含參量反常積分的一致收斂性判別法

3.含參量的反常積分一致收斂性判別法Weierstrass 判別法 設(shè)函數(shù)f(x,t)定義在D -(x,t): a _x 5心，t T R：中，若(a) 對于每個A a， f (x, t)在x：二a, A上為r-可積的；-bo(b) 存在:(x)，使得 (x)dx收斂，且af(x,t)蘭半(x), xEa,+o)；-bo-bo則反常積分 f(x,t)dx關(guān)于tT絕對一致收斂，亦即，反常積分f(x,t)dx關(guān)于tT 一致aa收斂.我們稱定理中的 (x)為f (x,t)的優(yōu)函數(shù).Abel判別法 設(shè)函數(shù)f (x,t)、g (x,t)定義在D X(x,t): a zx ： ：, t T R；中，若-bo(a) 若反常積分f f(x,t)dx關(guān)于tT 一致收斂；a(b) g(x, t)是x的單調(diào)函數(shù)，且存在常數(shù) L 0 (與a, ：)、t T無關(guān))，使得g(x,t)el ；-bo則反常積分f (x,t)g(x,t)dx關(guān)于t T 一致收斂.aDirichlet 判別法 設(shè)函數(shù)f (x,t)、g(x,t)定義在D - (x,t): a _ x ： ：, t T R：中，若A(a)對于每個A a， f (x, t)在a, A上為R-可積的，且積分.f(x,t)dx關(guān)于t Ta一致有界，亦即， M0 (與A、t無關(guān))，使得AJ f (x,t)dx 乞 M ;a(b) g(x, t)是x的單調(diào)函數(shù)，且xlim g(x,t) =0x廠:關(guān)于t T 一致成立；-be則反常積分 f (x,t)g(x,t)dx關(guān)于t三T 一致收斂.a: 2 -補充例9 試證反常積分u三.0,亠一致收斂.e-sin x dx，二匸0為常數(shù)，關(guān)于0 丿 -oxsin x Ee一 X, u0,：，(*)e-xdx亠掙a=1 收斂，故由 Weierstrass判別法知反常積分CtF 2-u x . .e sinx dx0關(guān)于u三0,：一致收斂;補充例10試證反常積分-bC -0sinx du， - - 0為常數(shù)，關(guān)于x- .0,亠一致收斂.證* - 0，由-bo-bofu4x sin x du=ox u x .e sin x Je duAA作變量代換t = x u，上式右邊成為sin x(* )注意到/xs in xximxPm乎才x=0-bo.e42xAdt.2e dt-bot2積分e dt :-0TT是著名的歐拉積分，我們將在下面計算它2于是，對于(*), Vs >0 , > a0,當(dāng) xw (0,6 )時，有2；進(jìn)而，- A 0， x三0,，有乂2亠、2飛"bi nxdu=-bo _u2 x i e sin x JeduAA顯然，x=0上述不等式也成立，因此，對于-A . 0、x：= |0,、：時,fe)xsinxduA另一方面，_x :三匕，亠,由-be-be與 er"du收斂（歐拉型積分），故由Weierstrass判別法，知反常積分e00xsinxdu在一x ：二1：,：中一致收斂.聯(lián)合關(guān)于x1.0與x：二山，：;心；的結(jié)果，補充例10得證.補充例11試證反常積分Jsinx0dx關(guān)于u0,= 致收斂.x竺仝dx收斂，因此關(guān)于u：= Io,致收斂;0 x另一方面,g x,u =e"u 關(guān)于x0, 二單調(diào)遞減，且在 x, u1-0, :1-0 :中一致有界x u0 -e - 1 ,Abel判別法便證明了例11.