蘇教版高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件數(shù)列的綜合應(yīng)用.ppt

1了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法 2了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù) 3能在具體的問題情境中，識別數(shù)列的等差、等比關(guān)系，并能用有 關(guān)知識解決相應(yīng)的問題,第5課時 數(shù)列的綜合應(yīng)用,【命題預(yù)測】,有關(guān)等差、等比數(shù)列的考查在高考中主要是探索題、綜合題和應(yīng)用 題考生應(yīng)具有針對 性地進(jìn)行訓(xùn)練，并從“注重?cái)?shù)學(xué)思想方法、強(qiáng)化運(yùn)算能力、重點(diǎn)知識重 點(diǎn)練”的角度做 好充分準(zhǔn)備同時，對于數(shù)列與解析幾何的綜合題型要予以充分重視,【應(yīng)試對策】,1在解決有關(guān)數(shù)列的具體應(yīng)用問題時： (1)要讀懂題意，理解實(shí)際背景，領(lǐng)悟其數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，舍棄與解題無關(guān)的非本質(zhì)性東西； (2)準(zhǔn)確地歸納其中的數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型； (3)根據(jù)所建立的數(shù)學(xué)模型的知識系統(tǒng)，解出數(shù)學(xué)模型的結(jié)果； (4)最后再回到實(shí)際問題中去，從而得到答案,2在求數(shù)列的相關(guān)和時，要注意以下幾個方面的問題：(1)直接用公式求 和時，注意公式的應(yīng)用范圍和公式的推導(dǎo)過程 (2)注意觀察數(shù)列的特點(diǎn)和規(guī)律，在分析數(shù)列通項(xiàng)的基礎(chǔ)上，或分解為基本數(shù)列求和，或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和 (3)求一般數(shù)列的前n項(xiàng)和時，無一般方法可循，要注意掌握某些特殊數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，觸類旁通,3在用觀察法歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式(尤其是在處理客觀題目時)時，要注 意適當(dāng)?shù)馗鶕?jù)具體問題多計(jì)算相應(yīng)的數(shù)列的前幾項(xiàng)，否則會因?yàn)樗?jì)算的數(shù)列的項(xiàng)數(shù)過少，而歸納出錯誤的通項(xiàng)公式，從而得到錯誤的結(jié)論,【知識拓展】,1求由遞推公式所確定的數(shù)列的通項(xiàng)，通?？赏ㄟ^對遞推關(guān)系的一系列變換， 構(gòu)造出一個新數(shù)列，轉(zhuǎn)化成等差或等比數(shù)列或與之類似的問題來求解 (1)遞推式為an1panqn(其中p，q是常數(shù))通?？梢詢蛇呁瑫r除以 qn1(q0)，得到數(shù)列 ，令bn ，得到數(shù)列bn1 ，從而問題可解,(2)遞推式為an2pan1qan(其中p，q是常數(shù))，通常設(shè) ，則可由p，q，求得，從而構(gòu) 造出數(shù)列 得以求解 (3)遞推式為Sn與an間的關(guān)系式時，通常要考慮利用an 將已 知關(guān)系轉(zhuǎn)化為an或Sn的項(xiàng)間的關(guān)系，從而求解,1數(shù)列的概念：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一 個數(shù)叫做這個數(shù)列的項(xiàng) 2數(shù)列中排在第一位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第1項(xiàng)(或首項(xiàng))，排在第二位的 數(shù)稱為這個數(shù)列的第2項(xiàng)排在第n位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第n項(xiàng) 3數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，an，簡記為an 4數(shù)列的分類：有窮數(shù)列與無窮數(shù)列，遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列與擺動數(shù)列 5數(shù)列的通項(xiàng)公式：如果數(shù)列的第n項(xiàng)與序號n之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項(xiàng)公式,6數(shù)列的遞推公式：如果已知數(shù)列an的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且任一項(xiàng)an與它的前一 項(xiàng)an1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的 遞推公式,8數(shù)列作為特殊的函數(shù)，在解決實(shí)際問題過程中有著廣泛的應(yīng) 用，如人口增長問題、存款利率問題、分期付款問題利用等差數(shù)列和等比數(shù)列還可以解決一些簡單的已知數(shù)列的遞推關(guān)系求其通項(xiàng)公式等問題,7數(shù)列的表示方法：列表法、圖象法、通項(xiàng)公式法、遞推公式法,1某種細(xì)胞開始有2個，1小時后分裂成4個并死去1個，2小時后分裂成6 個并死去1個，3小時后分裂成10個并死去一個，按此規(guī)律進(jìn)行下去， 6小時后細(xì)胞存活的個數(shù)是_ 解析：設(shè)開始的細(xì)胞數(shù)和n小時后的細(xì)胞數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為an 則 即 2.