人教版八年級數(shù)學(xué)上《第12章全等三角形》單元測試含答案.doc

第12章 全等三角形一、選擇題1如圖，在ABC中，ABC=45，AC=8cm，F(xiàn)是高AD和BE的交點(diǎn)，則BF的長是（）A4cmB6cmC8cmD9cm2如圖，將正方形OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn)，A的坐標(biāo)為（1，），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A（，1）B（1，）C（，1）D（，1）3在連接A地與B地的線段上有四個(gè)不同的點(diǎn)D、G、K、Q，下列四幅圖中的實(shí)線分別表示某人從A地到B地的不同行進(jìn)路線（箭頭表示行進(jìn)的方向），則路程最長的行進(jìn)路線圖是（）ABCD4如圖，坐標(biāo)平面上，ABC與DEF全等，其中A、B、C的對應(yīng)頂點(diǎn)分別為D、E、F，且AB=BC=5若A點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，1），B、C兩點(diǎn)在方程式y(tǒng)=3的圖形上，D、E兩點(diǎn)在y軸上，則F點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為何？（）A2B3C4D55平面上有ACD與BCE，其中AD與BE相交于P點(diǎn)，如圖若AC=BC，AD=BE，CD=CE，ACE=55，BCD=155，則BPD的度數(shù)為（）A110B125C130D1556如圖，在ABC和BDE中，點(diǎn)C在邊BD上，邊AC交邊BE于點(diǎn)F若AC=BD，AB=ED，BC=BE，則ACB等于（）AEDBBBEDCAFBD2ABF7如圖，AB=4，射線BM和AB互相垂直，點(diǎn)D是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在射線BM上，BE=DB，作EFDE并截取EF=DE，連結(jié)AF并延長交射線BM于點(diǎn)C設(shè)BE=x，BC=y，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式是（）Ay=By=Cy=Dy=8如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=6，ABBC，ADCD，BAD=60，點(diǎn)M、N分別在AB、AD邊上，若AM：MB=AN：ND=1：2，則tanMCN=（）ABCD29如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的對角線AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的兩直角邊EF、EG分別交BC、DC于點(diǎn)M、N若正方形ABCD的邊長為a，則重疊部分四邊形EMCN的面積為（）A a2B a2C a2D a2二、解答題（共21小題）10如圖，已知ABDE，AB=DE，AF=CD，CEF=90（1）若ECF=30，CF=8，求CE的長；（2）求證：ABFDEC；（3）求證：四邊形BCEF是矩形11已知ABC為等邊三角形，D為AB邊所在的直線上的動(dòng)點(diǎn)，連接DC，以DC為邊在DC兩側(cè)作等邊DCE和等邊DCF（點(diǎn)E在DC的右側(cè)或上側(cè)，點(diǎn)F在DC左側(cè)或下側(cè)），連接AE、BF（1）如圖1，若點(diǎn)D在AB邊上，請你通過觀察，測量，猜想線段AE、BF和AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；（2）如圖2，若點(diǎn)D在AB的延長線上，其他條件不變，線段AE、BF和AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出結(jié)論（不需要證明）；（3）若點(diǎn)D在AB的反向延長線上，其他條件不變，請?jiān)趫D3中畫出圖形，探究線段AE、BF和AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出結(jié)論（不需要證明）12如圖，ABC與DCB中，AC與BD交于點(diǎn)E，且A=D，AB=DC（1）求證：ABEDCE；（2）當(dāng)AEB=50，求EBC的度數(shù)？13如圖，在ABC中，C=90，AD平分CAB，交CB于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DEAB于點(diǎn)E（1）求證：ACDAED；（2）若B=30，CD=1，求BD的長14如圖，點(diǎn)D，E在ABC的邊BC上，AB=AC，BD=CE求證：AD=AE15已知：如圖，AD，BC相交于點(diǎn)O，OA=OD，ABCD求證：AB=CD16如圖，把一個(gè)直角三角形ACB（ACB=90）繞著頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，使得點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到AB邊上的一點(diǎn)D，點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E的位置F，G分別是BD，BE上的點(diǎn)，BF=BG，延長CF與DG交于點(diǎn)H（1）求證：CF=DG；（2）求出FHG的度數(shù)17如圖，點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上，F(xiàn)B=CE，ABED，ACFD，求證：AC=DF18如圖，ABC和ADE都是等腰三角形，且BAC=90，DAE=90，B，C，D在同一條直線上求證：BD=CE19如圖，已知點(diǎn)B、E、C、F在同一條直線上，BE=CF，ABDE，A=D求證：AB=DE20已知ABC為等腰直角三角形，ACB=90，點(diǎn)P在BC邊上（P不與B、C重合）或點(diǎn)P在ABC內(nèi)部，連接CP、BP，將CP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得到線段CE；將BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得到線段BD，連接ED交AB于點(diǎn)O（1）如圖a，當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上時(shí)，求證：OA=OB；（2）如圖b，當(dāng)點(diǎn)P在ABC內(nèi)部時(shí)，OA=OB是否成立？請說明理由；直接寫出BPC為多少度時(shí)，AB=DE21（1）如圖1，在ABC和DCE中，ABDC，AB=DC，BC=CE，且點(diǎn)B，C，E在一條直線上求證：A=D（2）如圖2，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AB=4，AOD=120，求AC的長22（1）如圖，AB平分CAD，AC=AD，求證：BC=BD；（2）列方程解應(yīng)用題把一些圖書分給某班學(xué)生閱讀，如果每人分3本，則剩余20本；如果每人分4本，則還缺25本，這個(gè)班有多少學(xué)生？23已知：如圖，D是AC上一點(diǎn)，AB=DA，DEAB，B=DAE求證：BC=AE24【問題提出】學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我們繼續(xù)對“兩個(gè)三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研究【初步思考】我們不妨將問題用符號語言表示為：在ABC和DEF中，AC=DF，BC=EF，B=E，然后，對B進(jìn)行分類，可分為“B是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究【深入探究】第一種情況：當(dāng)B是直角時(shí)，ABCDEF（1）如圖，在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E=90，根據(jù)_，可以知道RtABCRtDEF第二種情況：當(dāng)B是鈍角時(shí)，ABCDEF（2）如圖，在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是鈍角，求證：ABCDEF第三種情況：當(dāng)B是銳角時(shí)，ABC和DEF不一定全等（3）在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是銳角，請你用尺規(guī)在圖中作出DEF，使DEF和ABC不全等（不寫作法，保留作圖痕跡）（4）B還要滿足什么條件，就可以使ABCDEF？請直接寫出結(jié)論：在ABC和DEF中，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是銳角，若_，則ABCDEF25問題背景：如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，BAD=120，B=ADC=90E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)且EAF=60探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長FD到點(diǎn)G使DG=BE連結(jié)AG，先證明ABEADG，再證明AEFAGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是_；探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，B+D=180E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且EAF=BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；實(shí)際應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn).1.5小時(shí)后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離26如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC與BD相交于O點(diǎn)，OC=OA，若E是CD上任意一點(diǎn)，連接BE交AC于點(diǎn)F，連接DF（1）證明：CBFCDF；（2）若AC=2，BD=2，求四邊形ABCD的周長；（3）請你添加一個(gè)條件，使得EFD=BAD，并予以證明27如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