區(qū)域海洋模式中的開邊界問題

研究綜述EV/EWSOpen boundary conditions in regional ocean models儲敏心，徐永福|（1.中國科學(xué)院大氣物理研究所大氣邊界層物理和大氣化學(xué)國家重點實驗室北京100029 ;2.中國科學(xué)院 研究生院北京100049）:P733:1000-3096(2009)06-0112-066 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, 研究綜述EV/EWS6 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, 研究綜述EV/EWS因研究對象不同，目前的海洋環(huán)流模式常分為 全球模式和海盆尺度（區(qū)域）模式，各個模式考慮的 物理過程、參徴化方法、數(shù)值解法和分辨率都不盡相 同因此不同模式的計算結(jié)果存在差異尤其區(qū)域尺 度上的差異更為明顯這就對發(fā)展區(qū)域性的海盆尺 度環(huán)流模式提出了要求。海盆尺度模式可以使用更 高的分辨率.考慮更精細(xì)的物理和生化過程,從而對 區(qū)域的刻畫更為準(zhǔn)確和真實.而且在碳循環(huán)的研究 中陸架邊緣海碳循環(huán)是新的研究熱點這也需要進 一步發(fā)展海盆尺度的碳循環(huán)模式。另外從計算方面 來說限于目前的計算條件在未來很長時間內(nèi)海盆 尺度碳循環(huán)模式都將與全球模式同時存在并互為補 充O用區(qū)域模式代替全球模式,縮小了研究的范圍. 可以更好地關(guān)注區(qū)域上的特征.同時也有效地節(jié)約 了計算這自然是比較經(jīng)濟的做法但是當(dāng)模式的 大小給定以后.這種方法的代價相當(dāng)大.因為在假想 的開邊界處需要給定具體的邊界條件，但這并不簡 單山。人為設(shè)定的開邊界和真實的陸地邊界不同, 在真實的陸地邊界處沒有動量、能量及物質(zhì)的平流 輸送.而假想的開邊界可能是人為設(shè)定的水中邊界 因此必須給定恰當(dāng)?shù)倪吔鐥l件以反映所關(guān)注的海盆 和其他相鄰海域之間的交換特征。而難點在于開邊 界問題沒有相應(yīng)的完整表達式在給定的邊界條件 下其在數(shù)學(xué)上也可能是不適定的”7）（若定解問題 的解是唯一存在的，并且連續(xù)依賴于定解條件.則稱 定解問題是適定的：否則稱為不適定的）.Sani等站 曾因此稱人為邊界條件問題為流體力學(xué)中的邊界 條件困惑w（Boundary Condition Dilemma），而且，邊 界對各種波動的吸收和反射也是個問題。由于邊 界條件的復(fù)雜性模式區(qū)域的解往往強烈地依賴于 開邊界處所采用的數(shù)學(xué)方法邊界處的微小變化常 常極大地影響模式區(qū)域內(nèi)部的解;有實驗表明即便 是同一種開邊界條件在不同的問題中也常常表現(xiàn) 出不同的效果從而一般認(rèn)為沒有最好的、普適的開 112邊界處理方法具體開邊界條件的設(shè)計在很大程度 上依頑于模式本身以及待解決的問題"。因此，如 何設(shè)計一個好的開邊界條件是一個難題但為了模 式研究及應(yīng)用的需要必須確立開邊界提出的基本原 則并在此基礎(chǔ)上探索一些有效的方法。物理中的許多問題往往都定義在無界區(qū)域上, 而實際的數(shù)值研究首先必須界定研究的區(qū)域.這也 遇到人為邊界，即開邊界的問題。Givoli181在1991 年對無反射邊界條件（noir reflecting boundary condition .簡記為NRBC）的綜述中提出建立一個新的 NRBC邊界條件應(yīng)盡量滿足以下幾點：（1）區(qū)域內(nèi)部 問題的方程和邊界條件結(jié)合起來在數(shù)學(xué)上是適定 的并且是無限區(qū)域上問題的很好的近似；（2）邊界 條件引起的反射很小到達邊界的波可以不受阻礙 而自由通過邊界；（3）邊界條件必須與控制方程所采 用的數(shù)值方案兼容；（4）控制方程的數(shù)值方法與邊界 條件一起是穩(wěn)定的.