[小學一年級]一年級數(shù)學應(yīng)用題

同學們已經(jīng)知道，下面的五組成對的數(shù)相加之和都等于10：1+9=102+8=103+7=104+6=105+5=10巧用這些結(jié)果，可以使計算又快又準。例1 計算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10解：對于這道題，當然可以從左往右逐步相加：1+2=3 3+3=66+4=10 10+5=1515+6=21 21+7=2828+8=36 36+9=4545+10=55這種逐步相加的方法，好處是可以得到每一步的結(jié)果，但缺點是麻煩、容易出錯；而且一步出錯，以后步步都錯。若是利用湊十法，就能克服這種缺點。二、湊整法同學們還知道，有些數(shù)相加之和是整十、整百的數(shù)，如：1+19=20 11+9=302+18=20 12+28=403+17=20 13+37=504+16=20 14+46=605+15=20 15+55=706+14=20 16+64=807+13=20 17+73=908+12=20 18+82=1009+11=20又如：15+85=100 14+86=10025+75=100 24+76=10035+65=100 34+66=10045+55=100 44+56=100等等巧用這些結(jié)果，可以使那些較大的數(shù)相加又快又準。像10、20、 30、40、50、60、70、80、90、100等等這些整十、整百的數(shù)就是湊整的目標。例2 計算1+3+5+7+9+11+13+15+17+19解：這是求1到19共10個單數(shù)之和，用湊整法做：100例3 計算2+4+6+8+10+12+14+16+18+20解：這是求2到20共10個雙數(shù)之和，用湊整法做：110例4 計算2+13+25+44+18+37+56+75解：用湊整法：三、用已知求未知 利用已經(jīng)獲得較簡單的知識來解決面臨的更復(fù)雜的難題這是人們認識事物的一般過程，湊十法、湊整法的實質(zhì)就是這個道理，可見把這種認識規(guī)律用于計算方面，可使計算更快更準。下面再舉兩個例子。例5 計算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20解：由例2和例3，已經(jīng)知道從1開始的前10個單數(shù)之和以及從2開始的前10個雙數(shù)之和，巧用這些結(jié)果計算這道題就容易了。1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20=（1+3+5+7+9+11+13+15+17+19）+（2+4+6+8+10+12+14+16+18+20）=100+110（這步利用了例2和例3的結(jié)果）=210例6 計算 5+6+7+8+9+10解：可以利用前10個自然數(shù)之和等于55這一結(jié)果。5+6+7+8+9+10=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）-（1+2+3+4）（熟練后，此步驟可省略）=55-10=45四、改變運算順序在只有加減運算的算式中，有時改變加、減的運算順序可使計算顯得十分巧妙！例7 計算10-9+8-7+6-5+4-3+2-1解：這題如果從左到右按順序進行加減運算，是能夠得出正確結(jié)果的。但因為算式較長，多次加減又繁又慢且容易出錯。如果改變一下運算順序，先減后加，就使運算顯得非?！捌痢薄Ｏ率嚼ㄌ栔械乃闶奖硎鞠人?，10-9+8-7+6-5+4-3+2-1=（10-9）+（8-7）+（6-5）+（4-3）+（2-1）=1+1+1+1+1=5五、帶著“+”、“-”號搬家例8 計算1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11解：這題只有加減運算，而且1-2不夠減。我們可以采用帶著加減號搬家的方法解決。要注意每個數(shù)自己的符號就是這個數(shù)前面的那個“+”號或“-”號，搬家時要帶著符號一起搬。1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11=1+3-2+5-4+7-6+9-8+11-10=1+（3-2）+（5-4）+（7-6）+（9-8）+（11-10）先減后加=1+1+1+1+1+1=6在這道題的運算中，把“+3”搬到“-2”的前面，把“+5”搬到了“-4”的前面，把“+11”搬到了“-10”的前面，這就叫帶著符號搬家。巧妙利用這種搬法，可以使計算簡便。習題一1計算：13+14+15+16+17+252計算：2+3+4+5+15+16+17+18+203計算：21+22+23+24+25+26+27+28+294計算：5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+205計算：22-20+18-16+14-12+10-8+6-4+2-06計算：10-20+30-40+50-60+70-80+907計算：（2+4+6+8+10）-（1+3+5+7+9）8計算：（2+4+6+20）-（1+3+5+19）9計算：（2+4+6+100）-（1+3+5+99）第二講 速算與巧算（二）例1 哥哥和妹妹分糖。