洛必達(dá)法則 泰勒公式

傳播優(yōu)秀Word版文檔 ，希望對(duì)您有幫助，可雙擊去除！第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二講洛必達(dá)法則泰勒公式目的1使學(xué)生掌握用洛必達(dá)法則求各種類型未定式極限的方法；2理解泰勒中值定理的內(nèi)涵；3 了解等函數(shù)的麥克勞林公式；4學(xué)會(huì)泰勒中值定理的一些簡(jiǎn)單應(yīng)用重點(diǎn)1運(yùn)用洛必達(dá)法則求各種類型未定式極限的方法；2使學(xué)生理解泰勒中值定理的內(nèi)涵難點(diǎn)使學(xué)生深刻理解泰勒中值定理的精髓一、洛必達(dá)法則在第一章第七節(jié)中我們?cè)?jīng)討論過(guò)無(wú)窮小的比較問題，并且已經(jīng)知道兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，既使它存在也不能用商的極限運(yùn)算法則去求解而由無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系知，無(wú)窮大之比的極限問題也是如此在數(shù)學(xué)上，通常把無(wú)窮小之比的極限和無(wú)窮大之比的極限稱為未定式，并分別簡(jiǎn)記為和由于在討論上述未定式的極限時(shí)，不能應(yīng)用商的極限運(yùn)算法則，這或多或少地都會(huì)給未定式極限的討論帶來(lái)一定的困難今天在這里我們應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的理論推出一種既簡(jiǎn)便又重要的未定式極限的計(jì)算方法，并著重討論當(dāng)時(shí)，型未定式極限的計(jì)算，關(guān)于這種情形有以下定理定理1設(shè)(1) 當(dāng)時(shí)，函數(shù)及都趨于零；(2)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)，及都存在，且；(3)存在(或?yàn)闊o(wú)窮大)，則15 / 15也就是說(shuō)，當(dāng)存在時(shí)，也存在，且等于；當(dāng)為無(wú)窮大時(shí)，也是無(wú)窮大這種在一定條件下，通過(guò)分子分母分別求導(dǎo)，再求極限來(lái)確定未定式極限的方法稱為洛必達(dá)(LHospital)法則下面我們給出定理1的嚴(yán)格證明：分析由于上述定理的結(jié)論是把函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)數(shù)的問題，顯然應(yīng)考慮微分中值定理再由分子和分母是兩個(gè)不同的函數(shù)，因此應(yīng)考慮應(yīng)用柯西中值定理證因?yàn)榍髽O限與及的取值無(wú)關(guān)，所以可以假定于是由條件(1)和(2)知，及在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)是連續(xù)的設(shè)是這鄰域內(nèi)一點(diǎn)，則在以及為端點(diǎn)的區(qū)間上，函數(shù)和滿足柯西中值定理的條件，因此在和之間至少存在一點(diǎn)，使得等式(在與之間)成立對(duì)上式兩端求時(shí)的極限，注意到時(shí)，則又因?yàn)闃O限存在(或?yàn)闊o(wú)窮大)，所以故定理1成立注若仍為型未定式，且此時(shí)和能滿足定理1中和所要滿足的條件，則可以繼續(xù)使用洛必達(dá)法則先確定，從而確定和，即且這種情況可以繼續(xù)依此類推例1求分析當(dāng)時(shí)，分子分母的極限皆為零，故屬于型不定式，可考慮應(yīng)用洛必達(dá)法則解.注最后一個(gè)求極限的函數(shù)在處是連續(xù)的例2求解.注例中我們連續(xù)應(yīng)用了兩次洛必達(dá)法則例3求解.例4求.解.注(1) 在例4中，如果我們不提出分母中的非零因子，則在應(yīng)用洛必達(dá)法則時(shí)需要計(jì)算導(dǎo)數(shù)，從而使運(yùn)算復(fù)雜化因此，在應(yīng)用洛必達(dá)法則求極限時(shí)，特別要注意通過(guò)提取因子，作等價(jià)無(wú)窮小代換，利用兩個(gè)重要極限的結(jié)果等方法，使運(yùn)算盡可能地得到簡(jiǎn)化課后請(qǐng)同學(xué)們自己學(xué)習(xí)教材136頁(yè)上的例10 (2) 例中的極限已不是未定式，不能對(duì)它應(yīng)用洛必達(dá)法則，否則要導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果以后在應(yīng)用洛必達(dá)法則時(shí)應(yīng)特別注意，不是未定式，不能應(yīng)用洛必達(dá)法則對(duì)于時(shí)的未定式有以下定理定理2設(shè)(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)及都趨于零；(2) 當(dāng)時(shí)，與都存在，且；(3)存在(或?yàn)闊o(wú)窮大)，則同樣地,對(duì)于(或)時(shí)的未定式，也有相應(yīng)的洛必達(dá)法則定理3設(shè)(1)當(dāng)(或)時(shí)，函數(shù)及都趨于無(wú)窮大；(2)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)(或當(dāng)時(shí))，及都存在，且；(3)存在(或?yàn)闊o(wú)窮大)，則例5求.