則an1構(gòu)成等比數(shù)列 an112n1，an2n11，a765. 答案：65,2已知等差數(shù)列an的公差為2，且a1a4a7a9750，則a3 a6a9a99_. 解析：a3a6a9a99(a1a4a7a97)33(4) 50(132)82. 答案：82,3數(shù)列an中，若a1 ，an (n2，nN)，則a2 007的值為_ 解析：a1 ，a22，a31，a4 ，可推測數(shù)列an以3為周期， 2 0073669，a2 007a31.也可直接推出an3an. 答案：1,4在數(shù)列an中，已知a11，a25，an2an1an(nN*)， 則a2 007等于_ 解析： an3an， an6 an3an.即an是周期為 6的數(shù)列 a2 007a63343a3a2a14. 答案：4,5北京市為成功舉辦2008年奧運(yùn)會，決定從2003年到2007年5年間更新市內(nèi)現(xiàn) 有全部出租車，若每年更新的車輛數(shù)比前一年遞增10%，則2003年底更新的 車輛數(shù)約為現(xiàn)有總車輛數(shù)的_(參考數(shù)據(jù)1.141.46,1.151.61) 解析：設(shè)市內(nèi)全部出租車輛為b,2003年底更新的車輛為a，則2004年更新的 車輛為a(110%)，2005年更新的車輛為a(110%)2,2006年更新的車輛為 a (110%)3,2007年更新的車輛為a(110%)4，由題意可知： aa(110%) a(110%)2a(110%)3a(110%)4b， a(11.11.121.131.14)bab， 16.4%.故2003年底更新的車輛數(shù)約為現(xiàn)有總車輛數(shù)的16.4%. 答案：16.4%,1等差數(shù)列與等比數(shù)列相結(jié)合的綜合問題是高考考查的重點(diǎn)，特別是 等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式以及等差中項(xiàng)，等比中項(xiàng) 問題是歷年命題的熱點(diǎn) 2利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時注意公比q的取值同時對兩種數(shù)列的 性質(zhì)，要熟悉它們的推導(dǎo)過程，利用好性質(zhì)，可降低題目的難度，解 題時有時還需利用條件聯(lián)立方程求解,【例1】 設(shè)an是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和， 已知S37，且a13,3a2，a34構(gòu)成等差數(shù)列 (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)；(2)令bnln a3n1，n1,2，求數(shù) 列bn的前n項(xiàng)和Tn. 思路點(diǎn)撥：(1)由已知列出方程組求出公比q與首項(xiàng)a1； (2)結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算，判斷數(shù)列bn是等差數(shù)列，再求和,解：(1)由已知得： 解得a22. 設(shè)數(shù)列an的公比為q，由a22，可得a1 ，a32q，又S37， 可知 22q7， 即2q25q20.解得q12，q2 . 由題意得q1，q2.a11.故數(shù)列an的通項(xiàng)為an2n1. (2)由于bnln a3n1，n1,2，由(1)得a3n123n. bnln 23n3nln 2，又bn1bn3ln 2，bn是等差數(shù)列 Tnb1b2bn ln 2.故Tnln 2.,【例2】 已知f(x)logax(a0且a1)，設(shè)f(a1)，f(a2)，f(an)(nN*)是首項(xiàng) 為4，公差為2的等差數(shù)列 (1)設(shè)a為常數(shù)，求證：an成等比數(shù)列； (2)若bnanf(an)，bn的前n項(xiàng)和是Sn，當(dāng)a 時，求Sn. 思路點(diǎn)撥：利用函數(shù)的有關(guān)知識得出an的表達(dá)式，再利用表達(dá)式解決 其他問題,解：(1)證明：f(an)4(n1)22n2，即logaan2n2，可得ana2n2. a2(n2)，為定值an為等比數(shù)列 (2)bnanf(an)a2n2logaa2n2(2n2)a2n2. 當(dāng)a 時，bn(2n2)( )2n2(n1)2n2. Sn223324425(n1)2n2 2Sn224325426n2n2(n1)2n3 得Sn22324252n2(n1)2n3 16 (n1)2n3162n324n2n32n3 n2n3.Snn2n3.,變式1：已知實(shí)數(shù)列an是等比數(shù)列，其中a71，且a4，a51，a6成等差 數(shù)列 (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn，證明Sn128(n1,2,3，),解：(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(qR)， 由a7a1q61，得a1q6，從而a4a1q3q3，a5a1q4q2， a6a1q5q1. 