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[小學一年級]一年級數(shù)學應(yīng)用題

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[小學一年級]一年級數(shù)學應(yīng)用題

同學們已經(jīng)知道,下面的五組成對的數(shù)相加之和都等于10:1+9=102+8=103+7=104+6=105+5=10巧用這些結(jié)果,可以使計算又快又準。例1 計算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10解:對于這道題,當然可以從左往右逐步相加:1+2=3 3+3=66+4=10 10+5=1515+6=21 21+7=2828+8=36 36+9=4545+10=55這種逐步相加的方法,好處是可以得到每一步的結(jié)果,但缺點是麻煩、容易出錯;而且一步出錯,以后步步都錯。若是利用湊十法,就能克服這種缺點。二、湊整法同學們還知道,有些數(shù)相加之和是整十、整百的數(shù),如:1+19=20 11+9=302+18=20 12+28=403+17=20 13+37=504+16=20 14+46=605+15=20 15+55=706+14=20 16+64=807+13=20 17+73=908+12=20 18+82=1009+11=20又如:15+85=100 14+86=10025+75=100 24+76=10035+65=100 34+66=10045+55=100 44+56=100等等巧用這些結(jié)果,可以使那些較大的數(shù)相加又快又準。像10、20、 30、40、50、60、70、80、90、100等等這些整十、整百的數(shù)就是湊整的目標。例2 計算1+3+5+7+9+11+13+15+17+19解:這是求1到19共10個單數(shù)之和,用湊整法做:100例3 計算2+4+6+8+10+12+14+16+18+20解:這是求2到20共10個雙數(shù)之和,用湊整法做:110例4 計算2+13+25+44+18+37+56+75解:用湊整法:三、用已知求未知 利用已經(jīng)獲得較簡單的知識來解決面臨的更復(fù)雜的難題這是人們認識事物的一般過程,湊十法、湊整法的實質(zhì)就是這個道理,可見把這種認識規(guī)律用于計算方面,可使計算更快更準。下面再舉兩個例子。例5 計算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20解:由例2和例3,已經(jīng)知道從1開始的前10個單數(shù)之和以及從2開始的前10個雙數(shù)之和,巧用這些結(jié)果計算這道題就容易了。1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20=(1+3+5+7+9+11+13+15+17+19)+(2+4+6+8+10+12+14+16+18+20)=100+110(這步利用了例2和例3的結(jié)果)=210例6 計算 5+6+7+8+9+10解:可以利用前10個自然數(shù)之和等于55這一結(jié)果。5+6+7+8+9+10=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)-(1+2+3+4)(熟練后,此步驟可省略)=55-10=45四、改變運算順序在只有加減運算的算式中,有時改變加、減的運算順序可使計算顯得十分巧妙!例7 計算10-9+8-7+6-5+4-3+2-1解:這題如果從左到右按順序進行加減運算,是能夠得出正確結(jié)果的。但因為算式較長,多次加減又繁又慢且容易出錯。如果改變一下運算順序,先減后加,就使運算顯得非?!捌痢薄O率嚼ㄌ栔械乃闶奖硎鞠人?,10-9+8-7+6-5+4-3+2-1=(10-9)+(8-7)+(6-5)+(4-3)+(2-1)=1+1+1+1+1=5五、帶著“+”、“-”號搬家例8 計算1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11解:這題只有加減運算,而且1-2不夠減。我們可以采用帶著加減號搬家的方法解決。要注意每個數(shù)自己的符號就是這個數(shù)前面的那個“+”號或“-”號,搬家時要帶著符號一起搬。1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11=1+3-2+5-4+7-6+9-8+11-10=1+(3-2)+(5-4)+(7-6)+(9-8)+(11-10)先減后加=1+1+1+1+1+1=6在這道題的運算中,把“+3”搬到“-2”的前面,把“+5”搬到了“-4”的前面,把“+11”搬到了“-10”的前面,這就叫帶著符號搬家。巧妙利用這種搬法,可以使計算簡便。習題一1計算:13+14+15+16+17+252計算:2+3+4+5+15+16+17+18+203計算:21+22+23+24+25+26+27+28+294計算:5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+205計算:22-20+18-16+14-12+10-8+6-4+2-06計算:10-20+30-40+50-60+70-80+907計算:(2+4+6+8+10)-(1+3+5+7+9)8計算:(2+4+6+20)-(1+3+5+19)9計算:(2+4+6+100)-(1+3+5+99)第二講 速算與巧算(二)例1 哥哥和妹妹分糖。