高中數(shù)學(xué)課件第二章第9節(jié)《函數(shù)與方程》.ppt

1.結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與 方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在 性及根的個(gè)數(shù). 2.根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠用二分法求相 應(yīng)方程的近似解.,1.函數(shù)零點(diǎn)的定義 (1)對(duì)于函數(shù)yf(x)(xD)，把使 成立的實(shí)數(shù)x叫做 函數(shù)yf(x)(xD)的零點(diǎn). (2)方程f(x)0有實(shí)根函數(shù)yf(x)的圖象與 有交點(diǎn) 函數(shù)yf(x)有 .,f(x)0,x軸,零點(diǎn),思考探究1 函數(shù)的零點(diǎn)是函數(shù)yf(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)嗎？,提示：不是.函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)，是函數(shù)yf(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).,2.函數(shù)零點(diǎn)的判定 如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一 條曲線，并且有 ，那么函數(shù)yf(x)在區(qū)間 內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c(a，b)，使得 ，這個(gè) 也就是方 程f(x)0的根.,f(a)f(b)0,(a， b),f(c)0,c,思考探究2 (1)在上面條件下，(a，b)內(nèi)有幾個(gè)零點(diǎn)？,提示：不一定.如函數(shù)f(x)x21在2,2內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，但f(2)f(2)0.,提示：不一定，可能有一個(gè)，也可有多個(gè).,(2)若函數(shù)f(x)在a，b內(nèi)有零點(diǎn)，一定有f(a)f(b)0嗎？,3.二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系,(x1 ， 0)，(x2 ， 0),(x1 ，0),無(wú)交點(diǎn),兩個(gè),一個(gè),零個(gè),4.用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值的步驟 第一步，確定區(qū)間a，b，驗(yàn)證 ，給定精確； 第二步，求區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)x1； 第三步，計(jì)算 ： 若 ，則x1就是函數(shù)的零點(diǎn)； 若 0，則令bx1(此時(shí)零點(diǎn)x0(a，x1)； 若 ，則令ax1(此時(shí)零點(diǎn)x0(x1，b)； 第四步，判斷是否達(dá)到精確度：即若|ab|，則得到 零點(diǎn)近似值a(或b)；否則重復(fù)第二、三、四步.,f(a)f(b)0,f(x1),f(x1)0,f(a)f(x1),f(b)f(x1)0,1.下圖的函數(shù)圖象與x軸均有交點(diǎn)，但不宜用二分法求交 點(diǎn)橫坐標(biāo)的是 ( ),解析：因?yàn)锽選項(xiàng)中，x0兩側(cè)的符號(hào)相同，所以無(wú)法用二分法求交點(diǎn)的橫坐標(biāo).,答案：B,2.若函數(shù)f(x)唯一的零點(diǎn)同時(shí)在區(qū)間(0,16)，(0,8)，(0,4)， (0,2)內(nèi)，那么下列命題正確的是 ( ) A.函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點(diǎn) B.函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)或(1,2)內(nèi)有零點(diǎn) C.函數(shù)f(x)在區(qū)間2,16)上無(wú)零點(diǎn) D.函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,16)內(nèi)無(wú)零點(diǎn),解析：函數(shù)f(x)唯一零點(diǎn)同時(shí)在區(qū)間(0,16)，(0,8)， (0,4)，(0,2)內(nèi)，函數(shù)f(x)唯一零點(diǎn)必在區(qū)間(0,2)內(nèi).,答案：C,3.函數(shù)f(x)xlog2x的零點(diǎn)所在的區(qū)間為 ( ) A.0， B. ， C. D. ,1,解析：因?yàn)檫x項(xiàng)中只有f( )f( )0，所以函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為 .,答案：C,4.已知函數(shù)f(x)4xm2x1有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí) 數(shù)m的值為 .,解析：由題知：方程4xm2x10只有一個(gè)零點(diǎn). 令2xt(t0)， 方程t2mt10只有一個(gè)正根， 由圖象可知 m2.,答案：2,5.