小學(xué)數(shù)學(xué)校本教材《數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練》

前 言親愛的同學(xué)們：你們好！ 我們學(xué)校正在開始小學(xué)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練專題的系統(tǒng)學(xué)習(xí)， 高年級學(xué)生有了一定的計(jì)算能力和理解能力，是進(jìn)行數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的最好階段，這個階段學(xué)生接受能力很強(qiáng)，正是養(yǎng)成良好學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)先進(jìn)方法的階段，因此要有針對性地進(jìn)行一些較復(fù)雜的數(shù)學(xué)思維能力訓(xùn)練，使你們能快速的形成數(shù)學(xué)思維方法。鎮(zhèn)學(xué)校小學(xué)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練這本書根據(jù)你們的知識結(jié)構(gòu)、年齡特征、興趣愛好選擇了讀一讀，算一算，想一想，做一做四個板塊。你們作為數(shù)學(xué)學(xué)科愛好者，做到 “法”而有“向”，“研”而有“力”，這樣才能真正提高學(xué)習(xí)的效益，才能提高自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng) ，彰顯數(shù)學(xué)文化的美麗和其獨(dú)具的魅力。 同時編寫數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的過程中我們注意了幾點(diǎn)：1、激發(fā)你們對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，遵循你們身心發(fā)展的特征，以及教育教學(xué)規(guī)律，要根據(jù)不你們的實(shí)際情況，努力讓你們體驗(yàn)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義和快樂，而不僅僅是解答難題。 2、訓(xùn)練你們良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣和思維品質(zhì)。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，是要發(fā)展學(xué)生的思維水平，在學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)學(xué)生會觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、猜想、分析、綜合、抽象和概括等能力。通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，讓你們會用歸納、演繹和類比進(jìn)行推理，會合乎邏輯地、準(zhǔn)確地闡述自己的思想和觀點(diǎn)。3、鍛煉你們優(yōu)良的意志品質(zhì)。數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練有一定深度和難度，你們在學(xué)習(xí)過程中可能會遇到一些困難，要經(jīng)常鼓勵和幫助你們擁有一個良好的心態(tài)，要培養(yǎng)自己持之以恒的耐心和克服困難的信心，以及戰(zhàn)勝難題的勇氣，培養(yǎng)你們堅(jiān)韌不拔的毅力。 4、培養(yǎng)你們扎實(shí)的數(shù)學(xué)基本功，給予你們發(fā)揮創(chuàng)新精神和創(chuàng)造力的最大空間。數(shù)學(xué)教學(xué)提倡結(jié)合你們?nèi)粘Ｕn內(nèi)教學(xué)的實(shí)際，不提倡超前進(jìn)度，要注重理解，舉一反三和靈活運(yùn)用。5、使你們獲得心理上的優(yōu)勢，培養(yǎng)自信，數(shù)學(xué)是理科的基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)對于你們進(jìn)入初中后的學(xué)習(xí)物理化學(xué)都非常有好處。 鎮(zhèn)小學(xué)小學(xué)高年級數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練對學(xué)生有著長遠(yuǎn)的實(shí)用價(jià)值，能夠從根本上培養(yǎng)學(xué)生可持續(xù)發(fā)展的學(xué)習(xí)能力，一方面緊扣數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，適應(yīng)學(xué)生升學(xué)的需要，針對提高性的數(shù)學(xué)課外活動的需要，著重從解題方法、解題技巧等方面訓(xùn)練學(xué)生的應(yīng)試能力；另一方面，注重培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣、養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣、掌握優(yōu)秀的學(xué)習(xí)方法，讓學(xué)生受益終生。 鎮(zhèn)小學(xué)小學(xué)高年級數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維的無窮魅力在于：總結(jié)出規(guī)律，化繁為簡、化難為易，再用規(guī)律去解決問題。 相信通過對這本書的認(rèn)真學(xué)習(xí)，你會收獲很多的快樂。第1講 杰出數(shù)學(xué)家 華羅庚 在中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)洪荒之地，有一位抱定“戰(zhàn)士死在沙場幸甚”的開拓者，他就是華羅庚。華羅庚是中國解析數(shù)論、典型論、矩陣幾何學(xué)、自守函數(shù)論與多個復(fù)變函數(shù)論等很多方面研究的創(chuàng)始人與奠基者，也是我國進(jìn)入世界著名數(shù)學(xué)行列最杰出的代表者。他的研究成果被國際數(shù)學(xué)界命名為“華氏定理”、“布勞威爾加當(dāng)華定理”、“華王方法”、“華氏算子”、“華氏不等式”等。他一生為我們留下了兩百多篇學(xué)術(shù)論文，10部專著，其中8部被國外翻譯出版，有些已列入本世紀(jì)經(jīng)典著作之列。他把數(shù)學(xué)方法創(chuàng)造性地應(yīng)用于國民經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，篩選出了以改進(jìn)工藝問題的數(shù)學(xué)方法為內(nèi)容的“優(yōu)選法”和處理生產(chǎn)和組織與管理問題為內(nèi)容的“統(tǒng)籌法”。