E、B、D、F在同一直線上，且BE=DF求證：AE=CF28（1）如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，EAF=45，延長CD到點(diǎn)G，使DG=BE，連結(jié)EF，AG求證：EF=FG（2）如圖，等腰直角三角形ABC中，BAC=90，AB=AC，點(diǎn)M，N在邊BC上，且MAN=45，若BM=1，CN=3，求MN的長29如圖，在ABC中，ACB=90，AC=BC，E為AC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作ADAB交BE的延長線于點(diǎn)D，CG平分ACB交BD于點(diǎn)G，F(xiàn)為AB邊上一點(diǎn)，連接CF，且ACF=CBG求證：（1）AF=CG；（2）CF=2DE30如圖，在ABC和ADE中，AB=AC，AD=AE，BAC+EAD=180，ABC不動(dòng)，ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接BE、CD，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)，連接AF（1）如圖，當(dāng)BAE=90時(shí)，求證：CD=2AF；（2）當(dāng)BAE90時(shí)，（1）的結(jié)論是否成立？請結(jié)合圖說明理由第12章 全等三角形參考答案一、選擇題（共9小題）1如圖，在ABC中，ABC=45，AC=8cm，F(xiàn)是高AD和BE的交點(diǎn)，則BF的長是（）A4cmB6cmC8cmD9cm【解答】解：F是高AD和BE的交點(diǎn)，ADC=ADB=AEF=90，CAD+AFE=90，DBF+BFD=90，AFE=BFD，CAD=FBD，ADB=90，ABC=45，BAD=45=ABD，AD=BD，在DBF和DAC中DBFDAC（ASA），BF=AC=8cm，故選C2如圖，將正方形OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn)，A的坐標(biāo)為（1，），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A（，1）B（1，）C（，1）D（，1）【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作ADx軸于D，過點(diǎn)C作CEx軸于E，四邊形OABC是正方形，OA=OC，AOC=90，COE+AOD=90，又OAD+AOD=90，OAD=COE，在AOD和OCE中，AODOCE（AAS），OE=AD=，CE=OD=1，點(diǎn)C在第二象限，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，1）故選：A3（2014湖州）在連接A地與B地的線段上有四個(gè)不同的點(diǎn)D、G、K、Q，下列四幅圖中的實(shí)線分別表示某人從A地到B地的不同行進(jìn)路線（箭頭表示行進(jìn)的方向），則路程最長的行進(jìn)路線圖是（）ABCD【解答】解：A、延長AC、BE交于S，CAB=EDB=45，ASED，則SCDE同理SECD，四邊形SCDE是平行四邊形，SE=CD，DE=CS，即走的路線長是：AC+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+BS；B、延長AF、BH交于S1，作FKGH與BH的延長線交于點(diǎn)K，SAB=S1AB=45，SBA=S1BA=70，AB=AB，SABS1AB，AS=AS1，BS=BS1，F(xiàn)GH=1807043=67=GHB，F(xiàn)GKH，F(xiàn)KGH，四邊形FGHK是平行四邊形，F(xiàn)K=GH，F(xiàn)G=KH，AF+FG+GH+HB=AF+FK+KH+HB，F(xiàn)S1+S1KFK，AS+BSAF+FK+KH+HB，即AC+CD+DE+EBAF+FG+GH+HB，C、D、同理可證得AI+IK+KM+MBAS2+BS2AN+NQ+QP+PB綜上所述，D選項(xiàng)的所走的線路最長故選：D4如圖，坐標(biāo)平面上，ABC與DEF全等，其中A、B、C的對應(yīng)頂點(diǎn)分別為D、E、F，且AB=BC=5若A點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，1），B、C兩點(diǎn)在方程式y(tǒng)=3的圖形上，D、E兩點(diǎn)在y軸上，則F點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為何？