哥哥拿1塊,妹妹拿2塊;哥哥拿3塊,妹妹拿4塊;接著哥哥拿5塊、7塊、9塊、11塊、13塊、15塊,妹妹拿6塊、8塊、10塊、12塊、14塊、16塊。你說誰拿得多,多幾塊?解:方法1:先算哥哥共拿了多少塊?再算妹妹共拿了多少塊?72-64=8(塊)方法2:這樣想:先算每次妹妹比哥哥多拿幾塊,再算共多拿了多少塊。(2-1)+(4-3)+(6-5)+(8-7)+(10-9)+(12-11)+(14-13)+(16-15)=1+1+1+1+1+1+1+1=8(塊)可以看出方法2要比方法1巧妙!平時注意積累,記住一些有趣的和重要的運算結(jié)果,非常有助于速算。比如,請同學記住幾個自然數(shù)相加之和:1+2=31+2+3=61+2+3+4=101+2+3+4+5=151+2+3+4+5+6=211+2+3+4+5+6+7=281+2+3+4+5+6+7+8=361+2+3+4+5+6+7+8+9=451+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55例2 星期天,小明家來了9名小客人。小明拿出一包糖,里面有54塊。小明說:“咱們一共10個人,每人都要分到糖,但每人分到的糖塊數(shù)不能一樣多,誰會分?”結(jié)果大家都無法分,你能幫他們分好嗎?解:按小明提的要求確實無法分。因為要使得每個人都得到糖,糖塊數(shù)人人不等,需要糖塊數(shù)最少的分法是:第一人分到1塊,第二人分到2塊,第十人分到10塊。但是,這種分法共需要有1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55(塊)而小明這包糖一共才54塊,所以按這種方法無法分。如果改變一下,有一人少得1塊糖,比如說,應(yīng)該得10塊糖的小朋友只分到了9塊,但是這樣一來,他就和另一個先分得9塊糖的那個小朋友一樣多了,這又不符合小明提出“每人分到的糖塊數(shù)不能一樣多”的要求。(注意:“按小明提的要求無法分”就是此題的答案。在數(shù)學上“無解”也叫問題的答案。)例3 時鐘1點鐘敲1下,2點鐘敲2下,3點鐘敲3下,照這樣敲下去,從1點到12點,這12個小時時鐘共敲了幾下?解:這是一道美國小學奧林匹克試題,要求在3分鐘內(nèi)就要得出答案。方法1:湊十法方法2:如果能記住從1到10前十個自然數(shù)之和是55,計算會更快。(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)+11+12=55+11+12=78(下)習題二1三個小朋友分5塊糖。要求每人都分到糖,但每人分到的糖塊數(shù)不能一樣多,你能分嗎?2把16只小雞分別裝進5個籠子里,每個籠子里都要有雞,而且每個籠子里的雞的只數(shù)也不能相同,如何分裝?按同樣要求,把15只小雞裝進5個籠子能辦得到嗎?按同樣要求,把14只小雞分裝到5個籠子能辦得到嗎?3把100塊糖分給10個小朋友。要求每人都分到單數(shù)塊糖,而且每人分到糖塊數(shù)都不一樣,如何分?把99塊糖按同樣要求分給10個小朋友,你能分嗎?4從1到20這20個數(shù)中,所有的雙數(shù)之和與所有的單數(shù)之和的差是多少?5小方家的鐘除了幾點鐘敲幾下外,每半點鐘也敲一下。比如說,0點半敲1下,1點鐘敲1下,1點半敲1下,2點敲2下,2點半敲1下,照這樣敲下去,從夜里0點開始,計到白天中午12點鐘,在這12個小時之內(nèi)時鐘共敲了多少下?習題二解答1答案是不能分。所需糖塊數(shù)最少的一種分法是:第1個人分1塊,第2個人分2塊,第3個人分3塊,這樣三個人共需要有1+2+3=6(塊),但總的糖塊數(shù)只有5塊,不夠分。如果第3個人也分得2塊,這樣糖是夠分了,但是這樣就有2個人分得糖塊數(shù)一樣多了,又不符合分糖的要求了。25只籠子裝16只小雞的裝法是1,2,3,4,6。1+2+3+4+6=16(只)5只籠子裝15只小雞的裝法是1,2,3,4,5。1+2+3+4+5=15(只)5只籠子裝14只小雞,要求每籠都有雞,而且籠籠雞數(shù)不等,無法分裝。3記住1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100立即可知100塊糖按要求分給10個人的分法是:各人所得糖塊數(shù)分別為1,3,5,7,9,11,13,15,17,19。99塊糖按要求分給10個小朋友無法分。