積的求解等知識,考查考生的空間想象能力、轉(zhuǎn)化能力及運算求解能力.取AB的中點O,連接DO,B1O,因為BB1=AB1,所以OB1AB,又ABB1D,OB1B1D=B1,所以AB平面B1OD,因為OD平面B1OD,所以ABOD,由已知BCBB1,又ODBC,所以ODBB1,因為ABBB1=B,所以OD平面ABB1A1,又O,D分別為AB,AC的中點,BC=2,所以OD=BC=1,所以41=. 13在平面直角坐標系中,已知M(-1,0),N(1,0),A(0,2),B(0,t)(t>2),若存在點P,使,且APB為鈍角,則實數(shù)t的取值范圍是.【答案】(,+)【解析】本題主要考查圓的標準方程、圓與圓的位置關系等知識,意在考查考生的轉(zhuǎn)化與化歸能力及運算求解能力.設P(x,y),由,得,化簡得x2-6x+y2+1=0,即(x-3)2+y2=8,點P在以E(3,0)為圓心,2為半徑的圓上.又以AB為直徑的圓的方程為x2+(y-)2=()2,此圓的圓心為F(0,),半徑為.APB為鈍角,圓F與圓E相交,(2-)2<|EF|2<(2+)2,即(2-)2<(3-0)2+(0-)2,且(3-0)2+(0-)2<(2+)2,又t>2,故由得t>2,由得t>,綜上可知,實數(shù)t的取值范圍為(,+). 14設函數(shù)f(x)=ex+(x0,m0)在x=1處的切線與直線(e-1)x-y+2 016=0平行,且kf(s)tlnt+1在s(0,+),t(1,e上恒成立,則實數(shù)k的取值范圍是.【答案】,+)【解析】本題主要考查不等式恒成立、函數(shù)的最值、導數(shù)的幾何意義等知識,意在考查考生綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力. 由條件可得f(x)=e-,故f(1)=e-m=e-1,m=1.當s(0,+),t(1,e時,f(s)>0,tlnt+1>0 ,由kf(s)tlnt+1可得k在s(0,+),t(1,e上恒成立,即kmax,設g(x)=xlnx+1,故只需求出f(x)在(0,+)上的最小值和g(x)在(1,e上的最大值.由f(x)=ex+可得f(x)=e-.由f(x)>0可得,解得x>或x<-,由f(x)<0可得,解得-<x<0或0<x<.f(x)在(0,)上單調(diào)遞減,在(,+)上單調(diào)遞增,故f(x)在(0,+)上的最小值為f()=2.由g(x)=xlnx+1可得g(x)=lnx+1,當x(1,e時,g(x)>0,g(x)在(1,e上的最大值為g(e)=eln e+1=e+1,只需k,實數(shù)k的取值范圍是,+). 二、解答題：共12題15已知函數(shù)f(x)=sin 2x+cos 2x.(1)求函數(shù)f(x)的最大值和最小正周期;(2)若f(-)=,是第二象限角,求sin 2.【答案】(1)由題意得,f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin(2x+).所以函數(shù)f(x)的最大值為2,且函數(shù)f(x)的最小正周期T=.(2)由(1)知,f(x)=2sin(2x+).因為f(-)=,所以2sin=,即sin=.又是第二象限角,所以cos<0,且cos=-=-,所以sin 2=2sincos=2(-)=-.【解析】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二倍角公式、兩角和的正弦公式等知識,考查考生的運算求解能力.(1)先由兩角和的正弦公式化簡函數(shù)f(x)的解析式,再利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解;(2)將x=-代入函數(shù)f(x)的解析式,結合角的范圍和二倍角公式求解.