人教版八年級上《第12章全等三角形》單元測試(8)含答案解析.doc

第12章 全等三角形一、選擇題（共9小題）1如圖，在ABC中，ABC=45，AC=8cm，F(xiàn)是高AD和BE的交點，則BF的長是（）A4cmB6cmC8cmD9cm2如圖，將正方形OABC放在平面直角坐標系中，O是原點，A的坐標為（1，），則點C的坐標為（）A（，1）B（1，）C（，1）D（，1）3在連接A地與B地的線段上有四個不同的點D、G、K、Q，下列四幅圖中的實線分別表示某人從A地到B地的不同行進路線（箭頭表示行進的方向），則路程最長的行進路線圖是（）ABCD4如圖，坐標平面上，ABC與DEF全等，其中A、B、C的對應頂點分別為D、E、F，且AB=BC=5若A點的坐標為（3，1），B、C兩點在方程式y(tǒng)=3的圖形上，D、E兩點在y軸上，則F點到y(tǒng)軸的距離為何？（）A2B3C4D5245平面上有ACD與BCE，其中AD與BE相交于P點，如圖若AC=BC，AD=BE，CD=CE，ACE=55，BCD=155，則BPD的度數(shù)為（）wA110B125C130D155t6如圖，在ABC和BDE中，點C在邊BD上，邊AC交邊BE于點F若AC=BD，AB=ED，BC=BE，則ACB等于（）hAEDBBBEDCAFBD2ABFY7如圖，AB=4，射線BM和AB互相垂直，點D是AB上的一個動點，點E在射線BM上，BE=DB，作EFDE并截取EF=DE，連結AF并延長交射線BM于點C設BE=x，BC=y，則y關于x的函數(shù)解析式是（）6Ay=By=Cy=Dy=O8如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=6，ABBC，ADCD，BAD=60，點M、N分別在AB、AD邊上，若AM：MB=AN：ND=1：2，則tanMCN=（）5ABCD2I9如圖，點E在正方形ABCD的對角線AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的兩直角邊EF、EG分別交BC、DC于點M、N若正方形ABCD的邊長為a，則重疊部分四邊形EMCN的面積為（）aA a2B a2C a2D a2h二、解答題（共21小題）P10如圖，已知ABDE，AB=DE，AF=CD，CEF=906（1）若ECF=30，CF=8，求CE的長；y（2）求證：ABFDEC；6（3）求證：四邊形BCEF是矩形811已知ABC為等邊三角形，D為AB邊所在的直線上的動點，連接DC，以DC為邊在DC兩側作等邊DCE和等邊DCF（點E在DC的右側或上側，點F在DC左側或下側），連接AE、BFZ（1）如圖1，若點D在AB邊上，請你通過觀察，測量，猜想線段AE、BF和AB有怎樣的數(shù)量關系？并證明你的結論；k（2）如圖2，若點D在AB的延長線上，其他條件不變，線段AE、BF和AB有怎樣的數(shù)量關系？請直接寫出結論（不需要證明）；4（3）若點D在AB的反向延長線上，其他條件不變，請在圖3中畫出圖形，探究線段AE、BF和AB有怎樣的數(shù)量關系，并直接寫出結論（不需要證明）012如圖，ABC與DCB中，AC與BD交于點E，且A=D，AB=DCA（1）求證：ABEDCE；f（2）當AEB=50，求EBC的度數(shù)？A13如圖，在ABC中，C=90，AD平分CAB，交CB于點D，過點D作DEAB于點E=（1）求證：ACDAED；=（2）若B=30，CD=1，求BD的長14如圖，點D，E在ABC的邊BC上，AB=AC，BD=CE求證：AD=AE15已知：如圖，AD，BC相交于點O，OA=OD，ABCD求證：AB=CD16如圖，把一個直角三角形ACB（ACB=90）繞著頂點B順時針旋轉60，使得點C旋轉到AB邊上的一點D，點A旋轉到點E的位置F，G分別是BD，BE上的點，BF=BG，延長CF與DG交于點H（1）求證：CF=DG；（2）求出FHG的度數(shù)17如圖，點B、F、C、E在一條直線上，F(xiàn)B=CE，ABED，ACFD，求證：AC=DF18如圖，ABC和ADE都是等腰三角形，且BAC=90，DAE=90，B，C，D在同一條直線上求證：BD=CE19如圖，已知點B、E、C、F在同一條直線上，BE=CF，ABDE，A=D求證：AB=DE20已知ABC為等腰直角三角形，ACB=90，點P在BC邊上（P不與B、C重合）或點P在ABC內部，連接CP、BP，將CP繞點C逆時針旋轉90，得到線段CE；將BP繞點B順時針旋轉90，得到線段BD，連接ED交AB于點O（1）如圖a，當點P在BC邊上時，求證：OA=OB；（2）如圖b，當點P在ABC內部時，OA=OB是否成立？請說明理由；直接寫出BPC為多少度時，AB=DE21（1）如圖1，在ABC和DCE中，ABDC，AB=DC，BC=CE，且點B，C，E在一條直線上求證：A=D（2）如圖2，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AB=4，AOD=120，求AC的長22（1）如圖，AB平分CAD，AC=AD，求證：BC=BD；（2）列方程解應用題把一些圖書分給某班學生閱讀，如果每人分3本，則剩余20本；如果每人分4本，則還缺25本，這個班有多少學生？