2009年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)(二)歷年真題

碩博考研 www.edufzu.com12009 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、選擇題：18 小題，每小題 4 分，共 32 分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).（1 ）函數(shù) 的可去間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則（ D）3sinxf1. 2. 3. 無(wú)窮多個(gè).ABC（2 ）當(dāng) 時(shí)， 與 是等價(jià)無(wú)窮小，則（ ）0xsifxax2ln1gbx. . . .1,6ab1,6b,6aD1,6ab（3 ）設(shè)函數(shù) 的全微分為 ，則點(diǎn) （ ）zfxydzxy0不是 的連續(xù)點(diǎn). 不是 的極值點(diǎn). A,B,f是 的極大值點(diǎn). 是 的極小值點(diǎn).CfxyDxy（4 ）設(shè)函數(shù) 連續(xù)，則 （ ）, 22411, ,yxdfdfxd. . A241,xdfyB241,xf. .CDy（5 ） 若 不變號(hào)，且曲線 在點(diǎn) 上的曲率圓為 ，則 在區(qū)fx yfx,2xyfx間 內(nèi)（ ）1,2有極值點(diǎn)，無(wú)零點(diǎn). 無(wú)極值點(diǎn)，有零點(diǎn). AB有極值點(diǎn)，有零點(diǎn). 無(wú)極值點(diǎn)，無(wú)零點(diǎn).CD（6 ）設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上的圖形為：yfx1,3碩博考研 www.edufzu.com2則函數(shù) 的圖形為（ ）0xFftdD. . A()f0 2 3 x1-2 -11 B()fx0 2 3 x1-2 -11. .C()fx0 2 3 x1-1 1 D()fx0 2 3 x1-2 -11（7 ） 設(shè) 、 均為 2 階矩陣， 分別為 、 的伴隨矩陣。若 ，則分塊AB*AB， A=B，矩陣 的伴隨矩陣為（ ）0. . A*320B*03A1()fx-2 0 2 3 x-1O碩博考研 www.edufzu.com3. .C*03A2BD*02A3B（8 ）設(shè) 均為 3 階矩陣， 為 的轉(zhuǎn)置矩陣，且 ，若P， TPT10P=2，則 為（ ）=Q=+123123（ ， ， ） ， （ ， ， ） QAT. . A0B0. .C201D102二、填空題：9-14 小題，每小題 4 分，共 24 分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.（9 ）曲線 在 處的切線方程為 2-x=0ln()utedytt（ ， 0）（10 ）已知 ,則 +1kxe（11 ） nlimsi0xd（12 ）設(shè) 是由方程 確定的隱函數(shù)，則 ()yy1ex2x=0dy（13 ）函數(shù) 在區(qū)間 上的最小值為 2x0，(14)設(shè) 為 3 維列向量， 為 的轉(zhuǎn)置，若矩陣 相似于 ，則 ， TT20T=碩博考研 www.edufzu.com420三、解答題：1523 小題，共 94 分. 請(qǐng)將解答寫在答題紙指定的位置上. 解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.（15 ） （本題滿分 9 分）求極限 401cosln(1ta)limixxx（16 ） （本題滿分 10 分）計(jì)算不定積分 l()dx(0)（17 ） （本題滿分 10 分）設(shè) ，其中 具有 2 階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求 與,zfxyf dz2zxy（18 ） （本題滿分 10 分）設(shè)非負(fù)函數(shù) 滿足微分方程 ，當(dāng)曲線 過(guò)原點(diǎn)時(shí)，其x020xyyx與直線 及 圍成平面區(qū)域 的面積為 2，求 繞 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積。1yD（19 ） （本題滿分 10 分）求二重積分 ，xyd其中 22,1,Dxyy（20 ） （本題滿分 12 分）設(shè) 是區(qū)間 內(nèi)過(guò) 的光滑曲線，當(dāng) 時(shí)，曲線上任一點(diǎn)處()-（ ， ） -2（ ， ） -0x的法線都過(guò)原點(diǎn)，當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 滿足 。求 的表達(dá)式0x()yxy()y（21 ） （本題滿分 11 分）（）證明拉格朗日中值定理：若函數(shù) 在 上連續(xù)，在 可導(dǎo)，則存在f,ab,ab，使得,abfa（）證明：若函數(shù) 在 處連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，且 ，則x00,0limxfA碩博考研 www.edufzu.com5存在，且 。0f0fA（22 ） （本題滿分 11 分）設(shè) ，1421（）求滿足 的所有向量22131,A3,（）對(duì)（）中的任一向量 ，證明： 線性無(wú)關(guān)。