他是美國科學(xué)院歷史上第一個當(dāng)選為外籍院士的中國學(xué)者。他還當(dāng)選為聯(lián)邦德國巴伐利亞科學(xué)院院士；法國南錫大學(xué)、美國伊利諾斯大學(xué)與香港中文大學(xué)授予他榮譽(yù)博士學(xué)位。他的名字進(jìn)入美國華盛頓斯密司宋尼博物館，被列為芝加哥科學(xué)技術(shù)博物館中當(dāng)今88個數(shù)學(xué)偉人之一。 第2講 1、韓信點(diǎn)兵韓信是我國漢代著名的大將，曾經(jīng)統(tǒng)率過千軍萬馬，他對手下士兵的數(shù)目了如指掌。他統(tǒng)計(jì)士兵數(shù)目有個獨(dú)特的方法，后人稱為“韓信點(diǎn)兵”。他的 方法是這樣的，部隊(duì)集合齊后，他讓士兵1、2、31、2、3、4、51、2、3、4、5、6、7地報(bào)三次數(shù)，然后把每次的余數(shù)再報(bào)告給他，他便知道部隊(duì)的實(shí)際人數(shù)和缺席人數(shù)。他的這種計(jì)算方法歷史上還稱為“鬼谷算”，“隔墻算”，“剪管術(shù)”， 外國人則叫“中國剩余定理”。有人用一首詩概括了這個問題的解法：三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團(tuán)圓月正半，除百零五便得知。這意思就是，第一次余數(shù)乘以70，第二次余數(shù)乘以21，第三次余數(shù)乘以15，把這三次運(yùn)算的結(jié)果加起來，再除以105，所得的除不盡的余數(shù)便是所求之?dāng)?shù)（即總數(shù)）。例如，如果3個3個地報(bào)數(shù)余1；5個5個地報(bào)數(shù)余2，7個7個地報(bào)數(shù)余3，則總數(shù)為52。算式如下：170221315157157105152下邊給同學(xué)們出一道題，請用“韓信點(diǎn)兵法”算一算。小紅暑假期間幫著張二嬸放鴨子，她總也數(shù)不清一共有多少只鴨子。她先是3只3只地?cái)?shù)，結(jié)果剩3只；她又5只5只地?cái)?shù)，結(jié)果剩4只；她又7個7個地?cái)?shù)了一遍，結(jié)果剩6只。她算來算去還是算不清一共有多少只鴨子。？ 2、愛因斯坦的數(shù)學(xué)游戲大科學(xué)家愛因斯坦小時候就特別聰明，有一次同學(xué)們在一起玩，他說：“我們做一個數(shù)學(xué)游戲怎么樣？”同學(xué)們說：“怎么做法呢？愛因斯坦說：“你們隨便想一個數(shù)，然后做一些運(yùn)算，我就能知道你們一開始想的那個數(shù)是多少？”湯姆說：“我不信，但是我可以試一試?！睈垡蛩固拐f：“那么好吧，現(xiàn)在開始。你心里隨便想一個數(shù)吧?！薄拔蚁牒昧??！睖氛f?！霸谶@個數(shù)上加上18?！薄霸偌由?36?！薄皽p去27?！薄皽p去你所想的數(shù)?！睖钒凑諓垡蛩固沟囊笞隽诉\(yùn)算。他還沒有說出答案，愛因斯坦就說：“最后得數(shù)是254?！睖敷@呆了，愛因斯坦說的一點(diǎn)也不錯，可是他是怎么算出來的呢？ 第3講 速算與巧算（一）專題簡析：速算與巧算是計(jì)算中的一個重要組成部分，掌握一些速算與巧算的方法，有助于提高我們的計(jì)算能力和思維能力。這一周我們學(xué)習(xí)加、減法的巧算方法，這些方法主要根據(jù)加、減法的運(yùn)算定律和運(yùn)算性質(zhì)，通過對算式適當(dāng)變形從而使計(jì)算簡便。在巧算方法里，蘊(yùn)含著一種重要的解決問題的策略。轉(zhuǎn)化問題法即把所給的算式，根據(jù)運(yùn)算定律和運(yùn)算性質(zhì)，或改變它的運(yùn)算順序，或減整從而變成一個易于算出結(jié)果的算式。例1：計(jì)算9+99+999+9999分析與解答：這四個加數(shù)分別接近10、100、1000、10000。在計(jì)算這類題目時，常使用減整法，例如將99轉(zhuǎn)化為1001。這是小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算中常用的一種技巧。9+99+999+9999=（101）+（1001）+（10001）+（100001）=10+100+1000+100004=11106 人生應(yīng)該像線段，有始有終；不應(yīng)象射線，有始無終。名人名言言練 習(xí) 一1，計(jì)算99999+9999+999+99+92，計(jì)算9+98+996+99973，計(jì)算1999+2998+396+4974，計(jì)算198+297+396+4955，計(jì)算1998+2997+4995+59946，計(jì)算19998+39996+49995+69996例2：計(jì)算489+487+483+485+484+486+488分析與解答：認(rèn)真觀察每個加數(shù)，發(fā)現(xiàn)它們都和整數(shù)490接近，所以選490為基準(zhǔn)數(shù)。489+487+483+485+484+486+488=49071375642=343028=3402想一想：如果選480為基準(zhǔn)數(shù)，可以怎樣計(jì)算？練 習(xí) 二1，50+52+53+54+512，262+266+270+268+2643，89+94+92+95+93+94+88+96+874，381+378+382+383+3795，1032+1028+1033+1029+1031+10306，2451+2452+2446+2453例3：計(jì)算下面各題。（1）632156232 （2）128+186+7286名人名言言 歷史使人聰明，詩歌使人機(jī)智，數(shù)學(xué)使人精細(xì)。培根 分析與解答：在一個沒有括號的算式中，如果只有第一級運(yùn)算，計(jì)算時可以根據(jù)運(yùn)算定律和性質(zhì)調(diào)換加數(shù)或減數(shù)的位置。（1）632156232 =632232156 =400156 =244 （2）128+186+7286 =128+72+18686=（128+72）+（18686）=200+100名人名言最聰明的人是最不愿浪費(fèi)時間的人。 但丁=300練 習(xí) 三計(jì)算下面各題1，12085692082，283+69183 3，13285+684，2318+6251318+375例4：計(jì)算下面各題。1. 248+（152127） 2. 324（12497） 3. 283+（358183）減法數(shù)學(xué)課上，數(shù)學(xué)教師對一位學(xué)生說：“你怎么連減法都不會？例如，你家里有十個蘋果，被你吃了四個，結(jié)果是多少呢？”這個學(xué)生沮喪地說道：“結(jié)果是挨了十下屁股！分析與解答：在計(jì)算有括號的加減混合運(yùn)算時，有時為了使計(jì)算簡便可以去括號，如果括號前面是“+”號，去括號時，括號內(nèi)的符號不變；如果括號前面是“”號，去括號時，括號內(nèi)的加號就要變成減號，減號就要變成加號。