哥哥拿1塊，妹妹拿2塊；哥哥拿3塊，妹妹拿4塊；接著哥哥拿5塊、7塊、9塊、11塊、13塊、15塊，妹妹拿6塊、8塊、10塊、12塊、14塊、16塊。你說誰拿得多，多幾塊？解：方法1：先算哥哥共拿了多少塊？再算妹妹共拿了多少塊？72-64=8（塊）方法2：這樣想：先算每次妹妹比哥哥多拿幾塊，再算共多拿了多少塊。(2-1)+(4-3)+(6-5)+(8-7)+(10-9)+(12-11)+(14-13)+(16-15)=1+1+1+1+1+1+1+1=8（塊）可以看出方法2要比方法1巧妙！平時注意積累，記住一些有趣的和重要的運算結(jié)果，非常有助于速算。比如，請同學記住幾個自然數(shù)相加之和：1+2=31+2+3=61+2+3+4=101+2+3+4+5=151+2+3+4+5+6=211+2+3+4+5+6+7=281+2+3+4+5+6+7+8=361+2+3+4+5+6+7+8+9=451+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55例2 星期天，小明家來了9名小客人。小明拿出一包糖，里面有54塊。小明說：“咱們一共10個人，每人都要分到糖，但每人分到的糖塊數(shù)不能一樣多，誰會分？”結(jié)果大家都無法分，你能幫他們分好嗎？解：按小明提的要求確實無法分。因為要使得每個人都得到糖，糖塊數(shù)人人不等，需要糖塊數(shù)最少的分法是：第一人分到1塊，第二人分到2塊，第十人分到10塊。但是，這種分法共需要有1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55（塊）而小明這包糖一共才54塊，所以按這種方法無法分。如果改變一下，有一人少得1塊糖，比如說，應(yīng)該得10塊糖的小朋友只分到了9塊，但是這樣一來，他就和另一個先分得9塊糖的那個小朋友一樣多了，這又不符合小明提出“每人分到的糖塊數(shù)不能一樣多”的要求。（注意：“按小明提的要求無法分”就是此題的答案。在數(shù)學上“無解”也叫問題的答案。）例3 時鐘1點鐘敲1下，2點鐘敲2下，3點鐘敲3下，照這樣敲下去，從1點到12點，這12個小時時鐘共敲了幾下？解：這是一道美國小學奧林匹克試題，要求在3分鐘內(nèi)就要得出答案。方法1：湊十法方法2：如果能記住從1到10前十個自然數(shù)之和是55，計算會更快。（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+11+12=55+11+12=78（下）習題二1三個小朋友分5塊糖。要求每人都分到糖，但每人分到的糖塊數(shù)不能一樣多，你能分嗎？2把16只小雞分別裝進5個籠子里，每個籠子里都要有雞，而且每個籠子里的雞的只數(shù)也不能相同，如何分裝？按同樣要求，把15只小雞裝進5個籠子能辦得到嗎？按同樣要求，把14只小雞分裝到5個籠子能辦得到嗎？3把100塊糖分給10個小朋友。要求每人都分到單數(shù)塊糖，而且每人分到糖塊數(shù)都不一樣，如何分？把99塊糖按同樣要求分給10個小朋友，你能分嗎？4從1到20這20個數(shù)中，所有的雙數(shù)之和與所有的單數(shù)之和的差是多少？5小方家的鐘除了幾點鐘敲幾下外，每半點鐘也敲一下。比如說，0點半敲1下，1點鐘敲1下，1點半敲1下，2點敲2下，2點半敲1下，照這樣敲下去，從夜里0點開始，計到白天中午12點鐘，在這12個小時之內(nèi)時鐘共敲了多少下？習題二解答1答案是不能分。所需糖塊數(shù)最少的一種分法是：第1個人分1塊，第2個人分2塊，第3個人分3塊，這樣三個人共需要有1+2+3=6（塊），但總的糖塊數(shù)只有5塊，不夠分。如果第3個人也分得2塊，這樣糖是夠分了，但是這樣就有2個人分得糖塊數(shù)一樣多了，又不符合分糖的要求了。25只籠子裝16只小雞的裝法是1，2，3，4，6。1+2+3+4+6=16（只）5只籠子裝15只小雞的裝法是1，2，3，4，5。1+2+3+4+5=15（只）5只籠子裝14只小雞，要求每籠都有雞，而且籠籠雞數(shù)不等，無法分裝。3記住1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100立即可知100塊糖按要求分給10個人的分法是：各人所得糖塊數(shù)分別為1，3，5，7，9，11，13，15，17，19。99塊糖按要求分給10個小朋友無法分。4解：方法1：單數(shù)之和：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100雙數(shù)之和：2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=110差：110-100=10方法2：改變運算順序(2+4+6+8+10+12+14+16+18+20)-(1+3+5+7+9+11+13+15+17+19)=(2-1)+(4-3)+(6-5)+(8-7)+(10-9)+(12-11)+(14-13)+(16-15)+(18-17)+(20-19)=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=105解：先記錄時鐘敲的整點數(shù)和半點數(shù)如下：列算式求和，并改變運算順序：1+1+1+2+1+3+1+4十1+5+1+6+1+7+1+8+1+9+1+10+1+11+1+12=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12)+(1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1)=78+12=90（下）第四講 數(shù)數(shù)與計數(shù)（二）數(shù)數(shù)與計數(shù)時，注意不應(yīng)漏掉，不應(yīng)重復(fù)。