廣東省中山一中等七校高三第二次（12月）聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題及答案

寶安中學(xué) 潮陽一中 桂城中學(xué) 南海中學(xué) 普寧二中 中山一中 仲元中學(xué) 20142015學(xué)年度 高三第二次聯(lián)考 理 科 數(shù) 學(xué) 命題人: 南海中學(xué) 錢耀周本試卷共4頁,21小題,滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前,考生務(wù)必填寫好答題卷上的有關(guān)項(xiàng)目. 2.選擇題每小題選出答案后,用2B鉛筆把答案涂在答題卷的相應(yīng)位置上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)；如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卷的整潔.考試結(jié)束后,將答題卷交回.一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,滿分40分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 復(fù)數(shù)(其中為虛數(shù)單位)的虛部為( ) A B C D2命題“,”的否定是( )A, B,C, D,3. 設(shè)向量,且,方向相反,則的值是( ) A B C D4. 下列四個(gè)函數(shù)中,最小正周期為,且圖象關(guān)于直線對稱的是( )A B C D圖15已知三個(gè)正態(tài)分布密度函數(shù)(,)的圖象如圖所示,則( )A,B,C,D,6已知在上是奇函數(shù),且滿足,當(dāng)時(shí),則()A B C D7已知雙曲線的中心在原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)為,點(diǎn)在雙曲線上,且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為,則此雙曲線的方程是( )A B C D8. 由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì).直到1872年,德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā),用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)(史稱戴德金分割),并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上,才結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的時(shí)代,也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī).所謂戴德金分割,是指將有理數(shù)集劃分為兩個(gè)非空的子集與,且滿足,中的每一個(gè)元素都小于中的每一個(gè)元素,則稱為戴德金分割.試判斷,對于任一戴德金分割,下列選項(xiàng)中,不可能成立的是( )A沒有最大元素,有一個(gè)最小元素 B沒有最大元素,也沒有最小元素C有一個(gè)最大元素,有一個(gè)最小元素 D有一個(gè)最大元素,沒有最小元素二、填空題:本大題共7小題,考生作答6小題,每小題5分,滿分30分）(一)必做題(913題)9. 一支田徑隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員人,女運(yùn)動(dòng)員人,現(xiàn)按性別用分層抽樣的方法,從中抽取位運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行健康檢查,則男運(yùn)動(dòng)員應(yīng)抽取_人.4434正視圖側(cè)視圖俯視圖圖210.一個(gè)幾何體的三視圖(單位:)如圖所示,則該幾何體的體積是_.開始否輸出結(jié)束是圖311.某程序框圖如圖所示,該程序運(yùn)行后,輸出的值為,則等于_.12.若(),記,則的值為_.13.已知為平面內(nèi)的一個(gè)區(qū)域.:點(diǎn)；:點(diǎn).如果是的充分條件,那么區(qū)域的面積的最小值是_(二)選做題（14、15題,考生只能從中選做一題,兩題全答的,只計(jì)前一題的得分）ABCDPO圖414.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講選做題)在直角坐標(biāo)系中,已知曲線:(為參數(shù))與曲線:(為參數(shù))相交于、兩點(diǎn),則線段的長為 .15.(幾何證明選講選做題)如圖,、為的兩條割線,若,則 .三、解答題:本大題共6小題,滿分80分,解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16.(本題滿分12分)設(shè)的內(nèi)角所對邊的長分別為,且.() 求的度數(shù)； () 若,求的面積.17.(本題滿分12分)某中學(xué)校本課程共開設(shè)了共門選修課,每個(gè)學(xué)生必須且只能選修門選修課,現(xiàn)有該校的甲、乙、丙名學(xué)生.() 求這名學(xué)生選修課所有選法的總數(shù)；() 求恰有門選修課沒有被這名學(xué)生選擇的概率；() 求選修課被這名學(xué)生選擇的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.18.(本題滿分14分)如圖,三棱柱中,平面平面,CC1B1AA1BD圖5與相交于點(diǎn).() 求證:平面；() 求二面角的余弦值.19.(本題滿分14分)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為,且().() 求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式； () 記數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:()；20.