（）A2B3C4D5【解答】解：如圖，作AH、CK、FP分別垂直BC、AB、DE于H、K、PDPF=AKC=CHA=90AB=BC，BAC=BCA在AKC和CHA中，AKCCHA（ASA），KC=HAB、C兩點(diǎn)在方程式y(tǒng)=3的圖形上，且A點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，1），AH=4KC=4ABCDEF，BAC=EDF，AC=DF在AKC和DPF中，AKCDPF（AAS），KC=PF=4故選：C5平面上有ACD與BCE，其中AD與BE相交于P點(diǎn)，如圖若AC=BC，AD=BE，CD=CE，ACE=55，BCD=155，則BPD的度數(shù)為（）A110B125C130D155【解答】解：在ACD和BCE中，ACDBCE（SSS），A=B，BCE=ACD，BCA=ECD，ACE=55，BCD=155，BCA+ECD=100，BCA=ECD=50，ACE=55，ACD=105A+D=75，B+D=75，BCD=155，BPD=36075155=130，故選：C6如圖，在ABC和BDE中，點(diǎn)C在邊BD上，邊AC交邊BE于點(diǎn)F若AC=BD，AB=ED，BC=BE，則ACB等于（）AEDBBBEDCAFBD2ABF【解答】解：在ABC和DEB中，ABCDEB （SSS），ACB=DBEAFB是BFC的外角，ACB+DBE=AFB，ACB=AFB，故選：C7如圖，AB=4，射線BM和AB互相垂直，點(diǎn)D是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在射線BM上，BE=DB，作EFDE并截取EF=DE，連結(jié)AF并延長交射線BM于點(diǎn)C設(shè)BE=x，BC=y，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式是（）Ay=By=Cy=Dy=【解答】解：作FGBC于G，DEB+FEC=90，DEB+BDE=90；BDE=FEG，在DBE與EGF中DBEEGF，EG=DB，F(xiàn)G=BE=x，EG=DB=2BE=2x，GC=y3x，F(xiàn)GBC，ABBC，F(xiàn)GAB，CG：BC=FG：AB，即=，y=故選：A8如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=6，ABBC，ADCD，BAD=60，點(diǎn)M、N分別在AB、AD邊上，若AM：MB=AN：ND=1：2，則tanMCN=（）ABCD2【解答】解：AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2，AM=AN=2，BM=DN=4，連接MN，連接AC，ABBC，ADCD，BAD=60在RtABC與RtADC中，RtABCRtADC（HL）BAC=DAC=BAD=30，MC=NC，BC=AC，AC2=BC2+AB2，即（2BC）2=BC2+AB2，3BC2=AB2，BC=2，在RtBMC中，CM=2AN=AM，MAN=60，MAN是等邊三角形，MN=AM=AN=2，過M點(diǎn)作MECN于E，設(shè)NE=x，則CE=2x，MN2NE2=MC2EC2，即4x2=（2）2（2x）2，解得：x=，EC=2=，ME=，tanMCN=故選：A9如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的對角線AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的兩直角邊EF、EG分別交BC、DC于點(diǎn)M、N若正方形ABCD的邊長為a，則重疊部分四邊形EMCN的面積為（）A a2B a2C a2D a2【解答】解：過E作EPBC于點(diǎn)P，EQCD于點(diǎn)Q，四邊形ABCD是正方形，BCD=90，又EPM=EQN=90，PEQ=90，PEM+MEQ=90，三角形FEG是直角三角形，NEF=NEQ+MEQ=90，PEM=NEQ，AC是BCD的角平分線，EPC=EQC=90，EP=EQ，四邊形PCQE是正方形，在EPM和EQN中，EPMEQN（ASA）SEQN=SEPM，四邊形EMCN的面積等于正方形PCQE的面積，正方形ABCD的邊長為a，AC=a，EC=2AE，EC=a，EP=PC=a，正方形PCQE的面積=aa=a2，四邊形EMCN的面積=a2，故選：D二、解答題（共21小題）10如圖，已知ABDE，AB=DE，AF=CD，CEF=90（1）若ECF=30，CF=8，求CE的長；（2）求證：ABFDEC；（3）求證：四邊形BCEF是矩形【解答】（1）解：CEF=90cosECF=ECF=30，CF=8CF=CFcos30=8=4；（2）證明：ABDE，A=D，在ABF和DEC中ABFDEC （SAS）；（3）證明：由（2）可知：ABFDEC，BF=CE，AFB=DCE，AFB+BFC=180，DCE+ECF=180，BFC=ECF，BFEC，四邊形BCEF是平行四邊形，CEF=90，四邊形BCEF是矩形11已知ABC為等邊三角形，D為AB邊所在的直線上的動(dòng)點(diǎn)，連接DC，以DC為邊在DC兩側(cè)作等邊DCE和等邊DCF（點(diǎn)E在DC的右側(cè)或上側(cè)，點(diǎn)F在DC左側(cè)或下側(cè)），連接AE、BF（1）如圖1，若點(diǎn)D在AB邊上，請你通過觀察，測量，猜想線段AE、BF和AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；（2）如圖2，若點(diǎn)D在AB的延長線上，其他條件不變，線段AE、BF和AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出結(jié)論（不需要證明）；（3）若點(diǎn)D在AB的反向延長線上，其他條件不變，請?jiān)趫D3中畫出圖形，探究線段AE、BF和AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出結(jié)論（不需要證明）【解答】解：（1）AE+BF=AB，如圖1，ABC和DCF是等邊三角形，CA=CB，CD=CF，ACB=DCF=60ACD=BCF，在ACD和BCF中ACDBCF（SAS）AD=BF同理：CBDCAE（SAS）BD=AEAE+BF=BD+AD=AB；（2）BFAE=AB，如圖2，易證CBFCAD和CBDCAE，AD=BF，BD=AE，BFAE=ADBD=AB；（3）AEBF=AB，如圖3，易證CBFCAD和CBDCAE，AD=BF，BD=AE，BFAE=ADBD=AB12（2013舟山）如圖，ABC與DCB中，AC與BD交于點(diǎn)E，且A=D，AB=DC（1）求證：ABEDCE；（2）當(dāng)AEB=50，求EBC的度數(shù)？