如果漏掉了，要加上；如果重復(fù)了，要減掉。例1 小朋友排隊，小紅前面4個人，后面3個人，問這隊共有幾個人？解：這隊的總?cè)藬?shù)要數(shù)上小紅，所以是4+3+1=8（人）。例2 排好隊，來報數(shù)，正著報數(shù)我報七，倒著報數(shù)我報九，一共多少小朋友？解：見下圖正著報數(shù)“我”報了一次，倒著報數(shù)“我”又報了一次，所以把兩次報數(shù)加起來時，“我”被加了兩次。因此算這隊的總?cè)藬?shù)時，應(yīng)從兩次報數(shù)之和減1。7+9-1=15（人）。也可以這樣想：正著報數(shù)報到我為止，倒著報數(shù)時，我就不報了，只報到我的后面相鄰的那個人他應(yīng)該報8，所以全隊總?cè)藬?shù)是：7+（9-1）=15（人）。例3 少先隊員排成隊去參觀科技館。從排頭數(shù)起劉平是第20個；從排尾數(shù)起，張英是第23個。已知劉平的前一個是張英。問這隊少先隊員共有多少人？解：畫示意圖，用點代表少先隊員。由圖可見，從排頭數(shù)起時，把張英和劉平數(shù)了一次。由排尾數(shù)起時，又把劉平和張英數(shù)了一次，可見把他兩人多數(shù)了一次，所以點總?cè)藬?shù)時，應(yīng)減去多數(shù)的那一次才對。20+23-2=41（人）。例4 45個小朋友排成一隊去春游。從排頭往后數(shù)，小剛是第19個；從排尾往前數(shù)，小莉是第12個，問小剛和小莉中間有幾個人？解：畫示意圖。用點“”代表人由圖可見，小剛和小莉中間的人數(shù)是：45-（19+12）=14（人）。例5 一班同學做花，做紅花的有38人，做黃花的有39人，沒有做花的有3人。如果全班55人，那么既做紅花又做黃花的有多少人？解：畫圖如下：由圖可見，做花的人：55-3=52（人）。圖中陰影部分表示兩色花都做的人：38+39-52=25（人）。習題四1學生排成一隊，在小進的前面有6人，后面有8人，問這隊共有多少人？212輛汽車組成一列車隊向前行進。從前面數(shù)起，紅色的小轎車是第7輛。問從后面數(shù)它是第幾輛？3游泳池里男生都戴藍帽，女生都戴紅帽。池中一個男生小強邊看邊數(shù)，他看見藍帽4個，紅帽5個。問池中男女生共多少人？4說稀奇、道稀奇，鴨子隊里有只雞。正著數(shù)它第六，倒著數(shù)它第七。請你幫助算一算，小鴨一共有幾只？5一個小組的小學生共有5人，已知他們都做了語文作業(yè)或數(shù)學作業(yè)。又知做完語文作業(yè)的有3人，做完數(shù)學作業(yè)的有4人。問語文和數(shù)學作業(yè)都做完的有幾人？6在100名學生中統(tǒng)計，有65人會騎自行車，有73人會游泳，有10人既不會騎自行車又不會游泳。問既會騎自行車又會游泳的人有多少？7某班有學生45人，訂閱中國少年報的有29人，訂閱小朋友的有28人，其中兩種都訂閱的有16人，問兩種刊物都沒有訂閱的人有多少？習題四解答1解由圖可知：總?cè)藬?shù)是6+8+1=15人。2解：方法1：數(shù)一數(shù)；先畫示意圖如下，用代表紅色小轎車，用代表其他車。從后面往前數(shù)一數(shù)，紅色小轎車是第6輛。方法2：算一算；這隊車共有12輛，從前面往后數(shù)，紅色小轎車是第7輛，所以紅色小轎車前面有7-1=6輛車，因此從后面往前數(shù)，紅色小轎車是第12-6=6輛。3解：畫示意圖如下：因為男生小強邊看邊數(shù)時，沒有看見自己的藍帽，他把自己漏數(shù)了。所以算總?cè)藬?shù)時，要把他加上，即4+5+1=10（人）。4解：畫示意圖，用代表小鴨，用代表小雞。由圖可見，正數(shù)算上了小雞，倒數(shù)也算上了小雞。這樣兩數(shù)之和6+7=13中，把小雞計算了兩次。所以求小鴨的數(shù)目時就要減去兩個小雞。6+7-2=11（只）。5解：畫示意圖如下：兩種作業(yè)都做完的人既算在了做完語文作業(yè)的3人中，又算在了做完數(shù)學作業(yè)的4人中，因此這部分人被多算了一次，（如圖中陰影部分所示）所以兩種作業(yè)都做完的人數(shù)是：3+4-5=2（人）。6解：畫圖如下：由圖可知：會騎車或是會游泳的總?cè)藬?shù)是100-10=90（人）。兩種都會的人數(shù)是65+73-90=48（人）。（圖中陰影部分所示）7解：畫示意圖如下：因為至少訂1份刊物的人：28+29-16=41（人）。兩種刊物都沒有訂的人：45-41=4（人）。第五講 數(shù)數(shù)與計數(shù)（三）例1小朋友，張開手，五個手指人人有。