23已知：如圖，D是AC上一點，AB=DA，DEAB，B=DAE求證：BC=AE24【問題提出】學習了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我們繼續(xù)對“兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應相等”的情形進行研究【初步思考】我們不妨將問題用符號語言表示為：在ABC和DEF中，AC=DF，BC=EF，B=E，然后，對B進行分類，可分為“B是直角、鈍角、銳角”三種情況進行探究【深入探究】第一種情況：當B是直角時，ABCDEF（1）如圖，在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E=90，根據(jù)，可以知道RtABCRtDEF第二種情況：當B是鈍角時，ABCDEF（2）如圖，在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是鈍角，求證：ABCDEF第三種情況：當B是銳角時，ABC和DEF不一定全等（3）在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是銳角，請你用尺規(guī)在圖中作出DEF，使DEF和ABC不全等（不寫作法，保留作圖痕跡）（4）B還要滿足什么條件，就可以使ABCDEF？請直接寫出結論：在ABC和DEF中，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是銳角，若，則ABCDEF25問題背景：如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，BAD=120，B=ADC=90E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點且EAF=60探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關系小王同學探究此問題的方法是，延長FD到點G使DG=BE連結AG，先證明ABEADG，再證明AEFAGF，可得出結論，他的結論應是；探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，B+D=180E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且EAF=BAD，上述結論是否仍然成立，并說明理由；實際應用：如圖3，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50的方向以80海里/小時的速度前進.1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70，試求此時兩艦艇之間的距離26如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC與BD相交于O點，OC=OA，若E是CD上任意一點，連接BE交AC于點F，連接DF（1）證明：CBFCDF；（2）若AC=2，BD=2，求四邊形ABCD的周長；（3）請你添加一個條件，使得EFD=BAD，并予以證明27如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點E、B、D、F在同一直線上，且BE=DF求證：AE=CF28（1）如圖1，正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，EAF=45，延長CD到點G，使DG=BE，連結EF，AG求證：EF=FG（2）如圖，等腰直角三角形ABC中，BAC=90，AB=AC，點M，N在邊BC上，且MAN=45，若BM=1，CN=3，求MN的長29如圖，在ABC中，ACB=90，AC=BC，E為AC邊的中點，過點A作ADAB交BE的延長線于點D，CG平分ACB交BD于點G，F(xiàn)為AB邊上一點，連接CF，且ACF=CBG求證：（1）AF=CG；（2）CF=2DE30如圖，在ABC和ADE中，AB=AC，AD=AE，BAC+EAD=180，ABC不動，ADE繞點A旋轉，連接BE、CD，F(xiàn)為BE的中點，連接AF（1）如圖，當BAE=90時，求證：CD=2AF；（2）當BAE90時，（1）的結論是否成立？請結合圖說明理由第12章 全等三角形參考答案與試題解析一、選擇題（共9小題）1如圖，在ABC中，ABC=45，AC=8cm，F(xiàn)是高AD和BE的交點，則BF的長是（）A4cmB6cmC8cmD9cm【考點】全等三角形的判定與性質【分析】求出FBD=CAD，AD=BD，證DBFDAC，推出BF=AC，代入求出即可【解答】解：F是高AD和BE的交點，ADC=ADB=AEF=90，CAD+AFE=90，DBF+BFD=90，AFE=BFD，CAD=FBD，ADB=90，ABC=45，BAD=45=ABD，AD=BD，在DBF和DAC中DBFDAC（ASA），BF=AC=8cm，故選C【點評】本題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的性質和判定，三角形的內角和定理的應用，關鍵是推出DBFDAC2如圖，將正方形OABC放在平面直角坐標系中，O是原點，A的坐標為（1，），則點C的坐標為（）A（，1）B（1，）C（，1）D（，1）【考點】全等三角形的判定與性質；坐標與圖形性質；正方形的性質【專題】幾何圖形問題【分析】過點A作ADx軸于D，過點C作CEx軸于E，根據(jù)同