我們可以把上面的計(jì)算方法概括為：括號前面是加號，去掉括號不變號；括號前面是減號，去掉括號要變號。1248+（152127） 324（12497） =248+152127 =324124+97 =400127 =200+97 把語言化為行動，比把行動化為語言困難得多。高爾基名人名言 =273 =297 283+（358183） =283+358183=283183+358=100+358=458練 習(xí) 四計(jì)算下面各題1，348+（252166） 2，629+（320129） 3. 462(262129)4. 662(315238)5，5623(623289)+452(352211)名人名言6，736+678+2386(336+278)186合理安排時間，就等于節(jié)約時間。 培根 例5：計(jì)算下面各題。 （1）286+879679 （2）812593+193分析與解答：在計(jì)算沒有括號的加減法混合運(yùn)算式題時，有時可以根據(jù)題目的特點(diǎn)，采用添括號的方法使計(jì)算簡便，與前面去括號的方法類似，我們可以把這種方法概括為：括號前面是加號，添上括號不變號；括號前面是減號，添上括號要變號。（1）286+879679 （2）812593+193=286+（879679） =812（593193）=286+200 =812400名人名言 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的惟一方法是做數(shù)學(xué)哈爾莫斯=868 =412練 習(xí) 五計(jì)算下面各題。1，368+18598592，582+3932933，632385+285 4，27562748+1748+2445，612375+275+（388+286）6，756+1478+346（256+278）246第4講 巧妙求和知識要點(diǎn)與基本方法：若干個數(shù)排成一列稱為數(shù)列。數(shù)列中的每一個數(shù)稱為一項(xiàng)。其中第一項(xiàng)稱為首項(xiàng)，最后一項(xiàng)稱為末項(xiàng)，數(shù)列中項(xiàng)的個數(shù)稱為項(xiàng)數(shù)。從第二項(xiàng)開始，后項(xiàng)與其相鄰的前項(xiàng)之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項(xiàng)與前項(xiàng)的差稱為公差。在這一章要用到兩個非常重要的公式：“通項(xiàng)公式”和“項(xiàng)數(shù)公式”。通項(xiàng)公式： 第n項(xiàng)=首項(xiàng)+（項(xiàng)數(shù)1）公差項(xiàng)數(shù)公式： 項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)首項(xiàng)）公差1趣味數(shù)學(xué): 1、一個農(nóng)夫帶著三只兔到集市上去賣，每只兔大概三四千克，但農(nóng)夫的秤只能稱五斤以上，問他該如何稱量。答：先稱3只，再拿下一只，稱量后算差。例題精講例1：有一個數(shù)列：4，10，16，22，52，這個數(shù)列共有多少項(xiàng)？分析與解答：容易看出這是一個等差數(shù)列，公差為6，首項(xiàng)是4，末項(xiàng)是52，要求項(xiàng)數(shù)，可直接帶入項(xiàng)數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算。項(xiàng)數(shù)=（524）61=9，即這個數(shù)列共有9項(xiàng)。練 習(xí) 一1，等差數(shù)列中，首項(xiàng)=1，末項(xiàng)=39，公差=2，這個等差數(shù)列共有多少項(xiàng)？2，有一個等差數(shù)列：2，5，8，11，101，這個等差數(shù)列共有多少項(xiàng)？3，已知等差數(shù)列11，16，21，26，1001，這個等差數(shù)列共有多少項(xiàng)？例2：有一等差數(shù)列：3，7，11，15，這個等差數(shù)列的第100項(xiàng)是多少？分析與解答：這個等差數(shù)列的首項(xiàng)是3，公差是4，項(xiàng)數(shù)是100。要求第100項(xiàng)，可根據(jù)“末項(xiàng)=首項(xiàng)+公差（項(xiàng)數(shù)1）”進(jìn)行計(jì)算。第100項(xiàng)=3+4（1001）=399練 習(xí) 二1，一等差數(shù)列，首項(xiàng)=3，公差=2，項(xiàng)數(shù)=10，它的末項(xiàng)是多少？2，求1，4，7，10這個等差數(shù)列的第30項(xiàng)。3，求等差數(shù)列2，6，10，14的第100項(xiàng)。例3：有這樣一個數(shù)列：1，2，3，4，99，100。請求出這個數(shù)列所有項(xiàng)的和。分析與解答：如果我們把1，2，3，4，99，100與列100，99，3，2，1相加，則得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+（99+2）+（100+1），其中每個小括號內(nèi)的兩個數(shù)的和都是101，一共有100個101相加，所得的和就是所求數(shù)列的和的2倍，再除以2，就是所求數(shù)列的和。1+2+3+99+100=（1+100）1002=5050上面的數(shù)列是一個等差數(shù)列，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，所有的等差數(shù)列都可以用下面的公式求和：等差數(shù)列總和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）項(xiàng)數(shù)2這個公式也叫做等差數(shù)列求和公式。名人名言 練 習(xí) 三計(jì)算下面各題。（1）1+2+3+49+50（2）6+7+8+74+75（3）100+99+98+61+60例4：求等差數(shù)列2，4，6，48，50的和。分析與解答：這個數(shù)列是等差數(shù)列，我們可以用公式計(jì)算。要求這一數(shù)列的和，首先要求出項(xiàng)數(shù)是多少：項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)首項(xiàng)）公差+1 =（502）2+1=25首項(xiàng)=2，末項(xiàng)=50，項(xiàng)數(shù)=25等差數(shù)列的和=（2+50）252=650 練 習(xí) 四計(jì)算下面各題。（1）2+6+10+14+18+22（2）5+10+15+20+195+200（3）9+18+27+36+261+270例5：計(jì)算 （2+4+6+100）（1+3+5+99）分析與解答：容易發(fā)現(xiàn)，被減數(shù)與減數(shù)都是等差數(shù)列的和，因此，可以先分別求出它們各自的和，然后相減。