【解答】（1）證明：在ABE和DCE中ABEDCE（AAS）；（2）解：ABEDCE，BE=EC，EBC=ECB，EBC+ECB=AEB=50，EBC=2513如圖，在ABC中，C=90，AD平分CAB，交CB于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DEAB于點(diǎn)E（1）求證：ACDAED；（2）若B=30，CD=1，求BD的長【解答】（1）證明：AD平分CAB，DEAB，C=90，CD=ED，DEA=C=90，在RtACD和RtAED中RtACDRtAED（HL）；（2）解：DC=DE=1，DEAB，DEB=90，B=30，BD=2DE=214如圖，點(diǎn)D，E在ABC的邊BC上，AB=AC，BD=CE求證：AD=AE【解答】證明：AB=AC，B=C，在ABD與ACE中，ABDACE（SAS），AD=AE15已知：如圖，AD，BC相交于點(diǎn)O，OA=OD，ABCD求證：AB=CD【解答】證明：ABCD，B=C，A=D，在AOB和DOC中，AOBDOC（AAS），AB=CD16如圖，把一個(gè)直角三角形ACB（ACB=90）繞著頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，使得點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到AB邊上的一點(diǎn)D，點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E的位置F，G分別是BD，BE上的點(diǎn)，BF=BG，延長CF與DG交于點(diǎn)H（1）求證：CF=DG；（2）求出FHG的度數(shù)【解答】（1）證明：在CBF和DBG中，CBFDBG（SAS），CF=DG；（2）解：CBFDBG，BCF=BDG，又CFB=DFH，又BCF中，CBF=180BCFCFB，DHF中，DHF=180BDGDFH，DHF=CBF=60，F(xiàn)HG=180DHF=18060=12017如圖，點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上，F(xiàn)B=CE，ABED，ACFD，求證：AC=DF【解答】證明：FB=CE，F(xiàn)B+FC=CE+FC，BC=EF，ABED，ACFD，B=E，ACB=DFE，在ABC和DEF中，ABCDEF（ASA），AC=DF18如圖，ABC和ADE都是等腰三角形，且BAC=90，DAE=90，B，C，D在同一條直線上求證：BD=CE【解答】證明：ABC和ADE都是等腰直角三角形AD=AE，AB=AC，又EAC=90+CAD，DAB=90+CAD，DAB=EAC，在ADB和AEC中ADBAEC（SAS），BD=CE19如圖，已知點(diǎn)B、E、C、F在同一條直線上，BE=CF，ABDE，A=D求證：AB=DE【解答】證明：BE=CF，BC=EFABDE，B=DEF在ABC與DEF中，ABCDEF（AAS），AB=DE20已知ABC為等腰直角三角形，ACB=90，點(diǎn)P在BC邊上（P不與B、C重合）或點(diǎn)P在ABC內(nèi)部，連接CP、BP，將CP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得到線段CE；將BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得到線段BD，連接ED交AB于點(diǎn)O（1）如圖a，當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上時(shí)，求證：OA=OB；（2）如圖b，當(dāng)點(diǎn)P在ABC內(nèi)部時(shí)，OA=OB是否成立？請說明理由；直接寫出BPC為多少度時(shí)，AB=DE【解答】（1）證明：ABC為等腰直角三角形，CA=CB，A=ABC=45，由旋轉(zhuǎn)可知：CP=CE，BP=BD，CACE=CBCP，即AE=BP，AE=BD又CBD=90，OBD=45，在AEO和BDO中，AEOBDO（AAS），OA=OB；（2）成立，理由如下：連接AE，則AECBCP，AE=BP，CAE=BPC，BP=BD，BD=AE，OAE=45+CAE，OBD=90OBP=90（45BPC）=45+PBC，OAE=OBD，在AEO和BDO中，AEOBDO（AAS），OA=OB，當(dāng)BPC=135時(shí)，AB=DE理由如下：解法一：當(dāng)AB=DE時(shí)，由知OA=OB，OA=OB=OE=OD設(shè)PCB=，由旋轉(zhuǎn)可知，ACE=連接OC，則OC=OA=OB，OC=OE，DEC=OCE=45+設(shè)PBC=，則ABP=45，OBD=90ABP=45+OB=OD，D=OBD=45+在四邊形BCED中，DEC+D+DBC+BCE=360，即：（45+）+（45+）+（90+）+（90+）=360，解得：+=45，BPC=180（+）=135