并且邊界條件的使用不會造成 計算量的大量増長同時具有一定的精度；（5）若物 理問題尋求的是最終的穩(wěn)定解那么數(shù)值方法必須 能夠快速地達到穩(wěn)態(tài)。顯然，這也是區(qū)域模式中開 邊界的設(shè)計所需要遵循的原則叩0在已有的研究中人們從計算流體力學(xué)以及模 式應(yīng)用的角度對 OBCs（Opcn Boundary Conditions） 進行了很多的研究，與此同時國內(nèi)外也有不少關(guān)于 開邊界條件的研究及綜述I吩叩但是這些文章往 往關(guān)注開邊界條件的某一方面的特征而不全面，并 且大多沒有包括新近的研究進展C因此作者的目收稿日期:2007-11-07 :修回日期:2009-04-01荃金頂目：中國科學(xué)院知識創(chuàng)新工程重要方向項目群（KZCX-2- YW- 218）:國家自然科學(xué)基金項目（40730106）海洋科學(xué)/ 2009年/第33卷/第6期作者簡介：儲數(shù)（1980） 男安粧岳西人博士硏究生主要從事海洋 碳循環(huán)硏究.電話：01O62375373 .Email: gmail com:徐 永福通信作者硏究員主要從事大r化學(xué)再全球環(huán)境變化硏究電 話:0IO62377281 ,E-mail:xyf mailiap. 6 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, D研究綜述EV/EWS的在于在前文提出的開邊界建立的基本原則基礎(chǔ) 之上，討論開邊界條件的研究現(xiàn)狀以及目前還存在 的問題并對常用的OBCs做簡單的歸納和分析，從 而為開邊界條件的應(yīng)用和發(fā)展提供參考。作者提及的開邊界條件有筒單邊界條件、輻射 邊界條件、松弛方案、以及Stevens方案和G1I方案。 從本質(zhì)上來說簡單邊界條件往往是輻射邊界條件 的特殊情形但是在實際應(yīng)用中兩者的表現(xiàn)和性能 卻往往有很大不同，因此這里根據(jù)Jensen171以及 Rocd等問的觀點仍將簡單邊界條件視為一類獨立 的開邊界處理方法。為敘述方便在不特別指定的情況下下文中均 假設(shè)研究的變量為該變量的氣候值記為ex.，開 邊界設(shè)在南邊界方問問北為正，并記開邊界位直為 離散的時間和空間步長分別為厶rAyo1簡單邊界條件11固壁邊界條件對于區(qū)域海洋模式的研究最簡單的開邊界方 法莫過于將區(qū)域海洋看成一個封閉的海域，將人為 設(shè)定的邊界當(dāng)成真實的固壁邊界來對待從而無需 考慮邊界上的能量傳播和物質(zhì)輸送。Xu等綱即采 用該方法對北太平洋環(huán)流和碳循環(huán)進行了模擬研 究o這種方法簡單使用方便.但往往不符合真實情 形趙亮等以將Xu等“的模式中的閉邊界改造 成開邊界其中流場采用Orlanski1241型輻射邊界條 件溫鹽采用Stevens125開邊界方法.入流時候采用 恢復(fù)邊界條件出流時候采用輻射邊界條件以此對 北太平洋的流場和CFCs進行了模擬研究.并對閉邊 界和開邊界的結(jié)果以及觀測資料進行了對比結(jié)果 發(fā)現(xiàn)閉邊界會造成邊界附近虛假的下沉流而所采 用的開邊界條件有效地改善了這一點。1.2 CLP(clamped)開邊界條件開邊界不易處理的基本原因在于邊界處的數(shù)據(jù) 難以獲得.因此不得不設(shè)計一些處理的方法。有一 種基本的假設(shè)是：在模式積分過程中邊界上的值不 隨時間而改變這便是CLP開邊界條件.其方程形 式為：i=0(La)寫成離散形式即為：+, = :(l.b)該方法形式簡單也得到了很多的應(yīng)用(但是應(yīng)該 注意到該假設(shè)的前提與實際情況是不相符的。