2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 第40課 等比數(shù)列要點(diǎn)導(dǎo)學(xué).doc

2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 第40課 等比數(shù)列要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)等比數(shù)列的基本量運(yùn)算例1在等比數(shù)列an中,a1+a3=10,a4+a6=,求an.思維引導(dǎo)由a1+a3=10,a4+a6=的比得q=,再代入a1+a3=10,得a1=8,從而求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式.解答設(shè)等比數(shù)列an的公比是q,由a1+a3=10,a4+a6=,得a4+a6=(a1+a3)q3=10q3=,解得q=,代入a1+a3=10中,得a1+a1q2=a1=10,得a1=8,所以an=a1qn-1=.精要點(diǎn)評(píng)此題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.求等比數(shù)列的通項(xiàng)就是要求基本量a1和q,要注意q=1的情況.【題組強(qiáng)化重點(diǎn)突破】1. 等比數(shù)列x,3x+3,6x+6,的第四項(xiàng)為.答案-24解析易求得x=-3.2.(xx江蘇卷)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中,若a2=1,a8=a6+2a4,則a6的值是.答案4解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,由a8=a6+2a4,得q4-q2-2=0,解得q2=2,所以a6=a2q4=4.3.(xx全國卷)在等比數(shù)列an中,a4=2,a5=5,則數(shù)列l(wèi)gan的前8項(xiàng)和等于.答案4解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,則q=,所以a1=2=,所以lg a1=lg.因?yàn)閍n為等比數(shù)列,所以lg an-lg an-1=lg=lg(n2),所以lg an為等差數(shù)列,所以所求和為8lg+lg=8(4lg 2-3lg 5)+28(lg 5-lg 2)=4lg 2+4lg 5=4.4. 已知等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù),且a1,a3,2a2成等差數(shù)列,那么=.答案3+2解析依題意可得2=a1+2a2,即a3=a1+2a2,則有a1q2=a1+2a1q,可得q2=1+2q,解得q=1+或1-(舍去),所以=q2=3+2.5. 已知在等差數(shù)列an中,a3+a1=8,且a4為a2和a9的等比中項(xiàng),求數(shù)列an的首項(xiàng)、公差及前n項(xiàng)和.解答設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn.由已知,可得2a1+2d=8,(a1+3d)2=(a1+d)(a1+8d). 所以a1+d=4,d(d-3a1)=0,解得a1=4,d=0或a1=1,d=3,即當(dāng)數(shù)列an的首項(xiàng)為4,公差為0時(shí),數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn=4n.當(dāng)首項(xiàng)為1,公差為3時(shí),數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn=.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式例2設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,Sn+1=4an+2(nN*),若bn=an+1-2an,求bn.思維引導(dǎo)由Sn+2=4an+1+2,an+2=Sn+2-Sn+1=4(an+1-an),得an+2-2an+1=2(an+1-2an),所以bn+1=2bn,再求出首項(xiàng)b1=30,判定bn是公比為2的等比數(shù)列.解答因?yàn)閍1=1,Sn+1=4an+2(nN*),所以Sn+2=4an+1+2,則an+2=Sn+2-Sn+1=4(an+1-an),所以an+2-2an+1=2(an+1-2an),即bn+1=2bn,所以bn是公比為2的等比數(shù)列,且b1=a2-2a1.因?yàn)閍1=1,a2+a1=S2,即a2+a1=4a1+2,所以a2=3a1+2=5,所以b1=5-2=3.所以bn=32n-1.精要點(diǎn)評(píng)判斷一個(gè)數(shù)列是不是等比數(shù)列,根據(jù)定義,看前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的比是不是同一個(gè)常數(shù),同時(shí)還要求b10.等比數(shù)列的求和問題例3已知公比不為1的等比數(shù)列an的首項(xiàng)a1=,前n項(xiàng)和為Sn,且a4+S4,a5+S5,a6+S6成等差數(shù)列.(1)求等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn;(2)對(duì)nN*,在an與an+1之間插入3n個(gè)數(shù),使這3n+2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,記插入的這3n個(gè)數(shù)的和為bn,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.思維引導(dǎo)(1)由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得數(shù)列an的通項(xiàng)公式.