角的余角相等求出OAD=COE，再利用“角角邊”證明AOD和OCE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得OE=AD，CE=OD，然后根據(jù)點C在第二象限寫出坐標即可【解答】解：如圖，過點A作ADx軸于D，過點C作CEx軸于E，四邊形OABC是正方形，OA=OC，AOC=90，COE+AOD=90，又OAD+AOD=90，OAD=COE，在AOD和OCE中，AODOCE（AAS），OE=AD=，CE=OD=1，點C在第二象限，點C的坐標為（，1）故選：A【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，正方形的性質，坐標與圖形性質，作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵，也是本題的難點3在連接A地與B地的線段上有四個不同的點D、G、K、Q，下列四幅圖中的實線分別表示某人從A地到B地的不同行進路線（箭頭表示行進的方向），則路程最長的行進路線圖是（）ABCD【考點】全等三角形的判定與性質；平行四邊形的判定與性質【專題】壓軸題【分析】分別構造出平行四邊形和三角形，根據(jù)平行四邊形的性質和全等三角形的性質進行比較，即可判斷【解答】解：A、延長AC、BE交于S，CAB=EDB=45，ASED，則SCDE同理SECD，四邊形SCDE是平行四邊形，SE=CD，DE=CS，即走的路線長是：AC+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+BS；B、延長AF、BH交于S1，作FKGH與BH的延長線交于點K，SAB=S1AB=45，SBA=S1BA=70，AB=AB，SABS1AB，AS=AS1，BS=BS1，F(xiàn)GH=1807043=67=GHB，F(xiàn)GKH，F(xiàn)KGH，四邊形FGHK是平行四邊形，F(xiàn)K=GH，F(xiàn)G=KH，AF+FG+GH+HB=AF+FK+KH+HB，F(xiàn)S1+S1KFK，AS+BSAF+FK+KH+HB，即AC+CD+DE+EBAF+FG+GH+HB，C、D、同理可證得AI+IK+KM+MBAS2+BS2AN+NQ+QP+PB綜上所述，D選項的所走的線路最長故選：D【點評】本題考查了平行線的判定，平行四邊形的性質和判定的應用，注意：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，平行四邊形的對邊相等4如圖，坐標平面上，ABC與DEF全等，其中A、B、C的對應頂點分別為D、E、F，且AB=BC=5若A點的坐標為（3，1），B、C兩點在方程式y(tǒng)=3的圖形上，D、E兩點在y軸上，則F點到y(tǒng)軸的距離為何？（）A2B3C4D5【考點】全等三角形的判定與性質；坐標與圖形性質【分析】如圖，作AH、CK、FP分別垂直BC、AB、DE于H、K、P由AB=BC，ABCDEF，就可以得出AKCCHADPF，就可以得出結論【解答】解：如圖，作AH、CK、FP分別垂直BC、AB、DE于H、K、PDPF=AKC=CHA=90AB=BC，BAC=BCA在AKC和CHA中，AKCCHA（ASA），KC=HAB、C兩點在方程式y(tǒng)=3的圖形上，且A點的坐標為（3，1），AH=4KC=4ABCDEF，BAC=EDF，AC=DF在AKC和DPF中，AKCDPF（AAS），KC=PF=4故選：C【點評】本題考查了坐標與圖象的性質的運用，垂直的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，等腰三角形的性質的運用，解答時證明三角形全等是關鍵5平面上有ACD與BCE，其中AD與BE相交于P點，如圖若AC=BC，AD=BE，CD=CE，ACE=55，BCD=155，則BPD的度數(shù)為（）A110B125C130D155【考點】全等三角形的判定與性質【分析】易證ACDBCE，由全等三角形的性質可知：A=B，再根據(jù)已知條件和四邊形的內角和為360，即可求出BPD的度數(shù)【解答】解：在ACD和BCE中，ACDBCE（SSS），A=B，BCE=ACD，BCA=ECD，ACE=55，BCD=155，BCA+ECD=100，BCA=ECD=50，ACE=55，ACD=105A+D=75，B+D=75，BCD=155，BPD=36075155=130，故選：C【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質、三角形的內角和定理以及四邊形的內角和定理，解題的關鍵是利用整體的數(shù)學思想求出B+D=756如圖，在ABC和BDE中，點C在邊BD上，邊AC交邊BE于點F若AC=BD，AB=ED，BC=BE，則ACB等于（）AEDBBBEDCAFBD2ABF【考點】全等三角形的判定與性質【分析】根據(jù)全等三角形的判定與性質，可得ACB與DBE的關系，根據(jù)三角形外角的性質，可得答案【解答】解：在ABC和DEB中，ABCDEB （SSS），ACB=DBEAFB是BFC的外角，ACB+DBE=AFB，ACB=AFB，故選：C【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，利用了全等三角形的判定與性質，三角形外角的性質7如圖，AB=4，射線BM和AB互相垂直，點D是AB上的一個動點，點E在射線BM上，BE=DB，作EFDE并截取EF=DE，連結AF并延長交射線BM于點C設BE=x，BC=y，則y關于x的函數(shù)解析式是（）Ay=By=Cy=Dy=【考點】全等三角形的判定與性質；函數(shù)關系式；相似三角形的判定與性質【專題】數(shù)形結合【分析】作FGBC于G，依據(jù)已知條件求得DBEEGF，得出FG=BE=x，EG=DB=2x，然后根據(jù)平行線的性質即可求得【解答】解：作FGBC于G，DEB+FEC=90，DEB+BDE=90；BDE=FEG，在DBE與EGF中DBEEGF，EG=DB，F(xiàn)G=BE=x，EG=DB=2BE=2x，GC=y3x，F(xiàn)GBC，ABBC，F(xiàn)GAB，CG：BC=FG：AB，即=，y=故選：A【點評】本題考查了三角形全等的判定和性質，以及平行線的性質，輔助線的做法是解題的關鍵8如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=6，ABBC，ADCD，BAD=60，點M、N分別在AB、AD邊上，若AM：MB=AN：ND=1：2，則tanMCN=（）ABCD2【考點】全等三角形的判定與性質；三角形的面積；角平分線的性質；含30度角的直角三角形；勾股定理【專題】計算題；壓軸題12283577【分析】連接AC，通過三角形全等，求得BAC=30，從而求得BC的長，然后根據(jù)勾股定理求得CM的長，連接MN，過M點作MECN于E，則MNA是等邊三角形求得MN=2，設NE=x，表示出CE，根據(jù)勾股定理即可求得ME，然后求得tanMCN【解答】解：AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2，AM=AN=2，BM=DN=4，連接MN，連接AC，ABBC，ADCD，BAD=60在RtABC與RtADC中，RtABCRtADC（HL）BAC=DAC=BAD=30，MC=NC，BC=AC，AC2=BC2+AB2，即（2BC）2=BC2+AB2，3BC2=AB2，BC=2，在RtBMC中，CM=2AN=AM，MAN=60，MAN是等邊三角形，MN=AM=AN=2，過M點作MECN于E，設NE=x，則CE=2x，MN2NE2=MC2EC2，即4x2=（2）2（2x）2，解得：x=，EC=2=，ME=，tanMCN=故選：A【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質，勾股定理以及解直角三角函數(shù)，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵9如圖，點E在正方形ABCD的對角線AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的兩直角邊EF、EG分別交BC、DC于點M、N若正方形ABCD的邊長為a，則重疊部分四邊形EMCN的面積為（）A a2B a2C a2D a2【考點】全等三角形的判定與性質；正方形的性質【專題】幾何圖形問題；壓軸題【分析】過E作EPBC于點P，EQCD于點Q，EPMEQN，利用四邊形EMCN的面積等于正方形PCQE的面積求解【解答】解：過E作EPBC于點P，EQCD于點Q，四邊形ABCD是正方形，BCD=90，又EPM=EQN=90，PEQ=90，PEM+MEQ=90，三角形FEG是直角三角形，NEF=NEQ+MEQ=90，PEM=NEQ，AC是BCD的角平分線，EPC=EQC=90，EP=EQ，四邊形PCQE是正方形，在EPM和EQN中，EPMEQN（ASA）SEQN=SEPM，四邊形EMCN的面積等于正方形PCQE的面積，正方形ABCD的邊長為a，AC=a，EC=2AE，EC=a，EP=PC=a，正方形PCQE的面積=aa=a2，四邊形EMCN的面積=a2，故選：D【點評】本題主要考查了正方形的性質及全等三角形的判定及性質，解題的關鍵是作出輔助線，證出EPMEQN二、解答題（共21小題）10如圖，已知ABDE，AB=DE，AF=CD，CEF=90（1）若ECF=30，CF=8，求CE的長；（2）求證：ABFDEC；（3）求證：四邊形BCEF是矩形【考點】全等三角形的判定與性質；矩形的判定【分析】（1）解直角三角形即可求出答案；（2）根據(jù)平行線性質求出A=D，根據(jù)SAS推出兩三角形全等即可；（3）根據(jù)全等三角形的性質得出BF=CE，AFB=DCE，求出BFC=ECF，推出BFEC，根據(jù)平行四邊形的判定推出四邊形BCEF是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定推出即可【解答】（1）解：CEF=90cosECF=ECF=30，CF=8CF=CFcos30=8=4；（2）證明：ABDE，A=D，在ABF和DEC中ABFDEC （SAS）；（3）證明：由（2）可知：ABFDEC，BF=CE，AFB=DCE，AFB+BFC=180，DCE+ECF=180，BFC=ECF，BFEC，四邊形BCEF是平行四邊形，CEF=90，四邊形BCEF是矩形【點評】本題考查了解直角三角形，平行四邊形的判定，矩形的判定，全等三角形的性質和判定的應用，綜合運用性質定理進行推理是解此題的關鍵，難度適中11已知ABC為等邊三角形，D為AB邊所在的直線上的動點，連接DC，以DC為邊在DC兩側作等邊DCE和等邊DCF（點E在DC的右側或上側，點F在DC左側或下側），連接AE、BF（1）如圖1，若點D在AB邊上，請你通過觀察，測量，猜想線段AE、BF和AB有怎樣的數(shù)量關系？