進(jìn)一步分析還可以發(fā)現(xiàn)，這兩個數(shù)列其實(shí)是把1 100這100個數(shù)分成了奇數(shù)與偶數(shù)兩個等差數(shù)列，每個數(shù)列都有50個項(xiàng)。因此，我們也可以把這兩個數(shù)列中的每一項(xiàng)分別對應(yīng)相減，可得到50個差，再求出所有差的和。（2+4+6+100）（1+3+5+99）=（21）+（43）+（10099）=1+1+1+1=50 練 習(xí) 五用簡便方法計(jì)算下面各題。（1）（2001+1999+1997）（2000+1998+1996）（2）（2+4+6+2000）（1+3+5+1999）名人名言（3）（1+3+5+1999）（2+4+6+1998） 一道好題的價(jià)值之一在于它能產(chǎn)生其他一些好題。 波利亞 第5講 數(shù)數(shù)圖形知識要點(diǎn)與基本方法：我們已經(jīng)認(rèn)識了線段、角、三角形、長方形等基本圖形，當(dāng)這些圖形重重疊疊地交錯在一起時就構(gòu)成了復(fù)雜的幾何圖形。要想準(zhǔn)確地計(jì)數(shù)這類圖形中所包含的某一種基本圖形的個數(shù)，就需要仔細(xì)地觀察，靈活地運(yùn)用有關(guān)的知識和思考方法，掌握數(shù)圖形的規(guī)律，才能獲得正確的結(jié)果。要準(zhǔn)確、迅速地計(jì)數(shù)圖形必須注意以下幾點(diǎn)：1，弄清被數(shù)圖形的特征和變化規(guī)律。2，要按一定的順序數(shù)，做到不重復(fù)，不遺漏。例1：數(shù)出下面圖中有多少條線段。 分析與解答：要正確解答這類問題，需要我們按照一定的順序來數(shù)，做到不重復(fù)，不遺漏。從圖中可以看出，從A點(diǎn)出發(fā)的不同線段有3條：AB、AC、AD；從B點(diǎn)出發(fā)的不同線段有2條：BC、BD；從C點(diǎn)出發(fā)的不同線段有1條：CD。因此，圖中共有3+2+1=6條線段。練習(xí)一：數(shù)出下列圖中有多少條線段。（1）（2）（3）例2：數(shù)一數(shù)下圖中有多少個銳角。 分析與解答：數(shù)角的方法和數(shù)線段的方法類似，圖中的五條射線相當(dāng)于線段上的五個點(diǎn)，因此，要求圖中有多少個銳角，可根據(jù)公式1+2+3（總射線數(shù)1）求得：1+2+3+4=10（個）練習(xí)二：下列各圖中各有多少個銳角？ 例3：數(shù)一數(shù)下圖中共有多少個三角形。 分析與解答：圖中AD邊上的每一條線段與頂點(diǎn)O構(gòu)成一個三角形，也就是說，AD邊上有幾條線段，就構(gòu)成了幾個三角形，因?yàn)锳D上有4個點(diǎn)，共有1+2+3=6條線段，所以圖中有6個三角形。練習(xí)三：數(shù)一數(shù)下面圖中各有多少個三角形。 例4：數(shù)一數(shù)下圖中共有多少個三角形。 分析與解答：與前一個例子相比，圖中多了一條線段EF，因此三角形的個數(shù)應(yīng)是AD和EF上面的線段與點(diǎn)O所圍成的三角形個數(shù)的和。顯然，以AD上的線段為底邊的三角形也是1+2+3=6個，所以圖中共有62=12個三角形。練習(xí)四數(shù)一數(shù)下面各圖中各有多少個三角形。 例5：數(shù)一數(shù)下圖中有多少個長方形。 分析與解答：數(shù)長方形與數(shù)線段的方法類似?？梢赃@樣思考，圖中的長方形的個數(shù)取決于AB或CD邊上的線段，AB邊上的線段條數(shù)是1+2+3=6條，所以圖中有6個長方形。練習(xí)五數(shù)一數(shù)下面各圖中分別有多少個長方形。 ( ) ( ) ( )邏輯學(xué)的用處：有個學(xué)生請教數(shù)學(xué)家邏輯學(xué)有什么用。數(shù)學(xué)家問他：“兩個人從煙囪 里爬出去，一個滿臉煙灰，一個干干凈凈，你認(rèn)為哪一個該去洗澡？” “當(dāng)然 是臟的那個?！睂W(xué)生說。 “不對。臟的那個看見對方干干凈凈，以為自己也不會臟， 哪里會去洗澡？” 第6講 找 規(guī) 律（一）專題簡介：觀察是解決問題的根據(jù)。通過觀察，得以揭示出事物的發(fā)展和變化規(guī)律，在一般情況下，我們可以從以下幾個方面來找規(guī)律：1根據(jù)每組相鄰兩個數(shù)之間的關(guān)系，找出規(guī)律，推斷出所要填的數(shù)；2根據(jù)相隔的每兩個數(shù)的關(guān)系，找出規(guī)律，推斷出所要填的數(shù)；3要善于從整體上把握數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，從而很快找出規(guī)律；4數(shù)之間的聯(lián)系往往可以從不同的角度來理解，只要言之有理，所得出的規(guī)律都可以認(rèn)為是正確的。趣味數(shù)學(xué): 某人先向正北走32km，再向正南走36km，問以下哪些可能是正確的他離出發(fā)點(diǎn)4km他離出發(fā)點(diǎn)大于48km他離出發(fā)點(diǎn)68km他離出發(fā)點(diǎn)小于4km他離出發(fā)點(diǎn)大于4km小于68km答：1，3，5例1：先找出下列數(shù)排列的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律在括號里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。1，4，7，10，（ ），16，19分析：在這列數(shù)中，相鄰的兩個數(shù)的差都是3，即每一個數(shù)加上3都等于后面的數(shù)。根據(jù)這一規(guī)律，括號里應(yīng)填的數(shù)為：10+3=13或163=13像上面按照一定的順序排列的一串?dāng)?shù)叫做數(shù)列。練習(xí)一：先找出下列各列數(shù)的排列規(guī)律，然后在括號里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。（1）2，6，10，14，（ ），22，26（2）3，6，9，12，（ ），18，21（3）33，28，23，（ ），13，（ ），3（4）55，49，43，（ ），31，（ ），19（5）3，6，12，（ ），48，（ ），192（6）2，6，18，（ ），162，（ ）（7）128，64，32，（ ），8，（ ），2（8）19，3，17，3，15，3，（ ），（ ），11，3例2：先找出下列數(shù)排列的規(guī)律，然后在括號里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。 1，2，4，7，（ ），16，22分析：在這列數(shù)中，前4個數(shù)每相鄰的兩個數(shù)的差依次是1，2，3。由此可以推算7比括號里的數(shù)少4，括號里應(yīng)填：7+4=11。經(jīng)驗(yàn)證，所填的數(shù)是正確的。