因?yàn)閍4，a51，a6成等差數(shù)列，所以a4a62(a51)， 即q3q12(q21)，q1(q21)2(q21) 所以q .故ana1qn1q6qn164 n1. (2)證明：Sn 128.,2已知數(shù)列an滿足a12，且點(diǎn)(an，an1)在函數(shù)f(x)x22x的圖象 上，其中n1,2,3，. (1)證明：數(shù)列l(wèi)g(1an)是等比數(shù)列； (2)設(shè)Tn(1a1)(1a2)(1an)，求Tn及數(shù)列an的通項(xiàng),解：(1)證明：由已知an1 2an，an11(an1)2.a12，an11， lg(an11)2lg(an1)數(shù)列l(wèi)g(an1)是公比為2的等比數(shù)列 (2)由(1)知 Tn ，an,解決數(shù)列的應(yīng)用問題必須準(zhǔn)確探索問題所涉及的數(shù)列類型： (1)如果問題所涉及的數(shù)列是特殊數(shù)列(如等差數(shù)列、等比數(shù)列， 或與等差、等比有關(guān)的數(shù)列等)，應(yīng)首先找出數(shù)列的通項(xiàng)公式 (2)如果問題所涉及的數(shù)列不是某種特殊數(shù)列，一般應(yīng)考慮先建立 數(shù)列的遞推關(guān)系(即an與an1的關(guān)系) (3)解決數(shù)列的應(yīng)用問題必須準(zhǔn)確計(jì)算項(xiàng)數(shù)，例如與“年數(shù)”有關(guān)的問題， 必須確定起算的年份，而且應(yīng)準(zhǔn)確定義an是表示“第n年”還是“n年后”,【例3】 從社會效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)， 并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將會 比上年減少 .本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬元，由于該項(xiàng)建設(shè)對旅游 業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加 .,(1)設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元，寫出 an，bn的表達(dá)式； (2)至少經(jīng)過幾年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？ 思路點(diǎn)撥：(1)寫出a1，b1，a2，b2，由此得出an，bn的表達(dá)式 (2)解不等式bnan0，求n的最小值,解：(1)第1年投入800萬元，第2年投入為800 萬元，第n年投入為800 n1萬元，所以，n年內(nèi)的總投入an800800 800n14 000 . 第1年旅游業(yè)收入為400萬元，第2年旅游業(yè)收入為400 萬元， 第n年旅游業(yè)收入為400 n1萬元所以，n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入 bn400400 400 n11 600 .,(2)設(shè)至少經(jīng)過n年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，由此bnan0， 即1 600 4 000 0，化簡得，5 n2 n 70， 設(shè)x n，代入上式得5x27x20， 解此不等式，得x ，x1(舍去)，即 n ，由此得n5. 至少經(jīng)過5年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入,變式3：如下圖所示，在一直線插有13面小旗，相鄰兩面間距離為10m，在第一面小旗處有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路最短，應(yīng)集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是多少？,解：設(shè)將旗集中到第x面小旗處，則從第一面旗到第x面處，共走路程為 10(x1)，然后回到第二面處再到第x面處是20(x2)，從第x面處到第(x1)面處的路程為20，從第x面處到第(x2)面取旗再到第x面處，路程為202，總的路程為S10(x1)20(x2)20(x3)2022012020220(13x),10(x1)20 20 10(x1)(x2)(x1) (13x)(14x)10(2x229x183) 20 xN*，x7時，S有最小值S780(m)將旗集中到第7面小旗處， 所走路程最短.,1深刻理解等差(比)數(shù)列的性質(zhì)，熟悉它們的推導(dǎo)過程是解題的關(guān) 鍵兩類數(shù)列性質(zhì)有類似的部分，又有區(qū)別，要在應(yīng)用中加強(qiáng)記 憶同時，用好性質(zhì)也會降低解題的運(yùn)算量，從而減少差錯 2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式要分兩種情況，公比等于1和公比不等于1， 最容易忽視公比等于1的情況，要注意這方面的練習(xí) 3在等差數(shù)列與等比數(shù)列中，經(jīng)常要根據(jù)條件列方程(組)求解，在解方程 組時，仔細(xì)體會兩種情形中解方程組的方法的不同之處,【規(guī)律方法總結(jié)】,4數(shù)列的滲透力很強(qiáng)，它和函數(shù)、方程、三角、不等式等知識相互聯(lián)系，優(yōu) 化組合，無形中加大了綜合的力度解決此類題目，必須對蘊(yùn)藏在數(shù)列概念和 方法中的數(shù)學(xué)思想有所了解，深刻領(lǐng)悟它在解題中的重大作用，常用的數(shù)學(xué)思 想方法有：“函數(shù)與方程”“數(shù)形結(jié)合”“分類討論”“等價(jià)轉(zhuǎn)換”等 5在現(xiàn)實(shí)生活中，人口的增長，產(chǎn)量的增加、成本的降低、存貸款利息的 算、分期付款問題等，都可以利用數(shù)列解決，因此要會在實(shí)際問題中抽象出數(shù) 學(xué)模型，并用它解決問題.,【高考真題】,【例4】 (2009全國卷)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.