2019-2020年高三全國(guó)高校招生模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題.doc

2019-2020年高三全國(guó)高校招生模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，滿分50分，只有一個(gè)選項(xiàng)符號(hào)題目要求）1已知集合A=x|x22x0，B=x|0，則A（RB）=（）Ax|0x1Bx|1x2Cx|0x1Dx|1x2【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算【專題】集合【分析】分別求出A與B中不等式的解集，確定出A與B，根據(jù)全集R求出B的補(bǔ)集，找出A與B補(bǔ)集的交集即可【解答】解：集合A=x|x22x0，B=x|0，A=x|0x2，B=x|x1，或x1，RBx|1x1，A（RB）=x|0x1，故選：C【點(diǎn)評(píng)】此題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵2函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍（ ）A B C D【答案】C3山西陽(yáng)泉某校在暑假組織社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，將8名高一年級(jí)學(xué)生，平均分配甲、乙兩家公司，其中兩名英語(yǔ)成績(jī)優(yōu)秀學(xué)生不能分給同一個(gè)公司；另三名電腦特長(zhǎng)學(xué)生也不能分給同一個(gè)公司，則不同的分配方案有（）A36種B38種C108種D114種【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用【專題】排列組合【分析】分類討論：甲部門要2個(gè)電腦特長(zhǎng)學(xué)生和一個(gè)英語(yǔ)成績(jī)優(yōu)秀學(xué)生；甲部門要1個(gè)電腦特長(zhǎng)學(xué)生和1個(gè)英語(yǔ)成績(jī)優(yōu)秀學(xué)生分別求得這2個(gè)方案的方法數(shù)，再利用分類計(jì)數(shù)原理，可得結(jié)論【解答】解：由題意可得，有2種分配方案：甲部門要2個(gè)電腦特長(zhǎng)學(xué)生，則有3種情況；英語(yǔ)成績(jī)優(yōu)秀學(xué)生的分配有2種可能；再?gòu)氖Ｏ碌?個(gè)人中選一人，有3種方法根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有323=18種分配方案甲部門要1個(gè)電腦特長(zhǎng)學(xué)生，則方法有3種；英語(yǔ)成績(jī)優(yōu)秀學(xué)生的分配方法有2種；再?gòu)氖Ｏ碌?個(gè)人種選2個(gè)人，方法有33種，共323=18種分配方案由分類計(jì)數(shù)原理，可得不同的分配方案共有18+18=36種，故選A【點(diǎn)評(píng)】本題考查計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，根據(jù)題意分步或分類計(jì)算每一個(gè)事件的方法數(shù)，然后用乘法原理和加法原理計(jì)算，是解題的常用方法4執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的x的值為2，則輸出的x的值為（）A3B126C127D128【考點(diǎn)】程序框圖【專題】算法和程序框圖【分析】分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是利用循環(huán)計(jì)算x值并輸出，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，即可得到答案【解答】解：當(dāng)輸出的x=2時(shí)，執(zhí)行循環(huán)體后，x=3，不滿足退出循環(huán)的條件，當(dāng)x=3時(shí)，執(zhí)行循環(huán)體后，x=7，不滿足退出循環(huán)的條件，當(dāng)x=7時(shí)，執(zhí)行循環(huán)體后，x=127，滿足退出循環(huán)的條件，故輸出的x值為127故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是程序框圖，在寫程序的運(yùn)行結(jié)果時(shí)，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程是解答此類問(wèn)題最常用的辦法5某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積是（）ABCD【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積【專題】計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離【分析】根據(jù)已知中的三視圖可分析出該幾何體的直觀圖，代入棱錐體積公式可得答案【解答】解：幾何體如圖所示，則V=，故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是由三視圖求體積，正確得出直觀圖是解答的關(guān)鍵6 有兩個(gè)等差數(shù)列，其前項(xiàng)和分別為和，若，則A B C D【答案】D【考點(diǎn)】考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。