應(yīng)填的數(shù)為：7+4=11或16-5=11練習(xí)二：先找出下列數(shù)排列的規(guī)律，然后在括號里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。（1）10，11，13，16，20，（ ），31（2）1，4，9，16，25，（ ），49，64（3）3，2，5，2，7，2，（ ），（ ），11，2（4）53，44，36，29，（ ），18，（ ），11，9，8（5）81，64，49，36，（ ），16，（ ），4，1，0（6）28，1，26，1，24，1，（ ），（ ），20，1（7）30，2，26，2，22，2，（ ），（ ），14，2（8）1，6，4，8，7，10，（ ），（ ），13，14例3：先找出規(guī)律，然后在括號里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。23，4，20，6，17，8，（ ），（ ），11，12分析：在這列數(shù)中，第一個數(shù)減去3的差是第三個數(shù)，第二個數(shù)加上2的和是第四個數(shù)，第三個數(shù)減去3的差是第五個數(shù)，第四個數(shù)加上2的和是第六個數(shù)依此規(guī)律，8后面的一個數(shù)為：17-3=14，11前面的數(shù)為：8+2=10練習(xí)三先找出規(guī)律，然后在括號里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。（1）1，6，5，10，9，14，13，（ ），（ ）（2）13，2，15，4，17，6，（ ），（ ）（3）3，29，4，28，6，26，9，23，（ ），（ ），18，14（4）21，2，19，5，17，8，（ ），（ ）（5）32，20，29，18，26，16，（ ），（ ），20，12（6）2，9，6，10，18，11，54，（ ），（ ），13，486（7）1，5，2，8，4，11，8，14，（ ），（ ）（8）320，1，160，3，80，9，40，27，（ ），（ ）例4：在數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，（ ），34，55中，括號里應(yīng)填什么數(shù)？分析：經(jīng)仔細(xì)觀察、分析，不難發(fā)現(xiàn)：從第三個數(shù)開始，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和。根據(jù)這一規(guī)律，括號里應(yīng)填的數(shù)為：8+13=21或3413=21上面這個數(shù)列叫做斐波那切（意大利古代著名數(shù)學(xué)家）數(shù)列，也叫做“兔子數(shù)列”。練習(xí)四先找出規(guī)律，然后在括號里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。（1）2，2，4，6，10，16，（ ），（ ）（2）34，21，13，8，5，（ ），2，（ ）（3）0，1，3，8，21，（ ），144（4）3，7，15，31，63，（ ），（ ）（5）33，17，9，5，3，（ ）（6）0，1，4，15，56，（ ）（7）1，3，6，8，16，18，（ ），（ ），76，78（8）0，1，2，4，7，12，20，（ ）例5：下面每個括號里的兩個數(shù)都是按一定的規(guī)律組合的，在里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。（8，4） （5，7） （10，2） （，9）分析：經(jīng)仔細(xì)觀察、分析，不難發(fā)現(xiàn)：每個括號里的兩個數(shù)相加的和都是12。根據(jù)這一規(guī)律，里所填的數(shù)應(yīng)為：129=3練習(xí)五：下面括號里的兩個數(shù)是按一定的規(guī)律組合的，在里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。（1）（6，9） （7，8） （10，5） （，）（2）（1，24） （2，12） （3，8） （4，）（3）（18，17） （14，10） （10，1） （，5）（4）（2，3） （5，9） （7，13） （9，）（5）（2，3） （5，7） （7，10） （10，）（6）（64，62） （48，46） （29，27） （15，）（7）（100，50） （86，43） （64，32） （，21）（8）（8，6） （16，3） （24，2） （12，） 第7講 和倍問題專題簡析：已知兩個數(shù)的和與它們之間的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個數(shù)是多少的應(yīng)用題，叫做和倍問題。解答和倍應(yīng)用題的基本數(shù)量關(guān)系是：和（倍數(shù)1）=小數(shù) 小數(shù)倍數(shù)=大數(shù)（和小數(shù)=大數(shù)）例1：學(xué)校有科技書和故事書共480本，科技書的本數(shù)是故事書的3倍。兩種書各有多少本？趣味數(shù)學(xué): 紅旗小學(xué)四(1)班42名學(xué)生去文化宮看文藝演出，每張票5元錢，文化宮規(guī)定，每買4張票就送l張。請你算一算，四(1）學(xué)生買票一共需要（ ）元錢。 答：170元分析與解答：為了便于理解題意，我們畫圖來分析：由圖可知，如果把故事書的本數(shù)看作一份，那么科技書的本數(shù)就是這樣的3份，兩種書的總本數(shù)就是這樣的13=4份。把480本書平均分成4份，1份是故事書的本數(shù)，3份是科技書的本數(shù)。480（13）=120（本） 1203=360（本）練 習(xí) 一1，用錫和鋁制成的合金是720千克，其中鋁的重量是錫的5倍。鋁和錫各用了多少千克？2，甲、乙兩數(shù)的和是112，甲數(shù)除以乙數(shù)的商是6，甲、乙兩數(shù)各是多少？3，一塊長方形黑板的周長是96分米，長是寬的3倍。這塊長方形黑板的長和寬各是多少分米？例2：果園里有梨樹、桃樹和蘋果樹共1200棵，其中梨樹的棵數(shù)是蘋果樹的3倍，桃樹的棵數(shù)是蘋果樹的4倍。求梨樹、桃樹和蘋果樹各有多少棵？分析與解答：如果把蘋果樹的棵數(shù)看作1份，三種樹的總棵數(shù)是這樣的1+3+4=8份。所以，蘋果樹有12008=150（棵），梨樹有1503=450（棵），桃樹有1504=600（棵）練 習(xí) 二1，李大伯養(yǎng)雞、鴨、鵝共960只，養(yǎng)雞的只數(shù)是鵝的3倍，養(yǎng)鴨的只數(shù)是鵝的4倍。雞、鴨、鵝各養(yǎng)了多少只？2，甲、乙、丙三數(shù)之和是360，已知甲是乙的3倍，丙是乙的2倍。求甲、乙、丙各是多少。3，商店有鉛筆、鋼筆、圓珠筆共560支，圓珠筆的支數(shù)是鋼筆的3倍，鉛筆的支數(shù)與圓珠筆的支數(shù)同樣多。鉛筆、鋼筆和圓珠筆各有多少支？查票數(shù)學(xué)教授搭乘火車旅行，列車長前來查票時，他竟找不到票。數(shù)學(xué)教授急得滿頭大汗，列車長說：找不到就算了，再補(bǔ)張票好了。