曲線積分與曲面積分 期末復習題 高等數(shù)學下冊 (上海電機學院)
真誠為您提供優(yōu)質參考資料,若有不當之處,請指正。第十章 曲線積分與曲面積分答案一、選擇題1曲線積分與路徑無關,其中有一階連續(xù)偏導數(shù),且,則 BA. B. C. D.02閉曲線C為的正向,則 C A.0 B.2 C.4 D.63閉曲線C為的正向,則 DA. B. C.0 D. 4為YOZ平面上,則 DA.0 B. C. D. 5設,則 CA. B. C. D. 6. 設為球面,則曲面積分的值為 B A. B. C. D.7. 設L是從O(0,0)到B(1,1)的直線段,則曲線積分 C A. B. C. D. 8. 設I= 其中L是拋物線上點(0, 0)與點(1, 1)之間的一段弧,則I=D A. B. C. D. 9. 如果簡單閉曲線 所圍區(qū)域的面積為 ,那么 是( D ) A. ; B. ; C. ; D. 。10設,為在第一卦限中部分,則有 CA. B. C. D.二、填空題1. 設L是以(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)為頂點的正方形邊界正向一周,則曲線積分 -2 2.S為球面的外側,則0 3. = 4曲線積分,其中是圓心在原點,半徑為的圓周,則積分值為5設為上半球面,則曲面積分= 32 6. 設曲線為圓周,則曲線積分 .7. 設C是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)為頂點的三角形邊界,則曲線積分1+ 8. 設為上半球面,則曲面積分的值為 。9. 光滑曲面z=f(x,y)在xoy平面上的投影區(qū)域為D,則曲面z=f(x,y)的面積是 10設是拋物線上從點到點的一段弧,則曲線積分 1211、 。12、設為的正向,則 。三、計算題1,其中為圓周,直線及x軸在第一象限所圍圖形的邊界。解:記線段方程,圓弧方程線段方程。則原式 2,其中為曲線與直線段所圍閉區(qū)域的正向邊界。解:利用格林公式,則 ,故原式 3,其中為圓周的上半部分,的方向為逆時針。解:的參數(shù)方程為,從0變化到。故原式 4求拋物面被平面所割下的有界部分的面積。解:曲面的方程為,這里為在XOY平面的投影區(qū)域。故所求面積 5、計算,其中為圓的上半圓周,方向為從點沿到原點O。解:添加從原點到點A的直線段后,閉曲線所圍區(qū)域記為D,利用格林公式,于是而,于是便有 6,其中為球面在第一卦限部分的邊界,當從球面外看時為順時針。解:曲線由三段圓弧組成,設在YOZ平面內(nèi)的圓弧的參數(shù)方程 ,從變化到0。于是由對稱性即得 7,其中為平面 所圍立體的表面的外側。解:記為該表面在XOY平面內(nèi)的部分,為該表面在YOZ平面內(nèi)的部分,為該表面在XOZ平面內(nèi)的部分,為該表面在平面內(nèi)的部分。的方程為,根據(jù)定向,我們有同理,的方程為,故,由對稱性可得,故 于是所求積分為 8計算曲面積分:,其中為曲面的外側。解:利用高斯公式,所求積分等于=8 9. 計算I=,其中S為x+y+z=1, x=0, y=0, z=0所圍立體的表面外側解:設V是x+y+z=1, x=0, y=0, z=0所圍的立體由Gass公式得: I= = = 10計算I=,其中是從點A(3, 2, 1)到點B(0, 0, 0)的直線段AB解:直線段AB的方程是;化為參數(shù)方程得: x=3t, y=2t, z=t, t從1變到0, 所以: I= 11. 計算曲線積分I= 其中是由點A(a,0)至點O(0, 0) 的上半圓周解:在x軸上連接點O(0, 0), A(a, 0) 將擴充成封閉的半圓形AMOA 在線段OA上, 從而 又由Green公式得: 12. 計算曲線積分其中L是z=2與z=3 的交線沿著曲線的正向看是逆時針方向解:將L寫成參數(shù)方程: x=cost, y=sint, z=2 t: 0 于是: = = 另證:由斯托克斯公式得=上側,則: 13. 設曲面S為平面x+y+z=1在第一卦限部分,計算曲面S的面積I解:S在xoy平面的投影區(qū)域為: I= 14. 計算曲線積分其中L是沿著圓 從點A(0,1)到點B(2, 1)的上半單位圓弧 解:設, 當時,故:所求曲線積分在不包圍原點的區(qū)域內(nèi)與路徑無關 則:= =ln5-arctan2 15. 確定的值,使曲線積分在平面上與路徑無關。當起點為,終點為時,求此曲線積分的值。解:由已知,;由條件得 , 即 , 16. 設曲面S為球面被平面z=1截出的頂部,計算I=解:S的方程為:S在xoy平面的投影區(qū)域為: I= 17. 計算I=,其中是,取下側解:作輔助曲面: z=a,取上側 設為,所圍閉區(qū)域 為平面區(qū)域 = = 18.為上半橢圓圓周,取順時針方向,求ABxy0解: 19計算曲面積分,其中為錐面與所圍的整個曲面的外側。解: 由高斯公式,可得 20計算曲線積分,其中是橢圓的正向。解:令, , 則。設所圍成的閉區(qū)域為,則其面積。從而由格林公式可得. 21設為柱面在使得,的兩個卦限內(nèi)被平面及所截下部分的外側,試計算。解:將分成與,其中:(取上側),:(取下側),與在面上的投影為,故 22 計算曲面積分,其中是柱面介于的部分。解:設為在第一卦限的部分曲面。,得。在面上的投影域為。故 23. 計算曲面積分,其中是旋轉拋物面介于及之間部分的下側。解:利用高斯公式,取且。取上側,與構成封閉的外側曲面,所圍的閉域為,對應的為:。 24計算曲線積分,其中是自點沿曲線到點的曲線段。解:,取小圓周充分小,取逆時針方向,則由Green公式可得: 25用高斯公式計算,其中柱面及平面圍成封閉曲面的外側。解: 原式= = = = = 26計算曲面積分,其中是曲面被平面所截下的部分,取下側。解:補,取上側, 而,其中 , 27計算曲線積分,其中L是區(qū)域0x1,0y1的邊界正向。解:利用Green公式= 28、計算曲面積分,其中為平面方程x+y+z=1在第一卦限的上側。解:= 或由對稱性:,而,故?;蚩芍?。 29. 計算,其中L是由點A(0,0)到B(,2)的直線段。解:AB的方程 30、設可微,且曲線積分與路徑無關。求。解:因該項積分與路徑無關,所以。令,得微分方程,解得,(2分)代入條件得C=1從而有 31、計算對面積的曲面積分 。解:曲面在XOY平面上的投影為 原式= =32、計算曲面積分,其中是曲面在的部分的下側。解:補充曲面且取上側,又,由高斯公式 = 四、綜合題1、證明在整個XOY平面上,是某個函數(shù)的全微分,求這樣的一個函數(shù)并計算,其中L為從到的任意一條道路。解:令,則有 ,故知是某個函數(shù)的全微分。取路徑,則一個原函數(shù)為 最后 2、證明曲線積分在XOY面與路徑無關,并求值。解: , 可知該曲線積分與路徑無關。 14 / 14