并證明你的結論；（2）如圖2，若點D在AB的延長線上，其他條件不變，線段AE、BF和AB有怎樣的數(shù)量關系？請直接寫出結論（不需要證明）；（3）若點D在AB的反向延長線上，其他條件不變，請在圖3中畫出圖形，探究線段AE、BF和AB有怎樣的數(shù)量關系，并直接寫出結論（不需要證明）【考點】全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質【分析】（1）AE+BF=AB，可證明CBFCAD和CDBCAE分別得到AD=BF，BD=AE，易得結論；（2）BFAE=AB，由CBFCAD和CBDCAE分別得到AD=BF，BD=AE，易得結論；（3）AEBF=AB，由CBFCAD和CBDCAE分別得到AD=BF，BD=AE，易得結論【解答】解：（1）AE+BF=AB，如圖1，ABC和DCF是等邊三角形，CA=CB，CD=CF，ACB=DCF=60ACD=BCF，在ACD和BCF中ACDBCF（SAS）AD=BF同理：CBDCAE（SAS）BD=AEAE+BF=BD+AD=AB；（2）BFAE=AB，如圖2，易證CBFCAD和CBDCAE，AD=BF，BD=AE，BFAE=ADBD=AB；（3）AEBF=AB，如圖3，易證CBFCAD和CBDCAE，AD=BF，BD=AE，BFAE=ADBD=AB【點評】本題主要考查了三角形全等的判定與性質，靈活運用類比思想，在變化中發(fā)現(xiàn)不變是解決問題的關鍵12如圖，ABC與DCB中，AC與BD交于點E，且A=D，AB=DC（1）求證：ABEDCE；（2）當AEB=50，求EBC的度數(shù)？【考點】全等三角形的判定與性質【分析】（1）根據(jù)AAS即可推出ABE和DCE全等；（2）根據(jù)三角形全等得出EB=EC，推出EBC=ECB，根據(jù)三角形的外角性質得出AEB=2EBC，代入求出即可【解答】（1）證明：在ABE和DCE中ABEDCE（AAS）；（2）解：ABEDCE，BE=EC，EBC=ECB，EBC+ECB=AEB=50，EBC=25【點評】本題考查了三角形外角性質和全等三角形的性質和判定的應用，主要考查學生的推理能力13如圖，在ABC中，C=90，AD平分CAB，交CB于點D，過點D作DEAB于點E（1）求證：ACDAED；（2）若B=30，CD=1，求BD的長【考點】全等三角形的判定與性質；角平分線的性質；含30度角的直角三角形【分析】（1）根據(jù)角平分線性質求出CD=DE，根據(jù)HL定理求出另三角形全等即可；（2）求出DEB=90，DE=1，根據(jù)含30度角的直角三角形性質求出即可【解答】（1）證明：AD平分CAB，DEAB，C=90，CD=ED，DEA=C=90，在RtACD和RtAED中RtACDRtAED（HL）；（2）解：DC=DE=1，DEAB，DEB=90，B=30，BD=2DE=2【點評】本題考查了全等三角形的判定，角平分線性質，含30度角的直角三角形性質的應用，注意：角平分線上的點到角兩邊的距離相等14如圖，點D，E在ABC的邊BC上，AB=AC，BD=CE求證：AD=AE【考點】全等三角形的判定與性質；等腰三角形的性質【專題】證明題【分析】利用等腰三角形的性質得到B=C，然后證明ABDACE即可證得結論【解答】證明：AB=AC，B=C，在ABD與ACE中，ABDACE（SAS），AD=AE【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質及等腰三角形的性質，解題的關鍵是利用等邊對等角得到B=C15已知：如圖，AD，BC相交于點O，OA=OD，ABCD求證：AB=CD【考點】全等三角形的判定與性質【專題】證明題【分析】首先根據(jù)ABCD，可得B=C，A=D，結合OA=OD，可知證明出AOBDOC，即可得到AB=CD【解答】證明：ABCD，B=C，A=D，在AOB和DOC中，AOBDOC（AAS），AB=CD【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質的知識，解答本題的關鍵是熟練掌握判定定理以及平行線的性質，此題基礎題，比較簡單16如圖，把一個直角三角形ACB（ACB=90）繞著頂點B順時針旋轉60，使得點C旋轉到AB邊上的一點D，點A旋轉到點E的位置F，G分別是BD，BE上的點，BF=BG，延長CF與DG交于點H（1）求證：CF=DG；（2）求出FHG的度數(shù)【考點】全等三角形的判定與性質【分析】（1）在CBF和DBG中，利用SAS即可證得兩個三角形全等，利用全等三角形的對應邊相等即可證得；（2）根據(jù)全等三角形的對應角相等，以及三角形的內角和定理，即可證得DHF=CBF=60，從而求解【解答】（1）證明：在CBF和DBG中，CBFDBG（SAS），CF=DG；（2）解：CBFDBG，BCF=BDG，又CFB=DFH，又BCF中，CBF=180BCFCFB，DHF中，DHF=180BDGDFH，DHF=CBF=60，F(xiàn)HG=180DHF=18060=120【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，正確證明三角形全等是關鍵