【備注】三角函數(shù)、三角恒等變換部分的C級考點是兩角和(差)公式,二倍角的正弦、余弦及正切公式,這也是高考的重點,故猜想回歸定義是xx年高考命題的一種趨勢,三角函數(shù)與向量運算相結合命制簡單的小綜合題也應該重視.復習時,要關注定義及公式的推導方法.16已知在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,BAD=60,平面PAD平面ABCD,點E,F,G分別為棱BC,PC,AD的中點.(1)求證:平面PBG平面PAD;(2)求證:PG平面DEF.【答案】(1)連接BD.因為底面ABCD為菱形,且BAD=60,所以ABD為正三角形.因為G為AD的中點,所以BGAD.因為平面PAD平面ABCD,平面PAD平面，ABCD=AD,BG平面ABCD,所以BG平面PAD.又BG平面PBG,所以平面PBG平面PAD.(2)解法一連接CG交DE于點H,連接FH,GE.因為E,G分別是BC,AD的中點,BCAD,且BC=AD,所以DGCE,且DG=CE,所以四邊形GECD為平行四邊形,所以H為CG的中點.因為F為PC的中點,所以FHPG,又PG平面DEF,FH平面DEF,所以PG平面DEF.解法二因為E為BC的中點,F為PC的中點,所以PBEF.又PB平面DEF,EF平面DEF,所以PB平面DEF.因為BEDG,BE=DG,所以四邊形BEDG為平行四邊形,所以BGDE,又BG平面DEF,DE平面DEF,所以BG平面DEF.又PB,BG平面PBG,PBBG=B,所以平面PBG平面DEF.又PG平面PBG,所以PG平面DEF.【解析】本題主要考查面面垂直與線面平行的證明等,考查考生的空間想象能力及推理論證能力.(1)先由條件證明BG平面PAD,再由面面垂直的判定定理證明平面PBG平面PAD;(2)解法一利用線面平行的判定定理進行證明,先得線線平行,再證線面平行;解法二利用面面平行的性質(zhì)進行證明,先得面面平行,再證線面平行.【備注】復習立體幾何時,應做到以下三點:(1)合理把握要求,研究高考試題的命題特點與考查要點,對其難度、知識點覆蓋、考試要求了然于胸;(2)梳理知識網(wǎng)絡,重點掌握并能夠熟練運用直線與平面、平面與平面平行與垂直的判定定理及性質(zhì)定理,能夠靈活進行轉(zhuǎn)化;(3)書寫規(guī)范,證明題要步步有據(jù),切忌跳步或是漏寫條件.17如圖,一小區(qū)中有一塊邊長為40 m的正方形空地ABCD,現(xiàn)要在正方形空地中規(guī)劃一個三角形區(qū)域PAQ種植花草,P,Q分別在邊BC,CD上(P,Q均不與端點重合),其他區(qū)域安裝健身器材.為了使規(guī)劃比較美觀,需要滿足PB+QD=PQ.(1)當P,Q在邊BC和CD上移動時,試問PAQ是否為定值,若是,求出該定值,若不是,請說明理由;(2)求PAQ面積的最小值.【答案】(1)設BAP=, DAQ=,則0<<,0<<.設BP=xm,DQ=ym,則PQ=(x+y) m,CP=(40-x) m,CQ=(40-y) m.(x+y)2=(40-x)2+(40-y)2,xy=1 600-40(x+y).tan=,tan=,tan(+)=1,+=,PAQ=,為定值.(2)由(1)可得AP=,AQ=,SPAQ=,SPAQ=,當2+,即=時,SPAQ取得最小值,且(SPAQ)min=1 600(-1).故PAQ面積的最小值為1 600(-1) m2.【解析】本題主要考查兩角和的正切公式、三角函數(shù)的最值等知識,意在考查考生的數(shù)學應用意識和數(shù)學建模能力、運算求解能力.(1)由題意,結合兩角和的正切公式可得PAQ為定值;(2)利用三角函數(shù)求最值是應用問題中求最值經(jīng)常使用的方法.【備注】求解應用題時,審題是做題的前提,至關重要,應強化審題意識.審題時,首先要抓住題目中的關鍵字、詞、句,結合所給圖形,了解題目中講的是什么,要求的結果是什么;其次確定需要建立什么類型的數(shù)學模型和需要用到的數(shù)學知識;再次提取題干中的有效信息,結合已知條件進行數(shù)學問題的求解;最后回歸實際,將所得的數(shù)學結果轉(zhuǎn)化為實際問題的結果.18已知橢圓W:+=1(a>b>0)的焦距為2,一條準線方程為x=.