4解:方法1:單數(shù)之和:1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100雙數(shù)之和:2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=110差:110-100=10方法2:改變運算順序(2+4+6+8+10+12+14+16+18+20)-(1+3+5+7+9+11+13+15+17+19)=(2-1)+(4-3)+(6-5)+(8-7)+(10-9)+(12-11)+(14-13)+(16-15)+(18-17)+(20-19)=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=105解:先記錄時鐘敲的整點數(shù)和半點數(shù)如下:列算式求和,并改變運算順序:1+1+1+2+1+3+1+4十1+5+1+6+1+7+1+8+1+9+1+10+1+11+1+12=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12)+(1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1)=78+12=90(下)第四講 數(shù)數(shù)與計數(shù)(二)數(shù)數(shù)與計數(shù)時,注意不應(yīng)漏掉,不應(yīng)重復(fù)。如果漏掉了,要加上;如果重復(fù)了,要減掉。例1 小朋友排隊,小紅前面4個人,后面3個人,問這隊共有幾個人?解:這隊的總?cè)藬?shù)要數(shù)上小紅,所以是4+3+1=8(人)。例2 排好隊,來報數(shù),正著報數(shù)我報七,倒著報數(shù)我報九,一共多少小朋友?解:見下圖正著報數(shù)“我”報了一次,倒著報數(shù)“我”又報了一次,所以把兩次報數(shù)加起來時,“我”被加了兩次。因此算這隊的總?cè)藬?shù)時,應(yīng)從兩次報數(shù)之和減1。7+9-1=15(人)。也可以這樣想:正著報數(shù)報到我為止,倒著報數(shù)時,我就不報了,只報到我的后面相鄰的那個人他應(yīng)該報8,所以全隊總?cè)藬?shù)是:7+(9-1)=15(人)。例3 少先隊員排成隊去參觀科技館。從排頭數(shù)起劉平是第20個;從排尾數(shù)起,張英是第23個。已知劉平的前一個是張英。問這隊少先隊員共有多少人?解:畫示意圖,用點代表少先隊員。由圖可見,從排頭數(shù)起時,把張英和劉平數(shù)了一次。由排尾數(shù)起時,又把劉平和張英數(shù)了一次,可見把他兩人多數(shù)了一次,所以點總?cè)藬?shù)時,應(yīng)減去多數(shù)的那一次才對。20+23-2=41(人)。例4 45個小朋友排成一隊去春游。從排頭往后數(shù),小剛是第19個;從排尾往前數(shù),小莉是第12個,問小剛和小莉中間有幾個人?解:畫示意圖。用點“”代表人由圖可見,小剛和小莉中間的人數(shù)是:45-(19+12)=14(人)。例5 一班同學做花,做紅花的有38人,做黃花的有39人,沒有做花的有3人。如果全班55人,那么既做紅花又做黃花的有多少人?解:畫圖如下:由圖可見,做花的人:55-3=52(人)。圖中陰影部分表示兩色花都做的人:38+39-52=25(人)。習題四1學生排成一隊,在小進的前面有6人,后面有8人,問這隊共有多少人?212輛汽車組成一列車隊向前行進。從前面數(shù)起,紅色的小轎車是第7輛。問從后面數(shù)它是第幾輛?3游泳池里男生都戴藍帽,女生都戴紅帽。池中一個男生小強邊看邊數(shù),他看見藍帽4個,紅帽5個。問池中男女生共多少人?4說稀奇、道稀奇,鴨子隊里有只雞。正著數(shù)它第六,倒著數(shù)它第七。請你幫助算一算,小鴨一共有幾只?5一個小組的小學生共有5人,已知他們都做了語文作業(yè)或數(shù)學作業(yè)。又知做完語文作業(yè)的有3人,做完數(shù)學作業(yè)的有4人。問語文和數(shù)學作業(yè)都做完的有幾人?6在100名學生中統(tǒng)計,有65人會騎自行車,有73人會游泳,有10人既不會騎自行車又不會游泳。問既會騎自行車又會游泳的人有多少?7某班有學生45人,訂閱中國少年報的有29人,訂閱小朋友的有28人,其中兩種都訂閱的有16人,問兩種刊物都沒有訂閱的人有多少?習題四解答1解由圖可知:總?cè)藬?shù)是6+8+1=15人。2解:方法1:數(shù)一數(shù);先畫示意圖如下,用代表紅色小轎車,用代表其他車。從后面往前數(shù)一數(shù),紅色小轎車是第6輛。方法2:算一算;這隊車共有12輛,從前面往后數(shù),紅色小轎車是第7輛,所以紅色小轎車前面有7-1=6輛車,因此從后面往前數(shù),紅色小轎車是第12-6=6輛。3解:畫示意圖如下:因為男生小強邊看邊數(shù)時,沒有看見自己的藍帽,他把自己漏數(shù)了。所以算總?cè)藬?shù)時,要把他加上,即4+5+1=10(人)。4解:畫示意圖,用代表小鴨,用代表小雞。由圖可見,正數(shù)算上了小雞,倒數(shù)也算上了小雞。這樣兩數(shù)之和6+7=13中,把小雞計算了兩次。所以求小鴨的數(shù)目時就要減去兩個小雞。6+7-2=11(只)。5解:畫示意圖如下:兩種作業(yè)都做完的人既算在了做完語文作業(yè)的3人中,又算在了做完數(shù)學作業(yè)的4人中,因此這部分人被多算了一次,(如圖中陰影部分所示)所以兩種作業(yè)都做完的人數(shù)是:3+4-5=2(人)。6解:畫圖如下:由圖可知:會騎車或是會游泳的總?cè)藬?shù)是100-10=90(人)。兩種都會的人數(shù)是65+73-90=48(人)。