手指之間幾個“空”，請你仔細瞅一瞅？（注）“瞅一瞅”就是“看一看”的意思。解：見右圖看一看、數(shù)一數(shù)可知：5個手指間有4個“空”?！翱铡庇纸小伴g隔”，也就是，人的一只手有5個手指4個間隔。例2 小朋友在一段馬路的一邊種樹。每隔1米種一棵，共種了11棵，問這段馬路有多長？解：畫示意圖如下：由圖可見，這段馬路的11棵樹之間有10個“空”，也就是10個間隔。每個間隔長1米，10個間隔長10米。也就是說這段馬路長10米。像這類問題一般叫做“植樹問題”?？梢缘贸鲆粋€公式：當兩頭都種樹時：例3 把一根粗細一樣的木頭鋸成5段，需要4分鐘。如果把這根木頭鋸成10段，需要幾分鐘？如果把這根木頭鋸成100段，需要幾分鐘？解：畫出示意圖：由圖可見，把木頭鋸成5段，只需鋸4次。所以鋸一次需1分鐘。同樣道理，把這根木頭鋸成10段，只需鋸9次，所以需9分鐘。同理，把這根木頭鋸成100段，只需鋸99次，所以需99分鐘。例4 鼓樓的鐘打點報時，5點鐘打5下需要4秒鐘。問中午12點時打12下需要幾秒鐘？解：畫示意圖。鐘打一下用一個點代表，打5下畫5個點。由圖可見，鐘打5下中間有4個時間間隔，4個間隔是4秒鐘，每個間隔就是1秒鐘。由此推理鐘打12下時有12-1=11個時間間隔，故用11秒鐘。習題五1一隊男生8人。老師要求在2名男生中間插進1名女生，問可插進多少女生？2小冬用12張紙訂成一個本子。從頭數(shù)起，每隔3紙夾進一片樹葉，問這個本子內(nèi)共放進多少片樹葉？3在一條20米長的小路兩旁種小松樹，如果每隔5米種一棵，而且兩頭都種樹，問這段小路上共種多少棵？4一根鋼管長6米，每分鐘鋸下1米，幾分鐘鋸?fù)辏?一根木頭鋸成4段，要付鋸工費1元。如果要把這根木頭鋸成13段，要付鋸工費多少元？6小明與爸爸一同上樓。小明上得快、爸爸上得慢，小明上2層，爸爸上1層。問小明上到五樓時，爸爸上到幾樓？7沿著跑道插著11面旗，旗與旗離得一樣遠，第一面旗插在起點。運動員從起點起跑經(jīng)過6秒鐘到達第6面旗，問運動員到達第11面旗時，需要跑11秒鐘嗎？8三點鐘時，掛鐘打響三下，用了12秒。到六點鐘時，掛鐘打響六下，要用幾秒鐘？習題五解答1解：方法1：按老師要求，在2名男生中間插進1名女生后，寫出隊伍的排外情況是：男女男女男女男女男女男女男女男數(shù)一數(shù)，可知插進的女生共7人。方法2：也可以這樣想：這道題中，把男生看成“樹”，把女生看成“間隔”，就能按植樹問題的公式解這道題。因為兩頭都是男生，就像兩頭都有樹一樣，女生數(shù)應(yīng)等于男生數(shù)減1，即8-1=7（人）。2解：畫示意圖如下：可以這樣想：把每3張紙粘在一起成為一張“厚紙”，12張紙共粘成4張厚紙。按題目要求，相當于每兩張厚紙之間放入一片樹葉，可知共放入3片樹葉。3解：畫示意圖如下：（只畫一旁種樹情況）由圖可見，每5米為一段，20米長的路可分為4段，由于路兩端都要種樹，所以種的棵樹等于段數(shù)加1，即一旁種樹4+1=5（棵），兩旁共種5+5=10（棵）。4解：畫示意圖如下：由圖可見，把6米長的鋼管鋸成1米長的6段，只需鋸6-1=5（次），題中說，每分鐘鋸下1米，就是說鋸1次需要1分鐘，所以鋸5次需5分鐘即5分鐘把鋼管鋸?fù)辍?解：把一根木頭鋸成4段只需鋸4-1=3次，按題意付鋸工費1元。當把這根木頭鋸成13段時只需鋸13-1=12次，每鋸3次付費1元，鋸12次應(yīng)付鋸工費4元。6解：見右圖當小明跑五樓時，實際上跑過了4層樓梯，所以爸爸此時只走過了2層樓梯，即走到了三樓。7解：畫出示意圖：在起點插著第一面旗，但在起點運動員起跑時，時間是從0秒開始計時的。運動員跑到第六面旗時，實際上是跑了5段間隔，這時他用了6秒鐘的時間；當他跑到第11面旗時，實際上又跑了5段間隔，所以又用了6秒鐘，總起來共用了12秒鐘，而不是11秒鐘。8解：“當當當”鐘打響了三下，三響之間的間隔是兩次，兩個時間間隔用12秒，一個時間間隔就是122=6（秒）。如果鐘打六下，六響之間的間隔是5次，因而鐘打六下要65=30（秒）。第六講 數(shù)數(shù)與計數(shù)（四）本講采用枚舉法解決數(shù)數(shù)與計數(shù)的問題。比如老奶奶數(shù)雞蛋，她小心翼翼地把雞蛋從藍子里一個一個地往外拿，邊拿邊數(shù)?；@子里的雞蛋拿光了，有多少個雞蛋也就數(shù)出來了。這種最簡單的數(shù)數(shù)與計數(shù)的方法就叫做枚舉法。例1 用分別寫有數(shù)字1和2的兩張紙片，能夠排出多少個不同的二位數(shù)？解：用代表這兩張紙片。把所有可能的排法枚舉出來，可知能排出兩個二位數(shù)來。它們是：例2 用分別寫有數(shù)字0，1，2的三張紙片能排出多少個不同的二位數(shù)？解：因為“0”不能作為首位數(shù)字，所以只能排出4個二位數(shù)，它們是：1作十位數(shù)字，0或2作個位數(shù)字：2作十位數(shù)字，0或1作個位數(shù)字：例3 用分別寫有數(shù)字1，2，3的三張紙片能排出多少不同的三位數(shù)？解：用枚舉法，即把所有可能排出的每一個三位數(shù)都寫出來。再數(shù)一數(shù)共有多少個。共6個不同的三位數(shù)。例4 小明左邊抽屜里放有三張數(shù)字卡片右邊抽屜里也放有三張卡片。