數(shù)學(xué)教授：這怎么可以，找不到那張票，我就不知道我要去哪里?。±?：有三個書櫥共放了330本書，第二個書櫥里的書是第一個的2倍，第三個書櫥里的書是第二個的4倍。每個書櫥里各放了多少本書？分析與解答：把第一個書櫥里的本數(shù)看作1份，那么第二個書櫥里的本數(shù)是這樣的2份，第三個就是這樣的24=8份，三個書櫥里的總本數(shù)就是這樣的1+2+8=11份。所以，第一個書櫥里放了33011=30（本），第二個書櫥里放了302=60（本），第三個書櫥里放了604=240（本）。練 習(xí) 三1甲、乙、丙三個數(shù)之和是400，已知甲是乙的3倍，丙是甲的4倍。求甲、乙、丙各是多少。2三塊鋼板共重621千克，第一塊的重量是第二塊的3倍，第二塊的重量是第三塊的2倍。三塊鋼板各重多少千克？3甲、乙、丙三個修路隊(duì)共修路1200米，甲隊(duì)修的米數(shù)是乙隊(duì)的2倍，乙隊(duì)修的數(shù)數(shù)是丙隊(duì)的3倍。三個隊(duì)各修了多少米？例4：少先隊(duì)員種柳樹和楊樹共216棵，楊樹的棵數(shù)比柳樹的3倍多20棵，兩種樹各種了多少棵？分析與解答：如果楊樹少種20棵，那么柳樹和楊樹的總棵數(shù)是21620=196（棵），這里楊樹的棵數(shù)恰好是柳樹的3倍。所以，柳樹的棵數(shù)是196（13）=49（棵），楊樹的棵數(shù)是21649=167（棵）。練 習(xí) 四1，糧站有大米和面粉共6300千克，大米的重量比面粉的4倍還多300千克，大米和面粉各有多少千克？2，小華和小明兩人參加數(shù)學(xué)競賽，兩人共得168分，小華的得分比小明的2倍少42分。兩人各得多少分？趣味數(shù)學(xué): 小華參加摩托車比賽，參加的選手與比賽場次一樣多，任何兩個選手只在一次比賽中相遇，每次比賽出場四人，問共有多少人參加。答：133，學(xué)校購買了720本圖書分給高、中、低三個年級，高年級分得的比低年級的3倍多8本，中年級分得的比低年級的2倍多4本。高、中、低年級各分得圖書多少本？例5：三個筑路隊(duì)共筑路1360米，甲隊(duì)筑的米數(shù)是乙隊(duì)的2倍，乙隊(duì)比丙隊(duì)多240米。三個隊(duì)各筑多少米？分析與解答：把乙隊(duì)的米數(shù)看作1份，甲隊(duì)筑的米數(shù)是這樣的2份。假設(shè)丙隊(duì)多筑240米，那么三個隊(duì)共筑了1360240=1600米，正好是乙隊(duì)的211=4倍。所以，乙隊(duì)筑了16004=400米，甲隊(duì)筑了4002=800米，丙隊(duì)筑了400240=160米。練 習(xí) 五1，三個植樹隊(duì)共植樹1900棵，甲隊(duì)植樹的棵數(shù)是乙隊(duì)的2倍，乙隊(duì)比丙隊(duì)少植300棵。三個隊(duì)各植樹多少棵？2，三個數(shù)的和是1540，甲數(shù)是丙數(shù)的7倍，乙數(shù)比甲數(shù)多40。三個數(shù)各是多少？ 我解決過的每一個問題都成為日后用以解決其他問題的法則。笛卡爾3，城東小學(xué)共有籃球、足球和排球共95個，其中足球比排球少5個，排球的個數(shù)是籃球個數(shù)的2倍?；@球、足球、排球各有多少個？名人名言第8講 最優(yōu)化問題知識要點(diǎn)與基本方法：在日常生活和生產(chǎn)中，我們經(jīng)常會遇到下面的問題：完成一件事情，怎樣合理安排才能做到用的時間最少，效果最佳。這類問題在數(shù)學(xué)中稱為統(tǒng)籌問題。我們還會遇到“費(fèi)用最省”、“面積最大”、“損耗最小”等等問題，這些問題往往可以從極端情況去探討它的最大（?。┲?，這類問題在數(shù)學(xué)中稱為極值問題。以上的問題實(shí)際上都是“最優(yōu)化問題”。例1：用一只平底鍋煎餅，每次只能放兩個，剪一個餅需要2分鐘（規(guī)定正反面各需要1分鐘）。問煎3個餅至少需要多少分鐘？分析與解答：先將兩個餅同時放入鍋中一起煎，一分鐘后兩個餅都熟了一面，這時可將一個取出，另一個翻過去，再放入第三個。又煎了一分鐘，將兩面都熟的那個取出，把第三個翻過去，再將第一個放入煎，再煎一分鐘就會全部煎好。所以，煎3個餅至少需要3分鐘。自然這一巨著是用數(shù)學(xué)符號寫成的。伽里略名人名言練 習(xí) 一1，烤面包時，第一面需要2分鐘，第二面只要烤1分鐘，即烤一片面包需要3分鐘。小麗用來烤面包的架子，一次只能放兩片面包，她每天早上吃3片面包，至少要烤多少分鐘？2，用一只平底鍋烙大餅，鍋里只能同時放兩個。烙熟大餅的一面需要3分鐘，現(xiàn)在要烙3個大餅，最少要用幾分鐘？3，小華用平底鍋烙餅，這只鍋同時能放4個大餅，烙一個要用4分鐘（每面各需要2分鐘）。可小華烙6個大餅只用了6分鐘，他是怎樣烙的？例2：媽媽讓小明給客人燒水沏茶。洗水壺需要1分鐘，燒開水需要15分鐘，洗茶壺需要1分鐘，洗茶杯需要1分鐘。要讓客人喝上茶，最少需要多少分鐘？難題 我的一位數(shù)學(xué)老師，有一次，我的一個同學(xué)問他一道數(shù)學(xué)題，他一看，挺簡單，于是大怒，說道："你這個笨蛋，這道題不就這么這么這么作." 又換了一次，該同學(xué)找了一道據(jù)難的問題問他，他一看，然后似乎進(jìn)入了思考狀態(tài)，然后開始踱步思考，然后開始向教室外踱去，然后就消失了。分析：經(jīng)驗(yàn)表明，能同時做的事，盡量同時做，這樣可以節(jié)省時間。水壺不洗，不能燒開水，因此，洗水壺和燒開水不能同時進(jìn)行。而洗茶壺、洗茶杯和拿茶葉與燒開水可以同時進(jìn)行。根據(jù)以上的分析，可以這樣安排：先洗水壺用1分鐘，接著燒開水用15分鐘，同時洗茶壺、洗茶杯、拿茶葉，水開了就沏茶，共需要16分鐘。練 習(xí) 二1，小虎早晨要完成這樣幾件事：燒一壺開水需要10分鐘，把開水灌進(jìn)熱水瓶需要2分鐘，取奶需要5分鐘，整理書包需要4分鐘。他完成這幾件事最少需要多少分鐘？2，小強(qiáng)給客人沏茶，燒開水需要12分鐘，洗茶杯要2分鐘，買茶葉要8分鐘，放茶葉泡茶要1分鐘。為了讓客人早點(diǎn)喝上茶，你認(rèn)為最合理的安排，多少分鐘就可以了？3，在早晨起床后的1小時內(nèi)，小欣要完成以下事情：疊被3分鐘，洗臉?biāo)⒀?分鐘，讀外語30分鐘，吃早餐10分鐘，收碗擦桌5分鐘，收聽廣播30分鐘。最少需要多少分鐘？例3：五（1）班趙明、孫勇、李佳三位同學(xué)同時到達(dá)學(xué)校衛(wèi)生室，等候校醫(yī)治病。趙明打針需要5分鐘，孫勇包紗布需要3分鐘，李佳點(diǎn)眼藥水需要1分鐘。衛(wèi)生室只有一位校醫(yī)，校醫(yī)如何安排三位同學(xué)的治病次序，才能使三位同學(xué)留在衛(wèi)生室的時間總和最短？分析：校醫(yī)應(yīng)該給治療時間最短的先治病，治療時間長的最后治療，才能使三位同學(xué)在衛(wèi)生室的時間總和最短。這樣，三位同學(xué)留在衛(wèi)生室的時間分別是：李佳1分鐘，趙1+3=4分鐘，趙明1+3+5=9分鐘。時間總和是1+4+9=14分鐘。 