(圖中陰影部分所示)7解:畫示意圖如下:因為至少訂1份刊物的人:28+29-16=41(人)。兩種刊物都沒有訂的人:45-41=4(人)。第五講 數(shù)數(shù)與計數(shù)(三)例1小朋友,張開手,五個手指人人有。手指之間幾個“空”,請你仔細瞅一瞅?(注)“瞅一瞅”就是“看一看”的意思。解:見右圖看一看、數(shù)一數(shù)可知:5個手指間有4個“空”?!翱铡庇纸小伴g隔”,也就是,人的一只手有5個手指4個間隔。例2 小朋友在一段馬路的一邊種樹。每隔1米種一棵,共種了11棵,問這段馬路有多長?解:畫示意圖如下:由圖可見,這段馬路的11棵樹之間有10個“空”,也就是10個間隔。每個間隔長1米,10個間隔長10米。也就是說這段馬路長10米。像這類問題一般叫做“植樹問題”??梢缘贸鲆粋€公式:當兩頭都種樹時:例3 把一根粗細一樣的木頭鋸成5段,需要4分鐘。如果把這根木頭鋸成10段,需要幾分鐘?如果把這根木頭鋸成100段,需要幾分鐘?解:畫出示意圖:由圖可見,把木頭鋸成5段,只需鋸4次。所以鋸一次需1分鐘。同樣道理,把這根木頭鋸成10段,只需鋸9次,所以需9分鐘。同理,把這根木頭鋸成100段,只需鋸99次,所以需99分鐘。例4 鼓樓的鐘打點報時,5點鐘打5下需要4秒鐘。問中午12點時打12下需要幾秒鐘?解:畫示意圖。鐘打一下用一個點代表,打5下畫5個點。由圖可見,鐘打5下中間有4個時間間隔,4個間隔是4秒鐘,每個間隔就是1秒鐘。由此推理鐘打12下時有12-1=11個時間間隔,故用11秒鐘。習題五1一隊男生8人。老師要求在2名男生中間插進1名女生,問可插進多少女生?2小冬用12張紙訂成一個本子。從頭數(shù)起,每隔3紙夾進一片樹葉,問這個本子內(nèi)共放進多少片樹葉?3在一條20米長的小路兩旁種小松樹,如果每隔5米種一棵,而且兩頭都種樹,問這段小路上共種多少棵?4一根鋼管長6米,每分鐘鋸下1米,幾分鐘鋸?fù)辏?一根木頭鋸成4段,要付鋸工費1元。如果要把這根木頭鋸成13段,要付鋸工費多少元?6小明與爸爸一同上樓。小明上得快、爸爸上得慢,小明上2層,爸爸上1層。問小明上到五樓時,爸爸上到幾樓?7沿著跑道插著11面旗,旗與旗離得一樣遠,第一面旗插在起點。運動員從起點起跑經(jīng)過6秒鐘到達第6面旗,問運動員到達第11面旗時,需要跑11秒鐘嗎?8三點鐘時,掛鐘打響三下,用了12秒。到六點鐘時,掛鐘打響六下,要用幾秒鐘?習題五解答1解:方法1:按老師要求,在2名男生中間插進1名女生后,寫出隊伍的排外情況是:男女男女男女男女男女男女男女男數(shù)一數(shù),可知插進的女生共7人。方法2:也可以這樣想:這道題中,把男生看成“樹”,把女生看成“間隔”,就能按植樹問題的公式解這道題。因為兩頭都是男生,就像兩頭都有樹一樣,女生數(shù)應(yīng)等于男生數(shù)減1,即8-1=7(人)。2解:畫示意圖如下:可以這樣想:把每3張紙粘在一起成為一張“厚紙”,12張紙共粘成4張厚紙。按題目要求,相當于每兩張厚紙之間放入一片樹葉,可知共放入3片樹葉。3解:畫示意圖如下:(只畫一旁種樹情況)由圖可見,每5米為一段,20米長的路可分為4段,由于路兩端都要種樹,所以種的棵樹等于段數(shù)加1,即一旁種樹4+1=5(棵),兩旁共種5+5=10(棵)。4解:畫示意圖如下:由圖可見,把6米長的鋼管鋸成1米長的6段,只需鋸6-1=5(次),題中說,每分鐘鋸下1米,就是說鋸1次需要1分鐘,所以鋸5次需5分鐘即5分鐘把鋼管鋸?fù)辍?解:把一根木頭鋸成4段只需鋸4-1=3次,按題意付鋸工費1元。當把這根木頭鋸成13段時只需鋸13-1=12次,每鋸3次付費1元,鋸12次應(yīng)付鋸工費4元。6解:見右圖當小明跑五樓時,實際上跑過了4層樓梯,所以爸爸此時只走過了2層樓梯,即走到了三樓。7解:畫出示意圖:在起點插著第一面旗,但在起點運動員起跑時,時間是從0秒開始計時的。運動員跑到第六面旗時,實際上是跑了5段間隔,這時他用了6秒鐘的時間;當他跑到第11面旗時,實際上又跑了5段間隔,所以又用了6秒鐘,總起來共用了12秒鐘,而不是11秒鐘。8解:“當當當”鐘打響了三下,三響之間的間隔是兩次,兩個時間間隔用12秒,一個時間間隔就是122=6(秒)。如果鐘打六下,六響之間的間隔是5次,因而鐘打六下要65=30(秒)。第六講 數(shù)數(shù)與計數(shù)(四)本講采用枚舉法解決數(shù)數(shù)與計數(shù)的問題。比如老奶奶數(shù)雞蛋,她小心翼翼地把雞蛋從藍子里一個一個地往外拿,邊拿邊數(shù)?;@子里的雞蛋拿光了,有多少個雞蛋也就數(shù)出來了。這種最簡單的數(shù)數(shù)與計數(shù)的方法就叫做枚舉法。例1 用分別寫有數(shù)字1和2的兩張紙片,能夠排出多少個不同的二位數(shù)?解:用代表這兩張紙片。把所有可能的排法枚舉出來,可知能排出兩個二位數(shù)來。它們是:例2 用分別寫有數(shù)字0,1,2的三張紙片能排出多少個不同的二位數(shù)?解:因為“0”不能作為首位數(shù)字,所以只能排出4個二位數(shù),它們是:1作十位數(shù)字,0或2作個位數(shù)字:2作十位數(shù)字,0或1作個位數(shù)字:例3 用分別寫有數(shù)字1,2,3的三張紙片能排出多少不同的三位數(shù)?解:用枚舉法,即把所有可能排出的每一個三位數(shù)都寫出來。