《三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用》優(yōu)質(zhì)課比賽說課教案

三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用一、內(nèi)容與內(nèi)容解析三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用是人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)4第一章第6節(jié)內(nèi)容.學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)需要兩課時，這是第一課時的內(nèi)容，主要學(xué)習(xí)前3個例題三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，三角函數(shù)與日常生活及生產(chǎn)實踐密切相關(guān)，在測量、計算與角有關(guān)的問題中有廣泛的應(yīng)用本節(jié)內(nèi)容是在對三角函數(shù)的定義、性質(zhì)、圖象等基本知識作完整的學(xué)習(xí)以后專門設(shè)置的，目的在于加強(qiáng)用三角函數(shù)模型刻畫周期變化現(xiàn)象的學(xué)習(xí)，因此在整個課程安排上起到總結(jié)、提升的作用.學(xué)生利用已學(xué)知識來解決實際問題并在此過程中培養(yǎng)其應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識.三角函數(shù)模型可以解決許多實際生活中的問題，如果某現(xiàn)象的變化有周期性，結(jié)合這一現(xiàn)象的特征和條件，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，建立數(shù)學(xué)模型，從而將這一具體現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為一個特定的數(shù)學(xué)模型三角函數(shù)模型本節(jié)的四個例題，循序漸進(jìn)地從四個層次來介紹三角函數(shù)模型的應(yīng)用，第一課時講解下面的三個例題，其中： 例1是研究溫度隨時間呈周期性變化的問題.問題給出了某個時間段的溫度變化曲線，要求這一天的最大溫差，并寫出曲線的函數(shù)解析式.也就是利用函數(shù)模型來解決問題，要特別注意自變量的變化范圍. 例2利用函數(shù)圖象的直觀性，通過觀察圖象而獲得對函數(shù)性質(zhì)的認(rèn)識，這是研究數(shù)學(xué)問題的常用方法.顯然，函數(shù)與正弦函數(shù)有緊密的聯(lián)系. 例3是研究樓高與樓在地面的投影長的關(guān)系問題，是將實際問題直接抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡單函數(shù)模型，然后根據(jù)所得的模型解決問題應(yīng)當(dāng)注意在復(fù)雜的背景中抽取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系，還要調(diào)動相關(guān)學(xué)科知識來幫助理解問題應(yīng)用三角函數(shù)模型解決問題，首先要把實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，通過分析它的變化趨勢，確定它的周期，從而建立起適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)模型，解決問題的一般程序是：（1）審題：先審清楚題目條件、要求、理解數(shù)學(xué)關(guān)系（2）建模：分析題目周期性，選擇適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)模型（3）求解：對所建立的三角函數(shù)模型進(jìn)行分析研究得到數(shù)學(xué)結(jié)論（4）還原：把數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實際問題的解答二、目標(biāo)和目標(biāo)解析依據(jù)普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，本節(jié)目的是加強(qiáng)用三角函數(shù)模型刻畫周期變化現(xiàn)象的學(xué)習(xí)，本節(jié)課從四個層次介紹三角函數(shù)模型的應(yīng)用根據(jù)解析式引出圖象由數(shù)到形；根據(jù)圖象求出解析式由形到數(shù)；將實際問題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡單函數(shù)模型（建模）；利用收集到的數(shù)據(jù)引出散點，并根據(jù)散點圖進(jìn)行函數(shù)擬合，從而得到函數(shù)模型（是前三點的結(jié)合應(yīng)用）.