四川省八年級數(shù)學下冊 第一章 三角形的證明 等腰與直角三角形課件(新版)北師大版.ppt
等腰、直角三角形,基礎知識 自主學習,1等腰三角形: (1)性質: 相等, 相等,底邊上的高線、中線、 頂角的角平分線“三線合一”; (2)判定:有兩邊相等、兩角相等或兩線合一的三角形是等腰 三角形 2等邊三角形: (1)性質: 相等,三內角都等于 ; (2)判定:三邊相等、三內角相等或有一個角是60的等腰三 角形是等邊三角形,要點梳理,兩腰,兩底角,三邊,60,3直角三角形:在ABC中,C90. (1)性質:邊與邊的關系:(勾股定理)a2b2 ; (2)角與角的關系:AB ; (3)邊與角的關系: 若A30,則ac,bc; 若ac,則A30; 若A45,則abc; 若ac,則A45; 斜邊上的中線mcR.其中R為三角形外接圓的半徑 (4)判定:有一個角是直角的三角形是直角三角形;如果三角形 的三邊長a、b、c滿足a2b2c2,那么這個三角形是直角三 角形;如果三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半,那么 這個三角形是直角三角形,c2,90,難點正本 疑點清源 1等腰三角形的特殊性 “等邊對等角”是今后我們證明角相等的又一個重要依據(jù)“等 角對等邊”可以判定一個三角形是等腰三角形,同時也是今后證明 兩條線段相等的重要依據(jù) 等邊三角形是等腰三角形,但等腰三角形不一定是等邊三角 形,等邊三角形擁有等腰三角形的所有性質,但不分頂角、底角、 腰、底邊因為等邊三角形任何一個角都為60,任何一條邊都 可看做腰或底邊 解答等腰三角形的有關問題時,常作輔助線,構造出“三線合 一”的基本圖形在添加輔助線時,要根據(jù)具體情況而定,表達輔 助線的語句,不能限制條件過多,如一邊上的高并且要平分這條 邊;作一邊上的中線并且垂直平分這條邊;作一個角的平分線并 且垂直對邊等等,這些都是不正確的,基礎自測,1(2011濟寧)如果一個等腰三角形的兩邊長分別是5 cm和6 cm,那么此三角形的周長是( ) A15 cm B16 cm C17 cm D16 cm或17 cm 答案 D 解析 這個三角形的周長是55616或66517.,2(2011銅仁)下列關于等腰三角形的性質敘述錯誤的是( ) A等腰三角形兩底角相等 B等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線、頂角的平分線互 相重合 C等腰三角形是中心對稱圖形 D等腰三角形是軸對稱圖形 答案 C 解析 等腰三角形是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形,3(2011蕪湖)如圖,已知ABC中,ABC45, F是高AD和BE的交點,CD4,則線段DF的長度為( ) A2 B4 C3 D4 答案 B 解析 在RtABD中,ABD45,可得ADBD,易證BDFADC,所以DFCD4.,5(2011雞西)如圖,在RtABC中,ABCB,BOAC,把ABC折疊,使AB落在AC上,點B與AC上的點E重合,展開后,折痕AD交BO于點F,連結DE、EF.下列結論: tanADB2; 圖中有4對全等三角形; 若將DEF沿EF折疊, 則點D不一定落在AC上; BDBF; S四邊形DFOESAOF, 上述結論中正確的個數(shù)是( ) A1個 B2個 C3個 D4個,答案 C,題型分類 深度剖析,【例 1】 (1)方程x29x180的兩個根是等腰三角形的底和腰,則這個三角形的周長為( ) A12 B12或15 C15 D不能確定 答案 C 解析 解方程x29x180,得x13,x26,周長為36615,應選C. (2)如果等腰三角形的一個內角是80,那么頂角是_度 答案 80或20 解析 頂角是80,或當?shù)捉鞘?0時,頂角是18028020. 探究提高 在等腰三角形中,如果沒有明確底邊和腰,某一邊可以是底, 也可以是腰同樣,某一角可以是底角也可以是頂角,必須仔細分類討 論,題型一 等腰三角形有關邊角的討論,知能遷移1 (1)(2011株洲)如圖, ABC中,ABAC,A36,AC的垂直平分線交AB于E,D為垂足,連接EC. 求ECD的度數(shù); 若CE5,求BC長,解 解法一: DE垂直平分AC, CEAE,ECDA36. 