解法二（本溪趙老師提供，更為簡潔）：當(dāng)AB=DE時(shí)，四邊形AEBD為矩形則DBE=90=DBP，點(diǎn)P落在線段BE上ECP為等腰直角三角形，EPC=45，BPC=180EPC=13521（1）如圖1，在ABC和DCE中，ABDC，AB=DC，BC=CE，且點(diǎn)B，C，E在一條直線上求證：A=D（2）如圖2，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AB=4，AOD=120，求AC的長【解答】（1）證明：ABDC，B=DCE，在ABC和DCE中，ABCDCE（SAS），A=D；（2）解：四邊形ABCD是矩形，AO=BO=CO=DO，AOD=120，AOB=60，AOB是等邊三角形，AO=AB=4，AC=2AO=822（1）如圖，AB平分CAD，AC=AD，求證：BC=BD；（2）列方程解應(yīng)用題把一些圖書分給某班學(xué)生閱讀，如果每人分3本，則剩余20本；如果每人分4本，則還缺25本，這個(gè)班有多少學(xué)生？【解答】（1）證明：AB平分CAD，CAB=DAB，在ABC和ABD中ABCABD（SAS），BC=BD（2）解：設(shè)這個(gè)班有x名學(xué)生，根據(jù)題意得：3x+20=4x25，解得：x=45，答：這個(gè)班有45名學(xué)生23已知：如圖，D是AC上一點(diǎn)，AB=DA，DEAB，B=DAE求證：BC=AE【解答】證明：DEAB，CAB=ADE，在ABC和DAE中，ABCDAE（ASA），BC=AE24【問題提出】學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我們繼續(xù)對“兩個(gè)三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研究【初步思考】我們不妨將問題用符號語言表示為：在ABC和DEF中，AC=DF，BC=EF，B=E，然后，對B進(jìn)行分類，可分為“B是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究【深入探究】第一種情況：當(dāng)B是直角時(shí)，ABCDEF（1）如圖，在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E=90，根據(jù)HL，可以知道RtABCRtDEF第二種情況：當(dāng)B是鈍角時(shí)，ABCDEF（2）如圖，在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是鈍角，求證：ABCDEF第三種情況：當(dāng)B是銳角時(shí)，ABC和DEF不一定全等（3）在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是銳角，請你用尺規(guī)在圖中作出DEF，使DEF和ABC不全等（不寫作法，保留作圖痕跡）（4）B還要滿足什么條件，就可以使ABCDEF？請直接寫出結(jié)論：在ABC和DEF中，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是銳角，若BA，則ABCDEF【解答】（1）解：HL；（2）證明：如圖，過點(diǎn)C作CGAB交AB的延長線于G，過點(diǎn)F作FHDE交DE的延長線于H，ABC=DEF，且ABC、DEF都是鈍角，180ABC=180DEF，即CBG=FEH，在CBG和FEH中，CBGFEH（AAS），CG=FH，在RtACG和RtDFH中，RtACGRtDFH（HL），A=D，在ABC和DEF中，ABCDEF（AAS）；（3）解：如圖，DEF和ABC不全等；（4）解：若BA，則ABCDEF故答案為：（1）HL；（4）BA25（2014德州）問題背景：如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，BAD=120，B=ADC=90E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)且EAF=60探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長FD到點(diǎn)G使DG=BE連結(jié)AG，先證明ABEADG，再證明AEFAGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是EF=BE+DF；探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，B+D=180E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且EAF=BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；實(shí)際應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn).1.5小時(shí)后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離【解答】解：問題背景：EF=BE+DF；探索延伸：EF=BE+DF仍然成立證明如下：如圖，延長FD到G，使DG=BE，連接AG，B+ADC=180，ADC+ADG=180，B=ADG，在ABE和ADG中，ABEADG（SAS），AE=AG，BAE=DAG，EAF=BAD，GAF=DAG+DAF=BAE+DAF=BADEAF=