17如圖，點B、F、C、E在一條直線上，F(xiàn)B=CE，ABED，ACFD，求證：AC=DF【考點】全等三角形的判定與性質【專題】證明題【分析】求出BC=EF，根據(jù)平行線性質求出B=E，ACB=DFE，根據(jù)ASA推出ABCDEF即可【解答】證明：FB=CE，F(xiàn)B+FC=CE+FC，BC=EF，ABED，ACFD，B=E，ACB=DFE，在ABC和DEF中，ABCDEF（ASA），AC=DF【點評】本題考查了平行線的性質和全等三角形的性質和判定的應用，主要考查學生的推理能力18如圖，ABC和ADE都是等腰三角形，且BAC=90，DAE=90，B，C，D在同一條直線上求證：BD=CE【考點】全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形【專題】證明題【分析】求出AD=AE，AB=AC，DAB=EAC，根據(jù)SAS證出ADBAEC即可【解答】證明：ABC和ADE都是等腰直角三角形AD=AE，AB=AC，又EAC=90+CAD，DAB=90+CAD，DAB=EAC，在ADB和AEC中ADBAEC（SAS），BD=CE【點評】本題考查了等腰直角三角形性質，全等三角形的性質和判定的應用，關鍵是推出ADBAEC19如圖，已知點B、E、C、F在同一條直線上，BE=CF，ABDE，A=D求證：AB=DE【考點】全等三角形的判定與性質【專題】證明題【分析】首先得出BC=EF，利用平行線的性質B=DEF，再利用AAS得出ABCDEF，即可得出答案【解答】證明：BE=CF，BC=EFABDE，B=DEF在ABC與DEF中，ABCDEF（AAS），AB=DE【點評】此題主要考查了平行線的性質以及全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題關鍵20已知ABC為等腰直角三角形，ACB=90，點P在BC邊上（P不與B、C重合）或點P在ABC內部，連接CP、BP，將CP繞點C逆時針旋轉90，得到線段CE；將BP繞點B順時針旋轉90，得到線段BD，連接ED交AB于點O（1）如圖a，當點P在BC邊上時，求證：OA=OB；（2）如圖b，當點P在ABC內部時，OA=OB是否成立？請說明理由；直接寫出BPC為多少度時，AB=DE【考點】全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形【分析】（1）根據(jù)ABC為等腰直角三角形，則CA=CB，A=ABC=45，由旋轉可知：CP=CE，BP=BD，則AE=BP，可證明AEOBDO，則OA=OB；（2）連接AE，易證AECBCP，則AE=BP，CAE=BPC，可證明AEOBDO，則OA=OB，所以成立；設PCB=，PBC=，則四邊形BCED的四個內角可以分別用、表示，利用四邊形內角和為360求出+的度數(shù)，最后在BPC中，利用三角形內角和定理求出BPC的度數(shù)【解答】（1）證明：ABC為等腰直角三角形，CA=CB，A=ABC=45，由旋轉可知：CP=CE，BP=BD，CACE=CBCP，即AE=BP，AE=BD又CBD=90，OBD=45，在AEO和BDO中，AEOBDO（AAS），OA=OB；（2）成立，理由如下：連接AE，則AECBCP，AE=BP，CAE=BPC，BP=BD，BD=AE，OAE=45+CAE，OBD=90OBP=90（45BPC）=45+PBC，OAE=OBD，在AEO和BDO中，AEOBDO（AAS），OA=OB，當BPC=135時，AB=DE理由如下：解法一：當AB=DE時，由知OA=OB，OA=OB=OE=OD設PCB=，由旋轉可知，ACE=連接OC，則OC=OA=OB，OC=OE，DEC=OCE=45+設PBC=，則ABP=45，OBD=90ABP=45+OB=OD，D=OBD=45+在四邊形BCED中，DEC+D+DBC+BCE=360，即：（45+）+（45+）+（90+）+（90+）=360，解得：+=45，BPC=180（+）=135解法二（本溪趙老師提供，更為簡潔）：當AB=DE時，四邊形AEBD為矩形則DBE=90=DBP，點P落在線段BE上ECP為等腰直角三角形，EPC=45，BPC=180EPC=135【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質以及等腰直角三角形，是重點題，要熟練掌握21（1）如圖1，在ABC和DCE中，ABDC，AB=DC，BC=CE，且點B，C，E在一條直線上求證：A=D（2）如圖2，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AB=4，AOD=120，求AC的長【考點】全等三角形的判定與性質；矩形的性質【分析】（1）首先根據(jù)平行線的性質可得B=DCE，再利用SAS定理證明ABCDCE可得A=D；（2）根據(jù)矩形的性質可得AO=BO=CO=DO，再證明AOB是等邊三角形，可得AO=AB=4，進而得到AC=2AO=8【解答】（1）證明：ABDC，B=DCE，在ABC和DCE中，ABCDCE（SAS），A=D；（2）解：四邊形ABCD是矩形，AO=BO=CO=DO，AOD=120，AOB=60，AOB是等邊三角形，AO=AB=4，AC=2AO=8【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質，以及矩形的性質和等邊三角形的判定，關鍵是掌握全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具22（2013福州）（1）如圖，AB平分CAD，AC=AD，求證：BC=BD；（2）列方程解應用題把一些圖書分給某班學生閱讀，如果每人分3本，則剩余20本；如果每人分4本，則還缺25本，這個班有多少學生？