13零梯度邊界條件與CLP邊界條件假設(shè)邊界上的數(shù)值不隨時間 變化不同零梯度邊界條件假設(shè)在邊界附近沒有物 質(zhì)或能量的平流輸送即：=0(2. a)寫成離散形式即為：r1 = ；：!(2.b)其中下標(biāo)b+1表示與邊界相鄰的內(nèi)點該點的值由 控制方程計算得到；由于沒有平流的輸送.所有入射 到邊界的波能量都不能由邊界傳出而會被反射到 計算區(qū)域中去如此一來即便是一個內(nèi)點穩(wěn)定的模 式有可能會因為邊界上計算不穩(wěn)定向內(nèi)點的傳播 而造成整個計算區(qū)域出現(xiàn)虛假的計算波解，導(dǎo)致計 算的不穩(wěn)定顯然這可能會擾亂模式區(qū)域內(nèi)的 解5。14簡單的輻射方案既然零梯度邊界條件有可能導(dǎo)致模式區(qū)域內(nèi)產(chǎn) 生虛假的計算波解，從而影響模式的解那么一個很 自然的想法就是如何讓傳入到邊界的波動能夠沒有 歪曲和變形地傳出邊界從而將(1. a)和(2. a)結(jié)合 起來得到一個簡單的輻射邊界條件：1-77=O(3a)這對應(yīng)于從邊界外傳的波，其相速度為常數(shù)1。采 用差分近似對時間導(dǎo)數(shù)前差和空間導(dǎo)數(shù)隱式前差 即可得到以下的離散形式：r，=岀乩宀 (3b) 在文獻29中Smith等對此方法做了具體的討 論:但是.該方法的缺點是一望便知的:首先采用常 定的相速度是不合理的從而取其大小為1顯得頗 為隨意:其次，在模擬的任意時刻都在邊界設(shè)定一個 外傳的波也顯得與真實情況不盡相符。關(guān)于輻射開 邊界處理方法在后文有更為詳細(xì)的敘述。由上可以看出，簡單邊界條件一般都有筒潔的 形式易于使用但是因為簡沽.從而往往過于簡單, 并不能真實地反映海洋開邊界處的特征。因此，開 邊界的處理需要更為精細(xì)的方法。2輻射邊界條件在開邊界問題的研究中許多的研究在兼顧精 度和穩(wěn)定性的同時主要致力于前文提出的第二點 上即如何使得傳向邊界的波可以自由通過邊界而 不受阻礙從而使得邊界條件引起的反射很小。輻 射條件的提出正是為了解決這一問題。Marine Sciences/ Vol. 33 .No. 6/ 2009113* 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, D研究綜述EV/EWS一般而言輻射邊界條件的基本原理是:考慮正 交于邊界的方向在邊界處吸收傳向模式區(qū)域內(nèi)部 的波。這樣就可以達到減少或消除邊界反射波的目 的因此模式區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生的有意義的波動可以不受 歪曲地通過邊界從而不影響區(qū)域內(nèi)的解?，F(xiàn)在廣為使用的輻射邊界條件是基于Sommer feld1301的方法其適用性在于地球物理流體力學(xué)中的 許多問題在本質(zhì)上是雙曲型的。該方法的具體形 式為：其中c為相速度。利用輻射邊界條件的主要目的在 于使模式區(qū)域內(nèi)波可以無阻礙地順利通過邊界而消 除反射但是如果物理波并非是向外界輻射的，或 者不是整個過程都是向外輻射的那么直接使用輻 射條件就不盡合理了。正如前文提到的簡單輻射 方案取相速度為-1是不符合實際的情形的因為 在真實的邊界處有著出流和入流的不同發(fā)生著波 的傳入和傳出用常值的相速度顯然不能描述真實 的邊界狀態(tài)那么如何計算相速度是一個問題。在 計算重力長波問題時常采用的相速度為函, 但是.如果計算問題并非是重力長波，則需要設(shè)計其 他的方法切OOrlanski1241在1976年提出了一個計算相速度 的方法并為模式研究人員廣為采用具體計算為：A v/A /.-J、>A y/A t;c( y. t)Jy ,0 < -J y <A y/A t： (5)0. J、<0.根據(jù)上述公式相速度就有了一個量化的標(biāo)準(zhǔn), 并在實際應(yīng)用中根據(jù)差分格式的不同以及處理方法 的差異有許多變體|6-9-,2,41 ;如此一來，根據(jù)相速度 0（ V. 