蘇教版高三數(shù)學復習課件幾何概型.ppt

了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率/了解幾何概型的意義了解兩個互 斥事件的概率加法公式及對立事件的概率公式并能簡單應用,第5課時 幾何概型、互斥事件,1高考中對幾何概型、互斥事件的考查，一般多以填空題的形式出現(xiàn)，有時與 統(tǒng)計、幾何的知識結合起來，要求考生要有較扎實、全面的基礎知識 2對幾何概型的有關內容在教材中是個難點，是高考試題中的新題型，在復習 中要適當增加針對性,【命題預測】,3有關互斥事件概率、等可能事件的題型有時也會以解答題的形式出現(xiàn)，在復 習中應注意加強互斥事件的定義以及應用加法公式的題目對古典概型的有 關內容在教材中是個難點，是高考試題中的新題型，在復習中要適當增加對 這部分知識的練習 4有關概率的題目多為應用題型，這些應用題的背景與實際生活密切相關，在 復習中要注意培養(yǎng)學數(shù)學用數(shù)學的意識和實踐能力,1從概率的幾何定義可知，在幾何概型中，“等可能”一詞應理解為對應于 每個試驗結果的點落入某區(qū)域內的可能性大小與該區(qū)域的度量成正比，而與該區(qū)域的位置與形狀無關對于一個具體問題能否應用幾何概型的概率計算公式，關鍵在于能否將問題幾何化也可根據(jù)實際問題的具體情況，選擇適當?shù)膮?shù)，建立適當?shù)淖鴺讼?，在此基礎上，將試驗的每一個結果一一對應于該坐標系中的一點，使得全體結果構成一個可度量的區(qū)域,【應試對策】,2幾何概型與古典概型的兩個特征要注意對比，以便準確地將實際問題轉化為相應的概率類型即古典概型適用于計算所有試驗結果是有限個且結果是等可能出現(xiàn)的情況，而幾何概型則適用于試驗結果是無窮多的情形，但它們的解題思路是相同的，同屬于“比例解法”在解答幾何概型時，要把基本事件和隨機事件與某一特定的幾何區(qū)域及其子區(qū)域對應起來，其中基本事件中的每一個基本事件與這個特定的幾何區(qū)域中的點一一對應幾何概型是區(qū)別于古典概型的又一概率模型，使用幾何概型的概率計算公式時，,一定要注意其適用條件：每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的度量成比例；試驗中所有可能出現(xiàn)的結果(基本事件)有無限多個；每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等當子區(qū)域r和幾何區(qū)域R是一維區(qū)域時，它們的大小用它們的長度來表示；當子區(qū)域r和幾何區(qū)域R是二維區(qū)域時，它們的大小用它們的面積來表示為定義統(tǒng)一，若幾何區(qū)域的大小我們稱為這個區(qū)域的“度量”，則P(A)子區(qū)域r的度量/區(qū)域R的度量,3了解互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系，會用互斥事件的概率加法公式計算一些事件的概率，在解題過程中要注意運用符號語言、概率語言將題目轉化為數(shù)學問題求復雜的互斥事件的概率，一般有兩種方法：一是直接求解法，將所求事件的概率分成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是間接求解法先求此事件的對立事件的概率，再用公式P(A)1P( )求出此事件的概率特別是解決“至多”、“至少”型的題目，用方法二就顯得比較方便,互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系 (1)互斥事件與對立事件都是兩個事件的關系，互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩 個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外，還要求二者之一必須有 一個發(fā)生因此，對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件 (2)從集合的角度去認識互斥事件和對立事件：如果A、B是兩個互斥事件，反 映在集合上，是表示A、B這兩個事件所含結果組成的集合的交集為空集 如果A與B是兩個對立事件，則AB，ABI(全集)即 (A的對立事件) IA.,【知識拓展】,1幾何概型的定義 對于一個隨機試驗，我們將每個基本事件理解為從某個特定的 地取一 點，該區(qū)域中每一點被取到的機會 ；而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到 上述區(qū)域內的某個 這里的區(qū)域可以是 、 、 等用這種方法處理隨機試驗，稱為幾何概型,區(qū)域內隨機,均等,非空子集內,長度,面積,體積,2概率計算公式 在幾何區(qū)域D中隨機地取一點，記事件“該點落在其內部的一個區(qū)域d內”為事件A，則事件A發(fā)生的概率P(A) . 