7已知雙曲線=1的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，且雙曲線的漸近線方程為y=x，則該雙曲線的方程為（）A=1By2=1Cx2=1D=1【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)【專題】計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】首先根據(jù)雙曲線的焦點(diǎn)和拋物線的焦點(diǎn)重合，建立a，b，c的關(guān)系式，進(jìn)一步利用雙曲線的漸近線建立關(guān)系式，進(jìn)一步確定a和b的值，最后求出雙曲線的方程【解答】解：已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)和雙曲線的焦點(diǎn)重合，則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），即c=，又因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y=x，則有a2+b2=c2=10和=，解得a=3，b=1所以雙曲線的方程為：y2=1故選B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的知識(shí)要點(diǎn)：雙曲線方程的求法，漸近線的應(yīng)用屬于基礎(chǔ)題8在正方體8個(gè)頂點(diǎn)中任選3個(gè)頂點(diǎn)連成三角形，則所得的三角形是等腰直角三角形的概率為（）ABCD【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率【專題】概率與統(tǒng)計(jì)【分析】總的事件數(shù)是C83，而從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)頂點(diǎn)可形成的等腰直角三角形的個(gè)數(shù)按所選取的三個(gè)頂點(diǎn)是只能是來(lái)自于該正方體的同一個(gè)面根據(jù)概率公式計(jì)算即可【解答】解：正方體8個(gè)頂點(diǎn)中任選3個(gè)頂點(diǎn)連成三角形，所得的三角形是等腰直角三角形只能在各個(gè)面上，在每一個(gè)面上能組成等腰直角三角形的有四個(gè)，所以共有46=24個(gè)，而在8個(gè)點(diǎn)中選3個(gè)點(diǎn)的有C83=56，所以所求概率為=故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題是一個(gè)古典概型問(wèn)題，學(xué)好古典概型可以為其它概率的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，同時(shí)有利于理解概率的概念，有利于計(jì)算一些事件的概率，有利于解釋生活中的一些問(wèn)題9設(shè)定義域?yàn)椋?，+）的單調(diào)函數(shù)f（x），對(duì)任意的x（0，+），都有ff（x）lnx=e+1，若x0是方程f（x）f（x）=e的一個(gè)解，則x0可能存在的區(qū)間是（）A（0，1）B（e1，1）C（0，e1）D（1，e）【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】由題意知：f（x）lnx為常數(shù)，令f（x）lnx=k（常數(shù)），則f（x）=lnx+k由ff（x）lnx=e+1，得f（k）=e+1，又f（k）=lnk+k=e+1，所以f（x）=lnx+e，再用零點(diǎn)存在定理驗(yàn)證，【解答】解：由題意知：f（x）lnx為常數(shù)，令f（x）lnx=k（常數(shù)），則f（x）=lnx+k由ff（x）lnx=e+1，得f（k）=e+1，又f（k）=lnk+k=e+1，所以f（x）=lnx+e，f（x）=，x0f（x）f（x）=lnx+e，令g（x）=lnx+e=lnx，x（0，+）可判斷：g（x）=lnx，x（0，+）上單調(diào)遞增，g（1）=1，g（e）=10，x0（1，e），g（x0）=0，x0是方程f（x）f（x）=e的一個(gè)解，則x0可能存在的區(qū)間是（1，e）故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，零點(diǎn)的判斷，構(gòu)造思想，屬于中檔題10如圖，已知雙曲線=1（a0，b0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，|F1F2|=4，P是雙曲線右支上一點(diǎn)，直線PF2交y軸于點(diǎn)A，AF1P的內(nèi)切圓切邊PF1于點(diǎn)Q，若|PQ|=1，則雙曲線的漸近線方程為（）Ay=xBy=3xCy=xDy=x【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)【專題】直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】設(shè)內(nèi)切圓與AP切于點(diǎn)M，與AF1切于點(diǎn)N，|PF1|=m，|QF1|=n，由雙曲線的定義可得|PF1|PF2|=2a，即有m（n1）=2a，運(yùn)用對(duì)稱性和切線的性質(zhì)可得m1=n，可得a=1，再由c=2，可得b，結(jié)合漸近線方程即可得到【解答】解：設(shè)內(nèi)切圓與AP切于點(diǎn)M，與AF1切于點(diǎn)N，|PF1|=m，|QF1|=n，由雙曲線的定義可得|PF1|PF2|=2a，即有m（n1）=2a，由切線的性質(zhì)可得|AM|=|AN|，|NF1|=|QF1|=n，|MP|=|PQ|=1，|MF2|=|NF1|=n，即有m1=n，由解得a=1，由|F1F2|=4，則c=2，b=，由雙曲線=1的漸近線方程為y=x，即有漸近線方程為y=x故選D【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查切線的性質(zhì)，運(yùn)用對(duì)稱性和雙曲線的定義是解題的關(guān)鍵二、填空題（共5小題，每小題5分，滿分25分）11 下列命題中，真命題的序號(hào)為.