再數(shù)一數(shù)共有多少個。共6個不同的三位數(shù)。例4 小明左邊抽屜里放有三張數(shù)字卡片右邊抽屜里也放有三張卡片。如果他每次從左右兩邊抽屜里任意各拿一張出來,組成一個二位數(shù),在紙上記下來之后,再把卡片放回各自原來的抽屜里。然后再拿、再組數(shù)、再記、再放回這樣一直做下去,問他一共可能組成多少個不同的二位數(shù)?解:不妨假設(shè)小明先從左邊抽屜拿,把拿出的數(shù)字卡片排在十位;再從右邊抽屜拿,把拿出的數(shù)字卡片排在個位。下面是記下來的所有不同的二位數(shù):11,12,13,21,22,23,31,32,33。共9個不同的二位數(shù)。例5 有一群人,若規(guī)定每兩個人都握一次手而且只握一次手,求他們共握多少次手?假設(shè)這群人是:兩個人,三個人,四個人解:畫圖。用點“”代表人。如果兩人握一次手就在兩個點之間連一條線。那么,點和點之間連線的條數(shù)就代表握手的次數(shù)。見以下的圖。兩個人:兩點之間只能連一條線,表示兩個人共握1次手。三個人:三點之間有三條連線,表示三個人共握3次手。四個人:四點之間有六條連線,表示四個人共握6次手。例6 鐵路上的火車票價是根據(jù)兩站距離的遠近而定的,距離愈遠,票價愈高。如果一段鐵路上共有五個車站,每兩站間的距離都不相等,問這段鐵路上的火車票價共有多少種?解:如圖所示,用一條線段表示這段鐵路,用線段上的五個點代表五個車站,各點間距離不同表示各車站間距離不同,因而票價不同。由圖可見,各段長度不同的線段就表示各種不同的票價。數(shù)一數(shù),票價種數(shù)是:4+3+2+1=10種。例7 小明到小華家有甲、乙兩條路,小華到小英家有a,b,c三條路(如下圖所示)。小明經(jīng)過小華家去找小英,他想每次都不走完全重復(fù)的路線,問有多少種不同的走法?解:共有6種不同的走法,見下圖。習題六1用三張數(shù)字卡片,可以排出多少個不同的三位數(shù)?其中最大的比最小的大多少?2有四張數(shù)字卡片從中抽出三張組成三位數(shù),問這些卡片可能組成多少個不同的三位數(shù)?3用兩套數(shù)字卡片可組成多少個不同的二位數(shù)?4在一次小學數(shù)學競賽的領(lǐng)獎臺上有五名同學上臺領(lǐng)獎,他們每兩個人都互相握了一次手。問他們共握了多少次手?5全區(qū)六所小學舉行小足球賽,每個學校派出一個代表隊,要求規(guī)定每兩個校隊之間都要賽一場,問一共要賽多少場?6右圖是小英家和學校之間的街道圖。問小英去上學時,共有多少種不同的走法?(不準故意繞遠走)7如右圖所示,一只螞蟻從一個正方體的A點沿著棱爬向B點,如不故意繞遠,一共有幾種不同的走法?習題六解答1解:注意,0不能當作首位數(shù)字。所能排出的三位數(shù)字共有4個。它們是:407,470,704,740。最大的數(shù)是740,最小的數(shù)是407。最大的數(shù)比最小的數(shù)大740-407=333。2解:注意0不能當作首位數(shù)字。所能排出的三位數(shù)字共18個。102,104,120,124,140,142;201,204,210,214,240,241;401,402,410,412,420,421。3解:共組成25個不同的二位數(shù)。11,12,13,14,15;21,22,23,24,25;31,32,33,34,35;41,42,43,44,45;51,52,53,54,55。4解:畫圖。用點代表人,用兩點之間的連線代表兩個人的一次握手。按這種規(guī)定連線的總條數(shù)就是握手的總次數(shù)。數(shù)一數(shù),共有10條連線,所以共握手10次。5解:共賽15場。見下圖。方法1:如右圖所示這樣數(shù):一小和二小、三小、四小、五小、六小共賽5場;二小再和三小、四小、五小、六小共賽4場;(二小不能再和一小賽,因為它們已經(jīng)比賽過了,下同)三小再和四小、五小、六小共賽3場;四小再和五小、六小共賽2場;五小再和六小共賽1場。比賽場次總數(shù):5+4+3+2+1=15(場)。方法2:每個學校都要和其他的五個學校各賽一場,共5場。因而六個學校所賽的場次是56=30場。但是這樣計算還有個問題,比如說一小和二小賽了一場,這一場比賽被兩個學校都計算在了自己所賽的場次里,因而被計了兩次。所以總場數(shù)也就多計了一倍。也就是說,六個學校實際賽的總場次數(shù)是302=15(場)。6解:小英由家到學校共有6種走法,見下圖粗黑線所示。7解:螞蟻沿著棱由A點爬到B點有6種不同的走法,見下圖粗黑線所示。第七講 填圖與拆數(shù)(一)例1 如右圖,把3、4、6、7四個數(shù)填在四個空格里,使橫行、豎行三個數(shù)相加都得14。怎樣填?解:先看豎行,最上格中已有個5。要使5+( )=14,括號里的數(shù)就要填9。把9拆成兩個數(shù):9=3+6,(因為3和6是題中給出的數(shù))分別填在豎行的兩個空格里。但進一步想,應(yīng)該把哪一個填在中間空格里呢?這就需要看橫行。橫行兩頭的空格應(yīng)填剩下的兩個數(shù)4和7,因為4和7相加和為11,而11+3=14,可見中間空格應(yīng)填3。例2 如圖所示。在圓圈里填上不同的數(shù),使每條直線上三個數(shù)相加之和都等于12。