數(shù)學(xué)分析課件一致收斂性.ppt

1 一致收斂性,三、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂判別法,返回,對(duì)于一般項(xiàng)是函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)，其收斂性 要比數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)雜得多，特別是有關(guān)一致收 斂的內(nèi)容就更為豐富，它在理論和應(yīng)用上有 著重要的地位.,一、函數(shù)列及其一致收斂性,二、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性,一、函數(shù)列及其一致收斂性,設(shè),是一列定義在同一數(shù)集 E 上的函數(shù),稱(chēng)為定義在E,上的函數(shù)列. (1) 也可記為,為函數(shù)列(1)的收斂點(diǎn). 如果數(shù)列(2)發(fā)散, 則稱(chēng)函數(shù),點(diǎn)都收斂時(shí), 就稱(chēng)(1)在數(shù)集 D 上收斂. 這時(shí) D 上每,根據(jù)這個(gè)對(duì)應(yīng)法則所確定的 D 上的函數(shù), 稱(chēng)為函數(shù),列(1)的極限函數(shù). 若將此極限函數(shù)記作f, 則有,或,的收斂域.,證,式所表示的函數(shù).,又,顯然是發(fā)散的. 所以,的函數(shù)列的收斂域是,這就證明了 在( , 1 上收斂, 且極限就是(3),例2,所以函數(shù)列,注 對(duì)于函數(shù)列, 僅停留在討論在哪些點(diǎn)上收斂是遠(yuǎn),遠(yuǎn)不夠的，重要的是要研究極限函數(shù)與函數(shù)列所具,有的解析性質(zhì)的關(guān)系. 例如, 能否由函數(shù)列每項(xiàng)的,連續(xù)性、可導(dǎo)性來(lái)判斷出極限函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo),性; 或極限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或積分, 是否分別是函數(shù)列,每項(xiàng)導(dǎo)數(shù)或積分的極限. 對(duì)這些更深刻問(wèn)題的討論,必須對(duì)它在 D上的收斂性提出更高的要求才行.,時(shí)，,由定義看到, 一致收斂就是對(duì) D 上任何一點(diǎn), 函數(shù)列,趨于極限函數(shù)的速度是 “一致” 的. 這種一致性體現(xiàn),每一點(diǎn)都收斂. 反之, 在 D 上每一點(diǎn)都收斂的函數(shù)列,它在 D 上不一定一致收斂.,為: 與 相對(duì)應(yīng)的 N 僅與 有關(guān), 而與 x 在 D 上的,取值無(wú)關(guān), 因而把這個(gè)對(duì)所有 x 都適用的 N 寫(xiě)作,在 D 上不一致收斂于 f 的正面陳述是:,使得,由例1 中知道,下面來(lái)證明這個(gè)結(jié)論.,事實(shí)上, 若取,就有,號(hào)大于,與,狀區(qū)域之內(nèi).,從幾何意義上,看, 就是存在某個(gè)預(yù)先給定,總存在某條曲線,不能全部落在由,所夾成的帶狀區(qū)域內(nèi)，所以,上是一致收斂的.,定理13.1 (函數(shù)列一致收斂的柯西準(zhǔn)則) 函數(shù)列,都有,充分性 若條件 (4) 成立, 由數(shù)列收斂的柯西準(zhǔn)則,在D上任一點(diǎn)都收斂, 記其極限函數(shù)為,由定義1知,根據(jù)一致收斂定義可推出下述定理:,這就得到了(6)式.,有,注 柯西準(zhǔn)則的特點(diǎn)是不需要知道極限函數(shù)是什么,只是根據(jù)函數(shù)列本身的特性來(lái)判斷函數(shù)列是否一致,收斂, 而使用余項(xiàng)準(zhǔn)則需要知道極限函數(shù), 但使用,較為方便. 如例2, 由于,故由 (7) 式得,例3 定義在0,1上的函數(shù)列,的圖,像如圖13-3 所示.,收斂性.,解 為了使用余項(xiàng)準(zhǔn)則, 首先求出函數(shù)列的極限函數(shù).,于是, 因此為最大值點(diǎn). 于是,(見(jiàn)圖13-4), 因此對(duì)任何不含原點(diǎn)的區(qū)間,在該區(qū)間上一致收斂于零.,圖13 4,二、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性,稱(chēng)為定義在E上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(9)的部分和函數(shù)列.,級(jí)數(shù)(9)在 E 的某個(gè)子集 D 上每點(diǎn)都收斂, 則稱(chēng)級(jí)數(shù),(9)在 D 上收斂. 若 D 為級(jí)數(shù)(9)全體收斂點(diǎn)的集合,這時(shí)就稱(chēng) D為級(jí)數(shù)(9)的收斂域. 