此確定以下的教學(xué)目標(biāo)：【知識與技能】初步掌握三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用：(1)能根據(jù)解析式用描點法或幾何變換法作出圖象，提高學(xué)生的作圖能力(2)能根據(jù)圖象建立解析式，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析圖象，獲取數(shù)據(jù)的能力(3)會用三角函數(shù)解決一些簡單實際問題，體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型【過程與方法】師生共同探討，通過設(shè)計一系列階梯型題目，由淺入深，由易而難，由熟悉問題到陌生問題，引起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣與探究的熱情，并達(dá)到突出重點，突破難點的目的在此過程中體會和感受數(shù)學(xué)建模思想的內(nèi)涵及數(shù)學(xué)本質(zhì)，逐步提高創(chuàng)新意識和實踐能力【情感態(tài)度與價值觀】增強(qiáng)學(xué)生“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想，提高由“形”到“數(shù)”地解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生在實際問題中應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和能力，切身感受數(shù)學(xué)建模的全過程，體驗數(shù)學(xué)在解決實際問題中的價值和作用及數(shù)學(xué)和日常生活、其他學(xué)科的聯(lián)系，從而使學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)【重點與難點】重點：用三角函數(shù)模型解決一些具有周期變化規(guī)律的實際問題，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)從實際問題中發(fā)現(xiàn)周期變化的規(guī)律，并將所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律抽象為恰當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)模型難點：將實際問題抽象為三角函數(shù)的模型三、教學(xué)問題診斷分析本節(jié)課是學(xué)生在學(xué)完三角函數(shù)基礎(chǔ)知識后的一堂綜合應(yīng)用課.學(xué)生在這之前已經(jīng)系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)，對三角函數(shù)有了一定的知識基礎(chǔ)，同時學(xué)生也熟練掌握了使用計算器，可以給角求值，也可以在給出已知三角函數(shù)值時求對應(yīng)的角度，為本課的順利開展作好了一定的鋪墊作用.學(xué)生在數(shù)學(xué)1已經(jīng)學(xué)習(xí)過“函數(shù)模型的應(yīng)用實例”，學(xué)習(xí)過一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)等描述現(xiàn)實世界變化規(guī)律的函數(shù)模型，已經(jīng)體會到解決實際問題中建立函數(shù)模型的過程，這為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定了又一基礎(chǔ)依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和水平，本課時教學(xué)中將例1與例2調(diào)整了順序，目的是順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知習(xí)慣，由數(shù)識圖到由圖認(rèn)數(shù)，既可以復(fù)習(xí)函數(shù)中的相關(guān)知識點，又可強(qiáng)調(diào)從圖中觀察相應(yīng)的函數(shù)性質(zhì)以及解決問題的基本思路和方法，復(fù)習(xí)周期函數(shù)的相關(guān)知識點，在此基礎(chǔ)上為解決課本例1打下一個良好的基礎(chǔ)和準(zhǔn)備工作，在講解課例1中，著重注意以下幾個方面的問題（1）要和學(xué)生共同體驗并總結(jié)求函數(shù)y=Asin(x+)+b的通式和通法，教會學(xué)生在過程中成長，在過程中總結(jié)，在過程中體驗（2）注意與所學(xué)知識的聯(lián)系，從另一個方向加強(qiáng)由高中數(shù)學(xué)知識到數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解例3是研究樓高與樓在地面的投影長的關(guān)系問題，是將實際問題直接抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡單函數(shù)模型，然后根據(jù)所得的模型解決問題應(yīng)當(dāng)注意在復(fù)雜的背景中抽取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系，還要調(diào)動相關(guān)學(xué)科知識來幫助理解問題通過本題的實用價值，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)三角函數(shù)的興趣，為下一節(jié)的學(xué)習(xí)做一個準(zhǔn)備工作四、教學(xué)過程設(shè)計問題1：本章研究的問題是三角函數(shù)，函數(shù)是研究兩個變量之間的一種對應(yīng)關(guān)系，回憶從前所學(xué)，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的模型常用來描述現(xiàn)實世界中的哪些規(guī)律？三角函數(shù)是描述什么變化規(guī)律的模型？【設(shè)計意圖】三角函數(shù)是特殊的函數(shù)，將三角函數(shù)納入到函數(shù)體系結(jié)構(gòu)中，使學(xué)生加強(qiáng)對新舊知識的聯(lián)系通過回憶學(xué)生在數(shù)學(xué)1已經(jīng)學(xué)習(xí)過“函數(shù)模型的應(yīng)用實例”，將本節(jié)的應(yīng)用模型化歸到已有的函數(shù)模型應(yīng)用中預(yù)設(shè)答案：描述現(xiàn)實世界中不同增長規(guī)律的函數(shù)模型三角函數(shù)是描述周期性變化規(guī)律的模型1.數(shù)學(xué)模型具體的數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系問題2例1.請畫出函數(shù)的圖象，并依據(jù)圖象觀察其周期【設(shè)計意圖】通過畫圖象來讓學(xué)生復(fù)習(xí)三角函數(shù)的作圖方法，利用三角函數(shù)的圖象直觀地研究三角函數(shù)的周期性，使學(xué)生復(fù)習(xí)舊知識，為新知識的學(xué)習(xí)作鋪墊其中要滲透數(shù)形結(jié)合思想.活動方式：教師給出問題，全體學(xué)生動手來畫，由一名學(xué)生在黑板上展示自己的作業(yè)，教師給予總結(jié)、點評學(xué)生解答1：xy01010學(xué)生解答2：追問1：你是用什么方法畫出此函數(shù)圖象的？請用語言描述函數(shù)圖象的形狀追問2：此函數(shù)的定義域是什么？你畫出的函數(shù)圖象對嗎？【設(shè)計意圖】使學(xué)生回顧一般情況下作三角函數(shù)圖象的方法；糾正學(xué)生畫圖象的過程中出現(xiàn)的錯誤，會用語言描述三角函數(shù)的圖象師生共同總結(jié)（詳見課件）：（1）與的區(qū)別與聯(lián)系，并歸納得到一般規(guī)律：如何由的圖象（2）周期性，通過觀察圖象可知T=；變式練習(xí)：（1）你能說出函數(shù)、的周期嗎？（2）畫出函數(shù)的圖象，并判斷是否為周期函數(shù)【設(shè)計意圖】理解參數(shù)A，對函數(shù)周期性的影響；對某些特殊的函數(shù)要使學(xué)生會利用函數(shù)的圖象來判斷周期2.簡單應(yīng)用解決生活中的實際問題問題3 例2.如圖，是一彈簧振子做簡諧振動的圖象，橫軸表示振動的時間，縱軸表示振動的位移，則這個振子振動的函數(shù)解析式為_.【設(shè)計意圖】嘗試三角函數(shù)解決簡單實際問題，初步體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型活動方式：教師給出問題，學(xué)生動腦思考，之后由一名學(xué)生口述分析解決問題的方法，并簡要地敘述解題的過程，最后教師進(jìn)行方法總結(jié)、思路點評學(xué)生解答：由圖可知：A=2.=0.5-0.1,T=0.8.,即.是“五點法”的第二點，.則，.請大家在前面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上來學(xué)習(xí)下面的例題：例3.如圖，某地一天從614時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y=Asin(x+)+b(1)求這一天的最大溫差；(2)寫出這段曲線的函數(shù)解析式010203061014t/hT/【設(shè)計意圖】研究溫度隨時間呈周期性變化的問題利用函數(shù)的模型（函數(shù)的圖象）解決問題（求一天的最大溫差），并根據(jù)圖象建立解析式問題4：本例給出函數(shù)模型了嗎？