2018-2019數(shù)學(xué)北師大版選修1-1 第三章2.2 導(dǎo)數(shù)的概念　導(dǎo)數(shù)的幾何意義 課件

2 導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義 21 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 22 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義 第三章第三章 變化率與導(dǎo)數(shù)變化率與導(dǎo)數(shù) 學(xué)習(xí)導(dǎo)航學(xué)習(xí)導(dǎo)航 第三章第三章 變化率與導(dǎo)數(shù)變化率與導(dǎo)數(shù) 學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)目標(biāo)目標(biāo) 1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景 2理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義(重點(diǎn)重點(diǎn)) 3掌握利用定義求導(dǎo)數(shù)，會求曲線的切線方程掌握利用定義求導(dǎo)數(shù)，會求曲線的切線方程 (難點(diǎn)難點(diǎn)) 學(xué)法學(xué)法指導(dǎo)指導(dǎo) 1.通過實(shí)例，從瞬時(shí)變化率角度理解導(dǎo)數(shù)的定義和通過實(shí)例，從瞬時(shí)變化率角度理解導(dǎo)數(shù)的定義和實(shí)際意義實(shí)際意義 2從曲線割線斜率的變化體會導(dǎo)數(shù)的幾何意義從曲線割線斜率的變化體會導(dǎo)數(shù)的幾何意義 3體會極限逼近的思想體會極限逼近的思想. 1.導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) yf(x)，當(dāng)自變量，當(dāng)自變量 x 從從 x0變到變到 x1時(shí)，函數(shù)值從時(shí)，函數(shù)值從 f(x0)變到變到 f(x1)，函數(shù)值，函數(shù)值 y 關(guān)于關(guān)于 x 的平均變化率為的平均變化率為yx f（x1）f（x0）x1x0f（x0 x）f（x0）x. 當(dāng)當(dāng) x1趨于趨于 x0，即，即 x 趨于趨于 0 時(shí)，如果平均變化率趨于一個(gè)固定的時(shí)，如果平均變化率趨于一個(gè)固定的值，那么這個(gè)值就是函數(shù)值，那么這個(gè)值就是函數(shù) yf(x)在在 x0點(diǎn)的點(diǎn)的_.在在數(shù)學(xué)中，稱瞬時(shí)變化率為函數(shù)數(shù)學(xué)中，稱瞬時(shí)變化率為函數(shù) yf(x)在在 x0點(diǎn)的點(diǎn)的_,通常用通常用符號符號_表示，記作表示，記作 f(x0) limx1x0 f（x1）f（x0）x1x0_. 瞬時(shí)變化率瞬時(shí)變化率 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) f(x0) limx0f（x0 x）f（x0）x 0 2.函數(shù)函數(shù) yf(x)“在點(diǎn)在點(diǎn) x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)”“導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)”“導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)”之間的之間的區(qū)別與聯(lián)系：區(qū)別與聯(lián)系： (1)“函數(shù)函數(shù) f(x)在點(diǎn)在點(diǎn) x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)”， 是一個(gè)數(shù)值， 不是變數(shù)， 是一個(gè)數(shù)值， 不是變數(shù)，它是針對一個(gè)點(diǎn)它是針對一個(gè)點(diǎn) x0而言的， 與給定的函數(shù)及而言的， 與給定的函數(shù)及 x0的位置的位置 有有關(guān)，關(guān)， 而而 與與 x 無關(guān)無關(guān) (2)“導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)”也簡稱也簡稱“導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)”，是一個(gè)確定的函數(shù)，它是相，是一個(gè)確定的函數(shù)，它是相對對 于一個(gè)區(qū)間而言的，依賴于函數(shù)本身，而與于一個(gè)區(qū)間而言的，依賴于函數(shù)本身，而與 x，x 無無關(guān)關(guān) (3)函數(shù)函數(shù)yf(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)f(x0)就是導(dǎo)函數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)xx0處的函數(shù)值，即處的函數(shù)值，即 f(x0)f(x)|xx . 