允許波自由傳出，這是OBCs應(yīng)具有的理想性 質(zhì):但是，這個方法并不完善，因為當(dāng)y=0時, （5）式則不能用于計算盡管這在實際中或許不大可 能發(fā)生但在理論上卻不能不考慮這種情形的存在: 而且更為重要的是在解決了計算之后其實還有一 個更為本質(zhì)的問題，那就是相速度C（y,的物理意 義是什么。在具體模式的應(yīng)用和開邊界條件的比較過程 中許多研究人員發(fā)現(xiàn)單純地使用Orlanski型輻射 邊界條件效果并不如想象中的理想 W7）；2001 年,Treguier等用一個大西洋的渦相容（edd廠 pcriniuing）模式分析了輻射邊界條件，特別對相速 度的時間序列給于了關(guān)注.其結(jié)果表明相速度c（y, 接近于白噪聲因此從這個意義上來說（5）式的計 算方法值得深究。Blayo等認(rèn)為出現(xiàn)這種情形的基本原因在 于.Sommerfeld條件只有當(dāng)用干常相速度的波動方 程時才是怡當(dāng)?shù)亩鴮τ诤Ｑ蠛痛髿饽Ｊ讲捎玫?5方程盡管本質(zhì)上是雙曲型的，但是當(dāng)忽略擴散頊 的影響之后計算結(jié)果與原始方程已有較大的誤差, 從而在海洋或大氣模式中采用此類條件結(jié)果并不理 想。上述提到的輻射邊界條件只考慮了正交于邊界 方向的情形.Raymond等加在1984年提出了二維 的情形同時考慮邊界切線和法線方向的運動方程 為：Q0 / 心dt (3 / 3x)2 +/ dy)2 令777話令7顧分別為平行于和垂 直于邊界方向的相速度。Raymond等認(rèn)為這樣計算 相速度會更為準(zhǔn)確但是.Barnier等認(rèn)為考慮平行 于邊界方向的相速度有可能導(dǎo)致計算的不穩(wěn)定?？傮w說來輻射邊界條件得到了很廣泛的應(yīng)用， 但是單獨地使用輻射邊界條件并不足以得到滿意 的模擬結(jié)果這是因為僅僅能處理外傳的波并不足 以成為好的邊界條件.因為在真實的邊界處還需 要考慮入流的情形:而在模式的實際應(yīng)用中輻射邊 界條件往往和松弛邊界條件一起使用方能得到較為 滿意的結(jié)果。3松弛方案在擁有觀測資料的情況下松弛方案是比較簡 單也比較有效的開邊界方法。簡單來說松弛方案也 就是把一個牛頓阻尼項加到邊界附近的控制方程 中在距邊界一定的范圍內(nèi)阻尼方程的解向給定的 氣候值恢復(fù)構(gòu)成一個“海綿”層。在設(shè)定邊界條件 時需給定適當(dāng)?shù)淖枘釙r間尺度和海綿層的寬度戶）。一般而言即使能夠獲得觀測資料也往往不直 接使用狄利克雷邊界條件即直接將觀測值賦給積 分變量因為邊界上的觀測值可能與模式內(nèi)部的解 不連續(xù)從而導(dǎo)致計算的不穩(wěn)定進而影響模擬結(jié) 果。根據(jù)松弛系數(shù)的不同形式松弛方案一般分為 線性松弛方案和指數(shù)松弛方案旳0如同前文已經(jīng)提到過的在真實的邊界處發(fā)生 著出流和入流單獨地使用松弛方案或者輻射方案 都不能準(zhǔn)確地表示邊界上的特征。Blayo等1回認(rèn) 為一個有效的開邊界條件需要遵循兩個原則：（1）反 映出流特征；（2）與觀測資料的一致性。因此將輻6 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, D研究綜述EV/EWS114海洋科學(xué)/ 2009年/第33卷/第6期6 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, D研究綜述EV/EWS6 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, D研究綜述EV/EWS6 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, D研究綜述EV/EWSMarine Sciences/ Vol. 33 .No. 6/ 2009115* 