(本題滿分14分)已知兩點(diǎn)、,動(dòng)點(diǎn)與、兩點(diǎn)連線的斜率、滿足.() 求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（）是曲線與軸正半軸的交點(diǎn),曲線上是否存在兩點(diǎn)、,使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在,請說明有幾個(gè)；若不存在,請說明理由.21.(本題滿分14分)已知函數(shù),(其中).() 如果函數(shù)和有相同的極值點(diǎn),求的值,并直接寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；() 求方程在區(qū)間上實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù).2015屆七校第二次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分題號12345678答案ABCCDAAC二、填空題：本題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，共30分必做題9； 10； 11； 12； 13.； 選做題14； 15.三、解答題:本大題共6小題,滿分80分,解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16.【解析】() 因?yàn)?所以, 2分又,所以,所以, 4分因?yàn)?所以. 6分() 在中, 由余弦定理可得,8分即,解得或(舍去) 10分所以 12分17.【解析】()每個(gè)學(xué)生有四個(gè)不同選擇,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,選法總數(shù) 2分 () 設(shè)“恰有門選修課沒有被這名學(xué)生選擇”為事件,則,即恰有門選修課沒有被這名學(xué)生選擇的概率為.5分() 的所有可能取值為,且, , 9分所以的分布列為10分所以的數(shù)學(xué)期望.12分或:因?yàn)檫x修課被每位學(xué)生選中的概率均為,沒被選中的概率均為.所以的所有可能取值為,且, , 9分所以的分布列為10分所以的數(shù)學(xué)期望.12分18.【解析】()依題意,側(cè)面是菱形,是的中點(diǎn),因?yàn)?所以,又平面平面,且平面,平面平面所以平面.5分()傳統(tǒng)法由()知平面,面,所以,CC1B1AA1BDH第18題傳統(tǒng)法圖 又,所以平面,過作,垂足為,連結(jié),則,所以為二面角的平面角. 9分在中,所以,12分所以,即二面角的余弦值是. 14分 向量法以為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示, 6分由已知可得 C1B1ACA1BDxzy第18題向量法圖故, 則,8分設(shè)平面的一個(gè)法向量是,則,即,解得令,得11分顯然是平面的一個(gè)法向量, 12分所以,即二面角的余弦值是.14分19.【解析】()當(dāng)時(shí),解得或(舍去) 2分當(dāng)時(shí),相減得,4分即,又,所以,則,所以是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,故 6分() 證法一:當(dāng)時(shí), 7分當(dāng)時(shí),10分所以. 綜上,對任意,均有成立.14分證法二:當(dāng)時(shí), 7分當(dāng)時(shí),先證,即證顯然成立.所以10分所以, 綜上,對任意,均有成立.14分20.【解析】()設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(),則,2分依題意,所以,化簡得,4分所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為().5分 注:如果未說明(或注),扣1分.（）設(shè)能構(gòu)成等腰直角,其中為,由題意可知,直角邊,不可能垂直或平行于軸,故可設(shè)所在直線的方程為,(不妨設(shè)),則所在直線的方程為7分聯(lián)立方程,消去整理得,解得,將代入可得,故點(diǎn)的坐標(biāo)為.所以,9分同理可得,由,得,所以,整理得,解得或11分 當(dāng)斜率時(shí),斜率；當(dāng)斜率時(shí),斜率；當(dāng)斜率時(shí),斜率, 綜上所述,符合條件的三角形有個(gè).14分21.【解析】(),則, 1分令,得或,而二次函數(shù)在處有極大值,所以或,解得或； 4分當(dāng)時(shí),的遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為.5分當(dāng)時(shí),的遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為.6分(),8分令, 當(dāng)即時(shí),無實(shí)根,故原方程的解為,滿足題意,即原方程有唯一實(shí)數(shù)解；9分 當(dāng)即或時(shí), 若,則的實(shí)數(shù)解為,故原方程在區(qū)間上有唯一實(shí)數(shù)解；若,則的實(shí)數(shù)解為,故原方程在區(qū)間上有兩實(shí)數(shù)解,或；10分 當(dāng)即或時(shí),若,由于,此時(shí)在區(qū)間上有一實(shí)數(shù)解,故原方程有唯一實(shí)數(shù)解； 11分若時(shí),由于,當(dāng)即時(shí),在區(qū)間上有唯一實(shí)數(shù)解,故原方程有一實(shí)數(shù)解；若即時(shí),在區(qū)間上無實(shí)數(shù)解,故原方程有無實(shí)數(shù)解；13分綜上,當(dāng)時(shí),原方程在上無實(shí)數(shù)解；當(dāng)或時(shí),原方程在上有唯一實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí),原方程在上有兩不等實(shí)數(shù)解.14分- 14 -