3導(dǎo)數(shù)的幾何意導(dǎo)數(shù)的幾何意義義 (1)曲線的割線曲線的割線 函數(shù)函數(shù) yf(x)在在x0，x0 x的平均變化率為的平均變化率為yx，如圖，如圖，它它是過是過 A(x0，f(x0)和和 B(x0 x，f(x0 x)兩點(diǎn)的直線的兩點(diǎn)的直線的_這條直線稱為曲線這條直線稱為曲線 yf(x)在點(diǎn)在點(diǎn) A 處的一條處的一條割線割線 斜率斜率 (2)曲線的切線曲線的切線 如圖，設(shè)函數(shù)如圖，設(shè)函數(shù) yf(x)的圖像是一條光滑的圖像是一條光滑 的曲線，從圖像上可以看出：當(dāng)?shù)那€，從圖像上可以看出：當(dāng) x 取不取不 同的值時(shí)，可以得到不同的割線；當(dāng)同的值時(shí)，可以得到不同的割線；當(dāng) x 趨于零時(shí)，點(diǎn)趨于零時(shí)，點(diǎn) B 將沿著曲線將沿著曲線 yf(x)趨于趨于點(diǎn)點(diǎn) A，割線，割線 AB 將繞將繞點(diǎn)點(diǎn) A 轉(zhuǎn)動最后趨于直線轉(zhuǎn)動最后趨于直線 l.直線直線 l 和曲線和曲線 yf(x)在點(diǎn)在點(diǎn) A 處處“相相切切”， 稱直線， 稱直線 l 為曲線為曲線 yf(x)在點(diǎn)在點(diǎn) A 處的處的_ 該切線 該切線的斜率就是函數(shù)的斜率就是函數(shù) yf(x)在在 x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù) f(x0) 切線切線 (3)導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)函數(shù)yf(x)在在x0處的導(dǎo)數(shù)，是曲線處的導(dǎo)數(shù)，是曲線yf(x)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0，f(x0)處處 的的_函數(shù)函數(shù)yf(x)在在x0處切線的斜處切線的斜 率反率反 映映 了導(dǎo)了導(dǎo)數(shù)的幾何意義數(shù)的幾何意義 4(1)函數(shù)函數(shù)yf(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線yf(x)在在點(diǎn)點(diǎn)P(x0，f(x0)處的切線的斜率也就是說，曲線處的切線的斜率也就是說，曲線yf(x) 在在 點(diǎn)點(diǎn)P(x0，f(x0)處的切線的斜率是處的切線的斜率是f(x0)相應(yīng)地，切線方程為相應(yīng)地，切線方程為yy0f(x0)(xx0) 切線的斜率切線的斜率 (2)函數(shù)函數(shù)yf(x)在點(diǎn)在點(diǎn)P處的切線的斜率，即函數(shù)處的切線的斜率，即函數(shù)yf(x)在點(diǎn)在點(diǎn)P處處的導(dǎo)數(shù)，反映了曲線在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，反映了曲線在點(diǎn)P處的變化率一般地，切處的變化率一般地，切 線線 的的 斜斜率的絕對值越大，變化率就越大，曲線的變化就越快，彎率的絕對值越大，變化率就越大，曲線的變化就越快，彎 曲曲程度越大；切線斜率的絕對值越小，變化率就越小，曲線程度越大；切線斜率的絕對值越小，變化率就越小，曲線 的的變化就越慢，彎曲程度越小，即曲線比較平緩；反之，由變化就越慢，彎曲程度越小，即曲線比較平緩；反之，由 曲曲線在點(diǎn)線在點(diǎn)P附近的平緩、彎曲程度，可以判斷函數(shù)在點(diǎn)附近的平緩、彎曲程度，可以判斷函數(shù)在點(diǎn)P處的處的 切切線的斜率的大小線的斜率的大小 1判斷正誤判斷正誤(正確的打正確的打“”，錯(cuò)誤的打，錯(cuò)誤的打“”) (1)函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)與 x 值的正、負(fù)值的正、負(fù)無關(guān)無關(guān)( ) (2)函數(shù)函數(shù) yf(x)在在 xx0處的導(dǎo)數(shù)值是處的導(dǎo)數(shù)值是 x0 時(shí)的平均變化率時(shí)的平均變化率( ) (3)若函數(shù)若函數(shù) yf(x)在在 xx0處有導(dǎo)數(shù)，則函數(shù)處有導(dǎo)數(shù)，則函數(shù) yf(x)在在 xx0處處有唯一的一條切線有唯一的一條切線( ) (4)若函數(shù)若函數(shù) yf(x)在在 xx0處導(dǎo)數(shù)不存在，則函數(shù)處導(dǎo)數(shù)不存在，則函數(shù) yf(x)在在 xx0處的切線不存在處的切線不存在( ) (5)函數(shù)函數(shù) yf(x)在在xx0處的切線與函數(shù)處的切線與函數(shù) yf(x)的公共點(diǎn)不一定的公共點(diǎn)不一定是一個(gè)是一個(gè)( ) 2設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x)定義域?yàn)槎x域?yàn)?R，limx0 f（1 x）f（1） x為為常數(shù)常數(shù)，則它等于則它等于( ) Af(1) Bf(0) Cf( x) D. y x 解析：由定義知它是解析：由定義知它是f(x)在在x1處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù) A 3設(shè)設(shè)f(x0)0，則曲線則曲線yf(x)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線處的切線( ) A不存在不存在 B與與x軸重合或平行軸重合或平行 C與與x軸垂直軸垂直 D與與x軸斜交軸斜交 解析：解析：f(x0)0，即即yf(x)在在x0處的切線的斜率為處的切線的斜率為0.