不定積分公式大全ppt課件

第5章 不定積分,5.1 原函數(shù)與不定積分的概念 一、原函數(shù)與不定積分 通過(guò)對(duì)求導(dǎo)和微分的學(xué)習(xí)，我們可以從一個(gè)函數(shù) yf(x)出發(fā)，去求它的導(dǎo)數(shù)f(x) 那么，我們能不能從一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)出發(fā)， 反過(guò)來(lái)去求它是哪一個(gè)函數(shù)(原函數(shù))的導(dǎo)數(shù)呢? 定義 已知f(x)是定義在某區(qū)間上的一個(gè)函數(shù)，如果存在函數(shù)F(x)，使得在該區(qū)間上的任何一點(diǎn)x處都有F(x)f(x)，那么稱函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)。,1,例1 求下列函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)： f(x)2x f(x)cosx 解：(x2)2x x2是函數(shù)2x的一個(gè)原函數(shù) (sinx)cosx sinx是函數(shù)cosx的一個(gè)原函數(shù) 這里為什么要強(qiáng)調(diào)是一個(gè)原函數(shù)呢?因?yàn)橐粋€(gè)函數(shù) 的原函數(shù)不是唯一的。 例如在上面的中，還有(x21)2x， (x21)2x 所以 x2、x21、x21、x2C (C為任意常數(shù)) 都是函數(shù)f(x)2x的原函數(shù)。,2,定理5.1 設(shè)F(x)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)， C是一個(gè)任意常數(shù)，那么， F(x)C也是f(x) 在該區(qū)間I上的原函數(shù) f(x)該在區(qū)間I上的全體原函數(shù)可以表示 為F(x)C 證明： F(X)CF(x)(C)f(x) F(x)C也是f(x)的原函數(shù) 略,3,這說(shuō)明函數(shù)f(x)如果有一個(gè)原函數(shù)F(x)，那么它 就有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)，它們都可以表示為F(x)C的 形式。 定義5.2 函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)叫做函數(shù)f(x)的不定積分， 記作f(x)dx， 其中叫做積分號(hào)，f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積 分變量。 求函數(shù)f(x)的不定積分就是求它的全體原函數(shù)， 因此，f(x)dxF(x)C 其中C是任意常數(shù)，叫做積分常數(shù)。,4,例2 求下列不定積分 x5dx sinxdx 解： 是x5的一個(gè)原函數(shù) cosx是sinx的一個(gè)原函數(shù) ,5,二、 不定積分的幾何意義 設(shè)F(x)是函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則曲線yF(x) 稱為f(x)的一條積分曲線，曲線yF(x)C表示把曲 線yF(x)上下平移所得到的曲線族。因此，不定積分 的幾何意義是指由f(x)的全體積分曲線組成的積分曲 線族。 例4 求斜率為2x且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0)的曲線。 解：設(shè)所求曲線為yf(x)，則f(x)2x， 故yx2C， 曲線過(guò)點(diǎn)(1,0)以x1、y0代入得012C， 解得C1， 因此，所求曲線為yx21。,6,三、 基本積分公式 由于積分運(yùn)算是求導(dǎo)運(yùn)算的逆運(yùn)算，所以由基本 求導(dǎo)公式反推，可得基本積分公式 dxxC xdx (-1) exdxexC sinxdxcosxC cosxdxsinxC sec2xdxtanxC csc2xdxcotxC ,7,說(shuō)明：冪函數(shù)的積分結(jié)果可以這樣求，先將被積函數(shù) 的指數(shù)加1，再把指數(shù)的倒數(shù)放在前面做系數(shù)。 注意 不能認(rèn)為 arcsinxarccosx，他們之間 的關(guān)系是 arcsinx2arccosx,8,四、 不定積分的性質(zhì) f(x)dxf(x) 該性質(zhì)表明，如果函數(shù)f(x)先求不定積分再求導(dǎo)， 所得結(jié)果仍為f(x) F(x)dxF(x)C 該性質(zhì)表明，如果函數(shù)F(x)先求導(dǎo)再求不定積分， 所得結(jié)果與F(x)相差一個(gè)常數(shù)C kf(x)dxkf(x)dx (k為常數(shù)) 該性質(zhì)表明，被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以 提到積分號(hào)的前面 f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx 該性質(zhì)表明，兩個(gè)函數(shù)的和或差的不定積分等于 這兩個(gè)函數(shù)的不定積分的和或差,9,五、 基本積分公式的應(yīng)用 例7 求(9x28x)dx 解：(9x28x)dx9x2dx8xdx 33x2dx42xdx3x34x2C 例11 求3xexdx,10,5.2 不定積分的計(jì)算 一、 直接積分法 對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變形后直接用 不定積分的性質(zhì)和基本積分公式即可求出不定 積分的方法稱為直接積分法。 運(yùn)用直接積分法可以求出一些簡(jiǎn)單函數(shù)的 不定積分。,11,12,一、第一換元法(湊微分法) 如果被積函數(shù)的自變量與積分變量不相同， 就不能用直接積分法。 例如求cos2xdx，被積函數(shù)的自變量是2x， 積分變量是x。 