EAF，EAF=GAF，在AEF和GAF中，AEFGAF（SAS），EF=FG，F(xiàn)G=DG+DF=BE+DF，EF=BE+DF；實(shí)際應(yīng)用：如圖，連接EF，延長AE、BF相交于點(diǎn)C，AOB=30+90+（9070）=140，EOF=70，EOF=AOB，又OA=OB，OAC+OBC=（9030）+（70+50）=180，符合探索延伸中的條件，結(jié)論EF=AE+BF成立，即EF=1.5（60+80）=210海里答：此時(shí)兩艦艇之間的距離是210海里26如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC與BD相交于O點(diǎn)，OC=OA，若E是CD上任意一點(diǎn)，連接BE交AC于點(diǎn)F，連接DF（1）證明：CBFCDF；（2）若AC=2，BD=2，求四邊形ABCD的周長；（3）請你添加一個(gè)條件，使得EFD=BAD，并予以證明【解答】（1）證明：在ABC和ADC中，ABCADC（SSS），BCA=DCA，在CBF和CDF中，CBFCDF（SAS），（2）解：ABCADC，ABC和ADC是軸對稱圖形，OB=OD，BDAC，OA=OC，四邊形ABCD是菱形，AB=BC=CD=DA，AC=2，BD=2，OA=，OB=1，AB=2，四邊形ABCD的周長=4AB=42=8（3）當(dāng)EBCD時(shí)，即E為過B且和CD垂直時(shí)垂線的垂足，EFD=BCD，理由：四邊形ABCD為菱形，BC=CD，BCF=DCF，BCD=BAD，BCFDCF，CBF=CDF，BECD，BEC=DEF=90，BCD+CBF=90，EFD+CDF=90，EFD=BAD27如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E、B、D、F在同一直線上，且BE=DF求證：AE=CF【解答】證明：四邊形ABCD是平行四邊形，AB=CD，ABCD，ABD=CDB，180ABD=180CDB，即ABE=CDF，在ABE和CDF中，ABECDF（SAS），AE=CF28（1）如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，EAF=45，延長CD到點(diǎn)G，使DG=BE，連結(jié)EF，AG求證：EF=FG（2）如圖，等腰直角三角形ABC中，BAC=90，AB=AC，點(diǎn)M，N在邊BC上，且MAN=45，若BM=1，CN=3，求MN的長【解答】（1）證明：在正方形ABCD中，ABE=ADG，AD=AB，在ABE和ADG中，ABEADG（SAS），BAE=DAG，AE=AG，EAG=90，在FAE和GAF中，F(xiàn)AEGAF（SAS），EF=FG；（2）解：如圖，過點(diǎn)C作CEBC，垂足為點(diǎn)C，截取CE，使CE=BM連接AE、ENAB=AC，BAC=90，B=ACB=45CEBC，ACE=B=45在ABM和ACE中，ABMACE（SAS）AM=AE，BAM=CAEBAC=90，MAN=45，BAM+CAN=45于是，由BAM=CAE，得MAN=EAN=45在MAN和EAN中，MANEAN（SAS）MN=EN在RtENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2MN2=BM2+NC2BM=1，CN=3，MN2=12+32，MN=29如圖，在ABC中，ACB=90，AC=BC，E為AC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作ADAB交BE的延長線于點(diǎn)D，CG平分ACB交BD于點(diǎn)G，F(xiàn)為AB邊上一點(diǎn)，連接CF，且ACF=CBG求證：（1）AF=CG；（2）CF=2DE【解答】證明：（1）ACB=90，CG平分ACB，ACG=BCG=45，又ACB=90，AC=BC，CAF=CBF=45，CAF=BCG，在AFC與CGB中，AFCCBG（ASA），AF=CG；（2）延長CG交AB于H，CG平分ACB，AC=BC，CHAB，CH平分AB，ADAB，ADCG，D=EGC，在ADE與CGE中，ADECGE（AAS），DE=GE，即DG=2DE，ADCG，CH平分AB，DG=BG，AFCCBG，CF=BG，CF=2DE30如圖，在ABC和ADE中，AB=AC，AD=AE，BAC+EAD=180，ABC不動(dòng)，ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接BE、CD，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)，連接AF（1）如圖，當(dāng)BAE=90時(shí)，求證：CD=2AF；（2）當(dāng)BAE90時(shí)，（1）的結(jié)論是否成立？請結(jié)合圖說明理由【解答】（1）證明：如圖，BAC+EAD=180，BAE=90，DAC=90，在ABE與ACD中ABEACD（SAS），CD=BE，在RtABE中，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)，BE=2AF，CD=2AF（2）成立，證明：如圖，延長EA交BC于G，在AG上截取AH=AD，BAC+EAD=180，EAB+DAC=180，EAB+BAH=180，DAC=BAH，在ABH與ACD中，ABHACD（SAS）BH=DC，AD=AE，AH=AD，AE=AH，EF=FB，BH=2AF，CD=2AF第45頁（共45頁）