當(dāng)當(dāng)f(x0)0時(shí)時(shí)，切線與切線與x軸重合；當(dāng)軸重合；當(dāng)f(x0)0時(shí)時(shí)，切線與切線與x軸平行軸平行 B 4(2014 南京市高二期末南京市高二期末)已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)x1x，則則 f(1)的值為的值為_ 解析：解析：f(x)11x(x0)，f(1)limx0 f（1 x）f（1） xlimx0 11 x1. 1 定義法求導(dǎo)與導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義定義法求導(dǎo)與導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義 建造一棟面積為建造一棟面積為 x 平方米的房屋需要成本平方米的房屋需要成本 y 萬元萬元，y是是 x 的函數(shù)的函數(shù)，yf(x)x10 x100.3，求求 f(100)，并解釋它并解釋它的實(shí)際意義的實(shí)際意義 解解 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，得得 f(100)limx0 y xlimx0 f（100 x）f（100） x limx0 100 x100 x3（100 1003）10 x limx0 (110100 x1010 x) limx0110110（100 x10） 0.105. f(100)0.105 表示當(dāng)建筑面積為表示當(dāng)建筑面積為 100 平方米時(shí)平方米時(shí)，成本增加成本增加的速度為的速度為 1 050 元元/平方米平方米， 也就是說當(dāng)建筑面積也就是說當(dāng)建筑面積為為 100 平方米平方米時(shí)時(shí)，每增加每增加 1 平方米的建筑面積平方米的建筑面積，成本就要增加成本就要增加 1 050 元元 方法歸納方法歸納 (1)求導(dǎo)方法簡記為：一差求導(dǎo)方法簡記為：一差、二比二比、三趨近三趨近 (2)求函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的方法有兩種：一種是直接求函數(shù)求函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的方法有兩種：一種是直接求函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)；另一種是求出導(dǎo)函數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)在該點(diǎn)的在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)；另一種是求出導(dǎo)函數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值，此方法是常用方法函數(shù)值，此方法是常用方法 解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)閥tf（2t）f（2）t3（2t）3 2t3， 所以所以 f(2)limt0 yt3. f(2)3 的意義是的意義是:水流在水流在 2 s 時(shí)的瞬時(shí)流量為時(shí)的瞬時(shí)流量為 3 m3/s， 即如果， 即如果保持這一速度保持這一速度,每經(jīng)過每經(jīng)過 1 s,水管中流過的水量為水管中流過的水量為 3 m3. 1.一條水管中流過的水量一條水管中流過的水量y(單位：單位：m3)是時(shí)間是時(shí)間t(單位：單位：s)的函數(shù)的函數(shù), yf(t)3t.求函數(shù)求函數(shù)yf(t)在在t2處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)f(2)，并解釋，并解釋 它它 的的 實(shí)實(shí)際意義際意義 求函數(shù)或曲線在某點(diǎn)處的切線方程求函數(shù)或曲線在某點(diǎn)處的切線方程 已知曲線已知曲線 C：yx3. (1)求曲線求曲線 C 上橫坐標(biāo)為上橫坐標(biāo)為 1 的點(diǎn)處的切線的方程；的點(diǎn)處的切線的方程； (2)第第(1)小題中的切線與曲線小題中的切線與曲線 C 是否還有其他的公共點(diǎn)？是否還有其他的公共點(diǎn)？ (鏈接教材第三章鏈接教材第三章 2.2 例例 4、例、例 5) 解解 (1)將將 x1 代入曲線代入曲線 C 的方程，得的方程，得 y1，即切點(diǎn)為，即切點(diǎn)為P(1，1) ylimx0 yx limx0 （xx）3x3x limx0 3x2x3x（x）2（x）3x limx03x23xx(x)23x2. f(1)3， 過點(diǎn)過點(diǎn) P 的切線方程為的切線方程為 y13(x1)， 即即 3xy20. (2)由由 y3x2，yx3可得：可得：(x1)(x2x2)0， 解得解得 x1 或或 x2. 