下列是函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上一些點(diǎn)的函數(shù)值.,由此可判斷：方程f(x)0的一個(gè)近似解為 (精確度0.1，且近似解保留兩位有效數(shù)字).,解析：f(1.438)f(1.4065)0，且|1.4381.4065|0.03150.1，f(x)0的一個(gè)近似解為1.4.,答案：1.4,函數(shù)零點(diǎn)的存在性問(wèn)題常用的方法有： (1)解方程：當(dāng)能直接求解零點(diǎn)時(shí)，就直接求出進(jìn)行判斷. (2)用定理：零點(diǎn)存在性定理.,特別警示 如果函數(shù)yf(x)在a，b上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且x0是函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上的一個(gè)零點(diǎn)，但f(a)f(b)0不一定成立. (3)利用圖象的交點(diǎn)：有些題目可先畫(huà)出某兩個(gè)函數(shù)yf(x)，yg(x)圖象，其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是f(x)g(x)的零點(diǎn).,判斷下列函數(shù)在給定區(qū)間是否存在零點(diǎn). (1)f(x)x23x18，x1,8； (2)f(x)x3x1，x1,2； (3)f(x)log2(x2)x，x1,3； (4)f(x) x，x(0,1).,思路點(diǎn)撥,課堂筆記 (1)f(1)200， f(1)f(8)0， f(1)f(2)log2210， f(3)log2(32)3log2830，f(1)f(3)0， 故f(x)log2(x2)x，x1,3存在零點(diǎn).,(4)畫(huà)出函數(shù)f(x) x的圖象如圖. 由圖象可知，f(x) x在(0,1)內(nèi)圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)， 故f(x) x在(0,1)內(nèi)不存在零點(diǎn).,函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定有下列幾種方法： (1)直接求零點(diǎn)：令f(x)0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就 有幾個(gè)零點(diǎn). (2)零點(diǎn)存在性定理：利用該定理不僅要求函數(shù)在a，b上 是連續(xù)的曲線，且f(a)f(b)0.還必須結(jié)合函數(shù)的圖象和 性質(zhì)(如單調(diào)性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn). (3)畫(huà)兩個(gè)函數(shù)圖象，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)有幾個(gè)，其中交點(diǎn) 的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).,判斷函數(shù)f(x)4xx2 x3在區(qū)間1,1上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.,思路點(diǎn)撥,課堂筆記 f(1)41 0， f(1)41 0， f(x)在區(qū)間1,1上有零點(diǎn). 又f(x)42x2x2 2(x )2， 當(dāng)1x1時(shí)，0f(x) ， f(x)在1,1上是單調(diào)遞增函數(shù)， f(x)在1,1上有且只有一個(gè)零點(diǎn).,函數(shù)零點(diǎn)的求法有兩種：代數(shù)法和幾何法.代數(shù)法即求方程f(x)0的實(shí)數(shù)根；但當(dāng)有些方程無(wú)法求實(shí)根時(shí)，就要用幾何法，即將它與函數(shù)yf(x)的圖象聯(lián)系起來(lái)，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn).,求下列函數(shù)的零點(diǎn)： (1)f(x)x32x2x2； (2)f(x)x,思路點(diǎn)撥,課堂筆記 (1)由x32x2x20， 得x2(x2)(x2)0， (x2)(x1)(x1)0， x2或x1或x1. 故函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是2,1，1.,(2)由x 0， 得 0， 0， (x2)(x2)0. x2或x2. 故函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是2或2.,判斷函數(shù)零點(diǎn)的存在性以及函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是高考對(duì)本節(jié)內(nèi)容的常規(guī)考法.09年廣東高考將函數(shù)的零點(diǎn)與二次函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容相結(jié)合考查了函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，是一個(gè)新的考查方向.,考題印證 (2009廣東高考)(12分)已知二次函數(shù)yg(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y2x平行，且yg(x)在x1處取得極小值m1(m0).設(shè)f(x) ， (1)若曲線yf(x)上的點(diǎn)P到點(diǎn)Q(0,2)的距離的最小值為2，求m的值； (2)k(kR)如何取值時(shí)，函數(shù)yf(x)kx存在零點(diǎn)，并求出零點(diǎn).,【解】 yg(x)2axb的圖象與直線y2x平行， a1. 又yg(x)在x1處取得極小值m1， 1，g(1)a(1)2b(1)cm1， 所以b2，cm.從而f(x) x2.(2分),(1)已知m0，設(shè)曲線yf(x)上點(diǎn)P的坐標(biāo)為 P(x，y)，則點(diǎn)P到點(diǎn)Q(0,2)的距離為 |PQ| 當(dāng)且僅當(dāng)2x2 x 時(shí)等號(hào)成立.