3求試驗中幾何概型的概率，關鍵是求得事件所占區(qū)域和整個區(qū)域的幾何度量，然后代入公式即可求解 思考：古典概型與幾何概型的區(qū)別 提示：古典概型與幾何概型中基本事件發(fā)生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限個，幾何概型要求基本事件有無限多個,4互斥事件 (1)不可能同時發(fā)生的兩個事件稱為 事件 (2)如果事件A1，A2，An中的任何兩個都是互斥事件，就說事件A1，A2，An 互斥 (3)設A，B為互斥事件，若事件A、B至少有一個發(fā)生，我們把這個事件記作 .,彼此,AB,互斥,5互斥事件的概率加法公式 (1)如果事件A，B互斥，那么事件AB發(fā)生的概率，等于事件A，B分別發(fā)生 的概率的 ，即P(AB)P(A)P(B) (2)如果事件A1，A2，An兩兩互斥， 則P(A1A2An) ,和,P(A1)P(A2)P(An),(1)兩個互斥事件 ，則稱這兩個事件為對立事件，事件A的對立事件記為 . (2)P(A)P( ) ，P( )1 思考：對立事件一定是互斥事件嗎？反之是否成立？ 提示：對立事件一定是互斥事件，但互斥事件并不一定是對立事件,必有一個發(fā)生,1,P(A),6對立事件,1(2010栟茶中學學情分析)從集合(x，y)|x2y24，xR，yR內任選一個 元素(x，y)，則x，y滿足xy2的概率為_ 答案：,2(2009蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高三教學情況調查) 已知如圖所示的矩形，長為12，寬為5，在矩形內隨機地投擲1 000顆黃豆， 數(shù)得落在陰影部分的黃豆數(shù)為600顆，則可以估計出陰影部分的面積約 為 . 解析：設所求的面積為S，由題意得： = ，S=36. 答案：36,3某人隨機地在如右圖所示正三角形及其外接圓區(qū)域內部投針(不包括三角形邊 界及圓的邊界)，則針扎到陰影區(qū)域(不包括邊界)的概率為_ 解析：設正三角形邊長為a，則外接圓半徑r a . 概率P . 答案：,4(江蘇省高考命題研究專家原創(chuàng)卷)已知函數(shù)f(x)x22x3(5x5)，則 任取x，使得f(x)0的概率為_ 解析：由x22x30，得1x3.又因為5x5，所以由幾何概型 的概率，得P .所以f(x)0的概率為 . 答案：,5根據(jù)多年氣象統(tǒng)計，某地6月1日下雨的概率是0.45，陰天的概率為0.20，則 該日睛天的概率是_ 解析：所求概率P10.450.200.35. 答案：0.35,1如果試驗的結果構成的幾何區(qū)域D的測度可用長度表示，則其概率的計算公 式為P(A) . 2將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內隨機地取一點，該區(qū)域中每 一點被取到的機會都一樣，而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū) 域內的某個指定區(qū)域中的點，這樣的概率模型就可以用幾何概型來求解,【例1】 有一段長為10米的木棍，現(xiàn)要截成兩段，每段不小于3米的概率有多大？ 思路點撥：從每一個位置剪斷都是一個基本事件，基本事件有無限多個但 在每一處截斷的可能性相等，故是幾何概型 解：記“截得兩段都不小于3米”為事件A，從木棍的兩端各度量出3米，這 樣中間就有10334(米)在中間的4米長的木棍處截都能滿足條件，所 以P(A) 0.4.,變式1：將本例中該木棍截成四段，且每段不少于2.5米的概率有多大？ 解：將長為10米的木棍四等分，記等分點依次為B、C、D，BC、CD的 中點分別為E、F，只要在BE段和FD段剪就滿足條件P 0.25.,1如果試驗的結果構成的幾何區(qū)域D的測度可用面積表示，則其概率的計算公 式為： P(A) 2“面積比”是求幾何概型的一種重要類型，也是在高考中常考的題型,【例2】 甲、乙、丙三人做游戲，游戲規(guī)則如下：在不遠處有一小方塊，要將一枚銅板扔到這張方塊上，已知銅板的直徑是方塊邊長的 ，誰能將銅板整個扔到這張方塊上就可以進行下一輪游戲，甲一扔，銅板落到小方塊上，且沒有掉下來，問他能進入下一輪游戲的概率有多大？ 思路點撥：這是一道幾何概型問題在幾何概型中，樣本空間是問題所涉及的整個幾何圖形在本題中，樣本空間是小方塊的上表面面積一個事件就是整個幾何圖形的一部分，這個事件發(fā)生的概率就是這兩部分的面積比,解：不妨設小方塊的邊長為1，銅板落到小方塊上，也就是銅板的中心落到方塊上，而要求整個銅板落到小方塊上，也就是銅板中心落到方塊上表面內的 的小正方形內整個方塊的面積為111，而中央小正方形的面積為 .