過點P(0,-2)的直線l交橢圓W于A,C兩點(異于橢圓的頂點),橢圓W的上頂點為B,直線AB,BC的斜率分別為k1,k2.(1)求橢圓W的標準方程;(2)當CAB=90時,求直線l的斜率;(3)當直線l的斜率變化時,求k1k2的值.【答案】(1)橢圓W的焦距為2,c=,又一條準線方程為x=,a=2,b=1,則橢圓W的標準方程為+y2=1.(2)由(1)知B(0,1),設A(x0,y0),直線l的斜率為k,CAB=90,k1k=-1,即=-1,+y0-2=-,又點A在橢圓W上,+=1,=4-4,+y0-2=4-4,y0=1或y0=-,A,B不重合,y0=1舍去,y0=-,x0=,A(,-)或A(-,-).k=或k=-,即直線l的斜率為或-.(3)由題意知直線AB:y=k1x+1,直線BC:y=k2x+1,由,化簡得(4+1)x2+8k1x=0,A(,),同理可得C(,),又P(0,-2),由P,A,C三點共線得,化簡得(4+1)(4k1k2-3)=0,又4+1>0,4k1k2-3=0,k1k2=.【解析】本題主要考查了橢圓的標準方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線和橢圓的位置關系等知識,考查考生的運算能力和分析問題、解決問題的能力.(1)由焦距和準線的方程求基本量,即可得橢圓W的標準方程;(2)由題意得直線l的斜率與直線AB的斜率之間的關系,進而求解直線l的斜率;(3)先求出A,C兩點的坐標,再由三點共線求解k1k2的值.【備注】高考中,解析幾何解答題第(1)問往往是已知圓錐曲線類型及其簡單的幾何性質(zhì)求方程,比較基礎,易于上手;其他小問是在求出圓錐曲線方程的基礎上,研究圓錐曲線更深層次的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關系,定點、定值、最值及探究性問題值得高度重視.對解析幾何的復習,要牢固掌握與解析幾何有關的基本概念,把上述內(nèi)容作為復習和研究的重點,同時要狠抓運算關,提高運算能力.19設函數(shù)f(x)=ex-ax+a-e,其中e是自然對數(shù)的底數(shù).(1)若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;(2)若a>0,求證:f(x)有唯一零點的充要條件是a=e.【答案】(1)由題意得f(x)=ex-a.當a>0時,由f(x)=0得x=lna.當x>lna時,f(x)>0,f(x)為單調(diào)遞增函數(shù);當x<lna時,f(x)<0,f(x)為單調(diào)遞減函數(shù).此時f(x)在R上不單調(diào).當a0時,f(x)>0,f(x)在R上單調(diào)遞增.綜上,實數(shù)a的取值范圍是(-,0.(2)充分性當a=e時,f(x)=ex-ex,f(x)=ex-e.令f(x)=0得x=1.當x>1時,f(x)>0,f(x)為單調(diào)遞增函數(shù),所以f(x)>f(1)=0;當x<1時,f(x)<0,f(x)為單調(diào)遞減函數(shù),所以f(x)>f(1)=0.所以函數(shù)f(x)有唯一的零點x=1.必要性設函數(shù)f(x)有唯一的零點x0,因為f(1)=0,所以x0=1.又a>0,由(1)知,當且僅當x=lna時,f(x)取得最小值f(lna)=2a-alna-e.記g(a)=2a-alna-e,所以g(a)=1-lna,令g(a)=0得a=e.當a>e時,g(a)<0,g(a)為單調(diào)遞減函數(shù),g(a)<g(e)=0,即f(lna)<0.因為a>lna>1,且f(a)=ea-a2+a-e>0,所以f(x)在(lna,a)內(nèi)有零點,與題意矛盾;同理當0<a<e時,有f(lna)<0.