解:見下圖(1)、(2)、(3)。把12分拆成三個不同的數(shù)相加之和,得七種分拆方式:12=9+2+1 12=8+3+112=7+4+1 12=7+3+212=6+5+1 12=6+4+212=5+4+3從各式中選擇有一個相同加數(shù)的兩個式子。12=1+5+6和12=1+4+7兩式,將相同的加數(shù)1填在中間圓圈里,不同的加數(shù)分別填在橫行和豎行的其他圓圈里。答案有很多種不同的填法,這里只填了三種,同學們還可以自己選擇另外的填法。例3 如右圖所示。把1、2、3、4、5五個數(shù)填入五個圓圈里,要求分別滿足以下條件:(1)使橫行、豎行圓圈里的數(shù)加起來都等于8;(2)使橫行、豎行圓圈里的數(shù)加起來都等于9;(3)使橫行、豎行圓圈里的數(shù)加起來都等于10。解:見下圖(1)、(2)、(3)(1)將8分拆成三個數(shù)之和(注意,這三個數(shù)要從1、2、3、4、5中選取)8=1+2+5 8=1+3+4因為中間圓圈里的數(shù)是要公用的,所以應(yīng)把“1”填在中間圓圈里其他四個數(shù)填在邊上;(2)解法思路與(1)相同,分拆方式如下:9=1+3+5 9=2+3+4(3)解法思路與(1)相同10=1+4+5 10=2+3+5。習題七1如右圖所示。在正方形的空格里填上適當?shù)臄?shù),使每一橫行、豎行、斜行的三個數(shù)相加得數(shù)都是18。2如右圖所示。在正方形空格里填上適當?shù)臄?shù),使每一橫行、豎行、斜行的四個數(shù)相加都得34。3如右圖所示。把適當?shù)臄?shù)填到三角形的空圈里,使每條直線上3個圈中的數(shù)相加都是10。4如圖所示。從2、3、4、5、6中選取適當?shù)臄?shù)填入小圓圈,使同一個大圓上的小圓圈中的四個數(shù)的和都等于15,都等于16。5如右圖所示,圓圈里填上不同的數(shù),使每條直線上的三個數(shù)相加之和都等于10。6如圖所示。在圓圈里填上不同的數(shù),使每條直線上的三個數(shù)相加之和都是15。7如下頁圖所示。把1、2、3、4、5、6、7、8、9分為三組,填到三個小三角形的各個角上的圓圈里,使每個小三角形的三個角的圓圈里的數(shù)之和都是15。同時使大三角形三個角的圓圈里的數(shù)之和也是15。習題七解答1在圖中,用較大的黑體字表示方格中原有的已知數(shù),如10、6、7三個數(shù)。仔細觀察可知,可以先在第二橫行右邊空格里填2,因為要使橫行三個空格里的數(shù)之和是18,(已有的兩個數(shù)之和是10+6=16)就需要在這個空格中填上18-16=2。當然,也可以先填左下角空格的那個數(shù),因為它所在的斜行中已有兩個數(shù)7和6,而7+6=13,所以應(yīng)在這個空格里填18-13=5。接著用同樣的思考方法就可以填出其他空格里的數(shù)了。2見圖。解法思路與第1題相同。因為要求每行的四個數(shù)之和是34,而第三橫行已有的三個數(shù)之和為9+7+12=28,所以此行空格中可填6。也可先填圖中另一斜行,因這斜行中已有的三個數(shù)之和是13+10+7=30,所以,這斜行的空格,也就是圖的左下角的空格中應(yīng)填4。接著,用同樣的思考方法填出其余所有空格。3見圖。解法與第1題相同。因為三角形的一邊已有兩個數(shù)3和2,其和為3+2=5,要使這邊的三數(shù)之和是10,可知這邊的右下角圓圈中應(yīng)填10-5=5。其余兩圓圈中的數(shù)可按同樣方法填出。4見圖。和是15:因為大圓上有兩個小圓圈中已有了1和7,它們的和是1+7=8,所以同一個大圓上另外的兩個小圓圈中應(yīng)填的兩個數(shù)之和應(yīng)是15-8=7,將7分拆成兩個數(shù)有兩種分拆方式:將2和5填入一個大圓上的兩個空圈中,將3和4填入另一個大圓上的兩個空圈中。見右圖。和是16,解法思路和相同。因為1+7=8,16-8=8將8分拆成兩個數(shù),有兩種分拆方式:將2和6、3和5分別填入大圓上的空圈中。5解:見下圖(1)(4)把10分拆成三個不同的數(shù)的和,共有4種分拆方式:10=1+2+7=1+3+6=1+4+510=2+3+5選擇有一個共同加數(shù)的兩個式子,把共同的加數(shù)填在中間的圓圈里,其他四個加數(shù)分別填在兩頭的圓圈里就構(gòu)成一種填法。本題有6種符合題目要求的填法,這里只舉其中4種填法,還有2種填法你能找出來嗎?6 解見下圖。把15分拆成三個不同的數(shù)相加之和,共有12種分拆方式:15=1+2+12 15=1+3+1115=1+4+10 15=1+5+915=1+6+8 15=2+3+1015=2+4+9 15=2+5+815=2+6+7 15=3+4+815=3+5+7 15=4+5+6因為題目中已有2、3、8三個數(shù)填在3個圓圈里,觀察上面各式,既用到2、3、8這三個數(shù),又要有另一個數(shù)是共同的,這樣的式子有如下三個:15=1+2+12,15=1+3+11,15=1+6+8,將三式中共用的加數(shù)“1”寫在中間圓圈里,再在其他三個圓圈里填上適當?shù)臄?shù)。7解:見下面兩圖,將15分拆,采取兩步分拆法如下:適當選取四組數(shù),填入四個三角形中(3個小三角形與1個大三角形),可以得到一些不同的填法。