從而求得公共點(diǎn)為從而求得公共點(diǎn)為(1，1)和和(2，8)因此，切線與曲因此，切線與曲線線 C 的公共點(diǎn)除了切點(diǎn)外，還有另外的公共點(diǎn)除了切點(diǎn)外，還有另外的點(diǎn)的點(diǎn) 方法歸納方法歸納 (1)求曲線求曲線yf(x)在點(diǎn)在點(diǎn)P(x0，f(x0)處的切線方程，即處的切線方程，即 點(diǎn)點(diǎn)P 既既 滿滿足曲線方程，又滿足切線方程足曲線方程，又滿足切線方程,若點(diǎn)若點(diǎn)P處的切線斜率為處的切線斜率為f(x0), 則則點(diǎn)點(diǎn)P處的切線方程為處的切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)；如果曲線；如果曲線y f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)P處的切線平行于處的切線平行于y軸軸(此時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在此時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在)，可由切線，可由切線 定定 義義確定切線方程為確定切線方程為xx0. (2)若切點(diǎn)未知，此時(shí)需設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義若切點(diǎn)未知，此時(shí)需設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義 列列出關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程出關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程,最后求出切點(diǎn)坐標(biāo)或切線的方程最后求出切點(diǎn)坐標(biāo)或切線的方程,此此時(shí)求出的切線方程往往不止一條時(shí)求出的切線方程往往不止一條 2.(2014 許昌市五校聯(lián)考許昌市五校聯(lián)考)曲線曲線 f(x)12x2在點(diǎn)在點(diǎn) 1，12處的切處的切線方程為線方程為( ) A2x2y10 B2x2y10 C2x2y10 D2x2y30 解析：選解析：選 C.yxf（1x）f（1）x 12（1x）21212xx12（x）2x112x， f(1)limx0 yxlimx0 (112x)1. (1，12)處的切線方程為處的切線方程為 y12x1，即，即 2x2y10. 已知已知 f(x)在在 xx0處的導(dǎo)數(shù)為處的導(dǎo)數(shù)為 4，則，則 limx0 f（x02x）f（x0）x_ 易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示 因?qū)?dǎo)數(shù)的概念理解不透徹致誤因?qū)?dǎo)數(shù)的概念理解不透徹致誤 解解 limx0 f（x02x）f（x0）x limx0f（x02x）f（x0）2x2 2limx0 f（x02x）f（x0）2x 2f(x0)248. 錯(cuò)因與防范錯(cuò)因與防范 本例易因?qū)?dǎo)數(shù)概念不理解，亂套用定義致本例易因?qū)?dǎo)數(shù)概念不理解，亂套用定義致錯(cuò) 注意本題分子中錯(cuò) 注意本題分子中 x 的增量是的增量是 2x， 即， 即(x02x)x02x，解決此類問題關(guān)鍵是變形分母中解決此類問題關(guān)鍵是變形分母中 x 的增量，使與分子中的增的增量，使與分子中的增量一致量一致(包括符號包括符號)，歸結(jié)為，歸結(jié)為 climx0 f（x0kx）f（x0）kx(c，k 為常數(shù)且為常數(shù)且 kc0)的形式的形式. 3已知已知 f(1)2，則，則limx0 f（12x）f（1）x_ 解：解：limx0 f（12x）f（1）x (2)limx0 f（12x）f（1）2x (2)(2)4. 解解 yx33ax. ylimx0 （xx）33a（xx）x33axx limx0 3x2x3x（x）2（x）33axx limx03x23xx(x)23a 3x23a. 技法導(dǎo)學(xué)技法導(dǎo)學(xué) 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的取值利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的取值 若曲線若曲線yx33ax在某點(diǎn)處的切線方程為在某點(diǎn)處的切線方程為y3x1.求求a的值的值 設(shè)曲線與直線相切的切點(diǎn)為設(shè)曲線與直線相切的切點(diǎn)為 P(x0，y0)， 結(jié)合已知條件，得結(jié)合已知條件，得 3x203a3，x303ax0y03x01，解得解得 a1322，x0342. a1322. 感悟提高感悟提高 充分利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，明確切點(diǎn)是曲充分利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，明確切點(diǎn)是曲線與切線的一個(gè)公共點(diǎn)線與切線的一個(gè)公共點(diǎn) 本部分內(nèi)容講解結(jié)束本部分內(nèi)容講解結(jié)束 按按ESC鍵退出全屏播放鍵退出全屏播放