（1）在中，若，則；（2）已知，則在上的投影為；（3）已知，則“”為假命題；（4）要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象向左平移個(gè)單位【答案】（1）（3）12直線l：（t為參數(shù)）與圓C：（為參數(shù)）相交所得的弦長(zhǎng)的取值范圍是4，16【考點(diǎn)】參數(shù)方程化成普通方程【專題】直線與圓；坐標(biāo)系和參數(shù)方程【分析】把直線與圓的參數(shù)方程化為普通方程，畫出圖形，結(jié)合圖形，求出直線被圓截得的弦長(zhǎng)的最大值與最小值即可【解答】解：直線l：（t為參數(shù)），化為普通方程是=，即y=tanx+1；圓C的參數(shù)方程（為參數(shù)），化為普通方程是（x2）2+（y1）2=64；畫出圖形，如圖所示；直線過(guò)定點(diǎn)（0，1），直線被圓截得的弦長(zhǎng)的最大值是2r=16，最小值是2=2=2=4弦長(zhǎng)的取值范圍是4，16故答案為：4，16【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的參數(shù)方程的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)先把參數(shù)方程化為普通方程，再畫出圖形，數(shù)形結(jié)合，容易解答本題13設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若1a31，0a63，則S9的取值范圍是（3，21）【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式及其“待定系數(shù)法”即可得出【解答】解：數(shù)列an是等差數(shù)列，S9=9a1+36d=x（a1+2d）+y（a1+5d）=（x+y）a1+（2x+5y）d，由待定系數(shù)法可得，解得x=3，y=633a33，06a618，兩式相加即得3S921S9的取值范圍是（3，21）故答案為：（3，21）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式及其“待定系數(shù)法”等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題14若正數(shù)m、n滿足mnmn=3，則點(diǎn)（m，0）到直線xy+n=0的距離最小值是【考點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離公式【專題】直線與圓【分析】把已知的等式變形，得到（m1）（n1）4，寫出點(diǎn)到直線的距離，然后利用基本不等式得答案【解答】解：點(diǎn)（m，0）到直線xy+n=0的距離為d=，mnmn=3，（m1）（n1）=4，（m10，n10），（m1）+（n1）2，m+n6，則d=3故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了的到直線的距離公式，考查了利用基本不等式求最值，是基礎(chǔ)題15如圖所示，正方體ABCDABCD的棱長(zhǎng)為1，E、F分別是棱AA，CC的中點(diǎn)，過(guò)直線EF的平面分別與棱BB、DD交于M、N，設(shè)BM=x，x0，1，給出以下四個(gè)命題：平面MENF平面BDDB；當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)，四邊形MENF的面積最??；四邊形MENF周長(zhǎng)l=f（x），x0，1是單調(diào)函數(shù)；四棱錐CMENF的體積v=h（x）為常函數(shù)；以上命題中真命題的序號(hào)為【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；平面與平面垂直的判定【專題】空間位置關(guān)系與距離【分析】利用面面垂直的判定定理去證明EF平面BDDB四邊形MENF的對(duì)角線EF是固定的，所以要使面積最小，則只需MN的長(zhǎng)度最小即可判斷周長(zhǎng)的變化情況求出四棱錐的體積，進(jìn)行判斷【解答】解：連結(jié)BD，BD，則由正方體的性質(zhì)可知，EF平面BDDB，所以平面MENF平面BDDB，所以正確連結(jié)MN，因?yàn)镋F平面BDDB，所以EFMN，四邊形MENF的對(duì)角線EF是固定的，所以要使面積最小，則只需MN的長(zhǎng)度最小即可，此時(shí)當(dāng)M為棱的中點(diǎn)時(shí)，即x=時(shí)，此時(shí)MN長(zhǎng)度最小，對(duì)應(yīng)四邊形MENF的面積最小所以正確因?yàn)镋FMN，所以四邊形MENF是菱形當(dāng)x0，時(shí)，EM的長(zhǎng)度由大變小當(dāng)x，1時(shí)，EM的長(zhǎng)度由小變大所以函數(shù)L=f（x）不單調(diào)所以錯(cuò)誤連結(jié)CE，CM，CN，則四棱錐則分割為兩個(gè)小三棱錐，它們以CEF為底，以M，N分別為頂點(diǎn)的兩個(gè)小棱錐因?yàn)槿切蜟EF的面積是個(gè)常數(shù)M，N到平面CEF的距離是個(gè)常數(shù)，所以四棱錐CMENF的體積V=h（x）為常函數(shù)，所以正確故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間立體幾何中的面面垂直關(guān)系以及空間幾何體的體積公式，本題巧妙的把立體幾何問(wèn)題和函數(shù)進(jìn)行的有機(jī)的結(jié)合，綜合性較強(qiáng)，設(shè)計(jì)巧妙，對(duì)學(xué)生的解題能力要求較高三、解答題（共6小題，滿分75分）16 設(shè)函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）的三邊所對(duì)的內(nèi)角分別為,若，且，求面積的最大值.