2,12（23 ） （本題滿分 11 分）設(shè)二次型 223 3123,fxaxxx（）求二次型 的矩陣的所有特征值；f（）若二次型 的規(guī)范形為 ，求 的值。21y碩博考研 www.edufzu.com62008 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、選擇題：18 小題，每小題 4 分，共 32 分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).（1 ）設(shè) ，則 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）2()1)(fxx'()fx0 1. 2 3ABCD（2 ）曲線方程為 函數(shù)在區(qū)間 上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則定積分 （ ）()yfx0,a0()atfxd曲邊梯形 ABOD 面積.梯形 ABOD 面積.B曲邊三角形 面積.CAD三角形 面積.（3 ）在下列微分方程中，以 （ 為任意常數(shù)）為通解123cosin2xyCeCx123,C的是（ ）A'''40yB'''40yyC'''yD'''（5 ）設(shè)函數(shù) 在 內(nèi)單調(diào)有界， 為數(shù)列，下列命題正確的是（ ）()fx,)nx若 收斂，則 收斂. 若 單調(diào)，則 收斂.An(nfB()nfx碩博考研 www.edufzu.com7若 收斂，則 收斂. 若 單調(diào)，則 收斂.C()nfxnxD()nfxnx（6 ）設(shè)函數(shù) 連續(xù)，若 ，其中區(qū)域 為圖中陰影部分，則f 2()(,)uvDfxyFduvDFuA2()vfB2()vfuC（7 ）設(shè) 為 階非零矩陣， 為 階單位矩陣. 若 ，則（ ）AnEn30A不可逆， 不可逆. 不可逆， 可逆.EBE可逆， 可逆. 可逆， 不可逆. CD（8 ）設(shè) ，則在實(shí)數(shù)域上與 合同的矩陣為（ ）12AA. .12B21. . CD21二、填空題：9-14 小題，每小題 4 分，共 24 分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.（9 ） 已知函數(shù) 連續(xù)，且 ，則 .()fx20cos()lim1(xfe(0)_f（10 ）微分方程 的通解是 .2xyedyy（11 ）曲線 在點(diǎn) 處的切線方程為 .sinl0,1碩博考研 www.edufzu.com8（12 ）曲線 的拐點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi).23(5)yx（13 ）設(shè) ，則 .z(1,2)_z（14 ）設(shè) 3 階矩陣 的特征值為 .若行列式 ，則 .A,3248A_三、解答題：1523 小題，共 94 分. 請(qǐng)將解答寫在答題紙指定的位置上. 解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.(15)（本題滿分 9 分）求極限 .40sinsinlmxx(16)（本題滿分 10 分）設(shè)函數(shù) 由參數(shù)方程 確定，其中 是初值問(wèn)題()yx20()ln1tyud()xt的解.求 .02xtde2x(17)（本題滿分 9 分）求積分 .120arcsinxd(18)（本題滿分 11 分）求二重積分 其中max(,),Dy(,)02,Dxyy(19)（本題滿分 11 分）設(shè) 是區(qū)間 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)增加函數(shù)，且 .對(duì)任意的()f0,(0)1f，直線 ，曲線 以及 軸所圍成的曲邊梯形繞 軸旋轉(zhuǎn)一周生成0,txt()yfxx一旋轉(zhuǎn)體.若該旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積在數(shù)值上等于其體積的 2 倍，求函數(shù) 的表達(dá)式.()f(20)（本題滿分 11 分）(1) 證明積分中值定理：若函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn) ，()fx,ab,ab使得 ()()bafxdfba碩博考研 www.edufzu.com9(2)若函數(shù) 具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足 ，證明至少存在一點(diǎn)()x32(2)1,()()xd(1,3)0使 得（21 ） （本題滿分 11 分）求函數(shù) 在約束條件 和 下的最大值與最小值.22uxyz2zxy4z（22 ） （本題滿分 12 分） 設(shè)矩陣 ，現(xiàn)矩陣 滿足方程 ，其中 ，221naAa AXB1,Tnx，1,0B（1 ）求證 ；1nA（2 ） 為何值，方程組有唯一解，并求 ；a1x（3 ） 為何值，方程組有無(wú)窮多解，并求通解 .（ 23） （本題滿分 10 分）設(shè) 為 3 階矩陣， 為 的分別屬于特征值 特征向量，向量 滿足A12,A,13，32（1 ）證明 線性無(wú)關(guān)；13,（2 ）令 ，求 .2P1PA碩博考研 www.edufzu.com102007 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、選擇題：110 小題，每小題 4 分，共 40 分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).