如果他每次從左右兩邊抽屜里任意各拿一張出來，組成一個二位數(shù)，在紙上記下來之后，再把卡片放回各自原來的抽屜里。然后再拿、再組數(shù)、再記、再放回這樣一直做下去，問他一共可能組成多少個不同的二位數(shù)？解：不妨假設(shè)小明先從左邊抽屜拿，把拿出的數(shù)字卡片排在十位；再從右邊抽屜拿，把拿出的數(shù)字卡片排在個位。下面是記下來的所有不同的二位數(shù)：11，12，13，21，22，23，31，32，33。共9個不同的二位數(shù)。例5 有一群人，若規(guī)定每兩個人都握一次手而且只握一次手，求他們共握多少次手？假設(shè)這群人是：兩個人，三個人，四個人解：畫圖。用點“”代表人。如果兩人握一次手就在兩個點之間連一條線。那么，點和點之間連線的條數(shù)就代表握手的次數(shù)。見以下的圖。兩個人：兩點之間只能連一條線，表示兩個人共握1次手。三個人：三點之間有三條連線，表示三個人共握3次手。四個人：四點之間有六條連線，表示四個人共握6次手。例6 鐵路上的火車票價是根據(jù)兩站距離的遠近而定的，距離愈遠，票價愈高。如果一段鐵路上共有五個車站，每兩站間的距離都不相等，問這段鐵路上的火車票價共有多少種？解：如圖所示，用一條線段表示這段鐵路，用線段上的五個點代表五個車站，各點間距離不同表示各車站間距離不同，因而票價不同。由圖可見，各段長度不同的線段就表示各種不同的票價。數(shù)一數(shù)，票價種數(shù)是：4+3+2+1=10種。例7 小明到小華家有甲、乙兩條路，小華到小英家有a，b，c三條路（如下圖所示）。小明經(jīng)過小華家去找小英，他想每次都不走完全重復(fù)的路線，問有多少種不同的走法？解：共有6種不同的走法，見下圖。習題六1用三張數(shù)字卡片，可以排出多少個不同的三位數(shù)？其中最大的比最小的大多少？2有四張數(shù)字卡片從中抽出三張組成三位數(shù)，問這些卡片可能組成多少個不同的三位數(shù)？3用兩套數(shù)字卡片可組成多少個不同的二位數(shù)？4在一次小學數(shù)學競賽的領(lǐng)獎臺上有五名同學上臺領(lǐng)獎，他們每兩個人都互相握了一次手。問他們共握了多少次手？5全區(qū)六所小學舉行小足球賽，每個學校派出一個代表隊，要求規(guī)定每兩個校隊之間都要賽一場，問一共要賽多少場？6右圖是小英家和學校之間的街道圖。問小英去上學時，共有多少種不同的走法？（不準故意繞遠走）7如右圖所示，一只螞蟻從一個正方體的A點沿著棱爬向B點，如不故意繞遠，一共有幾種不同的走法？習題六解答1解：注意，0不能當作首位數(shù)字。所能排出的三位數(shù)字共有4個。它們是：407，470，704，740。最大的數(shù)是740，最小的數(shù)是407。最大的數(shù)比最小的數(shù)大740-407=333。2解：注意0不能當作首位數(shù)字。所能排出的三位數(shù)字共18個。102，104，120，124，140，142；201，204，210，214，240，241；401，402，410，412，420，421。3解：共組成25個不同的二位數(shù)。11，12，13，14，15；21，22，23，24，25；31，32，33，34，35；41，42，43，44，45；51，52，53，54，55。4解：畫圖。用點代表人，用兩點之間的連線代表兩個人的一次握手。按這種規(guī)定連線的總條數(shù)就是握手的總次數(shù)。數(shù)一數(shù)，共有10條連線，所以共握手10次。5解：共賽15場。見下圖。方法1：如右圖所示這樣數(shù)：一小和二小、三小、四小、五小、六小共賽5場；二小再和三小、四小、五小、六小共賽4場；（二小不能再和一小賽，因為它們已經(jīng)比賽過了，下同）三小再和四小、五小、六小共賽3場；四小再和五小、六小共賽2場；五小再和六小共賽1場。比賽場次總數(shù)：5+4+3+2+1=15（場）。方法2：每個學校都要和其他的五個學校各賽一場，共5場。因而六個學校所賽的場次是56=30場。但是這樣計算還有個問題，比如說一小和二小賽了一場，這一場比賽被兩個學校都計算在了自己所賽的場次里，因而被計了兩次。所以總場數(shù)也就多計了一倍。也就是說，六個學校實際賽的總場次數(shù)是302=15（場）。6解：小英由家到學校共有6種走法，見下圖粗黑線所示。7解：螞蟻沿著棱由A點爬到B點有6種不同的走法，見下圖粗黑線所示。第七講 填圖與拆數(shù)（一）例1 如右圖，把3、4、6、7四個數(shù)填在四個空格里，使橫行、豎行三個數(shù)相加都得14。怎樣填？解：先看豎行，最上格中已有個5。要使5+（ ）=14，括號里的數(shù)就要填9。把9拆成兩個數(shù)：9=3+6，（因為3和6是題中給出的數(shù)）分別填在豎行的兩個空格里。但進一步想，應(yīng)該把哪一個填在中間空格里呢？這就需要看橫行。橫行兩頭的空格應(yīng)填剩下的兩個數(shù)4和7，因為4和7相加和為11，而11+3=14，可見中間空格應(yīng)填3。例2 如圖所示。在圓圈里填上不同的數(shù)，使每條直線上三個數(shù)相加之和都等于12。解：見下圖（1）、（2）、（3）。