選法的竅門是:先任選一組數(shù)如3、5、7,將它們分別填在大三角形的三個角頂圓圈中,再找分別包含3、5、7的三組數(shù)填在小三角形中,它們是3,8,4;5,9,1;7,6,2。如上圖所示。第八講 填圖與拆數(shù)(二)本講主要介紹在填圖與拆數(shù)中找關(guān)鍵數(shù)的思考方法。例1 如右圖所示。把三個1、三個2、三個3分別填在九個格內(nèi),使橫行、豎行、斜行三個數(shù)加起來的和都等于6。解:找關(guān)鍵數(shù)先填。因為中間格的數(shù)和橫行、豎行、斜行都有關(guān),所以它是關(guān)鍵數(shù),確定了它,其他各格就容易填了。(1)嘗試法:若中間填“1”,再填其他格,如右圖。結(jié)果有一條斜線上的數(shù)都是1,其和為3,不合題目要求。若中間格填“3”,再填其他格,如右圖結(jié)果有一條斜行上的數(shù)都是3,其和為9,不合題目要求。若中間格填“2”,再填其他格,經(jīng)檢查,符合題目要求,如圖。(2)分析法:顯然在每一橫行、豎行和斜行只能填一個“1”或一個“3”。因為若填兩個1后,即使再填一個最大的3,這一行的這三個數(shù)之和才是5,小于6,不符合題目要求;同樣,若填兩個3后,即使再填一個最小的數(shù)1,這一行的三個數(shù)之和就是7,大于6,也不符合題目要求。如果在一行里填入兩個“2”,即使在此行里再填一個2,這一行的三個數(shù)之和也可等于6,符合題要求。由此得出,中間方格必須填“2”。中間方格填好之后其他各格中的數(shù)也就容易填出了。例2 如圖。把1、2、3、4、5填入右圖的圓圈中,使每條斜線上的三個數(shù)相加之和都是8。解:中間圓圈里的數(shù)是個關(guān)鍵數(shù),應(yīng)該首先確定它。如何確定它呢?這樣想:假如我們已經(jīng)按題目要求把1、2、3、4、5填入了五個圓圈中,這樣每條斜線上的三個數(shù)相加都得8。那么當我們把兩條斜線上的數(shù)都加起來,它們的和應(yīng)為8+8=16,但是五個圓圈中所填數(shù)之和應(yīng)為1+2+3+4+5=15,兩個和數(shù)之差是1,即:16-15=1。這個差是如何產(chǎn)生的呢?這是因為把兩條斜線上的和數(shù)相加時,中間圓圈中的數(shù)被加了兩次,即多加了一次。把一個數(shù)多加了一次和就多了1,可見此數(shù)是1。然后,再求每條斜線兩端的數(shù)??汕蟪鰞蓴?shù)之和應(yīng)為8-1=7把7分拆成兩個數(shù),有兩種分拆方式:把2和5填入一條斜線兩端的圓圈中。把3和4填入另一條斜線兩端的圓圈中。例3 如圖所示。把1、2、3、4、5、6、7七個數(shù)填在右圖中的七個圓圈里,每個數(shù)只能用一次,使每條線上的三個數(shù)相加之和都等于12。解:見圖。中間圓圈里的數(shù)是關(guān)鍵數(shù),應(yīng)該如何確定它呢?與例2的想法類似。假設(shè)已經(jīng)按題目要求把數(shù)全部填入了圓圈,那么每條線上的三個圓圈中的數(shù)相加應(yīng)該都得12。我們?nèi)绻M一步把三條直線上的數(shù)都加起來,得數(shù)應(yīng)為:12+12+12=36。不難看出,這樣就把中間圓圈里那個數(shù)加了三次。因而它比七個圓圈中的數(shù)相加之和:1+2+3+4+5+6+7=28多了 36-28=8也就是8應(yīng)是中間圓圈里的數(shù)的2倍所以中間圓圈里的數(shù)應(yīng)是8的一半,即 82=4下面再確定每條線上另外的兩個圓圈里的數(shù),方法如下:12-4=8例4 如圖所示。把1、2、3、4、5、6六個數(shù)分別填入右圖的圓圈里,使三角形每條邊上三個數(shù)之和都等于9。解:見圖。三個角上圓圈里的數(shù)是關(guān)鍵數(shù),因為它們中的每個都是兩條邊上共有的數(shù)。先確定關(guān)鍵數(shù)。這樣想:六個數(shù)之和是1+2+3+4+5+6=21每條邊上三個數(shù)之和是9,9+9+9=27這樣算每個角上圓圈里的數(shù)都被加了兩次,因此角上三個圓圈中的數(shù)之和是27-21=6把6分拆成三個數(shù)之和:6=1+2+3;把1、2、3分別填入三個角上的圓圈里,其余的圓圈里的數(shù)就容易填了。習題八1見圖。把2、3、4、5、6、7、8、9、10、11填入右圖空白圓圈內(nèi),使每個大圓上四個小圓圈內(nèi)的數(shù)的和都是29。你能填嗎?2見圖。把2、3、4、6、7、10、11分別填入大圓上的小圓圈內(nèi),使每個圓上四個小圓圈中的數(shù)字和都是24。你能填嗎?3見圖。把2、3、4、5、6填入右圖的五個方格里,使橫行、豎行的三個數(shù)之和等于:11、12、13。4見圖。把5、6、7、8、9、10六個數(shù)分別填入右圖中的六個圓圈里,使三角形每條邊上的三個數(shù)之和都等于21。5見圖。把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10這十個數(shù)分別填入圓圈里,使每個正方形的四個數(shù)相加之和都等于24。6見圖。