練 習(xí) 三1甲、乙、丙三人分別拿著2個、3個、1個熱水瓶同時到達(dá)開水供應(yīng)點(diǎn)打熱水。熱水龍頭只有一個，怎樣安排他們打水的次序，可以使他們打熱水所花的總時間最少？名人名言2甲、乙、丙三人到商場批發(fā)部洽談業(yè)務(wù)，甲、乙、丙三人需要的時間分別是10分鐘、16分鐘和8分鐘。怎樣安排，使3人所花的時間最少？最少時間是多少？ 純粹數(shù)學(xué)，就其本質(zhì)而言，是邏輯思想的詩篇。 愛因斯坦3甲、乙、丙、丁四人同時到一水龍頭處用水，甲洗托把需要3分鐘，乙洗抹布需要2分鐘，丙洗衣服需要10分鐘，丁用桶注水需要1分鐘。怎樣安排四人用水的次序，使他們所花的總時間最少？最少時間是多少？例4：用18厘米長的鐵絲圍成各種長方形，要求長和寬的長度都是整厘米數(shù)。圍成的長方形的面積最大是多少？分析與解答：根據(jù)題意，圍成的長方形的一條長與一條寬的和是182=9厘米。顯然，當(dāng)長與寬的差越小，圍成的長方形的面積越大。又已知長和寬的長度都是整厘米數(shù)，因此，當(dāng)長是5厘米，寬是4厘米時，圍成的長方形的面積最大：54=20平方厘米。練 習(xí) 四1，用長26厘米的鐵絲圍成各種長方形，要求長和寬的長度都是整厘米數(shù)，圍成的長方形的面積最大是多少？2，一個長方形的周長是20分米，它的面積最大是多少？3，一個長方形的面積是36平方厘米，并且長和寬的長度都是整厘米數(shù)。這個長方形的周長最長是多少厘米？例5：用3 6這四個數(shù)字分別組成兩個兩位數(shù)，使這兩個兩位數(shù)的乘積最大。分析與解答：解決這個問題應(yīng)考慮兩點(diǎn)：（1）盡可能把大數(shù)放在高位；（2）盡可能使兩個數(shù)的差最小。所以應(yīng)把6和5這兩個數(shù)字放在十位，4和3放在個位。根據(jù)“兩個因數(shù)的差越小，積越大”的規(guī)律，3應(yīng)放在6的后面，4應(yīng)放在5的后面。6354=3402練 習(xí) 五1，用1 4這四個數(shù)字分別組成兩個兩位數(shù)，使這兩個兩位數(shù)的乘積最大。2，用5 8這四個數(shù)字分別組成兩個兩位數(shù)，使這兩個兩位數(shù)的乘積最大。3，用3 8這六個數(shù)字分別組成兩個三位數(shù)，使這兩個三位數(shù)的乘積最大。家的感覺數(shù)學(xué)家認(rèn)為數(shù)學(xué)的組成是：50%公式，50%證明，50%想象力。拓?fù)鋵W(xué)家不能區(qū)分咖啡杯與面包圈。統(tǒng)計(jì)學(xué)家的頭在烤爐腳在寒冰時，會說：“平均感覺是良好的?！?第九講 牛頓（16421727） 牛頓英國物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家。曾任英國皇家學(xué)會會長。 牛頓是舉世公認(rèn)的、有史以來最偉大的科學(xué)家之一。他的幼年充滿了辛酸，在他出生前3個月父親便去世了，之后母親改嫁，他是由外祖母撫養(yǎng)成人的。23畢業(yè)于著名的劍橋大學(xué)后留校工作。后因逃避倫敦流行的鼠疫來到母親的農(nóng)場里。在這里，他被一個常人熟視無睹的現(xiàn)象吸引住了。有一次，他看到一個熟透了的蘋果落在地上，便開始思索為什么蘋果會垂直落在地上，而不是飛到天上去呢？一定是有一種力在拉它，那么這種將蘋果往下拉的力會不會控制月球？他就是通過這個看起來十分簡單的現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)了著名的萬有引力定律。這個定律的巨大作用，很快就顯示了出來。它解釋了當(dāng)時所知道的天體的一切運(yùn)動。同時，牛頓又完成了一項(xiàng)重要的光學(xué)實(shí)驗(yàn)，從而證明了白光是由以赤、橙、黃、綠、青、藍(lán)、紫的順序排列的合成光。1687年，牛頓出版了有史以來最偉大的科學(xué)著作自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理。在這里，他鉆研了伽利略的理論，并歸納出著名的運(yùn)動三大定律。除此之外，他發(fā)現(xiàn)的二項(xiàng)式定理，在數(shù)學(xué)界也有一席之地。1704年，出版光學(xué)一書，總結(jié)了他對光學(xué)研究的成果。 牛頓61歲那年被選為英國皇家學(xué)會會長，此后年年連任直至逝世。作為舉世公認(rèn)的、最卓越的科學(xué)巨匠，他仍謙遜地說：“如果說我比別人看得遠(yuǎn)些，那是因?yàn)槲艺驹诹司奕说募缟??！?727年3月20日，84歲的牛頓逝世了。作為有功于國家的偉人，他被葬在了英國國家公墓，受到世人的瞻仰。 第十講1、巧測金字塔高度金字塔是埃及的著名建筑，尤其胡夫金字塔最為著名，整個金字塔共用了230萬塊石頭，10萬奴隸花了30年的時間才建成這個建筑。金字塔建成后，國王又提出一個問題，金字塔倒底有多高，對這個問題誰也回答不上來。國王大怒，把回答不上來的學(xué)者們都扔進(jìn)了尼羅河。當(dāng)國王又要?dú)⒑σ粋€學(xué)者崐的時候，著名學(xué)者塔利斯出現(xiàn)了，他喝令劊子手們住手。國王說：“難道你能知道金字塔的高度嗎？”塔利斯說：“是的，陛下?！眹跽f：“那么它高多少？”塔利斯沉著地回答說：“147米?！眹鯁枺骸澳悴灰趴诤f，你是怎么測出來的？”塔利斯說：“我可以明天表演給你看。”第二天，天氣晴朗，塔利斯只帶了一根棍子來到金字塔下，國王冷笑著說：“你就想用這根破棍子騙我嗎？你今天要是測不出來，那么你也將要被扔進(jìn)尼羅河！”塔利斯不慌不忙地回答：“如果我測不出來，陛下再把我扔進(jìn)尼羅河也為時不晚。”接著，塔利斯便開始測量起來，最后，國王也不得不服他的測量是有道理的。小朋友，你知道塔利斯是如何進(jìn)行測量的嗎？ 2、數(shù)學(xué)趣味小故事高斯念小學(xué)的時候，有一次在老師教完加法后，因?yàn)槔蠋熛胍菹?，所以便出了一道題目要同學(xué)們算算看，：1+2+3+ . +97+98+99+100 =？老師心里正想，這下子小朋友一定要算到下課了吧！正要借口出去時，卻被 高斯叫住了！ 原來呀，高斯已經(jīng)算出來了，小朋友你可知道他是如何算的嗎？高斯告訴大家他是如何算出的：把 1加 至 100 與 100 加至 1 排成兩排相加，也就是說：1+2+3+4+ . +96+97+98+99+100100+99+98+97+96+ . +4+3+2+1=101+101+101+ . +101+101+101+101共有一百個101相加，但算式重復(fù)了兩次，所以把10100 除以 2便得到答案等于 <5050>從此以后高斯小學(xué)的學(xué)習(xí)過程早已經(jīng)超越了其它的同學(xué)，也因此奠定了他以后的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，更讓他成為數(shù)學(xué)天才！ 第11周 速算與巧算（二）專題簡析： 乘、除法的巧算方法主要是利用乘、除法的運(yùn)算定律和運(yùn)算性質(zhì)以及積、商的變化規(guī)律，通過對算式適當(dāng)變形，將其中的數(shù)轉(zhuǎn)化成整十、整百、整千的數(shù)，或者使這道題計(jì)算中的一些數(shù)變得易于口算，從而使計(jì)算簡便。