已知a11，Sn14an2. (1)設(shè)bnan12an，證明數(shù)列bn是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式 分析：本題第(1)問將an2Sn2Sn1代入可以得到an的遞推式，再用 bnan12an代入即證；第(2)問將bn的通項(xiàng)公式代入bnan12an，可得an的遞推式，再依照題型模式求解即可,規(guī)范解答：(1)由已知得a1a24a12，解得a23a125， 故b1a22a13. 又an2Sn2Sn14an12(4an2) 4an14an， 于是an22an12(an12an)， 即bn12bn. 因此數(shù)列bn是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列,(2)由(1)知等比數(shù)列bn中b13，公比q2， 所以an12an32n1，于是 因此數(shù)列 是首項(xiàng)為 ，公差為 的等差數(shù)列， 所以an(3n1)2n2.,【命題探究】,【全解密】,求解等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是高考的?？碱}型但是，作為以“能力立意”為命題思路的高考試題，往往會在試題的命制上對考生的思維能力提出更高的要求本題的命題構(gòu)思非常簡捷，給出數(shù)列an的初始值a11和一個遞推關(guān)系式Sn14an2，由此可以探究數(shù)列an的通項(xiàng)公式，但思維的跨度較大，且考查形式單一于是，命題人設(shè)計(jì)了一個過渡關(guān)系式bnan12an，由此可以考查等比數(shù)列,【誤點(diǎn)警示】,本題的求解過程有兩個常見的思維錯誤： (1)由于在平時的學(xué)習(xí)中，我們常常接觸到an與Sn的遞推式an SnSn1(n2，nN*)，于是沒有注意到本題的題目形式特點(diǎn)， 將anSnSn1直接代入，從而出現(xiàn)下標(biāo)的混亂其實(shí)只要將an1 Sn1Sn(nN*)代入就不會使下標(biāo)不一致了所以注意下標(biāo)的特點(diǎn)是求 解這類問題的關(guān)鍵,(2)得到遞推式an12an32n1后，不會轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列 求解，只是看到等式右邊是一個等比數(shù)列的形式，可以求和，于是結(jié)合平時的做題經(jīng)驗(yàn)，企圖利用疊加法求和，使計(jì)算繁瑣且不能成功所以我們在平時的學(xué)習(xí)時要注意積累并理解常見題型的特點(diǎn)、求解的基本思路和方法，高考時才不會出現(xiàn)思維混亂，顧此失彼.,1設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，前n項(xiàng)和Sn0(n1,2，) (1)求q的取值范圍； (2)設(shè)bnan2 an1，記bn的前n項(xiàng)和為Tn，試比較Sn與Tn的大小 分析：對于第一個問題，應(yīng)依據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式將和表示出 來，從而問題轉(zhuǎn)化為解不等式；對于第二個問題，要注意兩個數(shù)列間的 關(guān)系，表示出bn，從而找到兩個數(shù)列的前n項(xiàng)和間的關(guān)系，從而比較其大小,解：(1)由于數(shù)列an是等比數(shù)列，且Sn0，a1S10，q0， 當(dāng)q1時，Snna10；當(dāng)q1時，Sn 0， 即 0(n1,2,3，)， 上式等價(jià)于 ，(n1,2,3，)， 或 ，(n1,2,3，)， 解，得q1；解，由于n可為偶數(shù)，得1q1. 綜上所述，q的取值范圍是(1,0)(0，),(2)由bnan2 an1，得bnan ，Tn Sn 于是TnSnSn (q2)Sn，又Sn0， 且1q0或q0， 當(dāng)1q 或q2時，TnSn0即TnSn； 當(dāng) q2且q0時，TnSn0，即TnSn； 當(dāng)q或q2時，TnSn0，即TnSn.,2已知an，bn為兩個數(shù)列，點(diǎn)M(1,2)，An(2，an)，Bn 為平面直 角坐標(biāo)系上的點(diǎn) (1)對nN*，若點(diǎn)M，An，Bn在同一直線上，求數(shù)列an的通項(xiàng)an； (2)在(1)的條件下若數(shù)列an滿足 2n3(nN*)，求數(shù)列bn的 前n項(xiàng)和Sn. 分析：三點(diǎn)共線可以利用斜率相等列出等式，求出數(shù)列an的通項(xiàng)an.,解：(1)由題設(shè)知kMAnkMBn，由斜率公式得 ，解得an 2n(nN*) (2)由題設(shè)知a1a2ann(n1)，條件中的等式可化為 a1b1a2b2anbnn(n1)(2n3)， 有a1b1a2b2an1bn1(n1)n(2n5) 得bn3n4(n2)當(dāng)n1時，a1b112(1)，得b11. bn3n4(nN*) bn1bn3(nN*)則數(shù)列bn是公差為3的等差數(shù)列 Sn,