把1、2、3、4、5、6、7填入右圖圓圈中,使橫行、豎行、斜行三個圓圈中的數(shù)相加之和都等于12。7見圖。把11、12、13、14、15、16、17七個數(shù)填入右圖的圓圈中,使橫行、豎行的圓圈中的每三個數(shù)之和都是42。8見圖。把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11這十一個數(shù),分別填入圖中空格內(nèi),使相鄰的兩個或三個空格內(nèi)的和等于14、15。9把1、2、3、4、5、6、7、8、9各數(shù)分別填入“七一”圖形中的九個空格內(nèi),使每一橫行、豎行的四個、三個或兩個空格中的數(shù)相加之和都等于13。(見下圖)10見下圖。把1、2、3、4、5、6、7各數(shù)填入“十一”圖形中的七個空格里,使每一橫行、豎行的三個或兩個空格中的數(shù)相加之和都是10習題八解答1解:見圖。找關(guān)鍵數(shù)先填。三個大圓相交處的小圓圈中的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)。仔細觀察。圖中一個大圓上已有9和7兩個數(shù),所以這個大圓上A,B兩個小圓圈(如圖示)所填的兩數(shù)之和應(yīng)為29-(9+7)=13。把13分拆成兩數(shù)之和(注意要選用題中已給的數(shù))只有11+2和8+5兩種分拆方式可供選用;經(jīng)試驗可知8和5這組數(shù)不合用,只能選用11和2這組數(shù)。最后可確定將11填入三個大圓相交處的A圈中。接著可較容易地填上其他數(shù)了。2解:見圖。由中間的大圓圈上的三個已知數(shù)1,5,8,可求出這個大圓上的最后一個數(shù):24-(1+5+8)=10,這樣還剩下2、3、4、6、7、11六個數(shù)未被選用。應(yīng)把它們分別填入六個小圓圈。仔細觀察可知:另外的兩個大圓相交處的小圓圈(B圈)中的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)。而且有一個大圓上已經(jīng)給出了數(shù)9,所以該大圓上其余三個小圓圈所填數(shù)之和應(yīng)為24-9=15。因而將15分拆成三個數(shù)之和(注意必須選用題中所給的數(shù))15=7+6+2經(jīng)嘗試B圈中只能填6。然后再確定左邊大圓上三個小圓圈應(yīng)填的數(shù)是11、4和3。3解:見下圖,解題思路與例3相同,略寫如下:2+3+4+5+6=20。11+11-20=2即中間格填2。12+12-20=4即中間格填4。13+13-20=6即中間格填6。4解:見圖解題思路與例4相同,略寫如下:21+21+21=635+6+7+8+9+10=4563-45=18(三個角上的三個數(shù)之和)分拆18=5+6+7即三個角上的三個圓圈里應(yīng)填5、6、7。5解:見圖,找關(guān)鍵數(shù)先填,不難看出,標有字母A和B的兩圓圈中的數(shù)是關(guān)鍵數(shù),因為它們是正方形公用的數(shù),解法:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=5524+24+24=7272-55=1717=10+7=9+8(這就是兩組關(guān)鍵數(shù)10和7,以及9和8)。6解:見圖,找關(guān)鍵數(shù)先填。不難看出,中間圓圈里的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)。求關(guān)鍵數(shù):1+2+3+4+5+6+7=2812+12+12=3636-28=8(相當兩個中間圓圈里的數(shù)之和)82=4(就是一個中間圓圈里的數(shù))12-4=8行三個數(shù)之和他是12。7解:先求關(guān)鍵數(shù):橫行和豎行公用的兩個圓圈的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)。11+12+13+14+15+16+17=9842+42+42=126126-98=28(28是橫行和豎行公用的兩個圓圈里的數(shù)的和)將28分拆:(見下面三個圖)。8解:先求關(guān)鍵數(shù)。六字的“點”和“橫”公用的方格中的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)。方法1:145=701+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66公用的方格中的數(shù)是70-66=4再適當選擇其他的數(shù)填入其他空格。方法2:見下圖155=75 75-66=9公用的方格中填9,再適當選擇其他各數(shù)填入方格。9解:見下圖,求關(guān)鍵數(shù)即共用方格中的數(shù)1+2+3+4+5+6+7+8+9=45134=52 52-45=710解:見下圖,先確定“十”字中間方格中的數(shù)1+2+3+4+5+6+7=28103=3030-28=2(中間方格中的數(shù)39

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