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《數(shù)學(xué)歸納法》(好).ppt

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《數(shù)學(xué)歸納法》(好).ppt

數(shù)學(xué)歸納法,:由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法,結(jié)論一定可靠,結(jié)論不一定可靠,考察全體對(duì)象,得到一般結(jié)論的推理方法,考察部分對(duì)象,得到一般結(jié)論的推理方法,歸納法分為完全歸納法 和 不完全歸納法,歸納法,思考:歸納法有什么優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)?,優(yōu)點(diǎn):可以幫助我們從一些具體事 例中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律,缺點(diǎn):僅根據(jù)有限的特殊事例歸納 得到的結(jié)論有時(shí)是不正確的,解:,猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式為,驗(yàn)證:同理得,啊,有完沒(méi)完啊?,正整數(shù)無(wú)數(shù)個(gè)!,(1)求出數(shù)列前4項(xiàng),你能得到什么猜想?,(2)你的猜想一定是正確的嗎?,情境二,二、引導(dǎo)探究,尋求解決方法,1、第一塊骨牌倒下,2、任意相鄰的兩塊骨牌,前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下,條件(2)事實(shí)上給出了一個(gè)遞推關(guān)系,換言之就是假設(shè)第K塊倒下,則相鄰的第K+1塊也倒下,請(qǐng)同學(xué)們思考所有的骨牌都一一倒下只需滿足哪幾個(gè)條件,(二)師生互助,多米諾骨牌游戲原理,(1)當(dāng)n=1時(shí),猜想成立,根據(jù)(1)和(2),可知對(duì)任意的正整數(shù)n,猜想都成立。,通項(xiàng)公式為 的證明方法,三、類比問(wèn)題,師生合作探究,(一)類比歸納,當(dāng)一個(gè)命題滿足上述(1)、(2) 兩個(gè)條件時(shí),我們能把證明無(wú)限問(wèn)題 用有限證明解決嗎?,(二)理解升華,一般的,證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行:,(1) 【歸納奠基】證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0 N* ) 時(shí)命題成立; (2) 【歸納遞推】假設(shè)當(dāng)n=k(kN* ,k n0)時(shí)命題成立,證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立. 從而就可以斷定命題對(duì)于n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立。 這種證明方法叫做 數(shù)學(xué)歸納法。,(四)提煉概念,四、例題研討,學(xué)生實(shí)踐應(yīng)用,(一)典例析剖,(二)變式精煉,用數(shù)學(xué)歸納法證明,135(2n1) ,用數(shù)學(xué)歸納法證明,n2,即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。,根據(jù)(1)和(2)可知,等式對(duì)任何 都成立。,證明:,135(2k1)+2(k+1)1,那么當(dāng)n=k+1時(shí),(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí),等式成立,即,(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊1,右邊1,等式成立。,(假設(shè)),(利用假設(shè)),注意:遞推基礎(chǔ)不可少, 歸納假設(shè)要用到, 結(jié)論寫(xiě)明莫忘掉。,(湊結(jié)論),(三)能力提升,用數(shù)學(xué)歸納法證明,證明:,(1)當(dāng)n=1時(shí),,左邊=12=1,等式成立,(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立,即,那么,當(dāng)n=k+1時(shí),即當(dāng)n=k+1等式也成立,根據(jù)(1)和(2),可知等式對(duì)任何 都成立.,湊出目標(biāo),用到歸納假設(shè),數(shù)學(xué)歸納法步驟,用框圖表示為:,歸納奠基,歸納遞推,注:兩個(gè)步驟,一個(gè)結(jié)論,缺一不可,思考1:試問(wèn)等式2+4+6+2nn2+n+1成立嗎?某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法給出了如下的證明,請(qǐng)問(wèn)該同學(xué)得到的結(jié)論正確嗎?,解:設(shè)nk時(shí)成立,即,這就是說(shuō),nk+1時(shí)也成立,2+4+6+2kk2+k+1,則當(dāng)n=k+1時(shí) 2+4+6+2k+2(k+1) k2+k+1+2k+2(k+1)2+(k+1)+1,所以等式對(duì)任何nN*都成立,事實(shí)上,當(dāng)n1時(shí),左邊2,右邊3 左邊右邊,等式不成立,該同學(xué)在沒(méi)有證明當(dāng)n=1時(shí),等式是否成立的前提下,就斷言等式對(duì)任何nN*都成立,為時(shí)尚早,證明:當(dāng)n=1時(shí),左邊,右邊,假設(shè)n=k時(shí),等式成立,,那么n=k+1時(shí),等式成立,這就是說(shuō),當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立,根據(jù)(1)和(2),可知等式對(duì)任何nN都成立,即,第二步的證明沒(méi)有在假設(shè)條件下進(jìn)行,因此不符合數(shù)學(xué)歸納法的證明要求,因此,用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的兩個(gè)步驟,缺一不可。第一步是遞推的基礎(chǔ),第二步是遞推的依據(jù)。缺了第一步遞推失去基礎(chǔ);缺了第二步,遞推失去依據(jù),因此無(wú)法遞推下去。,1.在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為 n(n3) 條時(shí),第一步檢驗(yàn)n等于 ( ) A.1 B.2 C.3 D.0,解析:因?yàn)閚3,所以,第一步應(yīng)檢驗(yàn)n3.,答案:C,2.用數(shù)學(xué)歸納法證明1aa2an1 (a1), 在驗(yàn)證n1時(shí),等式左端計(jì)算所得的項(xiàng)是 ( ) A.1 B.1a C.1aa2 D.1aa2a3,解析:因?yàn)楫?dāng)n1時(shí),an1a2,所以驗(yàn)證n1時(shí), 等式左端計(jì)算所得的項(xiàng)是1aa2.,答案:C,3.利用數(shù)學(xué)歸納法證明“(n1)(n2)(nn) 2n13(2n1),nN*”時(shí),從“nk”變到“nk 1”時(shí),左邊應(yīng)增乘的因式是 ( ) A.2k1 B.2(2k1) C. D.,解析:當(dāng)nk(kN*)時(shí),左式為(k1)(k2)(kk); 當(dāng)nk1時(shí),左式為(k11)(k12)(k1k1)(k1k)(k1k1), 則左邊應(yīng)增乘的式子是 2(2k1).,答案:B,4.用數(shù)學(xué)歸納法證明: , 第一步應(yīng)驗(yàn)證左式是 , 右式是 .,解析:令n1則左式為1 ,右式為 .,答案:,5.記凸k邊形的內(nèi)角和為f(k),則凸k1邊形的內(nèi)角和 f(k1)f(k) .,解析:由凸k邊形變?yōu)橥筴1邊形時(shí),增加了一個(gè)三角形,故f(k1)f(k).,答案:,六、鞏固作業(yè),分層布置,課本P96習(xí)題2.3 A組 1、2(必做) (選做題) 用數(shù)學(xué)歸納法證明,時(shí),由n=k(k1)時(shí)不等式成立,推證n=k+1,左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是( )項(xiàng) A. 2k-1 B.2k+1 C.2k-1 D.2k,

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