解.例6求.解.事實(shí)上，例6中的不是正整數(shù)而是任何正數(shù)其極限仍為零注由例5和例6可見，當(dāng)時(shí)，函數(shù)都是無(wú)窮大，但三個(gè)函數(shù)增大的“速度”是不一樣的，最快，其次是，最慢的是除了和型未定式外，還有型的未定式這些未定式可轉(zhuǎn)化為或型的未定式來(lái)計(jì)算，下面我們通過(guò)實(shí)例來(lái)加以說(shuō)明例7求分析因?yàn)椋允切臀炊ㄊ接忠驗(yàn)?，而是型未定式，是型未定式，所以型未定式可以轉(zhuǎn)化為或型未定式去計(jì)算解.例8求分析因?yàn)?，所以是型未定式又因?yàn)槎切臀炊ㄊ?，所以上述型未定式可以轉(zhuǎn)化為型未定式來(lái)計(jì)算解注討論型未定式的極限，一般都是通過(guò)提取公因式或通分的方法把函數(shù)由和的形式轉(zhuǎn)化為商的形式，然后再去討論例9求.分析這是一個(gè)冪指函數(shù)求極限的問題，由于，所以是一個(gè)型未定式又因?yàn)?，而是型未定式，所以上述型未定式可以轉(zhuǎn)化為或型未定式來(lái)計(jì)算解.例10求分析由于，所以是一個(gè)型未定式又因?yàn)椋切臀炊ㄊ?，所以上述型未定式可以轉(zhuǎn)化為或型未定式來(lái)計(jì)算解.由于,所以例11求.分析由于，所以是一個(gè)型未定式又因?yàn)?，而是型未定式，所以上述型未定式可以轉(zhuǎn)化為或型未定式來(lái)計(jì)算解由于，所以.型未定式向或型未定式的轉(zhuǎn)化可形式地表示為：或；(或)；(或)；(或) 最后我們指出，洛必達(dá)法則是求未定式極限的一種方法當(dāng)定理的條件滿足時(shí)，所求的極限當(dāng)然存在(或?yàn)?，但當(dāng)定理的條件不滿足時(shí)，所求極限不一定不存在也就是說(shuō)，當(dāng)不存在時(shí)(無(wú)窮大的情況除外)，仍可能存在,見下面的例題例12求.解這是一個(gè)型未定式，我們有由于上式右端極限不存在，所以未定式的極限不能用洛必達(dá)法則去求，但不能據(jù)此斷定極限不存在這時(shí)我們需要另辟新徑，重新考慮這個(gè)極限由此可見極限是存在的二、泰勒公式把一個(gè)復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)單的問題去研究是我們研究復(fù)雜問題時(shí)經(jīng)常采用的方法，那么對(duì)于一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)，為了便于研究，我們也希望用一些簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)近似表達(dá)說(shuō)到簡(jiǎn)單函數(shù)，我們想到了用多項(xiàng)式表示的函數(shù)，它的運(yùn)算非常簡(jiǎn)單那么是否任意一個(gè)函數(shù)都可以用多項(xiàng)式去近似表達(dá)呢？關(guān)于這個(gè)問題我們?cè)?jīng)在微分近似計(jì)算中討論過(guò)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且，則在該鄰域內(nèi)用上述的一次多項(xiàng)式去近似表達(dá)函數(shù)存在兩點(diǎn)不足：(1) 精確度不高，它所產(chǎn)生的誤差僅是比高階的無(wú)窮小；(2) 用它做近似計(jì)算時(shí)，不能具體估算出誤差大小因此，在一些精度要求較高且要求估計(jì)誤差的問題中，上述近似表達(dá)是滿足不了要求的這時(shí)我們就想，是否可以找到一個(gè)關(guān)于的更高次多項(xiàng)式去近似地表達(dá)函數(shù)，從而使誤差變得更小呢？這就是下面我們要解決的問題設(shè)函數(shù)在含有的某個(gè)開區(qū)間內(nèi)具有直到階的導(dǎo)數(shù)，并設(shè)用于近似表達(dá)函數(shù)的多項(xiàng)式為.(1)既然我們要用去近似地表達(dá)，自然要求在處的函數(shù)值及它的直到階的導(dǎo)數(shù)在處的值依次與，相等，即，這樣我們就得到了如下個(gè)等式，,，即，,將所求得的多項(xiàng)式的系數(shù)，,代入(1)式，得.(2)下面的泰勒(aylor)中值定理告訴我們，多項(xiàng)式(2)就是我們要找的多項(xiàng)式，并且用它去近似表達(dá)函數(shù)f(x),其誤差的確變小了泰勒中值定理若函數(shù)f(x)在含有x的某個(gè)開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到(n+1)階的導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任意x,有f(x)=.(3)其中，(4)這里是在與之間的某個(gè)值由(2)式和(3)式知，現(xiàn)在只要證明(介于與之間)即可證由假設(shè)知，在內(nèi)具有直到階的導(dǎo)數(shù)，且.函數(shù)與在以及為端點(diǎn)的區(qū)間上滿足柯西中值定理的條件，故有(介于與之間).同樣，函數(shù)與在以及為端點(diǎn)的區(qū)間上也滿足柯西中值定理的條件，故有(介于與之間).