給出的模型函數(shù)是什么？要解決的問題是什么？怎樣解決？【設(shè)計意圖】數(shù)學(xué)模型的方法就是把實際問題加以抽象概括，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，利用這些模型來研究實際問題的一般的數(shù)學(xué)方法，從而讓學(xué)生體會解決問題的一般程序：審 題建 模還 原求 解活動方式：師生對話，共同討論、分析問題，全體學(xué)生動手，然后完全由學(xué)生自己解決在黑板上寫出過程，教師給予總結(jié)、點評學(xué)生解答：(1)由圖可知，這段時間的最大溫差是20(2)從圖中可以看出，從614時的圖象是函數(shù)y=Asin(x+)+b的半個周期的圖象，A=(30-10)=10， b= (30+10)=20， T=16，=16 .將 x=6 代入 有 6+= ， 解得=.綜上，所求解析式為教師歸納：（1）求,即確定A、 四個量的值待定系數(shù)法第一步：先確定A、b數(shù)的方法： 形的方法：依圖可知或，；第二步：再確定與T 有關(guān)，由圖可知.第三步：確定（2）本例中所給出的是614時一段圖象，這恰好是半個周期，提醒學(xué)生注意解析式中自變量的取值范圍問題5例4.如圖，設(shè)地球表面某地正午太陽高度角為，為此時太陽直射緯度，為該地的緯度值，那么這三個量之間的關(guān)系是90|當(dāng)?shù)叵陌肽耆≌?，冬半年取?fù)值如果北京地區(qū)（緯度數(shù)約為北緯40）的一幢高為的樓房北面蓋一新樓，要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋，兩樓的距離不應(yīng)小于多少？【設(shè)計意圖】研究樓高與樓在地面的投影長的關(guān)系問題，是將實際問題直接抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡單函數(shù)模型，然后根據(jù)所得的模型解決問題應(yīng)當(dāng)注意在復(fù)雜的背景中抽取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系，還要調(diào)動相關(guān)學(xué)科知識來幫助理解問題養(yǎng)成從實際情境中抽象和歸納問題，從而體驗用數(shù)學(xué)解決問題的能力，欣賞數(shù)學(xué)的使用價值活動方式：教師給出問題之后，師生共同分析，教師利用“幾何畫板”演示在某一緯度值下，太陽高度角的計算關(guān)系式；建筑物的投影長隨太陽高度角的變化規(guī)律師生活動：（1）共同讀題，進(jìn)入題目情境（2）利用“幾何畫板”演示，讓學(xué)生觀察：太陽高度角為，為此時太陽直射緯度，為該地的緯度值，那么這三個量之間的關(guān)系是90|； （3）利用“幾何畫板”演示，讓學(xué)生觀察：太陽周而復(fù)始地直射北回歸線、赤道、南回歸線時建筑物在地面上的投影長隨太陽高度角的變化情況（4）根據(jù)“幾何畫板”演示，并由題目中所提供的數(shù)據(jù)畫出圖形，幻燈片演示解題過程解答過程：圖（課本P.61），A、B、C分別為太陽直射北回歸線、赤道、南回歸線時樓頂在地面上的投影點要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋，應(yīng)取太陽直射南回歸線的情況考慮，此時的太陽直射緯度為2326，依題意，兩樓的間距不小于MC，根據(jù)太陽高度的定義，有C90|40（2326）|2634MC2h0.即蓋樓時，為使后樓不被前樓遮擋，要留出相當(dāng)于樓高兩倍的間距變式練習(xí)：陽泉市的緯度大約是北緯，小李想在某住宅小區(qū)買房，該小區(qū)的樓高7層，每層3米，樓與樓之間相距15米要使所買樓層在一年四季正午太陽不被前面的樓房遮擋，他應(yīng)選擇哪幾層的房？【設(shè)計意圖】例4的結(jié)論有一定的實際應(yīng)用價值，結(jié)合我市的實際情況設(shè)置逆向思維的問題，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究的興趣課堂小結(jié)：問題6：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了三個層次的三角函數(shù)的應(yīng)用，即根據(jù)圖象建立解析式，根據(jù)解析式作出圖象，將實際問題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡單函數(shù)模型你能概括出建立三角函數(shù)模型解決實際問題的基本步驟嗎？