(4分) |PQ|的最小值為 ， m1.,當(dāng)m0時(shí)，解得m 1. 當(dāng)m0時(shí)，解得m 1. 故m 1或m 1.(6分),(2)yf(x)kx的零點(diǎn)， 即方程 (1k)x20的解， x0， (1k)x20與(k1)x22xm0有相同的解. 若k1，(k1)x22xm0x 0， 所以函數(shù)yf(x)kx有零點(diǎn)x .(8分) 若k1，(k1)x22xm0的判別式 41m(k1). 若0k1 ， 此時(shí)函數(shù)yf(x)kx有一個(gè)零點(diǎn)xm.,若01m(k1)0， 當(dāng)m0，k1 ，或m0，k1 時(shí)， 方程(k1)x22xm0有兩個(gè)解. X1 和x2 . 此時(shí)函數(shù)yf(x)kx有兩個(gè)零點(diǎn)x1和x2. 若01m(k1)0， 當(dāng)m0，k1 ，或m0，k1 時(shí)， 方程(k1)x22xm0無(wú)實(shí)數(shù)解， 此時(shí)函數(shù)yf(x)kx沒(méi)有零點(diǎn).(12分),自主體驗(yàn) 已知函數(shù)f(x)x22exm1，g(x)x (x0). (1)若g(x)m有零點(diǎn)，求m的取值范圍. (2)確定m的取值范圍，使得函數(shù)F(x)g(x)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).,解：(1)法一：g(x)x 2e， 等號(hào)成立的條件是xe， 故g(x)的值域是2e，)， 因而只需m2e，則g(x)m就有零點(diǎn).,法二：作出g(x)x 的圖象如圖： 可知若使g(x)m有零點(diǎn)，則只需m2e. (2)函數(shù)F(x)g(x)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)， 即g(x)f(x)0有兩個(gè)相異的實(shí)根，,即g(x)f(x)中g(shù)(x)與f(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)， 作出g(x)x (x0)的圖象. f(x)x22exm1(xe)2m1e2， 其對(duì)稱軸為xe，開(kāi)口向下，最大值為m1e2， 故當(dāng)m1e22e，即me22e1時(shí)， g(x)與f(x)有兩個(gè)交點(diǎn)， 即g(x)f(x)0有兩個(gè)相異實(shí)根. m的取值范圍是(e22e1，).,1.函數(shù)f(x) 的零點(diǎn)有 ( ) A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè),解析：由f(x) 0得：x1， f(x) 只有一個(gè)零點(diǎn).,答案：B,2.(2009天津高考)設(shè)函數(shù)f(x) xlnx(x0)，則yf(x)( ) A.在區(qū)間( ,1)，(1，e)內(nèi)均有零點(diǎn) B.在區(qū)間( ,1)，(1，e)內(nèi)均無(wú)零點(diǎn) C.在區(qū)間( ,1)內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)無(wú)零點(diǎn) D.在區(qū)間( ,1)內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)有零點(diǎn),解析：f( ) 10，f(1) 00， f(e) 10，f(x) ， 當(dāng)f(x)在(0,3)上是減函數(shù).根據(jù)閉區(qū)間上根的存在性定理與函數(shù)的單調(diào)性.,答案：D,3.設(shè)函數(shù)yx3與y( )x2的圖象的交點(diǎn)為(x0，y0)， 則 x0所在的區(qū)間是 ( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4),解析：令g(x)x322x，可求得：g(0)0，g(3)0，g(4)0，g(x)3x24( )xln20，易知函數(shù)g(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間為(1,2).,答案：B,4.若函數(shù)f(x)ax2x1僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取 值是 .,解析：若a0，則f(x)x1為一次函數(shù)，易知函數(shù) 僅有一個(gè)零點(diǎn)；若a0，則函數(shù)f(x)為二次函數(shù)，若其 中有一個(gè)零點(diǎn)，則方程ax2x10僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根， 故 判別式14a0，得a .綜上可知a0 或a .,答案：0或,5.(2010福建四地六校聯(lián)考)若函數(shù)f(x)axb有一 個(gè)零點(diǎn)是1，則g(x)bx2ax的零點(diǎn)是 .,解析：f(x)axb的零點(diǎn)是1， ab0， g(x)bx2bxbx(x1)， g(x)的零點(diǎn)是0，1.,答案：0，1,6.m為何值時(shí)，f(x)x22mx3m4 (1)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；(2)有兩個(gè)零點(diǎn)且均比1大. 解：(1)若函數(shù)f(x)x22mx3m4有且僅有一個(gè) 零點(diǎn)， 則等價(jià)于4m24(3m4)0， 即4m212m160，即m23m40， 解得m4或m1. (2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)且均比1大， 設(shè)兩零點(diǎn)分別為x1，x2，,則x1x22m，x1x23m4， 故只需 故m的取值范圍是m|5m1.,