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, D研究綜述EV/EWS(I射邊界條件和松弛方案結(jié)合起來使用是個不錯的選 擇即當(dāng)邊界上為出流時采用輻射邊界條件，入流時 采用松弛方案；Treguicr等在文獻15 中稱此為混 合開邊界方法(mixed open boundary algorithm) 而 Marchesiello等則在文獻33 中稱此種方法為自適 應(yīng)方法(adaptive algorithm) 04 Stevens開邊界方法Stevens1251在1991年提出了一個新的開邊界方 法這里同樣考慮出流和入流的不同情形。當(dāng)邊界 上為入流時，可將邊界值取為氣候值，同前面一樣, 為了消除邊界處和模式區(qū)域內(nèi)部的不連續(xù)而采用松 弛的方法以使得邊界上的值隨著積分的進行向著 觀測資料趨近其方程為：其中山如前文的定義為邊界處給定的氣候值資 料/a為恢復(fù)系數(shù)。當(dāng)邊界上為出流時邊界上不使用強迫，區(qū)域內(nèi) 產(chǎn)生的波動可以傳向區(qū)域外并且在邊界處無反射 從而不影響區(qū)域內(nèi)的解.采用的方程為:K 氓+AW上式中衛(wèi)為地球赤道半徑.為緯度；應(yīng)和/U為垂 向和水平擴散系數(shù)右端二、三頂分別為垂直擴散和 水平擴散H為相速度利用上一時刻的計算值由 下面的公式反算出來：并規(guī)定c的取值與輻射邊界條件中的計算相同。可以看出.Stevens的方法一方面區(qū)分了出流和 入流的情形而另一方面是對原始方程很好的近似， 不僅考慮了內(nèi)波向外的輻射，還考慮了正交于邊界 方向的平流輸送以及各方向的湍流擴散因此從方 程本身來說比輻射方案更為準(zhǔn)確。Stevens37 1990年首次提出此開邊界方法并 將其用到GFDL的海洋模式中隨后又用于一個高 分辨率南極模式(FRAM , Fine Resolution Antarctic Model)中3 ,Stevens等陽則將其用于模擬伊比利 亞陸架海流的模式中發(fā)現(xiàn)采用該開邊界條件可以 得到較好的結(jié)果;趙亮等心將此方法用于北太平 洋模式的研究將一個閉邊界海盆尺度環(huán)流模式改 造成開邊界模式.對20S以北太平洋大尺度環(huán)流進 行了系統(tǒng)模擬成功模擬了北太平洋環(huán)流以及被動 示蹤物CFCso5 Gill開邊界方法如前文的敘述，就目前的研究來看混合邊界條 件即區(qū)別對待出流和入流的情形是最符合海洋模 式中開邊界的真實情形的開邊界方法，但是混合邊 界的使用依賴于觀測資料的準(zhǔn)確性：只是對于廣袤 的海洋和具體研究的問題在涉及到的特定開邊界 上常常未必能夠得到可使用的資料。這時候.邊界 的處理是一個問題.特別是在需要長時間積分的問 題中邊界造成的影響因為長時間的累積而更加不 可忽視旳0不同于Stevens125所采用的近似方法.最初應(yīng)用 于熱帶區(qū)域海洋的G11方案在對示蹤物的處理時 基于以下兩個假設(shè):一是示蹤物能夠自由穿過邊界， 特別是熱量需要能夠從邊界傳出以防止熱帶海洋 模式中溫度的過快増長:二是模式區(qū)域內(nèi)部計算得 到的示蹤物濃度到外部區(qū)域的氣候值資料能有光滑 的過度.以防止不連續(xù)給模式計算的穩(wěn)定性帶來影 響。這里具體介紹一下該方法。其基本思路在于將 邊界附近的區(qū)域近似看成是邊界層從而控制方程 可以筒化為垂正交干邊界方向上的平流項和擴散項 的平衡：顯然這里可以采用常微分方程的解法即可以得到 方程的解為：(y) = n +(II)其中c為任意常數(shù)從而這里求解的關(guān)鍵在于兩 個常數(shù)的取值如何盡量與實際相符合。對于出流和 入流的情形，作者分別考慮方程(10)式的不同形式 的解：出流時,v<0.考慮的解為：(y) = ( o - oo) e +8(12)其中，。