所以甲進入下一輪游戲的概率為P .,變式2：(江蘇省高考名校聯(lián)考信息優(yōu)化卷)已知|x|2，|y|2，點P的坐標為(x，y)當x，yR時，點P滿足(x2)2(y2)24的概率為_ 解析：如圖，點P所在的區(qū)域為正方形ABCD的內部(含邊界)， 滿足(x2)2(y2)24的點的區(qū)域為以(2,2)為圓心， 2為半徑的圓的內部(含邊界) 所求的概率P1 . 答案：,如果試驗的結果所構成的幾何區(qū)域D的測度可用體積表示，則其概率的計算公式 為P(A) .,【例3】在1升高產(chǎn)小麥種子中混入一粒帶麥銹病的種子，從中隨機取出10毫升，含有麥銹病種子的概率是多少？從中隨機取出30毫升，含有麥銹病種子的概率是多少？ 思路點撥：由于帶麥銹病的種子所在位置是隨機的，所以取這粒種子的概率只與所取的種子的體積有關，這符合幾何概型條件,解：1升1 000毫升，記事件A：“取出10毫升種子含有這粒帶麥銹病的種子” 則P(A) 0.01，即取出10毫升種子含有這粒帶麥銹病的種子的概率為0.01. 記事件B：“取30毫升種子含有帶麥銹病的種子” 則P(B) 0.03，即取出30毫升種子含有帶麥銹病的種子的概率為 0.03.,變式3：已知半徑為 的球內有一內接正方體若在球內任取一點，則這一點在正方體內的概率是多少？ 解：球的直徑就是正方體的體對角線長，為 ，設正方體的棱長為x，則3x2(4 )2，x4. 正方體的體積V14364，球的體積為V R3 (2 )332 . 記事件A：“這一點在正方體內”，利用幾何概型求概率P(A) . 即在球內任取一點在正方體內的概率為 .,求復雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：一是直接求解法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運用互斥事件的求和公式計算二是間接求法，先求此事件的對立事件的概率，再用公式P(A)1P( )， 即運用逆向思維(正難則反)，特別是“至多”，“至少”型題目，用間接求法就顯得較簡便,【例4】 國家射擊隊的隊員為在2009年世界射擊錦標賽上取得優(yōu)異成績，正在加緊備戰(zhàn)，經(jīng)過近期訓練，某隊員射擊一次，命中710環(huán)的概率如下表所示： 求該射擊隊員射擊一次： (1)射中9環(huán)或10環(huán)的概率；(2)至少命中8環(huán)的概率；(3)命中不足8環(huán)的概率,思路點撥：該射擊隊員在一次射擊中，命中幾環(huán)不可能同時發(fā)生，故是彼此互斥事件，利用互斥事件求概率的公式求其概率另外，當直接求解不容易時，可先求其對立事件的概率 解：設事件“射擊一次，命中k環(huán)”為Ak(kN，k10)，則事件Ak彼此互斥 (1)記“射擊一次，射中9環(huán)或10環(huán)”為事件A，那么當A9，A10之一發(fā)生時，事件 A發(fā)生，由互斥事件的加法公式得P(A)P(A9)P(A10)0.320.280.60.,(2)設“射擊一次，至少命中8環(huán)”的事件為B，那么當A8，A9，A10之一發(fā)生時，事件B發(fā)生由互斥事件概率的加法公式得P(B)P(A8)P(A9)P(A10)0.180.280.320.78. (3)由于事件“射擊一次，命中不足8環(huán)”是事件B：“射擊一次，至少命中8環(huán)”的對立事件：即 表示事件“射擊一次，命中不足8環(huán)”，根據(jù)對立事件的概率公式得P( )1P(B)10.780.22.,變式4：(2010東北師大附中高三測試)某射手在一次射擊中命中9環(huán)的概率是0.28，命中8環(huán)的概率是0.19，不夠8環(huán)的概率是0.29.計算這個射手在一次射擊中命中9環(huán)或10環(huán)的概率,解：設這個射手在一次射擊中命中10環(huán)或9環(huán)為事件A，命中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)以及不夠8環(huán)的事件分別記為A1，A2，A3，A4.A2，A3，A4彼此互斥， P(A2A3A4)P(A2)P(A3)P(A4)0.280.190.290.76. 又A1 ，P(A1)1P(A2A3A4)10.760.24. A1與A2互斥，P(A)P(A1A2)P(A1)P(A2)0.240.280.52. 