級(jí)數(shù)(9)在 D上每一,定義在 D 上的函數(shù), 稱(chēng)為級(jí)數(shù)(9)的和函數(shù), 并記作,即,也就是說(shuō), 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(9)的收斂性就是指它的部分,和函數(shù)列(10)的收斂性.,例5,定義2,則稱(chēng),由于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性是由它的部分和函數(shù),列來(lái)確定, 所以得到的有關(guān)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定理.,定理 13.3 ( 一致收斂的柯西準(zhǔn)則 ) 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),在數(shù)集 D 上一致收斂的充要條件為: 對(duì)任,和,或,此定理中當(dāng) p=1 時(shí), 得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的一,個(gè)必要條件.,推論 (函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的必要條件) 函數(shù)項(xiàng)級(jí),一致收,上討論, 則由,上討論這個(gè)級(jí)數(shù), 則由,收斂性.,所以,于是, 故,上一致收斂.,注 當(dāng)和函數(shù)容易求出時(shí),余項(xiàng)準(zhǔn)則是比較好用的一種判別方法.,三、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂判別法,判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性除了根據(jù)定義、柯西,準(zhǔn)則或余項(xiàng)準(zhǔn)則外, 有些級(jí)數(shù)還可以根據(jù)級(jí)數(shù)一般,項(xiàng)的某些特性來(lái)判別.,定理13.5 (魏爾斯特拉斯判別法，或優(yōu)級(jí)數(shù)判別法),斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，,證,及任何正整數(shù) p, 有,根據(jù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的柯西準(zhǔn)則, 級(jí)數(shù),在 D 上一致收斂.,例7 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),數(shù)判別法也稱(chēng)為M 判別法.,利用阿貝爾分部求和公式(第十二章3的引理), 可,以得到與數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)相似的判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂,的阿貝爾判別法和狄利克雷判別法.,設(shè)有定義在區(qū)間I上形如,的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù). 對(duì)級(jí)數(shù)(14)有:,定理13.6(阿貝耳判別法)設(shè),和正整,數(shù) , 存在正數(shù)M, 使得,則級(jí)數(shù)(14)在 I 上一致收斂.,又由(ii),(iii)及阿貝耳引理(第十二章3的引理的推,論)得到,由函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的柯西準(zhǔn)則, 得級(jí)數(shù)(14),在 I 上一致收斂.,證,定理13.7 (狄利克雷判別法) 設(shè),在 I 上一致有界;,則級(jí)數(shù)(14)在I上一致收斂.,證 由(i), 存在正數(shù) M, 對(duì)一切x I, 有,因此當(dāng) n, p 為任何正整數(shù)時(shí),對(duì)任何一個(gè)x I, 再由(ii)及阿貝耳引理得到,一切x I, 有,所以,于是由一致收斂性的柯西準(zhǔn)則, 級(jí)數(shù)(14)在I上一致,收斂.,例8 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),在0, 1上一致收斂.,阿貝耳判別法就能得到結(jié)果.,證 由第十二章3(21)式, 在, 2-上有,例9 若數(shù)列 單調(diào)且收斂于零, 則級(jí)數(shù),致有界, 于是令,一致收斂.,則由狄利克雷判別法可得級(jí)數(shù)(15)在 上,注 對(duì)于例7中的級(jí)數(shù)(15), 只要 單調(diào)且收斂于零,閉區(qū)間上一致收斂.,級(jí)數(shù)(15)就在不包含 的任何,由數(shù)學(xué)歸納法容易得到,復(fù)習(xí)思考題,1. 總結(jié)函數(shù)列和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別方法,(不局限于書(shū)上現(xiàn)成的判別法); 判別不一致收斂通,常可以使用哪些方法呢？,2給出函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在 D上不一致收斂的柯西準(zhǔn)則,(即柯西收斂準(zhǔn)則的否定形式).,