因為lna<1,所以存在-<lna,使得f(-)=-a(-)+a-e=a+>0,所以f(x)在(-,lna)內(nèi)有零點,與題意矛盾.故lna=1,即a=e.綜上所述,f(x)有唯一零點的充要條件是a=e.【解析】本題考查導數(shù)的運算、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值與最值、函數(shù)的零點等,考查考生的運算能力,綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力,考查數(shù)形結合思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想等.【備注】函數(shù)是高中數(shù)學的主線,在歷年江蘇省高考卷中,考查比重都較大,無論是填空題還是解答題,難度、思維量都不小,且常常與導數(shù)的知識相結合進行考查,猜想xx年高考依然會保持這一特點不變.在復習中,對函數(shù)與導數(shù)要重點關注,同時也應該根據(jù)自身的情況確定復習的難度和廣度.20設數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列,數(shù)列bn是公比為q(q1)的等比數(shù)列,記Sn為數(shù)列bn的前n項和.(1)若S3,S13,S8成等差數(shù)列.求證:bm+1,bm+11,bm+6(mN*)成等差數(shù)列;是否存在正整數(shù)k,使得(Sk)2,(Sk+10)2,(Sk+5)2成等差數(shù)列?并說明理由;(2)若公差d>0,公比q>1.集合a1,a2,a3b1,b2,b3=1,2,3,4,5.從an中取出s(sN*,s>1)項,從bn中取出t(tN*,t>1)項,按照某一順序排列構成s+t項的等差數(shù)列cn,當s+t取到最大值時,求數(shù)列cn的通項公式.【答案】(1)S3,S13,S8成等差數(shù)列,2S13=S3+S8,又q1,+,即2q13=q3+q8,2q10=1+q5,則2b1qm+10=b1qm+b1qm+5,即2bm+11=bm+1+bm+6,bm+1,bm+11,bm+6成等差數(shù)列.解法一假設存在正整數(shù)k,使得(Sk)2,(Sk+10)2,(Sk+5)2成等差數(shù)列,則2(Sk+10)2=(Sk)2+(Sk+5)2,22=2+2,2(1-qk+10)2=(1-qk)2+(1-qk+5)2(*),由2q10=1+q5,得q5=-,代入(*)式化簡得q2k=0,矛盾,不存在正整數(shù)k,使得(Sk)2,(Sk+10)2,(Sk+5)2成等差數(shù)列.解法二由可得Sk,Sk+10,Sk+5成等差數(shù)列,(Sk)2+(Sk+5)2=2(Sk+10)2,SkSk+5,(Sk)2+(Sk+5)2>2(Sk+10)2,不存在正整數(shù)k,使得(Sk)2,(Sk+10)2,(Sk+5)2成等差數(shù)列.(2)d>0,q>1,且集合a1,a2,a3b1,b2,b3=1,2,3,4,5,a1=1,a2=3,a3=5,b1=1,b2=2,b3=4,an=2n-1,bn=2n-1,又s>1,t>1,則從an,bn中至少各取2項.解法一若數(shù)列bn中不取1,則bn中取出的數(shù)全部為偶數(shù),而數(shù)列an中全部是奇數(shù),數(shù)列cn中的項必為奇數(shù),偶數(shù)相間,不妨設為ai,bj,am,bn,ah,bk,其中i<m<h<,j<n<k<,bn=2n-1,bn-bj<bk-bn,則從等比數(shù)列bn中取出的項只能為2項,從數(shù)列an中取出的項最多為3項,若取出的項多于3項,則數(shù)列cn中必有連續(xù)2項是數(shù)列an中的項,不滿足題意,(s+t)max=5.