故這個射手在一次射擊中命中10環(huán)或9環(huán)的概率為0.52.,1幾何概型與古典概型，二者的共同點是基本事件是等可能的，不同點是基本 事件數(shù)一個是有限的，一個是無限的基本事件可以抽象為點，對于幾何概 型，這些點盡管是無限的，但它們所占據(jù)的區(qū)域是有限的，根據(jù)等可能性，這個點落在區(qū)域內的概率與該區(qū)域的測度成正比，而與該區(qū)域的位置和形狀無關，因此我們采用幾何的辦法求它的概率，因此這種概型叫做幾何概型 2求幾何概型的概率，最關鍵的一步是求事件A所包含的基本事件所占據(jù)的區(qū)域的測度，這里需要解析幾何的知識，而最困難的地方是找出基本事件的約束條件，找出約束條件后，就像線性規(guī)劃求可行域一樣求其測度就不困難了,【規(guī)律方法總結 】,3對互斥事件的理解，可以從集合的角度去加以認識 如果A、B是兩個互斥事件，反映在集合上，是表示A、B這兩個事件所含結果組成的集合的交集為空集,4要注意互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系 互斥事件與對立事件都是兩個事件的關系，互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外，還要求二者必須有一個發(fā)生因此，對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件 5應用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先確定各個事件是否彼此互 斥，然后求出各事件分別發(fā)生的概率，再求和求復雜事件的概率通常有兩種 方法：一是將所求事件轉化成彼此互斥的事件的和；二是先求其對立事件的概 率，然后再應用公式求解.,【例5】 (2009福建卷)點A為周長等于3的圓周上的一個定點若在該圓周上隨機取一點B，則劣弧 的長度小于1的概率為_ 分析：畫出圖形，找到隨機事件“劣弧的長度 小于1”所對應的圓上的弧長，根據(jù)幾何概型的概率計算公式進行計算 規(guī)范解答：如圖所示，可設 1， 1，根據(jù)題意只要點B在 優(yōu)弧 上，劣弧 的長度就小于1，由于點B在圓周上的任意性，故這個概率是優(yōu)弧 的長度與圓的周長之比，即這個概率是 . 故填 . 答案：,【高考真題 】,本題把直線上的幾何概型的計算方法應用于圓上，設計了一道考查考生對幾何概型和分類整合思想的掌握程度的試題，試題不落俗套，值得賞析 幾何概型適用于有無限多結果而又有某種等可能的試驗其中事件A的概率定義為P(A),【命題探究】,【知識鏈接】,【全解密】,幾何概型運用的幾個方面：直線上的幾何概型的概率表現(xiàn)為線的長度之比；平面上的是區(qū)域面積之比；空間中的就是體積之比等解答幾何概型試題，要善于根據(jù)這些特點尋找基本事件所在的線、面、體，以及隨機事件所在的線、面、體，把幾何概型轉化為相應的長度、面積和體積的比值 本題容易只看到點B在點A的一側，而將這個概率值求為 ，也有可能把圓的周長是3當成了半徑是3而出錯,【方法探究】,【誤點警示】,1向面積為S的ABC內任投一點P，求PBC的面積小于 的概率 分析：由于是向ABC內任投一點P，故總的基本事件空間對應于點P的個數(shù)，可用ABC的面積來度量，然后分析滿足條件的事件A即三角形ABC中的點P分布的區(qū)域,解：如右圖，據(jù)題意知，若PBC的面積小于 ，則點P可分布在如圖所示的過三角形的高的中點且與底邊BC平行的梯形BCFE內，故滿足條件的概率 P(A) .,2(1)從含有兩件正品a1、a2和一件次品b1的3件產(chǎn)品中每次任取1件，每次取出后不放回，連續(xù)取兩次，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率 (2)在(1)題中，把“每次取出后不放回”這一條件換成“每次取出后放回”，其余不變，求取出的兩件中恰好有一件次品的概率,解：(1)每次取一個，取后不放回地連續(xù)取兩次，其一切可能的結果為(a1，a2)， (a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，其中小括號內左邊的字母表示 第1次取出的產(chǎn)品，右邊的字母表示第2次取出的產(chǎn)品由6個基本事件組成，而 且可以認為這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的用A表示“取出的兩件中，恰好有 一件次品”這一事件，則A(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)， 事件A由4個基本事件組成因而P(A) .,(2)有放回地連續(xù)取出兩件，其一切可能的結果為(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)， (a2，a1)(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)由9個基本事件組成由 于每一件產(chǎn)品被取出的機會均等，因此可以認為這些基本事件的出現(xiàn)是等可 能的用B表示“恰有一件次品”這一事件， 則B(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)事件B由4個基本事件組成，因而 P(B) .,