（1 ）當(dāng) 時(shí)，與 等價(jià)的無(wú)窮小量是0xx（A） （B） （C ） （D ） e1ln1x1cosx（2 ）函數(shù) 在 上的第一類間斷點(diǎn)是 1()ta)exf,（A）0 （B）1 （C ） （D ）22（3 ）如圖，連續(xù)函數(shù) 在區(qū)間 上的圖形分別是直徑為 1 的上、下半圓()yfx3,周，在區(qū)間 的圖形分別是直徑為 2 的下、上半圓周，設(shè) ，則2,0 0()()dxFft下列結(jié)論正確的是：碩博考研 www.edufzu.com11（A） (B) 3()(2)4F5(3)(2)4F（C ） （D） （4 ）設(shè)函數(shù) 在 處連續(xù)，下列命題錯(cuò)誤的是：()fx0（A）若 存在，則 （B）若 存在，則 .0limx()f0()limxfx(0)f（C ）若 存在，則 （D）若 存在，則 .()f0 （5 ）曲線 的漸近線的條數(shù)為1lnexy（A）0. （B ）1. （C）2. （D）3. （6 ）設(shè)函數(shù) 在 上具有二階導(dǎo)數(shù)，且 ，令 ，則下列結(jié)論正確()f0,)()0fx()nuf的是： (A) 若 ，則 必收斂. (B) 若 ，則 必發(fā)散 12unu12un(C) 若 ，則 必收斂. (D) 若 ，則 必發(fā)散. u（7 ）二元函數(shù) 在點(diǎn) 處可微的一個(gè)充要條件是 (,)fxy0,（A） .(,)0,limxyf（B） .0 0(,)(,)(,0)li ,limx yf ff且（C ） .2(,)0,()(,)lixyffx碩博考研 www.edufzu.com12（D） .0 0lim(,)(0,),lim(,)(0,)xx yyffff 且（8 ）設(shè)函數(shù) 連續(xù)，則二次積分 等于y1sin2ddx（A） （B）10arcsind(,)dyfx 0arcsin(,)dyfx（C ） （D）2 12（9 ）設(shè)向量組 線性無(wú)關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是13,線性相關(guān)，則(A) (B) 1231,1231,(C) . (D) . 22（10 ）設(shè)矩陣 ，則 與 01,12ABAB(A) 合同且相似 （B ）合同，但不相似.(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 二、填空題：1116 小題，每小題 4 分，共 24 分. 把答案填在題中橫線上 .（11 ） _.30arctnsilimxx（12 ）曲線 上對(duì)應(yīng)于 的點(diǎn)處的法線斜率為_(kāi).2o1sitty4t（13 ）設(shè)函數(shù) ，則 _.3x()0ny（14 ） 二階常系數(shù)非齊次微分方程 的通解為 _.23exyy（15 ） 設(shè) 是二元可微函數(shù)， ，則 _.(,)fuv,zfz（16 ）設(shè)矩陣 ，則 的秩為 . 01A3A三、解答題：1724 小題，共 86 分. 解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.碩博考研 www.edufzu.com13（17 ） (本題滿分 10 分)設(shè) 是區(qū)間 上單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)，且滿足 ，)fx0,4 ()100cosinddfxxttt其中 是 的反函數(shù)，求 .1f()fx（18 ） （本題滿分 11 分）設(shè) 是位于曲線 下方、 軸上方的無(wú)界區(qū)域.D2(1,0)xayx（）求區(qū)域 繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積 ；(Va（）當(dāng) 為何值時(shí)， 最小？并求此最小值.a()V（19 ） （本題滿分 10 分）求微分方程 滿足初始條件 的特解.2()yxy(1)y（20 ） （本題滿分 11 分）已知函數(shù) 具有二階導(dǎo)數(shù)，且 ，函數(shù) 由方程 所確定，()fu(0)f()yx1eyx設(shè) ，求 .lnsizfyx200d,xxz（21 ） (本題滿分 11 分)設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值，,(fg,ab(,)ab，證明：存在 ，使得 .()fa()fg（22 ） (本題滿分 11 分)設(shè)二元函數(shù) ，計(jì)算二重積分 ，其22,|11(, 2xyfxyxy D(,)dfxy中 .,|D（23 ） (本題滿分 11 分) 設(shè)線性方程組 與方程 有公共解，求 的值及所有12312304xax1231xaa公共解.碩博考研 www.edufzu.com14（24 ） (本題滿分 11 分)設(shè)三階對(duì)稱矩陣 的特征向量值 ， 是 的屬于 的A123,T1(,)A1一個(gè)特征向量，記 ，其中 為 3 階單位矩陣 . 534BE（I）驗(yàn)證 是矩陣 的特征向量，并求 的全部特征值與特征向量；1B（II）求矩陣 . 