下面證明(s+t)max=5能取到.ai,bj,am,bn,ah成等差數(shù)列,am=2j-2+2n-2,其中2j<n,j,nN*,am為奇數(shù),2j-2+2n-2為奇數(shù),j=2,則b2=2,ai=a1=1,cn=n.若數(shù)列bn中取1,可以將1看成數(shù)列an中的項,則數(shù)列cn為1,bi,aj,bm,an,同理可得bi=b2=2,cn=n.解法二若數(shù)列bn中不取1,則bn中取出的數(shù)全部為偶數(shù),而數(shù)列an中全部是奇數(shù),數(shù)列cn中的項必為奇數(shù),偶數(shù)相間,不妨設為ai,bj,am,bn,ah,bk,其中i<m<h<,j<n<k<,bn=2n-1,bn-bj<bk-bn,則從等比數(shù)列bn中取出的項只能為2項,從數(shù)列an中取出的項最多為3項,若取出的項多于3項,則數(shù)列cn中必有連續(xù)2項是數(shù)列an中的項,不滿足題意,(s+t)max=5.下面證明(s+t)max=5能取到.設數(shù)列cn的公差為d1,ai,bj,am,bn,ah成等差數(shù)列,d1=2j-1-(2i-1),bn=ai+3d1,即2n-1=32j-1-2(2i-1),且nj+1,若nj+2,則2n-12j+1,即32j-1-2(2i-1)2j+1,化簡得-2(2i-1)2j-1,矛盾.n=j+1,32j-1-2(2i-1)=2j,故有2i-1=2j-2,2i-1為奇數(shù),j=2,n=3,bj=b2=2,bn=b3=4,cn=n.若數(shù)列bn中取1,可以將1看成數(shù)列an中的項,則數(shù)列cn為1,bi,aj,bm,an,bm=1+3d1,其中d1=2i-1-1,故2m-1=1+3(2i-1-1),若mi+2,則2m-12i+1,即32i-1-22i+1,化簡得-22i-1,矛盾.m=i+1,2i=32i-1-2,2i-1=2,得i=2,bi=b2=2,cn=n.綜上可得,數(shù)列cn的通項公式為cn=n.【解析】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式,等比數(shù)列的通項公式、前n項和等知識,意在考查考生的運算求解能力,分析問題、解決問題的能力.【備注】近幾年,江蘇卷總是將數(shù)列題,特別是以等差、等比數(shù)列為背景的數(shù)列題作為高考中的壓軸題,這是江蘇省高考試卷的一個特點.針對這種情況,在高三復習中,一是要特別關注等差、等比數(shù)列中的一些基本問題及性質(zhì);二是要培養(yǎng)觀察、分析問題的能力,即在平時復習中,不僅僅要簡單地模仿,更要學會多角度分析題目的條件和結論,拓寬視野.21如圖,O是ABC的外接圓,AB=AC,延長BC到點D,使得CD=AC,連接AD交O于點E,連接BE與AC交于點F,求證:BE平分ABC.【答案】因為CD=AC,故D=CAD.又EBC=CAD,故EBC=D.因為AB=AC,故ABC=ACB.因為ABC=ABE+EBC,ACB=D+CAD.故ABE=D=EBC,即BE平分ABC.【解析】本題主要考查圓的基本性質(zhì)、圓周角定理等基礎知識,考查考生的推理論證能力.熟練運用圓周角定理與等腰三角形的性質(zhì)是解題的關鍵.【備注】對幾何證明選講部分的復習,一要關注圓中的角、弧、線段等元素的關系及轉(zhuǎn)換;二要從文字語言、圖形語言兩個角度認識和理解一些常見的定理.22已知矩陣M=,其中a,b,cR,若點P(1,-2)在矩陣M對應的變換下得到點P(-3,1),且矩陣M的屬于特征值-1的一個特征向量是,求a(2b-c)的值.【答案】由題意可知,得,得解得a=2,b=1,c=0,所以a(2b-c)=4.【解析】本題主要考查矩陣的變換、矩陣的特征值與特征向量等基礎知識,考查考生的運算求解能力.【備注】對于矩陣與變換的復習,要在對基本概念的理解上下工夫,如理解變換與矩陣的關系、矩陣的乘法與變換的關系、逆矩陣的意義、特征值和特征向量的含義等.