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蘇教版高三數(shù)學復習課件向量的應用.ppt

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蘇教版高三數(shù)學復習課件向量的應用.ppt

1理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義 2了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關系 3掌握數(shù)量積的坐標表達式,會進行平面向量數(shù)量積的運算 4能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角,會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系 5會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題 6會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題,第3課時 向量的數(shù)量積、向量的應用,【命題預測】 向量的數(shù)量積是高考命題的重點,主要考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)在向量運算、化簡、求值、證明中的應用,考查平面向量平行、垂直的充要條件的應用,以及用向量的數(shù)量積解平面幾何問題多出現(xiàn)在填空題與選擇題中,難度不會太大在解答題中,常常與其他章節(jié)的內(nèi)容,例如三角函數(shù)、數(shù)列、函數(shù)等相結(jié)合,考查平面向量數(shù)量積的綜合運用,綜合性較強,屬于中等偏難的題,【應試對策】 1在運用向量的數(shù)量積解題時,一定要注意兩向量的夾角 兩向量的夾角描述了兩向量的方向差異,求兩向量的夾角時一定要注意向量 的方向例如在ABC中,向量 的夾角是B,不是B. (1)當a0時,由ab0不能推出b0,這是因為任一與a垂直的非零向量b都 有ab0.,(2)當a0時,由abac也不能推出bc.只要b,c在a方向上的投影相等(|b|cosb,a|c|cosc,a),都有abac(如圖所示,對于直線l上任意點P, 的值都相等) (3)數(shù)量積運算不滿足結(jié)合律,即(ab)c不一定等于a(bc)這是因為(ab)c表示一個與c共線的向量,而a(bc)表示一個與a共線的向量,而a與c不一定共線,2數(shù)量積公式ab|a|b|cos (其中為a,b的夾角)的一些簡單應用: (1)當0時,ab|a|b|,所以求兩向量的模的乘積可轉(zhuǎn)化為求向量的 數(shù)量積 (2)當90時,ab0ab,所以判定兩向量垂直??赊D(zhuǎn)化為證明數(shù) 量積為零 (3) 0點O在以AB為直徑的圓上; 0點O在以AB為直徑的圓外AOB90.,【知識拓展】 向量積 由兩向量a和b作一個新向量c,若c滿足下列三個條件: (1)向量c的模等于|a|b|sina,b;(2)c同時垂直于a和b;(3)c的方向按“右手法則”確定則稱c為a與b的向量積,記作cab.,1兩個向量的夾角 (1)定義:對于 向量a與b,作 ,則AOB=, (0180)叫做向量a與b的夾角 (2)特殊情形:當= 時,a與b同向;當= 時,a與b反向; 當= 時,則稱向量a與b垂直,記作ab.,兩個非零,180,0,90,2平面向量的數(shù)量積 (1)平面向量數(shù)量積的定義 已知兩個非零向量a和b,它們的夾角為,則數(shù)量 叫做a與 b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作ab,即 ,并規(guī)定零向量與任 一向量的數(shù)量積為 .,|a|b|cos ,0,ab|a|b|cos ,(2)b在a方向上的投影 定義:設是a與b的夾角,則 叫做a在b的方向上的投影, 叫 做b在a的方向上的投影,一向量在另一向量的方向上的投影是一個實數(shù),而不是 向量,當090時, 它是 ,當90180時, 它是 , 當90時,它是 . ab的幾何意義 數(shù)量積ab等于a的長度|a|與 的投影|b|cos 的乘積,|a|cos ,|b|cos ,正數(shù),負數(shù),b與a的方向上,0,3向量數(shù)量積的運算律 (1)ab (交換律)(2)(a)b (數(shù)乘結(jié)合律) (3)(ab)c .