【考點】全等三角形的判定與性質；一元一次方程的應用【分析】（1）求出CAB=DAB，根據(jù)SAS推出ABCABD即可；（2）設這個班有x名學生，根據(jù)題意得出方程3x+20=4x25，求出即可【解答】（1）證明：AB平分CAD，CAB=DAB，在ABC和ABD中ABCABD（SAS），BC=BD（2）解：設這個班有x名學生，根據(jù)題意得：3x+20=4x25，解得：x=45，答：這個班有45名學生【點評】本題考查了全等三角形的性質和判定，一元一次方程的應用，主要考查學生的推理能力和列方程的能力23已知：如圖，D是AC上一點，AB=DA，DEAB，B=DAE求證：BC=AE【考點】全等三角形的判定與性質【專題】證明題【分析】根據(jù)兩直線平行，內錯角相等求出CAB=ADE，然后利用“角邊角”證明ABC和DAE全等，再根據(jù)全等三角形對應邊相等證明即可【解答】證明：DEAB，CAB=ADE，在ABC和DAE中，ABCDAE（ASA），BC=AE【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，平行線的性質，利用三角形全等證明邊相等是常用的方法之一，要熟練掌握并靈活運用24【問題提出】學習了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我們繼續(xù)對“兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應相等”的情形進行研究【初步思考】我們不妨將問題用符號語言表示為：在ABC和DEF中，AC=DF，BC=EF，B=E，然后，對B進行分類，可分為“B是直角、鈍角、銳角”三種情況進行探究【深入探究】第一種情況：當B是直角時，ABCDEF（1）如圖，在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E=90，根據(jù)HL，可以知道RtABCRtDEF第二種情況：當B是鈍角時，ABCDEF（2）如圖，在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是鈍角，求證：ABCDEF第三種情況：當B是銳角時，ABC和DEF不一定全等（3）在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是銳角，請你用尺規(guī)在圖中作出DEF，使DEF和ABC不全等（不寫作法，保留作圖痕跡）（4）B還要滿足什么條件，就可以使ABCDEF？請直接寫出結論：在ABC和DEF中，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是銳角，若BA，則ABCDEF【考點】全等三角形的判定與性質；作圖應用與設計作圖【專題】壓軸題；探究型【分析】（1）根據(jù)直角三角形全等的方法“HL”證明；（2）過點C作CGAB交AB的延長線于G，過點F作FHDE交DE的延長線于H，根據(jù)等角的補角相等求出CBG=FEH，再利用“角角邊”證明CBG和FEH全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得CG=FH，再利用“HL”證明RtACG和RtDFH全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得A=D，然后利用“角角邊”證明ABC和DEF全等；（3）以點C為圓心，以AC長為半徑畫弧，與AB相交于點D，E與B重合，F(xiàn)與C重合，得到DEF與ABC不全等；（4）根據(jù)三種情況結論，B不小于A即可【解答】（1）解：HL；（2）證明：如圖，過點C作CGAB交AB的延長線于G，過點F作FHDE交DE的延長線于H，ABC=DEF，且ABC、DEF都是鈍角，180ABC=180DEF，即CBG=FEH，在CBG和FEH中，CBGFEH（AAS），CG=FH，在RtACG和RtDFH中，RtACGRtDFH（HL），A=D，在ABC和DEF中，ABCDEF（AAS）；（3）解：如圖，DEF和ABC不全等；（4）解：若BA，則ABCDEF故答案為：（1）HL；（4）BA【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，應用與設計作圖，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關鍵，閱讀量較大，審題要認真仔細25問題背景：如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，BAD=120，B=ADC=90E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點且EAF=60探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關系小王同學探究此問題的方法是，延長FD到點G使DG=BE