同時,還要掌握與矩陣有關的基本計算,提高運算能力.23已知直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程是=-2cos,設直線l與y軸的交點是M,N是曲線C上一動點,求|MN|的最大值.【答案】曲線C的極坐標方程可化為2=-2cos,故曲線C的直角坐標方程為x2+y2+2x=0.將直線l的參數(shù)方程化為普通方程,得y+3=-x.令x=0,得y=-3,即點M的坐標為(0,-3).又圓C的圓心坐標為(-1,0),半徑r=1,則|MC|=,所以|MN|MC|+r=+1,即|MN|的最大值為+1.【解析】本題主要考查直線的參數(shù)方程、圓的極坐標方程、直線與圓的位置關系,考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力和分析問題、解決問題的能力. 24已知實數(shù)a,b滿足|a+b|2,求證:|a2+2a-b2+2b|4(|a|+2).【答案】|a2+2a-b2+2b|=|a+b|a-b+2|=|a+b|2a-(a+b)+2|a+b|(|2a|+|a+b|+2),又|a+b|2,故|a2+2a-b2+2b|4(|a|+2).【解析】本題主要考查絕對值不等式及其性質(zhì)等知識,考查考生的推理論證能力.【備注】對不等式選講的復習,一方面要關注對基本不等式、柯西不等式的理解,另一方面要注意從目標出發(fā),合理使用公式,減少盲目性.25某智能玩具公司抓住春節(jié)這一契機,推出了一款新型的兒童智能玩具,該玩具的外形是正方體,其每一個面(編號分別為)上都配置有5顆顏色各異的閃光小星星,假設每顆閃光小星星正常發(fā)光的概率均為,若一個面上至少有3顆閃光小星星正常發(fā)光,則不需要更換這個面,否則需要更換這個面,假定更換一個面需要10元,用表示更換費用.(1)求號面需要更換的概率;(2)求的分布列及數(shù)學期望.【答案】(1)由題意知,號面需要更換的概率為1-.(2)設需要更換的面的個數(shù)為,則B(6,),P(=0)=,P(=1)=,P(=2)=,P(=3)=,P(=4)=,P(=5)=,P(=6)=,維修費用的分布列為E=0+10+20+30+40+50+60=30(元).【解析】本題主要考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望等知識,考查考生的閱讀理解能力、運算求解能力及解決實際問題的能力.【備注】江蘇省高考近幾年第22題主要考查空間向量與立體幾何、概率,xx年附加題考查空間向量與立體幾何,xx年考查概率的可能性較大,所考知識點主要是離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望、二項分布等,建議考生在復習時要加強對該類試題的練習.26已知數(shù)列an滿足an+1=-nan+1(nN*),且a1=3.(1)計算a2,a3,a4的值,由此猜想數(shù)列an的通項公式,并給出證明;(2)求證:當n2時,4nn.【答案】(1)由題意得,a2=4,a3=5,a4=6.由此猜想an=n+2(nN*).當n=1時,a1=3,結論成立;假設當n=k(k1,kN*)時,結論成立,即ak=k+2,則當n=k+1時,ak+1=-kak+1=(k+2)2-k(k+2)+1=k+3=(k+1)+2,即當n=k+1時,結論也成立.由得,數(shù)列an的通項公式為an=n+2(nN*).(2)原不等式等價于(1+)n4.顯然,當n=2時,等號成立;當n>2時,(1+)n=+()2+()n+()2+()3>+()2=5->4.綜上所述,當n2時,4nn.【解析】本題主要考查數(shù)列的通項公式、不等式的證明、數(shù)學歸納法等,考查考生的運算求解能力與推理論證能力.【備注】江蘇省高考附加題最后一題常以數(shù)列為背景,考查數(shù)學歸納法及二項式定理等知識,復習時應對以上問題加以重視.