(分配律) 4平面向量數(shù)量積的坐標表示 a(x1,y1),b(x2,y2) (1)ab .(2)|a| ,|b| . (3)ab . (4)若a與b夾角為,則cos .,ba,(ab),a(b),acbc,x1x2y1y2,x1x2y1y20,(5)若c的起點坐標和終點坐標分別為(x1,y1),(x2,y2), 則|c| . 5向量方法解決幾何問題的步驟 (1)建立幾何與向量的聯(lián)系,用 表示問題中的幾何元素,將幾何問題轉(zhuǎn) 化為 問題 (2)通過向量的 ,研究幾何元素之間的關系,如夾角、距離、垂直、 平行等問題 (3)把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關系,向量,運算,向量,1對于向量a、b、c和實數(shù),下列命題中真命題是_ 若ab0,則a0或b0 若a0,則0或a0 若a2b2,則ab或ab 若abac,則bc 解析:A中若ab,則有ab0,不一定有a0,b0. C中當|a|b|時,a2b2,此時不一定有ab或ab. D中當a0時,abac,不一定有bc. 答案:,2(2010江蘇通州市高三素質(zhì)檢測)已知向量a和向量b的夾角為30,|a|2,|b| ,則向量a和向量b的數(shù)量積ab_. 答案:3,3 若向量a與b的夾角為60,|b|4,(a2b)(a3b)72, 則向量a的模是_ 解析:(a2b)(a3b)a26b2ab72, |a|22|a|240,解得|a|6. 答案:6,4已知a(2,1),b(3,x),若(2ab)b,則x的值是_ 解析:2ab(4,2)(3,x)(1,2x),又(2ab)b, 3x(2x)0,x22x30.解得x1或3. 答案:1或3,5已知力F(3,5),在力F的作用下發(fā)生的位移S(6,9), 則F所做的功為_ 解析:WFS(3,5)(6,9)184563. 答案:63,1向量的數(shù)量積有兩種計算方法,一是利用公式ab|a|b|cos 來計算, 二是利用abx1x2y1y2來計算,具體應用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇, 同時要注意數(shù)量積運算律的應用 2利用數(shù)量積求長度問題是數(shù)量積的重要應用,要掌握此類問題的處理方法: (1)|a|2a2aa;(2)|ab|2(ab)2a22abb2; (3)若a(x,y),則|a|,【例1】 已知|a|3,|b|4,a與b的夾角為 ,求:(1)(3a2b)(a2b); (2)|ab|. 思路點撥:利用平面向量數(shù)量積的定義及運算律,可求出第(1)問; 求|ab|可先求(ab)2,再開方,解:(1)ab|a|b|cos 34 a2329,b216.(3a2b)(a2b) 3a28ab4b2398( )649148 (2)|ab|2(ab)2a22abb292( )162512 |ab|,變式1:(1)證明:(ab)2a22abb2; (2)設a、b是夾角為60的單位向量,求|2ab|、|3a2b|. 解:(1)證明:(ab)2(ab)(ab)(ab)a(ab)b a2ba (abb2)a22abb2. (2)|2ab|2(2ab)24a24abb244|a|b| cos 6017, |2ab| .同理可求|3a2b| .,1非零向量abab0x1x2y1y20. 2當向量a與b是非坐標形式時,要把a,b用已知的不共線的向量表示 【例2】 已知|a|5,|b|4,且a與b的夾角為60,則當k為何值時, 向量kab與a2b垂直? 思路點撥:由(kab)(a2b)(kab)(a2b)0, 展開求解即可,解:(kab)(a2b),(kab)(a2b)0, ka2(2k1)ab2b20, k52(2k1)54cos 602420,k 即k為 時,向量kab與向量a2b垂直,在ABC中, (2,3), (1,k), 且ABC的一個內(nèi)角為直角,求k的值 解:(1)當A90時, 0,213k0,k (2)當B90時, (12,k3)(1,k3) ,2(1)3(k3)0,k (3)當C90時, 0, 1k(k3)0,k23k10,k k的取值為,變式2:,用向量解決應用問題,首先要把實際問題中的條件和要求(或證)的問題用向量表示出來,然后通過向量的運算求出結(jié)果,并把求出的結(jié)果解釋為實際要求的問題,【例3】 在ABC內(nèi)求一點P ,使AP2BP2CP2的值最小 思路點撥:AP2BP2CP2可轉(zhuǎn)化為向量模的平方來表示,而模的平方又可轉(zhuǎn)化為數(shù)量積,所以,可選定一組基底來解決最小值問題,解:設 ,則 , 于是 (pa)2(pb)2p23p22(ab)pa2b2 當p (ab)時, 取最小值 記D為AB的 中點,則ab2 ,于是 C,P,D三點共線,且P點是ABC的重心時, 取最小值, 即AP2BP2CP2的值最小,若D是ABC內(nèi)的一點,且AB2AC2DB2DC2,求證:ADBC. 