把12分拆成三個不同的數(shù)相加之和，得七種分拆方式：12=9+2+1 12=8+3+112=7+4+1 12=7+3+212=6+5+1 12=6+4+212=5+4+3從各式中選擇有一個相同加數(shù)的兩個式子。12=1+5+6和12=1+4+7兩式，將相同的加數(shù)1填在中間圓圈里，不同的加數(shù)分別填在橫行和豎行的其他圓圈里。答案有很多種不同的填法，這里只填了三種，同學們還可以自己選擇另外的填法。例3 如右圖所示。把1、2、3、4、5五個數(shù)填入五個圓圈里，要求分別滿足以下條件：（1）使橫行、豎行圓圈里的數(shù)加起來都等于8；（2）使橫行、豎行圓圈里的數(shù)加起來都等于9；（3）使橫行、豎行圓圈里的數(shù)加起來都等于10。解：見下圖（1）、（2）、（3）（1）將8分拆成三個數(shù)之和（注意，這三個數(shù)要從1、2、3、4、5中選取）8=1+2+5 8=1+3+4因為中間圓圈里的數(shù)是要公用的，所以應(yīng)把“1”填在中間圓圈里其他四個數(shù)填在邊上；（2）解法思路與（1）相同，分拆方式如下：9=1+3+5 9=2+3+4（3）解法思路與（1）相同10=1+4+5 10=2+3+5。習題七1如右圖所示。在正方形的空格里填上適當?shù)臄?shù)，使每一橫行、豎行、斜行的三個數(shù)相加得數(shù)都是18。2如右圖所示。在正方形空格里填上適當?shù)臄?shù)，使每一橫行、豎行、斜行的四個數(shù)相加都得34。3如右圖所示。把適當?shù)臄?shù)填到三角形的空圈里，使每條直線上3個圈中的數(shù)相加都是10。4如圖所示。從2、3、4、5、6中選取適當?shù)臄?shù)填入小圓圈，使同一個大圓上的小圓圈中的四個數(shù)的和都等于15，都等于16。5如右圖所示，圓圈里填上不同的數(shù)，使每條直線上的三個數(shù)相加之和都等于10。6如圖所示。在圓圈里填上不同的數(shù)，使每條直線上的三個數(shù)相加之和都是15。7如下頁圖所示。把1、2、3、4、5、6、7、8、9分為三組，填到三個小三角形的各個角上的圓圈里，使每個小三角形的三個角的圓圈里的數(shù)之和都是15。同時使大三角形三個角的圓圈里的數(shù)之和也是15。習題七解答1在圖中，用較大的黑體字表示方格中原有的已知數(shù)，如10、6、7三個數(shù)。仔細觀察可知，可以先在第二橫行右邊空格里填2，因為要使橫行三個空格里的數(shù)之和是18，（已有的兩個數(shù)之和是10+6=16）就需要在這個空格中填上18-16=2。當然，也可以先填左下角空格的那個數(shù)，因為它所在的斜行中已有兩個數(shù)7和6，而7+6=13，所以應(yīng)在這個空格里填18-13=5。接著用同樣的思考方法就可以填出其他空格里的數(shù)了。2見圖。解法思路與第1題相同。因為要求每行的四個數(shù)之和是34，而第三橫行已有的三個數(shù)之和為9+7+12=28，所以此行空格中可填6。也可先填圖中另一斜行，因這斜行中已有的三個數(shù)之和是13+10+7=30，所以，這斜行的空格，也就是圖的左下角的空格中應(yīng)填4。接著，用同樣的思考方法填出其余所有空格。3見圖。解法與第1題相同。因為三角形的一邊已有兩個數(shù)3和2，其和為3+2=5，要使這邊的三數(shù)之和是10，可知這邊的右下角圓圈中應(yīng)填10-5=5。其余兩圓圈中的數(shù)可按同樣方法填出。4見圖。和是15：因為大圓上有兩個小圓圈中已有了1和7，它們的和是1+7=8，所以同一個大圓上另外的兩個小圓圈中應(yīng)填的兩個數(shù)之和應(yīng)是15-8=7，將7分拆成兩個數(shù)有兩種分拆方式：將2和5填入一個大圓上的兩個空圈中，將3和4填入另一個大圓上的兩個空圈中。見右圖。和是16，解法思路和相同。因為1+7=8，16-8=8將8分拆成兩個數(shù)，有兩種分拆方式：將2和6、3和5分別填入大圓上的空圈中。5解：見下圖（1）（4）把10分拆成三個不同的數(shù)的和，共有4種分拆方式：10=1+2+7=1+3+6=1+4+510=2+3+5選擇有一個共同加數(shù)的兩個式子，把共同的加數(shù)填在中間的圓圈里，其他四個加數(shù)分別填在兩頭的圓圈里就構(gòu)成一種填法。本題有6種符合題目要求的填法，這里只舉其中4種填法，還有2種填法你能找出來嗎？6 解見下圖。把15分拆成三個不同的數(shù)相加之和，共有12種分拆方式：15=1+2+12 15=1+3+1115=1+4+10 15=1+5+915=1+6+8 15=2+3+1015=2+4+9 15=2+5+815=2+6+7 15=3+4+815=3+5+7 15=4+5+6因為題目中已有2、3、8三個數(shù)填在3個圓圈里，觀察上面各式，既用到2、3、8這三個數(shù)，又要有另一個數(shù)是共同的，這樣的式子有如下三個：15=1+2+12，15=1+3+11，15=1+6+8，將三式中共用的加數(shù)“1”寫在中間圓圈里，再在其他三個圓圈里填上適當?shù)臄?shù)。7解：見下面兩圖，將15分拆，采取兩步分拆法如下：適當選取四組數(shù)，填入四個三角形中（3個小三角形與1個大三角形），可以得到一些不同的填法。