【設(shè)計意圖】通過學(xué)生認(rèn)識三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用，把建立三角函數(shù)模型解決實際問題的基本步驟納入到原有知識體系中去，使學(xué)生有一個全面的認(rèn)識，培養(yǎng)思維的連續(xù)性問題7：通過本課時的學(xué)習(xí)你有哪些收獲，請從知識、思想方法、經(jīng)驗等方面進(jìn)行小結(jié)此外請搜集、歸納現(xiàn)實生活中的周期變化的情境模型【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)、回顧和總結(jié)本課的主要內(nèi)容知識：思想方法：經(jīng)驗：作業(yè)：1P.65練習(xí)1，2；2習(xí)題1.6A組3【設(shè)計意圖】初步應(yīng)用所學(xué)來做練習(xí)將作業(yè)作為課堂教學(xué)的延伸，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力和習(xí)慣五、目標(biāo)檢測設(shè)計1.根據(jù)函數(shù)ycos2x的圖象，可知其周期為 .2.已知電流與時間的關(guān)系式為如圖是該函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象求出函數(shù)的解析式；3.以一年為一個周期調(diào)查某商品出廠價格及該商品在商店的銷售價格時發(fā)現(xiàn)：該商品的出廠價格是在6元基礎(chǔ)上按月份隨正弦曲線波動的，已知3月份出廠價格最高為8元，7月份出廠價格最低為4元，而該商品在商店的銷售價格是在8元基礎(chǔ)上按月隨正弦曲線波動的，并已知5月份銷售價最高為10元，9月份銷售價最低為6元，假設(shè)某商店每月購進(jìn)這種商品m件，且當(dāng)月售完，請估計哪個月盈利最大？并說明理由六、設(shè)計思路1.教學(xué)設(shè)計的指導(dǎo)思想是：充分喚起學(xué)生已有的知識方法，調(diào)動起相關(guān)學(xué)科的知識，盡量降低實例背景的相對難度，加大實際問題的鮮明、活躍程度，以引發(fā)學(xué)生探求問題的興趣.設(shè)計思路符合新課標(biāo)的精神，做到心中有課標(biāo)，心中有教材，心中有學(xué)生，從實際到理論，再由理論指導(dǎo)實際的認(rèn)知過程，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)情感和學(xué)習(xí)中將要遇到的困難，語言精練，宏觀調(diào)控與微觀操作相呼應(yīng)，并注意細(xì)節(jié)的處理，尤其通過樓房陰影問題的處理，激發(fā)興趣，體現(xiàn)數(shù)學(xué)價值，切實感受數(shù)學(xué)就在身邊，并能為我們服務(wù)2.本節(jié)是一節(jié)習(xí)題課，其目的一方面是要鞏固所學(xué)過的三角函數(shù)知識，更重要的是，讓學(xué)生通過本節(jié)的學(xué)習(xí)活動認(rèn)識到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義，認(rèn)識到數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，在此過程中讓學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)的思維，培養(yǎng)理性精神，體現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的育人功能.為了實現(xiàn)以上目標(biāo)，教學(xué)中設(shè)計一些可以反映數(shù)學(xué)思想方法的問題，形成“問題串”，以此為載體展開課堂教學(xué)活動.3.應(yīng)用三角函數(shù)模型解決問題，首先要從簡單有趣的實例引入，激發(fā)學(xué)生的興趣，把實際問題抽象為數(shù)學(xué)模型，確定它的周期，從而建立起適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)模型并通過背景更豐富的實例解釋這一模型的內(nèi)涵，讓學(xué)生深切地感受到數(shù)學(xué)抽象的魅力. 此外還將生活中的實例揉在教學(xué)過程中，將豐富的現(xiàn)實世界，有機(jī)地穿插在理性的數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，讓學(xué)生輕輕松松學(xué)數(shù)學(xué).最后通過對例題變式的探究，對題目的內(nèi)涵進(jìn)一步挖掘，來培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性和多樣性.4.由于實際問題常常涉及一些復(fù)雜數(shù)據(jù)，因此鼓勵學(xué)生使用計算機(jī)或計算器處理數(shù)據(jù)在本課的教學(xué)中使用多媒體進(jìn)行動態(tài)演示，以使學(xué)生有更多地時間用于對問題本質(zhì)的理解第 10 頁 共 10 頁