為邊界上的溫度，丫為模式區(qū)域內(nèi)距離邊 界y處的溫度，8為遠(yuǎn)離邊界處的溫度(和選取的邊 界層的寬度有關(guān))，=晉為邊界層的寬度；o.00均為模擬值。為了使得邊界上模擬值向氣候值的光滑過渡, 采用如下的方法：其中 為松弛系數(shù)。因此同前文中的方法一樣，邊 界上的數(shù)值不是直接等于氣候值資料，而是向其逼 近逼近速度的快慢由參數(shù) 控制這也反映數(shù)據(jù)強Marine Sciences/ Vol. 33 .No. 6/ 2009116* 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, D研究綜述EV/EWS迫的強度：由（12）及（13）兩式即可得到：ext （ 1/） oo八八0= 1-（1/ ） （若那么邊界上的。向給定的數(shù)據(jù)趨近。入流時八0 .考慮方程（10）的平凡解 = 0, 亦即X。這是作者最初采用的方法。這與前文與到的處理方法不盡相同將開邊界 附近近似看成是一個邊界層這里假設(shè)-=0.并且 僅考慮正交于邊界的方向上的平流和擴散的平衡, 對于近似方程的求解則可以用常微分方程的方法 從而即使不依賴于觀測的資料.也可以得到邊界上 的值;這或許給開邊界問題的處理提供了一個新的 途徑:但是.該方法只考慮邊界法線方向上的平流和 擴散是否過于筒單可不可以同時考慮平行于邊界 方向的平流和擴散這些都還是需要思考的問題0 該方法除了文默40的介紹之外還沒有看到更多 的應(yīng)用以及與其他方法的比較，因此，其效果的好壞 還不確切地知道或許有賴干更多的研究。6小結(jié)開邊界問題是個相對古老的問題因此長久以 來有著很多的研究各種開邊界處理方法也不斷被 提出和應(yīng)用，但是對于開邊界條件的好壞往往并無 明確的結(jié)論,最好的、普適的開邊界條件更是無處可 尋因為這往往依賴于具體的模式和問題。一般說 來數(shù)學(xué)模型只能是物理模型的近似描述因此只有 當(dāng)數(shù)學(xué)模型接近真實的物理現(xiàn)象時實驗才能反映 物理現(xiàn)象本身。從而在海洋模式中對邊界條件的 處理是否符合實際開邊界的特征是開邊界提法正確 與否的關(guān)鍵。如文獻2.3所說.處理NS方程的開邊界問題 需要考慮其適定性但是.正因如此設(shè)計合理的開 邊界處理方法才顯得更為重要。從前文所述可知. 邊界條件有兩重涵義：（1）用來說明所研究海域的邊 界所具有的特定狀態(tài).與初始條件一起構(gòu)成模式的 定解條件從而使模式的求解能夠得到結(jié)合實際的 解；（2）描述所關(guān)注的海域與其周SI環(huán)墳之間的相互 作用關(guān)系即物質(zhì)和能量的交換。海洋科學(xué)/ 2009年/第33卷/第6期從這個意義上來說開邊界的設(shè)計不能脫離 S方程而獨立提出也正是因為這一點.輻射邊界條 件盡管在波動問題中表現(xiàn)良好而在海洋模式中卻不 如人意尤其是相速度在表現(xiàn)上是噪聲未能反映出 開邊界的真實特征。從而Blayo等（指出邊界條 件應(yīng)滿足兩點：內(nèi)部信息的外傳和外部數(shù)據(jù)的輸 116入以分別表征出流和入流的情形?，F(xiàn)在廣為使用的混臺邊界條件正是從出流和入 流的不同來分別采取輻射和松弛的處理方法但是, 這有一個前提那就是觀測數(shù)據(jù)的存在。對于廣闊 的海洋，現(xiàn)有的觀測是相對稀少而缺乏的，因此，當(dāng) 沒有觀測數(shù)據(jù)可用的時候邊界上為入流時又該如 何處理.特別是在長時間的積分問題中？ G11的方案 可能給我們某種提示把邊界附近當(dāng)成是一個邊界 層或許是有效的方法。但是該方案在提出之后鮮 有應(yīng)用，因此和其他方案的比較相對的優(yōu)點和不足 現(xiàn)在也還知之甚少。不論如何盡管該方法如前文 所說的在理論上就有著不足但是其效果還有待于 實際的模擬研究來評價。|1 Haidvogel D B . 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