補充例12 試證反常積分esinx sin2x dx關(guān)于；-三0,亠一致收斂.0511證 由g X,當(dāng)Xr"時單調(diào)遞減且g x,0 ；另一方面,X九XAAAsi nAsi nxesin 2x dx=2.si nx iesin x cosx dx=2t et dt000只 . si nA sin A , ._=2 sin A e -e +1 蘭 6 e ；Dirichlet判別法證明了補充例12 .11 sin -補充例13 設(shè)-：:p ： :,考慮反常積分|pX dx，試證、xp 0(1)(2)-:p : 1絕對收斂、當(dāng)1 < p : 2非絕對收斂、當(dāng)2乞p ： :發(fā)散;pD0,2-一致收斂，其中、：.0、當(dāng)p"0,2非一致收斂(1)將有限區(qū)間X -當(dāng)-:p ：:1 時，令.1 si n 0,1 上的函數(shù)公的積分化為無限區(qū)間上的積分比較方便Xp11t， dX dt，x：=0,1 丨）txt.11 sin1二 Tdx二0 x :sint -1dt _ :2 dt - I丄 t211t勢dt.#于是,-ba:tsintdtt2 dt1 t因此當(dāng)p -1 時，有 2 - p 1，垃1故積分 - dt的收斂性保證了反常積分 I絕對收斂；因此,1 t當(dāng)< p : 1時，積分絕對收斂；當(dāng) 1 _ p : 2，則 0 ： 2 p _ 1，積分sintdt發(fā)散，這是因為#sint嚴(yán)2sin t 1 -cos2t 1 cos2t t2t 2t 2t-1cos2tdt發(fā)散，而dt收斂；另一方面，由1 2t1 2tAJsint dt = cos1cosA 蘭2,i1t2單調(diào)遞減趨向于零因此由Dirichlet判別法知，積分I當(dāng)1 < p . 2時積分I收斂；綜合,當(dāng)1 < p : 2時，積分I非絕對收斂；當(dāng)2蘭p v +處，對于p = 2，積分int1 t2“ dt=-boJ sint dt1發(fā)散；對于p A 2，積分| = tp si nt dt，故對于每個N，有i七c兀2兀3兀2呵 2n7i乜、Jtpsi nt dt J+j+J+ J + +tpsi n t dt，1J 兀2兀2n兀 2n兀J且2n二2nyJ tpsintdtA（2n兀）p， J sintdt=2（2n兀）卩2n 二2n二2n 二2 二J tp si nt dt = J （2n 兀 一2兀十 y ）psi n（2n 兀 一2兀 +y ）dy2n：_二二2 二二p _2P-2二 2n二-2二 y sin y dy - - 2n二-u sin u du，二o由310 ii2n二-sinu du ： 2n i cosu 0 =2 2n二0得到nP-2#P-2-2 2n2n二-u sinu du ： 0，0故乂11 ：-. 2 二 3 二2n 二2n：.|tp sin t dt 二1亠1亠1亠亠1亠1亠"2 si nt dtITVVV112?.2n 二-二2ndtpsint dt -2 2二 g 2 2二 2 -2 2n：心 2 2n二 心-1JIJI二 tpsi nt dt > i si nt dt - - cost = cosV ；，11當(dāng)2空p ： :時，積分發(fā)散.(2)對于.0，在 2 - - I 中，由 p _ 2 -、： =2 - p _.，得1單調(diào)遞減趨于零;t而積分一致有界，故據(jù)Dirichlet判別法, 最后,.11 sin積分I-xi p0 X我們用反證法，設(shè)積分在區(qū)間s.t. - A AAq 時，有AJsint dt1得到積分IA"=cosl-cosA 冬 2.11 sin詐dx在p 2 - -)上一致收斂；x在 p,2 非一致收斂.,2上一致收斂，則對；0 =1， 代二代，:廣a =1，sintA產(chǎn)p - 2 .但這不可能，因為若取 A =2k二、A” h2k 1二，則當(dāng)k充分大時，有9#1>；l2k - 1 :2k 1 二sint dt .一2 卻2k爲(wèi)|L；：2k 1 二當(dāng)p2 一時，上式右邊尸 > 2，得到1二；0 2的矛盾.(2k+“ 廠0補充習(xí)題1、討論積分sinxdx 的收斂性，其中x為實數(shù).-be. c.sin x Sin 2X .al l t 亠2、討論積分-0.edx的收斂性，其中0-bo3、討論積分I = J x e&Xdx在a e Bo,畑）上的一致收斂性，其中 a。0.0-be .：0 1 .sin ： x|4、討論積分cosx dx在.0- 上的一致收斂性，其中o x15、討論積分|二xpJ dx在p ：= lp0,：；s 上的一致收斂性，其中p00.016、討論積分I二xpJ ln x dx在亠上的一致收斂性，其中p0 0.0#