2006 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、填空題：16 小題，每小題 4 分，共 24 分. 把答案填在題中橫線上.（1 ）曲線 的水平漸近線方程為 sin52coxy（2 ）設(shè)函數(shù) 在 處連續(xù)，則 .2301id,(),xtfa 0xa（3 ）廣義積分 .20(1)x（4 ）微分方程 的通解是 yx（5 ）設(shè)函數(shù) 由方程 確定，則 ()eyx0dxy（6 ）設(shè)矩陣 ， 為 2 階單位矩陣，矩陣 滿足 ，則21AEB2AE.B二、選擇題：714 小題，每小題 4 分，共 32 分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).碩博考研 www.edufzu.com15（7 ）設(shè)函數(shù) 具有二階導(dǎo)數(shù)，且 ， 為自變量 在點(diǎn) 處的增()yfx()0,()fxfx0x量， 分別為 在點(diǎn) 處對(duì)應(yīng)的增量與微分，若 ，則 d與 0 0(A) . (B) .0ydy(C) . (D) . （8 ）設(shè) 是奇函數(shù)，除 外處處連續(xù)， 是其第一類間斷點(diǎn)，則 是()fx0x0x0()dxft（A）連續(xù)的奇函數(shù). （B）連續(xù)的偶函數(shù)（C ）在 間斷的奇函數(shù) （D）在 間斷的偶函數(shù). （9 ）設(shè)函數(shù) 可微， ，則 等于()gx1()(e,(1)2gxhh()g（A） . （B）ln31ln3.（C） （D） 2（10 ）函數(shù) 滿足的一個(gè)微分方程是21eexxy（A） （B）3. 23e.xy（C） （D） 2exy（11 ）設(shè) 為連續(xù)函數(shù)，則 等于(,)fx140d(cos,in)dfrr（） . （B） .2210d(,)xfy 2210(,xfy(C) .(D) . 2210(,)dyf 2210d(,)dyf（12 ）設(shè) 均為可微函數(shù)，且 ，已知 是 在約束條(,),fx與 ,yx0,)xy(,)fx件 下的一個(gè)極值點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是 ,y(A) 若 ，則 . 0(,)xfy 0(,)yfx(B) 若 ，則 . 碩博考研 www.edufzu.com16(C) 若 ，則 . 0(,)xfy0(,)yfx(D) 若 ，則 . （13 ）設(shè) 均為 維列向量， 為 矩陣，下列選項(xiàng)正確的是 12,s nAmn(A) 若 線性相關(guān)，則 線性相關(guān). s 12,s(B) 若 線性相關(guān)，則 線性無(wú)關(guān). 12,s s(C) 若 線性無(wú)關(guān)，則 線性相關(guān) . s 12,sA(D) 若 線性無(wú)關(guān)，則 線性無(wú)關(guān). 12,s s（14 ）設(shè) 為 3 階矩陣，將 的第 2 行加到第 1 行得 ，再將 的第 1 列的 倍加到第 2 列AB得 ，記 ，則C01P（） .（） .A 1CPA（） .（） .TP T三 、解答題：1523 小題，共 94 分. 解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.（15 ） （本題滿分 10 分）試確定 的值，使得 ，,ABC23e(1)1()xBCAxo其中 是當(dāng) 時(shí)比 高階的無(wú)窮小.3()ox03（16 ） （本題滿分 10 分）求 .arcsinedx（17 ） （本題滿分 10 分）設(shè)區(qū)域 ， 計(jì)算二重積分2(,)1,0Dxyx21d.Dxy（18 ） （本題滿分 12 分）設(shè)數(shù)列 滿足n110,sin(,2)碩博考研 www.edufzu.com17（）證明 存在，并求該極限；limnx（）計(jì)算 .21linxn（19 ） （本題滿分 10 分）證明：當(dāng) 時(shí)，0ab. si2cossin2cosaa（20 ） （本題滿分 12 分）設(shè)函數(shù) 在 內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且 滿足等式()fu,)2zfxy.20zxy（I）驗(yàn)證 ；()fuf（II）若 ，求函數(shù) 的表達(dá)式. (1)0,1()fu（21 ） （本題滿分 12 分）已知曲線 L 的方程2,(0)4xtty（I）討論 L 的凹凸性；（II）過(guò)點(diǎn) 引 L 的切線，求切點(diǎn) ，并寫出切線的方程；(1,0)0(,)xy（III）求此切線與 L（對(duì)應(yīng)于 的部分）及 x 軸所圍成的平面圖形的面積.（22 ） （本題滿分 9 分）已知非齊次線性方程組 1234145xxab有 3 個(gè)線性無(wú)關(guān)的解.（）證明方程組系數(shù)矩陣 的秩 ；A2r（）求 的值及方程組的通解.,ab（23 ） （本題滿分 9 分）設(shè) 3 階實(shí)對(duì)稱矩陣 的各行元素之和均為碩博考研 www.edufzu.com183,向量 是線性方程組 的兩個(gè)解.TT12,0,10Ax()求 的特征值與特征向量；A()求正交矩陣 和對(duì)角矩陣 ,使得 .QTQ