證明:設 , 則aec,bed, a2b2(ec)2(ed)2c2d22ec2ed 由已知,a2b2c2d2, 由,可得eced0,即e(cd)0. dc, 0,ADBC.,變式3:,1平面向量a與b的數(shù)量積|a|b|cos ,它是一個實數(shù),而不是向量, 它的值等于兩個向量的模與兩向量夾角余弦的乘積,其中的取值范圍是 0180. 2向量數(shù)量積ab與實數(shù)a、b乘積ab不同由ab0,并不能得出a0或 b0,因為兩非零向量夾角為90時,數(shù)量積也為0.,【規(guī)律方法總結(jié)】,3向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律,即(ab)ca(bc),在(ab)c與a(bc) 中,由于ab與bc都是一個實數(shù),設ab1,bc2,則(ab)c 1c,a(bc)2a,它們分別是與c共線和與a共線的向量,由于a與c不一 定共線,那么1c與2a的方向不一定相同,故一般情況下, (ab)ca(bc) 4數(shù)量積的消去律不成立,即abcb不一定得到ac.,5可以用向量的數(shù)量積公式解決有關夾角和垂直問題,但要注意兩種公式 的靈活運用 6利用向量垂直的充要條件研究幾何中線與線垂直的問題,若易建立適當 的坐標系,得到簡單的向量坐標表示,則可以減少運算量,實現(xiàn)了平面幾 何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量的運算.,【例4】 已知向量a,b滿足|a|b|1,且|akb| |kab|,其中k0. (1)試用k表示ab,并求出ab的最大值及此時a與b的夾角的值; (2)當ab取得最大值時,求實數(shù),使|ab|的值最小,并對這一結(jié)果作出幾何解釋.,本題可以通過對已知條件兩端平方解決,容易出現(xiàn)的問題是對向量模與數(shù)量積的關系不清導致錯誤,如認為|akb|a|kb|或|akb|2|a|22k|a|b|k2|b|2等都會得出錯誤的結(jié)果第二個易錯之處就是在得到ab 后,忽視了k0的限制條件,求錯最值,【錯因分析】,解:(1)|akb| |kab|(akb)23(kab)2ab (k0) ab ,ab的最大值為 此時cos , . ab (k0),ab的最大值為 此時a與b的夾角的值為 .,【答題模板】,(2)由題意,ab ,故|ab|221 當 時,|ab|的值最小, 此時 b0,這表明 b.,向量的運算法則有相同的,也有不同的,在命題中千萬不要進行盲目類比,特別是關于向量的數(shù)量積的運算法則和實數(shù)的乘法運算法則完全不同,一定要把這些運算法則分清楚.,【狀元筆記】,1 設向量a,b,c滿足abc0,(ab)c,ab, 若|a|1,求|a|2|b|2|c|2. 分析:把條件化簡整理,根據(jù)“向量垂直等價于向量的數(shù)量積為零”, 尋找向量a,b,c的內(nèi)在聯(lián)系,解:abc0,c(ab) (ab)c,(ab)c(ab)(ab)0, a2b2,|b|1.ab,ab0, |c|2c2(ab)2a2b22ab2, |a|2|b|2|c|21124.,2已知兩個向量e1,e2滿足|e1|2,|e2|1,e1,e2的夾角為60. (1)若向量2te17e2與向量e1te2的方向相反,求實數(shù)t的值; (2)若向量2te17e2與向量e1te2的夾角為鈍角,求實數(shù)t的取值范圍 分析:兩個非零向量a,b反向,等價于ab(0);兩個非零向量 a,b所成的夾角為鈍角,等價于cos 0且cos 1, 即等 價于 “ab0且a,b不反向”,解:(1)由題意設2te17e2(e1te2)(0,則t 不合題意,舍去 當t 時,2te17e2與向量e1te2的夾角為, 即這兩個向量方向相反,(2)因為e4,e1,e1e221 cos 601, 所以(2te17e2)(e1te2)2te(2t27)e1e27te2t215t7. 因為這兩個向量夾角為鈍角,設夾角為, 則有 cos 所以有(2te17e2)(e1te2)0,且2te17e2與向量e1te2不反向,當2t215t70時,解得7t 又由(1)知t 時,這兩個向量的夾角為, t的取值范圍是,

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