例1：計(jì)算32525分析與解答：在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)，商不變。利用這一性質(zhì)，可以使這道計(jì)算題簡便。32525 =（3254）（254） =1300100 =13練 習(xí) 一計(jì)算下面各題。1，45025 2，525253，3500125 4，100006255，49500900 6，9000225例2：計(jì)算2512548分析與解答：經(jīng)過仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)：在這道連乘算式中，如果先把25與4相乘，可以得到100；同時把125與8相乘，可以得到1000；再把100與1000相乘就簡便了。這就啟發(fā)我們運(yùn)用乘法交換律和結(jié)合律使計(jì)算簡便。2512548 =（254）（1258） =1001000 =100000練 習(xí) 二計(jì)算下面各題。1251584 2524 255641251252532 7516 12516例3：計(jì)算（1）（360+108）36 （2）（45075）15分析與解答：兩個數(shù)的和（或差）除以一個數(shù)，可以用這個數(shù)分別去除這兩個數(shù)，再求出兩個商的和（或差）。利用這一性質(zhì)，可以使這道題計(jì)算簡便。（1）（360+108）36 （2）（45075）15=36036+10836 =450157515=10+3 =305=13 =25 練 習(xí) 三計(jì)算下面各題。1 （720+96）24 2（450090）453634221 488118957336+10536+146366（10000100010010）10例4：計(jì)算15861793分析與解答：在乘除法混合運(yùn)算中，如果算式中沒有括號，計(jì)算時可以根據(jù)運(yùn)算定律和性質(zhì)調(diào)換因數(shù)或除數(shù)的位置。15861793 =15879613 =2613 =366趣味數(shù)學(xué): 有19九個數(shù)字組成兩個數(shù)（每個數(shù)只用一次），試問組成什么數(shù)乘積最大？答：9642 87531 練 習(xí) 四計(jì)算下面各題。1，238361195 2，6244831283，138276950 4，406312104203例5：計(jì)算下面各題。（1）1239616 （2）200（254）分析與解答：這兩道題都是乘除混合運(yùn)算式題，我們可以根據(jù)這兩道題的特點(diǎn)，采用加括號或去括號的方法，使計(jì)算簡便。其方法與加減混合運(yùn)算添、去括號的方法類似，可以概括為：括號前是乘號，添、去括號不變號；括號前是除號，添、去括號要變號。（1）1239616 （2）200（254）=123（9616） =200254=1236 =84趣味數(shù)學(xué)：小明的日記本每頁都標(biāo)上號碼，他用09的數(shù)字共981個。日記本有多少頁？答：357=738 =32練 習(xí) 五計(jì)算下面各題。1，6123661832，1000（1254）3，（13856）（456）4，241345678345（678241） 第12講 定義新運(yùn)算專題簡析：我們學(xué)過常用的運(yùn)算加、減、乘、除等，如62=8，62=12等。都是2和6，為什么運(yùn)算結(jié)果不同呢？主要是運(yùn)算方式不同，實(shí)質(zhì)上是對應(yīng)法則不同。由此可見，一種運(yùn)算實(shí)際就是兩個數(shù)與一個數(shù)的一種對應(yīng)方法。對應(yīng)法則不同就是不同的運(yùn)算。當(dāng)然，這個對應(yīng)法則應(yīng)該是對應(yīng)任意兩個數(shù)。通過這個法則都有一個唯一確定的數(shù)與它們對應(yīng)。數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于它的自由。 康托爾名人名言這一周，我們將定義一些新的運(yùn)算形式，它們與我們常用的加、減、乘、除運(yùn)算是不相同的。例1：設(shè)a、b都表示數(shù)，規(guī)定：ab表示a的3倍減去b的2倍，即：ab = a3b2。試計(jì)算：（1）56；（2）65。分析與解答：解這類題的關(guān)鍵是抓住定義的本質(zhì)。這道題規(guī)定的運(yùn)算本質(zhì)是：運(yùn)算符號前面的數(shù)的3倍減去符號后面的數(shù)的2倍。（1） 56=5362=3（2） 65=6352=8顯然，本例定義的運(yùn)算不滿足交換律，計(jì)算中不能將前后的數(shù)交換。練 習(xí) 一1，設(shè)a、b都表示數(shù)，規(guī)定：ab=6a2b。試計(jì)算34。2，設(shè)a、b都表示數(shù)，規(guī)定：a*b=3a2b。試計(jì)算：（1）（5*6）*7 （2）5*（6*7）3，有兩個整數(shù)是A、B，AB表示A與B的平均數(shù)。已知A6=17，求A。例2：對于兩個數(shù)a與b，規(guī)定ab=abab，試計(jì)算62。分析與解答：這道題規(guī)定的運(yùn)算本質(zhì)是：用運(yùn)算符號前后兩個數(shù)的積加上這兩個數(shù)。62=6262=20練 習(xí) 二1，對于兩個數(shù)a與b，規(guī)定：ab=ab（ab）。計(jì)算35。2，對于兩個數(shù)A與B，規(guī)定：AB=AB2。試算64。3，對于兩個數(shù)a與b，規(guī)定：ab= abab。如果5x=29，求x。例3：如果23=234，54=5678，按此規(guī)律計(jì)算35。分析與解答：這道題規(guī)定的運(yùn)算本質(zhì)是：從運(yùn)算符號前的數(shù)加起，每次加的數(shù)都比前面的一個數(shù)多1，加數(shù)的個數(shù)為運(yùn)算符號后面的數(shù)。所以，35=34567=25練 習(xí) 三1，如果52=26，23=234，計(jì)算：3。2，如果24=24（24），36=36（36），計(jì)算84。3，如果23=234，54=5678，且1x=15，求x。例4：對于兩個數(shù)a與b，規(guī)定ab=a(a+1)+(a+2)+(a+b1)。已知x6=27，求x。分析與解答：經(jīng)仔細(xì)分析，可以發(fā)現(xiàn)這道題規(guī)定運(yùn)算的本質(zhì)仍然是：從運(yùn)算符號前面的數(shù)加起，每次加的數(shù)都比它相鄰的前一個數(shù)多1，加數(shù)的個數(shù)為運(yùn)算符號后面的數(shù)，原式即x+(x+1)+(x+2)+(x+5)=27，解這個方程，即可求出x=2。練 習(xí) 四1，如果23=234=9，65=678910=40。已知x3