【答案】（1），（2），整理得：由基本不等式可得：則17某校舉辦學(xué)生綜合素質(zhì)大賽，對(duì)該校學(xué)生進(jìn)行綜合素質(zhì)測(cè)試，學(xué)校對(duì)測(cè)試成績(jī)（10分制）大于或等于7.5的學(xué)生頒發(fā)榮譽(yù)證書，現(xiàn)從A和B兩班中各隨機(jī)抽5名學(xué)生進(jìn)行抽查，其成績(jī)記錄如下：A777.599.5B6x8.58.5y由于表格被污損，數(shù)據(jù)x，y看不清，統(tǒng)計(jì)人員只記得xy，且A和B兩班被抽查的5名學(xué)生成績(jī)的平均值相等，方差也相等（）若從B班被抽查的5名學(xué)生中任抽取2名學(xué)生，求被抽取2學(xué)生成績(jī)都頒發(fā)了榮譽(yù)證書的概率；（）從被抽查的10名任取3名，X表示抽取的學(xué)生中獲得榮譽(yù)證書的人數(shù)，求X的期望【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列【專題】綜合題；概率與統(tǒng)計(jì)【分析】（）分別求出A和B的平均數(shù)和方差，由，得x+y=17，由，得（x8）2+（y8）2=1，由xy，得x=8，y=9，記“2名學(xué)生都頒發(fā)了榮譽(yù)證書”為事件C，則事件C包含個(gè)基本事件，共有個(gè)基本事件，由此能求出2名學(xué)生頒發(fā)了榮譽(yù)證書的概率（）由題意知X所有可能的取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的期望【解答】解：（）（7+7+7.5+9+9.5）=8，=（6+x+8.5+8.5+y），x+y=17，=，得（x8）2+（y8）2=1，由解得或，xy，x=8，y=9，記“2名學(xué)生都頒發(fā)了榮譽(yù)證書”為事件C，則事件C包含個(gè)基本事件，共有個(gè)基本事件，P（C）=，即2名學(xué)生頒發(fā)了榮譽(yù)證書的概率為（）由題意知X所有可能的取值為0，1，2，3，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，EX=【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的方差的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意平均值和方差的計(jì)算和應(yīng)用18如圖，橢圓C1：的離心率為，x軸被曲線C2：y=x2b截得的線段長(zhǎng)等于橢圓C1的短軸長(zhǎng)C2與y軸的交點(diǎn)為M，過(guò)點(diǎn)M的兩條互相垂直的直線l1，l2分別交拋物線于A、B兩點(diǎn)，交橢圓于D、E兩點(diǎn)，（）求C1、C2的方程；（）記MAB，MDE的面積分別為S1、S2，若，求直線AB的方程【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題【專題】綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】（）橢圓C1：的離心率為，x軸被曲線C2：y=x2b截得的線段長(zhǎng)等于橢圓C1的短軸長(zhǎng)，建立方程，求出幾何量，即可求C1、C2的方程；（）設(shè)直線MA、MB的方程與y=x21聯(lián)立，求得A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而可表示S1，直線MA、MB的方程與橢圓方程聯(lián)立，求得D，E的坐標(biāo)，進(jìn)而可表示S2，利用，即可求直線AB的方程【解答】解：（）橢圓C1：的離心率為，a2=2b2，令x2b=0可得x=，x軸被曲線C2：y=x2b截得的線段長(zhǎng)等于橢圓C1的短軸長(zhǎng)，2=2b，b=1，C1、C2的方程分別為，y=x21； （）設(shè)直線MA的斜率為k1，直線MA的方程為y=k1x1與y=x21聯(lián)立得x2k1x=0x=0或x=k1，A（k1，k121）同理可得B（k2，k221）S1=|MA|MB|=|k1|k2|y=k1x1與橢圓方程聯(lián)立，可得D（），同理可得E（） S2=|MD|ME|= 若則解得或直線AB的方程為或【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與拋物線、橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，聯(lián)立方程，確定點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵19如圖，四面體ABCD中，平面ABC平面BCD，AC=AB，CB=CD，DCB=120，點(diǎn)E在BD上，且CE=DE（）求證：ABCE；（）若AC=CE，求二面角ACDB的余弦值【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系【專題】空間位置關(guān)系與距離；空間角【分析】（）由已知得CDB=30，DCE=30，BCE=90，從而ECBC，由平面ABC平面BCD，得EC平面ABC，由此能證明ECAB（）取BC的中點(diǎn)O，BE中點(diǎn)F，連結(jié)OA，OF，以O(shè)為原點(diǎn)，OB為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ACD的法向量和平面BCD的法向量，由此利用向量法能注出二面角ACDB的余弦值【解答】解：（）證明：BCD中，CB=CD，BCD=120，CDB=30，EC=DE，DCE=30，BCE=90，ECBC，又平面ABC平面BCD，平面ABC與平面BCD的交線為BC，EC平面ABC，ECAB（）解：取BC的中點(diǎn)O，BE中點(diǎn)F，連結(jié)OA，OF，AC=AB，AOBC，平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCD=BC，AO平面BCD，O是BC中點(diǎn)，F(xiàn)是BE中點(diǎn)，OFBC，以O(shè)為原點(diǎn)，OB為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DE=2，則A（0，0，1），B（0，0），C（0，0），D（3，2，0），=（0，1），=（3，0），設(shè)平面ACD的法向量為=（x，y，z），則，取x=1，得=（1，3），又平面BCD的法向量=（0，0，1），cos=，二面角ACDB的余弦值為【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查立體幾何的相關(guān)知識(shí)，具體涉及到線面以及面面的垂直關(guān)系、二面角的求法及空間向量在立體幾何中的應(yīng)用本小題對(duì)考生的空間想象能力與運(yùn)算求解能力有較高要求20已知數(shù)列an滿足a1=，an+1=an+（nN*）證明：對(duì)一切nN*，有（）；（）0an1【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】（）由已知得an0，an+1=an+0（nN*），an+1an=0，由此能證明對(duì)一切nN*，（）由已知得，當(dāng)n2時(shí)， =，由此能證明對(duì)一切nN*，0an1【解答】證明：（）數(shù)列an滿足a1=，an+1=an+（nN*），an0，an+1=an+0（nN*），an+1an=0，對(duì)一切nN*，（）由（）知，對(duì)一切kN*，當(dāng)n2時(shí)，=31+=31+=3（1+1）=，an1，又，對(duì)一切nN*，0an1【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式的證明，是中檔題，解題時(shí)要注意裂項(xiàng)求和法和放縮法的合理運(yùn)用，注意不等式性質(zhì)的靈活運(yùn)用21已知函數(shù)f（x）=lnxa（1），aR（）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（）若f（x）的最小值為0（i）求實(shí)數(shù)a的值；（ii）已知數(shù)列an滿足：a1=1，an+1=f（an）+2，記x表示不大于x的最大整數(shù)，求證：n1時(shí)an=2【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；數(shù)列遞推式【專題】分類討論；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】（）利用導(dǎo)數(shù)，對(duì)a討論，當(dāng)a0時(shí)，當(dāng)a0時(shí)，即可求得f（x）的單調(diào)區(qū)間；（）（i）利用（）的結(jié)論即可求得a的值；（ii）利用歸納推理，猜想當(dāng)n3，nN時(shí)，2an，利用數(shù)學(xué)歸納法證明，即可得出結(jié)論【解答】解：（）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+），且f（x）=當(dāng)a0時(shí)，f（x）0，所以f（x）在區(qū)間（0，+）內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)a0時(shí)，由f（x）0，解得xa；由f（x）0，解得0xa所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（a，+），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，a）綜上述：a0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+）；a0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，a），單調(diào)遞增區(qū)間是（a，+）（）（）由（）知，當(dāng)a0時(shí)，f（x）無(wú)最小值，不合題意；當(dāng)a0時(shí)，f（x）min=f（a）=1a+lna=0，令g（x）=1x+lnx（x0），則g（x）=1+=，由g（x）0，解得0x1；由g（x）0，解得x1所以g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+）故g（x）max=g（1）=0，即當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，g（x）=0因此，a=1（）因?yàn)閒（x）=lnx1+，所以an+1=f（an）+2=1+lnan由a1=1得a2=2于是a3=+ln2因?yàn)閘n21，所以2a3猜想當(dāng)n3，nN時(shí)，2an下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明當(dāng)n=3時(shí)，a3=+ln2，故2a3成立假設(shè)當(dāng)n=k（k3，kN）時(shí)，不等式2ak成立則當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1=1+lnak，由（）知函數(shù)h（x）=f（x）+2=1+lnx在區(qū)間（2，）單調(diào)遞增，所以h（2）h（ak）h（），又因?yàn)閔（2）=1+ln22，h（）=1+ln1+1故2ak+1成立，即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立根據(jù)可知，當(dāng)n3，nN時(shí)，不等式2an成立綜上可得，n1時(shí)an=2【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識(shí)等，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、有限與無(wú)限思想等，屬難題