2019-2020年高中數(shù)學 4.2.1 實際問題中導數(shù)的意義二教案 北師大選修1-1.doc

2019-2020年高中數(shù)學 4.2.1 實際問題中導數(shù)的意義二教案 北師大選修1-1教學過程：一、主要知識點：1. 基本方法：（1）函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系：設(shè)函數(shù)yf（x）在某個區(qū)間內(nèi)有導數(shù)，如果在這個區(qū)間內(nèi)>0，那么函數(shù)yf（x）為這個區(qū)間內(nèi)的增函數(shù)；如果在這個區(qū)間內(nèi)<0，那么函數(shù)yf（x）為這個區(qū)間內(nèi)的減函數(shù). （2）用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：求函數(shù)f（x）的導數(shù)f（x）. 令f（x）0解不等式，得x的范圍就是遞增區(qū)間. 令f（x）0解不等式，得x的范圍，就是遞減區(qū)間. （3）判別f（x0）是極大、極小值的方法：若滿足，且在的兩側(cè)的導數(shù)異號，則是的極值點，是極值，并且如果在兩側(cè)滿足“左正右負”，則是的極大值點，是極大值；如果在兩側(cè)滿足“左負右正”，則是的極小值點，是極小值. （4）求函數(shù)f（x）的極值的步驟：確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導數(shù)f（x）. 求方程f（x）0的根. 用函數(shù)的導數(shù)為0的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格. 檢查f（x）在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f（x）在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f（x）在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號，即都為正或都為負，則f（x）在這個根處無極值. （5）利用導數(shù)求函數(shù)的最值步驟：（1）求在內(nèi)的極值；（2）將的各極值與、比較得出函數(shù)在上的最值. 2、基本思想：學習的目的，就是要會實際應用，本講主要是培養(yǎng)學生運用導數(shù)知識解決實際問題的意識，思想方法以及能力. 解決實際應用問題關(guān)鍵在于建立數(shù)學模型和目標函數(shù). 把“問題情景”譯為數(shù)學語言，找出問題的主要關(guān)系，并把問題的主要關(guān)系近似化，形式化，抽象成數(shù)學問題，再化為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學方法求解. 根據(jù)題設(shè)條件作出圖形，分析各已知條件之間的關(guān)系，借助圖形的特征，合理選擇這些條件間的聯(lián)系方式，適當選定變化區(qū)間，構(gòu)造相應的函數(shù)關(guān)系，是這部分的主要技巧二、典型例題例1、在邊長為60 cm的正方形鐵片的四角上切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時，箱子的容積最大？最大容積是多少？思路一：設(shè)箱底邊長為x cm，則箱高cm，得箱子容積V是箱底邊長x的函數(shù)：，從求得的結(jié)果發(fā)現(xiàn)，箱子的高恰好是原正方形邊長的，這個結(jié)論是否具有一般性？變式：從一塊邊長為a的正方形鐵皮的各角截去相等的方塊，把各邊折起來，做成一個無蓋的箱子，箱子的高是這個正方形邊長的幾分之幾時，箱子容積最大？提示：答案：評注：這是一道實際生活中的優(yōu)化問題，建立的目標函數(shù)是三次函數(shù)，用過去的知識求其最值往往沒有一般方法，即使能求出，也要涉及到較高的技能技巧. 而運用導數(shù)知識，求三次目標函數(shù)的最值就變得非常簡單，對于實際生活中的優(yōu)化問題，如果其目標函數(shù)為高次多項式函數(shù)，簡單的分式函數(shù)，簡單的無理函數(shù)，簡單的指數(shù)，對數(shù)函數(shù)，或它們的復合函數(shù)，均可用導數(shù)法求其最值. 可見，導數(shù)的引入，大大拓寬了中學數(shù)學知識在實際優(yōu)化問題中的應用空間. 例2、（xx年福建卷）統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量為y（升），關(guān)于行駛速度（千米/小時）的函數(shù)解析式可以表示為：已知甲、乙兩地相距100千米（I）當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？（II）當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？解：（I）當時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，要耗油（升）答：當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5升（II）當速度為千米/小時時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，設(shè)耗油量為升，依題意得令得當時，是減函數(shù)；當時，是增函數(shù)當時，取到極小值因為在上只有一個極值，所以它是最小值答：當汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升例3、求拋物線上與點距離最近的點. 解：設(shè)為拋物線上一點，則. 與同時取到極值. 令. 由得是唯一的駐點. 當或時，是的最小值點，此時. 即拋物線上與點距離最近的點是（2，2）. 例4、煙囪向其周圍地區(qū)散落煙塵而污染環(huán)境. 已知落在地面某處的煙塵濃度與該處至煙囪距離的平方成反比，而與該煙囪噴出的煙塵量成正比，現(xiàn)有兩座煙囪相距20，其中一座煙囪噴出的煙塵量是另一座的8倍，試求出兩座煙囪連線上的一點，使該點的煙塵濃度最小. 解：不失一般性，設(shè)煙囪A的煙塵量為1，則煙囪B的煙塵量為8并設(shè)AC ， 于是點C的煙塵濃度為，其中為比例系數(shù). 令，有，即. 解得在（0，20）內(nèi)惟一駐點. 由于煙塵濃度的最小值客觀上存在，并在（0，20）內(nèi)取得，在惟一駐點處，濃度最小，即在AB間距A處處的煙塵濃度最小. 例5、已知拋物線yx2+2，過其上一點P引拋物線的切線l，使l與兩坐標軸在第一象限圍成的三角形的面積最小，求l的方程. 解：設(shè)切點P（x0，x02+2）（x00），由yx2+2得y2x，k12x0. l的方程為y（x02+2）2x0（xx0），令y0，得x令x0，得yx02+2，三角形的面積為S（x02+2）. S. 令S0，得x0 （x00）. 當0x0時，S0;當x0時，S0. x0時，S取極小值只有一個極值，x時S最小，此時k1，切點為（，）. l的方程為y （x），即2x+3y80. 例6、在甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40 km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50 km，兩廠要在此岸邊合建一個供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為每千米3a元和5a元，問供水站C建在岸邊何處才能使水管費用最??？解：設(shè)BCDQ，則BC，CD40cot，（0，AC5040cot設(shè)總的水管費用為f（），依題意，有f（）3a（5040cot）+5a150a+40af（）40a令f（）0，得cos根據(jù)問題的實際意義，當cos時，函數(shù)取得最小值，此時sin，cot，AC5040cot20（km），即供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可使水管費用最省. 例7、（xx年江蘇卷）請您設(shè)計一個帳篷它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐（如圖所示）試問當帳篷的頂點O到底面中心O1的距離為多少時，帳篷的體積最大？解：設(shè)OO1為，則由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為：， 故底面正六邊形的面積為：，（單位：）帳篷的體積為：（單位：）求導得令，解得（不合題意，舍去），當時，為增函數(shù)；當時，為減函數(shù)當時，最大答：當OO1為時，帳篷的體積最大，最大體積為點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最值的基礎(chǔ)知識，以及運用數(shù)學知識解決實際問題的能力三、小結(jié) ：解有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實際問題，需要分析問題中各個變量之間的關(guān)系，找出適當?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式，并確定函數(shù)的定義區(qū)間；所得結(jié)果要符合問題的實際意義根據(jù)問題的實際意義來判斷函數(shù)最值時，如果函數(shù)在此區(qū)間上只有一個極值點，那么這個極值就是所求最值，不必再與端點值比較相當多有關(guān)最值的實際問題用導數(shù)方法解決較簡單 四、課后作業(yè)：