(2)由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得,插入的3n個(gè)數(shù)的和為bn=3n,由(1)可求得bn的表達(dá)式,再根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得到結(jié)論.解答(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,因?yàn)閍4+S4,a5+S5,a6+S6成等差數(shù)列,所以a5+S5-a4-S4=a6+S6-a5-S5,即2a6-3a5+a4=0,所以2q2-3q+1=0,因?yàn)閝1,所以q=,所以等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=.Sn=1-.(2)bn=3n=,Tn=.精要點(diǎn)評(píng)本題主要考查等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的運(yùn)用,同時(shí)考查構(gòu)造新數(shù)列求通項(xiàng)、求和的方法.變式已知a1=2,點(diǎn)(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上,其中n=1,2,3,.(1)求證:數(shù)列l(wèi)g(1+an)是等比數(shù)列;(2)設(shè)Tn=(1+a1)(1+a2)(1+an),求Tn及數(shù)列an的通項(xiàng)公式.解答(1)由已知得an+1=+2an,所以an+1+1=(an+1)2.因?yàn)閍1=2,所以an+1>1,兩邊取對(duì)數(shù)得lg(1+an+1)=2lg(1+an),即=2,所以lg(1+an)是公比為2的等比數(shù)列.(2)由(1)知lg(1+an)=2n-1lg(1+a1)=2n-1lg 3=lg ,所以1+an=,所以an=-1,所以Tn=(1+a1)(1+a2)(1+an)=.等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題例4在數(shù)列an中,奇數(shù)項(xiàng)a1,a3,a5,成等差數(shù)列a2n-1(nN*),偶數(shù)項(xiàng)a2,a4,a6,成等比數(shù)列a2n(nN*),且a1=1,a2=2,a2,a3,a4,a5成等差數(shù)列,數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.(1)求通項(xiàng)an;(2)求Sn.思維引導(dǎo)(1)分奇偶討論,分別求出奇數(shù)項(xiàng)a2n-1=2n-1,和偶數(shù)項(xiàng)a2n=2n,再寫出通項(xiàng)an=(2)分別求出當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)Sn=+-2,及當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)Sn=Sn-1+an=+-2+n=+,再用分段函數(shù)形式表示結(jié)果.解答(1)設(shè)等差數(shù)列a2n-1(nN*)的公差為d,等比數(shù)列a2n(nN*)的公比為q,則a3=1+d,a4=2q,a5=1+2d,因?yàn)閍2,a3,a4,a5成等差數(shù)列,所以2(1+d)=2+2q,4q=(1+d)+(1+2d),解得q=d=2.于是a2n-1=2n-1,a2n=2n,即an=(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),奇數(shù)項(xiàng)的和為=,偶數(shù)項(xiàng)的和為=-2,故Sn=+-2.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Sn=Sn-1+an=+-2+n=+.綜上,Sn=精要點(diǎn)評(píng)要注意當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),an是奇數(shù)項(xiàng)數(shù)列的第項(xiàng),當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),an是偶數(shù)項(xiàng)數(shù)列的第項(xiàng).1. 若等比數(shù)列an滿足a2a4=,則a1a5=.答案2.在正項(xiàng)等比數(shù)列an中,a3a11=16,則log2a2+log2a12=.答案4解析因?yàn)榈缺葦?shù)列an中,a3a11=16,所以a2a12=a3a11=16,所以log2a2+log2a12=log2(a2a12)=log216=4.3.在等比數(shù)列an中,若S5=4,S10=12,則S15=牋 .答案28解析由等比數(shù)列的性質(zhì)知S5,S10-S5,S15-S10成等比數(shù)列,S5=4,S10-S5=8,所以S15-S10=16,則S15=28.4.在數(shù)列an中,若a1=1,an+1=3an+2,則an=牋 .答案23n-1-1解析由an+1=3an+2,得an+1+1=3(an+1),即=3,所以an+1是首項(xiàng)為2、公比為3的等比數(shù)列,所以an+1=23n-1,則an=23n-1-1.5.若等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn的首項(xiàng)均為1,且公差d>0,公比q>1,則集合n|an=bn,nN*中的元素個(gè)數(shù)最多是.答案2解析當(dāng)an=bn時(shí),1+(n-1)d=qn-1,設(shè)y=qx-1-(x-1)d-1,則y=qx-1ln q-d,令y=0,得x0=1+logq,當(dāng)logq0時(shí),y=qx-1-(x-1)d-1在1,+)上單調(diào)遞增,方程1+(x-1)d=qx-1有且僅有一解;當(dāng)logq>0時(shí),y=qx-1-(x-1)d-1在1,x0)上單調(diào)遞減,在x0,+)上單調(diào)遞增.所以方程1+(x-1)d=qx-1至多有兩解.所以滿足題意的n至多有2個(gè).溫馨提醒趁熱打鐵,事半功倍.請(qǐng)老師布置同學(xué)們完成配套檢測與評(píng)估中的練習(xí)第7980頁.