繼續(xù)對(duì)函數(shù)與在以及為端點(diǎn)的區(qū)間上應(yīng)用柯西中值定理，如此做下去，經(jīng)過(guò)次應(yīng)用柯西中值定理后，得(介于與之間，因而也在與之間).定理證畢泰勒中值定理告訴我們，以多項(xiàng)式近似表達(dá)函數(shù)時(shí)，其誤差為如果對(duì)某個(gè)固定的，當(dāng)時(shí)，則有誤差估計(jì)式，及由此可見，當(dāng)時(shí)，誤差是比高階的無(wú)窮小，即(5)上述結(jié)果表明，多項(xiàng)式的次數(shù)越大，越小，用去近似表達(dá)的誤差就越小，是比高階的無(wú)窮小，并且誤差是可估計(jì)的泰勒公式不僅在近似計(jì)算中有著廣泛的應(yīng)用，而且它在級(jí)數(shù)理論和數(shù)值計(jì)算中也起著重要的作用，同學(xué)們一定要深刻地理解它到此我們所提出的問題就解決了多項(xiàng)式(2)稱為函數(shù)按的冪展開的次泰勒多項(xiàng)式，公式(3)稱為按的冪展開的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的階泰勒公式，而的表達(dá)式(4)稱為拉格朗日型余項(xiàng)當(dāng)時(shí)，泰勒公式變成拉格朗日中值公式(介于與之間)因此，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣在不需要余項(xiàng)的精確表達(dá)式時(shí)，階泰勒公式也可寫成.()的表達(dá)式(5)稱為佩亞諾(Peano)型余項(xiàng)，公式(6)稱為按的冪展開的帶有佩亞諾型余項(xiàng)的階泰勒公式在泰勒公式(3)中，如果取，則在0與之間因此可令，從而泰勒公式變成簡(jiǎn)單的形式，即所謂帶有拉格朗日型余項(xiàng)的麥克勞林(Maclaurin)公式.(7)在泰勒公式(6)中，若取，則帶有佩亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林公式為.(8)由(7)和(8)可得近似公式.(9)誤差估計(jì)式相應(yīng)地變成. (10)例1寫出函數(shù)的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的階麥克勞林公式解因?yàn)?，所以把這些值代入公式(7)，并注意到，便得.由這個(gè)公式可知，若把用它的次泰勒多項(xiàng)式近似地表達(dá)為，則所產(chǎn)生的誤差為.如果取，則無(wú)理數(shù)的近似式為，其誤差當(dāng)時(shí)，可算出，其誤差不超過(guò)例2求的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的階麥克勞林公式解因?yàn)?，所以，,它們順序循環(huán)地取四個(gè)數(shù)，于是令，按公式(7)得，其中如果取，則得近似公式，這時(shí)誤差為.如果分別取和，則可得的次和次近似和，其誤差的絕對(duì)值依次不超過(guò)和以上三個(gè)近似多項(xiàng)式及正弦函數(shù)的圖形見圖4由圖4可見，當(dāng)時(shí)，近似多項(xiàng)式的次數(shù)越高，其向函數(shù)逼近的速度就越快，這就是泰勒公式的精髓類似地，我們還可以求出函數(shù)和的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的麥克勞林公式：其中;,其中；，其中由以上帶有拉格朗日型余項(xiàng)的麥克勞林公式，可很容易的得到相應(yīng)地帶有佩亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林公式，請(qǐng)同學(xué)們課后自己寫出來(lái)以上這些常見函數(shù)的麥克勞林公式要求同學(xué)們一定要熟記，以便在今后使用時(shí)方便例3利用帶有佩亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林公式，求極限分析利用帶有佩亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林公式求極限，就是把極限中所涉及到的不是關(guān)于的多項(xiàng)式的函數(shù)，都用麥克勞林公式來(lái)表示，然后求其極限在利用麥克勞林公式計(jì)算極限時(shí)，自變量的變化過(guò)程一定得是趨于零，否則保證不了麥克勞林公式對(duì)原始函數(shù)的良好近似在本問題中，由于分式的分母，因此我們只需要將分子中的和分別用帶有佩亞諾型余項(xiàng)的三階麥克勞林公式表示即可，其中，為什么和要展成三階麥克勞林公式，而不展成其它階的麥克勞林公式呢？這是因?yàn)橛名溈藙诹止綄⒎肿诱钩申P(guān)于的多項(xiàng)式后,分子分母中的最高次冪一定要相等，以便運(yùn)算這一點(diǎn)同學(xué)們今后一定要注意解其中仍是比高階的無(wú)窮小，因?yàn)榭偨Y(jié)由于兩個(gè)多項(xiàng)式之比的極限比較容易計(jì)算，所以人們經(jīng)常利用泰勒公式把兩個(gè)復(fù)雜函數(shù)之比的極限問題轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式之比的極限問題 溫馨提示：最好仔細(xì)閱讀后才下載使用，萬(wàn)分感謝！