這時(shí)，我們可以設(shè)被積函數(shù)的自變量為u， 如果能從被積式中分離出一個(gè)因子u(x)來(lái)， 那么根據(jù)f(u)u(x)dxf(u)duF(u)C 就可以求出不定積分。 這種積分方法叫做湊微分法。,13,講解例題 例2 求2sin2xdx 解：設(shè)u2x，則du2dx 2sin2xdxsin2x2dxsinudu cosuCcos2xC 注意：最后結(jié)果中不能有u，一定要還原成x。 解：設(shè)ux21，則du2xdx,14,解：設(shè)ux2，則du2xdx 設(shè)ucosx，則du-sinxdx,15,當(dāng)計(jì)算熟練后，換元的過(guò)程可以省去不寫。 例 求sin3xcosxdx 解：sin3xcosxdxsin3xd(sinx) sin4xC,16,二、第二換元積分法 例如，求 ，把其中最難處理的部分換 元，令 則原式 ，再反解xu21， 得dx2udu，代入 這就是第二換元積分法。,17,(1)如果被積函數(shù)含有 ，可以用xasint換元。 (2)如果被積函數(shù)含有 ，可以用xatant換元。,18,19,以下結(jié)果可以作為公式使用： tanxdxln|secx|C cotdxln|cscx|C secxdxln|secxtanx|C cscxdxln|cscxcotx|C ,20,5.3 分部積分法 一、分部積分公式 考察函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則： u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x) 兩邊積分得 u(x)v(x)u(x)v(x)dxu(x)v(x)dx 于是有 u(x)v(x)dxu(x)v(x)u(x)v(x)dx 或表示成 u(x)dv(x)u(x)v(x)v(x)du(x) 這一公式稱為分部積分公式。,21,二、講解例題 例1 求xexdx 解:令 u(x)x，v(x)ex 則原式為u(x)v(x)dx的形式 (ex)ex v(x)ex， 由分部積分公式有 xexdxxexexdxxexexC 例2 求xcos2xdx 解：令 u(x)x，v(x)cos2x，則v(x) sin2x 于是xcos2xdx xsin2x sin2xdx xsin2x cos2xC,22,有時(shí)，用分部積分法求不定積分需要連續(xù)使 用幾次分部積分公式才可以求出結(jié)果。 例5：求x2e-2xdx 解：令u(x)x2，v(x)e-2x，則v(x) 于是,23,由此可見：作一次分部積分后，被積函數(shù)中冪函數(shù)的 次數(shù)可以降低一次。如果所得到的積分式還需要用分 部積分法解，那么，可以再用分部積分公式做下去。 為了簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，下面介紹: 三、分部積分法的列表解法 例如：求 x2sinxdx x2 sinx 求導(dǎo) + 積分 2x - -cosx,x2sinxdx -x2cosx-2x(-cosx)dx,24,分部積分法的列表解法 例如：求 x2sinxdx x2 sinx,求導(dǎo),積分,2x,-cosx,x2sinxdx -x2cosx2xcosxdx,-x2cosx2xsinx -2sinxdx,求導(dǎo) ,積分 -sinx,-x2cosx2xsinx 2cosxC,求導(dǎo) ,積分 +cosx, ,25,例4：求xlnxdx x lnx 求導(dǎo) 積分 1 ? 這說(shuō)明把lnx放在右邊用分部積分法解不下去。 把lnx放在左邊用分部積分法解： lnx x 求導(dǎo) + 積分 -,26,一般原則 對(duì)數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)、冪函數(shù)應(yīng)放在左邊， 指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)應(yīng)放在右邊。 有些單獨(dú)一個(gè)函數(shù)的不定積分也要用分部 積分法解。 例3：求lnxdx lnx 1 求導(dǎo) + 積分 - x,= xlnxdx = xlnxxC,27,例6 求arcsinxdx arcsinx 1 求導(dǎo) + 積分 - x 例7 1 求導(dǎo) 積分 x,28,例8 求exsin3xdx 解：exsin3xdxexsin3x3excos3xdx exsin3x3excos3x9exsin3xdx 移項(xiàng)得 exsin3xdx ex(si3nx3cos3x)C 5.4 有理函數(shù)積分法 一、有理函數(shù)的定義 有理函數(shù)是指分子、分母都是多項(xiàng)式的分 式函數(shù)，形如,29,二、真分式的部分分式分解 設(shè)分子的次數(shù)為n，分母的次數(shù)為m。 當(dāng)nm時(shí)，該分式稱為真分式； 當(dāng)nm時(shí)，該分式稱為假分式。 假分式可以寫成多項(xiàng)式與真分式的和。 這里主要講解真分式的部分分式分解。 例 分解 成部分分式 解：因?yàn)榉帜负?x1)的三重因式，所以設(shè),30,等式右邊通分后得 比較等式兩邊分子各項(xiàng)的系數(shù)得 1 解得： 1 320 2 30 1 1 2 這種方法稱為待定系數(shù)法,31,幾種簡(jiǎn)單分式的積分法 一、,32,二、 1.當(dāng)分子不含一次項(xiàng)時(shí) 因?yàn)榉帜钢衟2-4q0，所以分母可以配方成(x-m)2+n2， 再進(jìn)一步，還可以化成,33,34,2.當(dāng)分子含有一次項(xiàng)時(shí)，可將分子湊成分母的導(dǎo)數(shù)與另一常數(shù)之和再分別積分。,35,三、分母可以因式分解的有理函數(shù) 1.若被積函數(shù)是假分式，先把它分解成一個(gè)多項(xiàng)式與一個(gè)真分式之和, 2. 對(duì)于真分式，先將分母因式分解，再用待定系數(shù)法化為部分分式之和, 3. 對(duì)每個(gè)最簡(jiǎn)分式分別求不定積分。,36,37,再如前面舉過(guò)的例子 求,38,作業(yè) P.253 1 ，2 ，4 P.267 2 (23)(25) P.273 1 8 P.279 1 ,4 ,9,39,