連結AG，先證明ABEADG，再證明AEFAGF，可得出結論，他的結論應是EF=BE+DF；探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，B+D=180E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且EAF=BAD，上述結論是否仍然成立，并說明理由；實際應用：如圖3，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50的方向以80海里/小時的速度前進.1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70，試求此時兩艦艇之間的距離【考點】全等三角形的判定與性質【專題】壓軸題；探究型【分析】問題背景：根據(jù)全等三角形對應邊相等解答；探索延伸：延長FD到G，使DG=BE，連接AG，根據(jù)同角的補角相等求出B=ADG，然后利用“邊角邊”證明ABE和ADG全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AE=AG，BAE=DAG，再求出EAF=GAF，然后利用“邊角邊”證明AEF和GAF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得EF=GF，然后求解即可；實際應用：連接EF，延長AE、BF相交于點C，然后求出EOF=AOB，判斷出符合探索延伸的條件，再根據(jù)探索延伸的結論解答即可【解答】解：問題背景：EF=BE+DF；探索延伸：EF=BE+DF仍然成立證明如下：如圖，延長FD到G，使DG=BE，連接AG，B+ADC=180，ADC+ADG=180，B=ADG，在ABE和ADG中，ABEADG（SAS），AE=AG，BAE=DAG，EAF=BAD，GAF=DAG+DAF=BAE+DAF=BADEAF=EAF，EAF=GAF，在AEF和GAF中，AEFGAF（SAS），EF=FG，F(xiàn)G=DG+DF=BE+DF，EF=BE+DF；實際應用：如圖，連接EF，延長AE、BF相交于點C，AOB=30+90+（9070）=140，EOF=70，EOF=AOB，又OA=OB，OAC+OBC=（9030）+（70+50）=180，符合探索延伸中的條件，結論EF=AE+BF成立，即EF=1.5（60+80）=210海里答：此時兩艦艇之間的距離是210海里【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，讀懂問題背景的求解思路，作輔助線構造出全等三角形并兩次證明三角形全等是解題的關鍵，也是本題的難點26如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC與BD相交于O點，OC=OA，若E是CD上任意一點，連接BE交AC于點F，連接DF（1）證明：CBFCDF；（2）若AC=2，BD=2，求四邊形ABCD的周長；（3）請你添加一個條件，使得EFD=BAD，并予以證明【考點】全等三角形的判定與性質；勾股定理；菱形的判定與性質【專題】幾何綜合題；開放型【分析】（1）首先利用SSS定理證明ABCADC可得BCA=DCA即可證明CBFCDF（2）由ABCADC可知，ABC與ADC是軸對稱圖形，得出OB=OD，COB=COD=90，因為OC=OA，所以AC與BD互相垂直平分，即可證得四邊形ABCD是菱形，然后根據(jù)勾股定理全等AB長，進而求得四邊形的面積（3）首先證明BCFDCF可得CBF=CDF，再根據(jù)BECD可得BEC=DEF=90，進而得到EFD=BCD=BAD【解答】（1）證明：在ABC和ADC中，ABCADC（SSS），BCA=DCA，在CBF和CDF中，CBFCDF（SAS），（2）解：ABCADC，ABC和ADC是軸對稱圖形，OB=OD，BDAC，OA=OC，四邊形ABCD是菱形，AB=BC=CD=DA，AC=2，BD=2，OA=，OB=1，AB=2，四邊形ABCD的周長=4AB=42=8（3）當EBCD時，即E為過B且和CD垂直時垂線的垂足，EFD=BCD，理由：四邊形ABCD為菱形，BC=CD，BCF=DCF，BCD=BAD，BCFDCF，CBF=CDF，BECD，BEC=DEF=90，BCD+CBF=90，EFD+CDF=90，EFD=BAD12283577【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質，以及菱形的判定與性質，全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具27如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點E、B、D、F在同一直線上，且BE=DF求證：AE=CF【考點】全等三角形的判定與性質；平行四邊形的性質【專題】證明題【分析】根據(jù)平行四邊形的對邊相等可得AB=CD，ABCD，再根據(jù)兩直線平行，內錯角相等可得ABD=CDB，然后求出ABE=CDF，再利用“邊角邊”證明ABE和CDF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等證明即可【解答】證明：四邊形ABCD是平行四邊形，AB=CD，ABCD，ABD=CDB，180ABD=180CDB，