選法的竅門是：先任選一組數(shù)如3、5、7，將它們分別填在大三角形的三個角頂圓圈中，再找分別包含3、5、7的三組數(shù)填在小三角形中，它們是3，8，4；5，9，1；7，6，2。如上圖所示。第八講 填圖與拆數(shù)（二）本講主要介紹在填圖與拆數(shù)中找關(guān)鍵數(shù)的思考方法。例1 如右圖所示。把三個1、三個2、三個3分別填在九個格內(nèi)，使橫行、豎行、斜行三個數(shù)加起來的和都等于6。解：找關(guān)鍵數(shù)先填。因為中間格的數(shù)和橫行、豎行、斜行都有關(guān)，所以它是關(guān)鍵數(shù)，確定了它，其他各格就容易填了。（1）嘗試法：若中間填“1”，再填其他格，如右圖。結(jié)果有一條斜線上的數(shù)都是1，其和為3，不合題目要求。若中間格填“3”，再填其他格，如右圖結(jié)果有一條斜行上的數(shù)都是3，其和為9，不合題目要求。若中間格填“2”，再填其他格，經(jīng)檢查，符合題目要求，如圖。（2）分析法：顯然在每一橫行、豎行和斜行只能填一個“1”或一個“3”。因為若填兩個1后，即使再填一個最大的3，這一行的這三個數(shù)之和才是5，小于6，不符合題目要求；同樣，若填兩個3后，即使再填一個最小的數(shù)1，這一行的三個數(shù)之和就是7，大于6，也不符合題目要求。如果在一行里填入兩個“2”，即使在此行里再填一個2，這一行的三個數(shù)之和也可等于6，符合題要求。由此得出，中間方格必須填“2”。中間方格填好之后其他各格中的數(shù)也就容易填出了。例2 如圖。把1、2、3、4、5填入右圖的圓圈中，使每條斜線上的三個數(shù)相加之和都是8。解：中間圓圈里的數(shù)是個關(guān)鍵數(shù)，應(yīng)該首先確定它。如何確定它呢？這樣想：假如我們已經(jīng)按題目要求把1、2、3、4、5填入了五個圓圈中，這樣每條斜線上的三個數(shù)相加都得8。那么當我們把兩條斜線上的數(shù)都加起來，它們的和應(yīng)為8+8=16，但是五個圓圈中所填數(shù)之和應(yīng)為1+2+3+4+5=15，兩個和數(shù)之差是1，即：16-15=1。這個差是如何產(chǎn)生的呢？這是因為把兩條斜線上的和數(shù)相加時，中間圓圈中的數(shù)被加了兩次，即多加了一次。把一個數(shù)多加了一次和就多了1，可見此數(shù)是1。然后，再求每條斜線兩端的數(shù)?？汕蟪鰞蓴?shù)之和應(yīng)為8-1=7把7分拆成兩個數(shù)，有兩種分拆方式：把2和5填入一條斜線兩端的圓圈中。把3和4填入另一條斜線兩端的圓圈中。例3 如圖所示。把1、2、3、4、5、6、7七個數(shù)填在右圖中的七個圓圈里，每個數(shù)只能用一次，使每條線上的三個數(shù)相加之和都等于12。解：見圖。中間圓圈里的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)，應(yīng)該如何確定它呢？與例2的想法類似。假設(shè)已經(jīng)按題目要求把數(shù)全部填入了圓圈，那么每條線上的三個圓圈中的數(shù)相加應(yīng)該都得12。我們?nèi)绻M一步把三條直線上的數(shù)都加起來，得數(shù)應(yīng)為：12+12+12=36。不難看出，這樣就把中間圓圈里那個數(shù)加了三次。因而它比七個圓圈中的數(shù)相加之和：1+2+3+4+5+6+7=28多了 36-28=8也就是8應(yīng)是中間圓圈里的數(shù)的2倍所以中間圓圈里的數(shù)應(yīng)是8的一半，即 82=4下面再確定每條線上另外的兩個圓圈里的數(shù)，方法如下：12-4=8例4 如圖所示。把1、2、3、4、5、6六個數(shù)分別填入右圖的圓圈里，使三角形每條邊上三個數(shù)之和都等于9。解：見圖。三個角上圓圈里的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)，因為它們中的每個都是兩條邊上共有的數(shù)。先確定關(guān)鍵數(shù)。這樣想：六個數(shù)之和是1+2+3+4+5+6=21每條邊上三個數(shù)之和是9，9+9+9=27這樣算每個角上圓圈里的數(shù)都被加了兩次，因此角上三個圓圈中的數(shù)之和是27-21=6把6分拆成三個數(shù)之和：6=1+2+3；把1、2、3分別填入三個角上的圓圈里，其余的圓圈里的數(shù)就容易填了。習題八1見圖。把2、3、4、5、6、7、8、9、10、11填入右圖空白圓圈內(nèi)，使每個大圓上四個小圓圈內(nèi)的數(shù)的和都是29。你能填嗎？2見圖。把2、3、4、6、7、10、11分別填入大圓上的小圓圈內(nèi)，使每個圓上四個小圓圈中的數(shù)字和都是24。你能填嗎？3見圖。把2、3、4、5、6填入右圖的五個方格里，使橫行、豎行的三個數(shù)之和等于：11、12、13。4見圖。把5、6、7、8、9、10六個數(shù)分別填入右圖中的六個圓圈里，使三角形每條邊上的三個數(shù)之和都等于21。5見圖。把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10這十個數(shù)分別填入圓圈里，使每個正方形的四個數(shù)相加之和都等于24。