解法二: DE垂直平分AC, ADCD,ADECDE90. 又DEDE,ADECDE,ECDA36.,解法一: ABAC,A36,BACB72. ECDA36, BCEACBECD36, BEC180367272B, BCEC5. 解法二: ABAC,A36, BACB72, BECAECD72, BECB, BCEC5.,(2)(2011煙臺)等腰三角形的周長為14,其一邊長為4,那么,它的底邊為_ 答案 4或6 解析 等腰三角形的底邊為4;等腰三角形的兩腰為4時,則底邊等于14446.,題型二 等腰三角形的性質,【例 2】 如圖,在等腰RtABC中,BAC90,點D是BC的中點,且AEBF,試判斷DEF的形狀,解題示范規(guī)范步驟,該得的分,一分不丟!,解:連接AD,在等腰RtABC中, AD是中線, ADBC,DAEBAC45,ADBD. 又BC45, BDAE.2分 在BDF和ADE中, BDFADE(SAS)4分 DFDE,12. 又3190, 2390,即EDF90. DEF也是等腰直角三角形6分,探究提高 作等腰三角形的底邊中線,構造等腰三角形“三線合一”的基本圖形,是常見的輔助線的作法之一,知能遷移2 已知:如圖,D是等腰ABC底邊BC上一點,它到兩腰AB、AC的距離分別為DE、DF.當D點在什么位置時,DEDF?并加以證明,解 當點D在BC的中點時,DEDF. ABAC,BC. DEAB,DFAC, DEBDFC90. 點D是BC的中點, BDCD, BDECDF(AAS), DEDF.,題型三 等邊三角形,【例 3】 (1)已知:如圖,P、Q是ABC邊BC上兩點,且BPPQQCAPAQ,求BAC的度數(shù),解 APPQAQ,APQ是等邊三角形 PAQ60,APQ60. APBP,BBAP6030. 同理:CCAQ30, BAC306030120.,(2)(2012大興安嶺)如圖所示,已知ABC和DCE均是等邊 三角形,點B、C、E在同一條直線上,AE與BD交于點 O,AE與CD交于點G,AC與BD交于點F,連接OC、FG, 則下列結論: AEBD; AGBF; FGBE; BOCEOC. 其中正確結論的個數(shù)( ) A1個 B2個 C3個 D4個 答案 D,解析 由BCDACE, 可得AEBD成立; 由ACGBCF, 可得AGBF成立; ACGBCF, CGCF, 又ACD60, FCG是等邊三角形, CFG60ACB, FGBE成立; 過C畫CMBD,CNAE,垂足分別是M、N, BCDACE, CMCN, 點C在BOE的角平分線上,OC平分BOE, 即BOCEOC成立,探究提高 在解題的過程中要充分利用等邊三角形特有的性質,每個角都相等,每條邊都相等,這可以讓我們輕松找到證明全等所需的條件,知能遷移3 如圖,在等邊ABC中,點D、E分別在邊BC、AB上,且BDAE,AD與CE交于點F. (1)求證:ADCE; (2)求DFC的度數(shù),解 (1)在等邊ABC中, ABAC,BACCBA60, 又BDAE, ABDCAE, ADCE. (2)ABDCAE, BADECA. DFC是AFC的外角, DFCECADAC BADDAC BAC60.,答題規(guī)范,考題再現(xiàn) 在ABC中,高AD和高BE相交于H,且BHAC,求ABC的度數(shù) 學生作答 解:如圖1, 在RtBHD和RtACD中, CCAD90, CHBD90, HBDCAD. 又BHAC,BHDACD, BDAD. ADB90,ABC45.,9三角形的高可能在形外,圖1,規(guī)范解答 解:這里的ABC有兩種情況,ABC是銳角(圖1)或 ABC是鈍角(圖2) 如圖2,在RtBHD和RtACD中, 易得DCADHB. 又ACBH, DHBDCA, ADDB, DBA45, ABC135. 綜上:ABC45或ABC135.,圖2,10易出錯的等腰三角形問題,考題再現(xiàn) 已知ABC是等腰三角形,由A所引BC邊上的高恰好等于BC邊長的一半,試求BAC的度數(shù) 學生作答,圖3,規(guī)范解答 解:題目中并沒有指明BC是等腰ABC的底或腰 當BC為底時,可求得BAC90; 當BC為腰時,還應對B的大小進行討論:,圖4,圖5,