6見圖。把1、2、3、4、5、6、7填入右圖圓圈中，使橫行、豎行、斜行三個圓圈中的數(shù)相加之和都等于12。7見圖。把11、12、13、14、15、16、17七個數(shù)填入右圖的圓圈中，使橫行、豎行的圓圈中的每三個數(shù)之和都是42。8見圖。把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11這十一個數(shù)，分別填入圖中空格內(nèi)，使相鄰的兩個或三個空格內(nèi)的和等于14、15。9把1、2、3、4、5、6、7、8、9各數(shù)分別填入“七一”圖形中的九個空格內(nèi)，使每一橫行、豎行的四個、三個或兩個空格中的數(shù)相加之和都等于13。（見下圖）10見下圖。把1、2、3、4、5、6、7各數(shù)填入“十一”圖形中的七個空格里，使每一橫行、豎行的三個或兩個空格中的數(shù)相加之和都是10習題八解答1解：見圖。找關(guān)鍵數(shù)先填。三個大圓相交處的小圓圈中的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)。仔細觀察。圖中一個大圓上已有9和7兩個數(shù)，所以這個大圓上A，B兩個小圓圈（如圖示）所填的兩數(shù)之和應(yīng)為29-（9+7）=13。把13分拆成兩數(shù)之和（注意要選用題中已給的數(shù)）只有11+2和8+5兩種分拆方式可供選用；經(jīng)試驗可知8和5這組數(shù)不合用，只能選用11和2這組數(shù)。最后可確定將11填入三個大圓相交處的A圈中。接著可較容易地填上其他數(shù)了。2解：見圖。由中間的大圓圈上的三個已知數(shù)1，5，8，可求出這個大圓上的最后一個數(shù)：24-（1+5+8）=10，這樣還剩下2、3、4、6、7、11六個數(shù)未被選用。應(yīng)把它們分別填入六個小圓圈。仔細觀察可知：另外的兩個大圓相交處的小圓圈（B圈）中的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)。而且有一個大圓上已經(jīng)給出了數(shù)9，所以該大圓上其余三個小圓圈所填數(shù)之和應(yīng)為24-9=15。因而將15分拆成三個數(shù)之和（注意必須選用題中所給的數(shù)）15=7+6+2經(jīng)嘗試B圈中只能填6。然后再確定左邊大圓上三個小圓圈應(yīng)填的數(shù)是11、4和3。3解：見下圖，解題思路與例3相同，略寫如下：2+3+4+5+6=20。11+11-20=2即中間格填2。12+12-20=4即中間格填4。13+13-20=6即中間格填6。4解：見圖解題思路與例4相同，略寫如下：21+21+21=635+6+7+8+9+10=4563-45=18（三個角上的三個數(shù)之和）分拆18=5+6+7即三個角上的三個圓圈里應(yīng)填5、6、7。5解：見圖，找關(guān)鍵數(shù)先填，不難看出，標有字母A和B的兩圓圈中的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)，因為它們是正方形公用的數(shù)，解法：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=5524+24+24=7272-55=1717=10+7=9+8（這就是兩組關(guān)鍵數(shù)10和7，以及9和8）。6解：見圖，找關(guān)鍵數(shù)先填。不難看出，中間圓圈里的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)。求關(guān)鍵數(shù)：1+2+3+4+5+6+7=2812+12+12=3636-28=8（相當兩個中間圓圈里的數(shù)之和）82=4（就是一個中間圓圈里的數(shù)）12-4=8行三個數(shù)之和他是12。7解：先求關(guān)鍵數(shù)：橫行和豎行公用的兩個圓圈的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)。11+12+13+14+15+16+17=9842+42+42=126126-98=28（28是橫行和豎行公用的兩個圓圈里的數(shù)的和）將28分拆：（見下面三個圖）。8解：先求關(guān)鍵數(shù)。六字的“點”和“橫”公用的方格中的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)。方法1：145=701+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66公用的方格中的數(shù)是70-66=4再適當選擇其他的數(shù)填入其他空格。方法2：見下圖155=75 75-66=9公用的方格中填9，再適當選擇其他各數(shù)填入方格。9解：見下圖，求關(guān)鍵數(shù)即共用方格中的數(shù)1+2+3+4+5+6+7+8+9=45134=52 52-45=710解：見下圖，先確定“十”字中間方格中的數(shù)1+2+3+4+5+6+7=28103=3030-28=2（中間方格中的數(shù)39