2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題5.4應(yīng)用向量方法解決簡單的平面幾何問題講.doc

2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題5.4應(yīng)用向量方法解決簡單的平面幾何問題講【考綱解讀】考點(diǎn)考綱內(nèi)容5年統(tǒng)計(jì)分析預(yù)測向量的應(yīng)用會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題.xx浙江文17；理7； xx浙江文22；xx浙江10.1.以考查向量的共線、數(shù)量積、夾角、模為主，基本穩(wěn)定為選擇題或填空題，難度中等以下； 2.與平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何等相結(jié)合，以工具的形式進(jìn)行考查，力學(xué)方面應(yīng)用的考查較少.3.備考重點(diǎn)： (1) 理解有關(guān)概念是基礎(chǔ)，掌握線性運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算的方法是關(guān)鍵；(2)解答與平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何等交匯問題時，注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，將共線、垂直等問題，通過建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算解題.【知識清單】1平面向量在幾何中的應(yīng)用1. 平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線2共線向量定理：向量a(a0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實(shí)數(shù)，使得ba.3. 向量共線的充要條件的坐標(biāo)表示若，則.4. 設(shè)a(a1，a2)，b(b1，b2)，則：（1）aba1b1a2b2.（2）aba1b1a2b20.對點(diǎn)練習(xí)：法向量為的直線，其斜率為（ ） A. B. C. D. 【答案】A.【解析】因?yàn)榉ㄏ蛄繛榈闹本€，可知與已知直線垂直的直線的斜率為，那么可知已知直線的斜率為，選A.【考點(diǎn)深度剖析】平面向量的數(shù)量積是高考考查的重點(diǎn)、熱點(diǎn)，往往以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).平面向量的應(yīng)用問題，常常以平面圖形為載體，借助于向量的坐標(biāo)形式等考查數(shù)量積、夾角、垂直的條件等問題；也易同三角函數(shù)、解析幾何等知識相結(jié)合，以工具的形式出現(xiàn)【重點(diǎn)難點(diǎn)突破】考點(diǎn)1 平面向量在幾何中的應(yīng)用【1-1】【xx浙江杭州二?！吭O(shè)為所在平面上一點(diǎn)，且滿足.若的面積為8，則的面積為_.【答案】14于是可得點(diǎn)在邊上， ，且，則 ，由，所以 ，所以，又因?yàn)?，所以，則 【1-2】【xx江蘇，12】如圖,在同一個平面內(nèi)，向量,的模分別為1,1,與的夾角為,且tan=7,與的夾角為45.若, 則 . A C BO(第12題) 【答案】3 【1-3】【xx浙江溫州中學(xué)11月】如圖，在等腰梯形中，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，如果對于常數(shù)，在等腰梯形的四條邊上，有且只有8個不同的點(diǎn)使得成立，那么的取值范圍是（ ）A B C D【答案】C.【解析】如下圖建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得，根據(jù)對稱性可知，問題等價于在等腰梯形的每條邊上均有兩點(diǎn)（不含端點(diǎn)）滿足，若在上：設(shè)，其中，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，；若在上：設(shè)，【領(lǐng)悟技法】共線向量定理應(yīng)用時的注意點(diǎn)(1)向量共線的充要條件中要注意“a0”，否則可能不存在，也可能有無數(shù)個(2)證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時，才能得出三點(diǎn)共線；另外，利用向量平行證明向量所在直線平行，必須說明這兩條直線不重合【觸類旁通】【變式一】在中，若，則一定是（ ）. A鈍角三角形 B銳角三角形 C直角三角形 D不能確定【答案】C【解析】由于，化簡得，因此.選C. 【變式二】在平面四邊形ABCD中，滿足0，()0，則四邊形ABCD是() A矩形 B正方形 C菱形 D梯形【答案】C【解析】因?yàn)?，所以， 所以四邊形ABCD是平行四邊形，又()0，所以四邊形的對角線互相垂直，所以四邊形ABCD是菱形考點(diǎn)2 平面向量的綜合應(yīng)用【2-1】【xx四川文】已知正三角形ABC的邊長為，平面ABC內(nèi)的動點(diǎn)P，M滿足，則的最大值是( )(A) (B) (C) (D) 【答案】B【解析】甴已知易得.以為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則設(shè)由已知，得，又，它表示圓上點(diǎn)與點(diǎn)距離平方的，故選B. 【2-2】【xx湖南長沙長郡中】已知點(diǎn)，是橢圓上的動點(diǎn)，且，則的取值范圍是（ ）A B C D【答案】C所以，當(dāng)時，有最大值，當(dāng)時，有最小值，故選C. 【2-3】【xx江蘇，16】 已知向量 （1）若ab,求x的值； （2）記,求的最大值和最小值以及對應(yīng)的的值.【答案】（1）（2）時，取得最大值，為3； 時，取得最小值，為.【領(lǐng)悟技法】1.涉及三角問題求解方法：（1）去除向量的包裝外衣，轉(zhuǎn)化為由三角函數(shù)值求對應(yīng)的角的值；（2）去除向量的包裝外衣，轉(zhuǎn)化為形如： 三角函數(shù)最值，但一定要關(guān)注自變量的范圍.另外三角函數(shù)與代數(shù)函數(shù)一個很大的區(qū)別就是一般先要處理三角函數(shù)表達(dá)式，處理的結(jié)果之一就是轉(zhuǎn)化為形如：，這一點(diǎn)很重要.2.涉及平面幾何問題，往往通過平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合曲線的定義及曲線與曲線的位置關(guān)系，應(yīng)用函數(shù)方程思想解題.【觸類旁通】【變式一】已知兩點(diǎn)，過動點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，若，當(dāng)時，動點(diǎn)的軌跡為( ) A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線【答案】C【解析】設(shè) 則,所以,所以,即,變形為,又因?yàn)?故動點(diǎn)的軌跡為雙曲線.【變式二】在中，角，的對邊分別是，且向量與向量共線.（1）求；（2）若，且，求的長度.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）根據(jù)條件中的向量共線得到，滿足的一個式子，再進(jìn)行三角恒等變形即可求解；（2）將已知條件中的式子變形，兩邊平方利用余弦定理求解. ，將和代入得：，.【變式三】【xx課標(biāo)II，理】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)M在橢圓C：上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足。(1) 求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線上，且。證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F。 【答案】(1) ；(2)證明見解析.【解析】【易錯試題常警惕】易錯典例：在直角坐標(biāo)平面上，O為原點(diǎn)，M為動點(diǎn)，過點(diǎn)M作MM1軸于M1，過N作NN1軸于點(diǎn)N1，記點(diǎn)T的軌跡為曲線C，點(diǎn)A（5，0）、B（1，0），過點(diǎn)A作直線交曲線C于兩個不同的點(diǎn)P、Q（點(diǎn)Q在A與P之間） （）求曲線C的方程； （）證明不存在直線，使得； （）過點(diǎn)P作軸的平行線與曲線C的另一交點(diǎn)為S，若，證明 易錯分析：本題解答有兩處易于出錯，一是平向量的應(yīng)用意識不強(qiáng)，不能正確應(yīng)用平面向量的基本知識和基本方法；二是由于涉及較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子變形而出錯正確解析：（1）解：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則M1的坐標(biāo)為 點(diǎn)N的坐標(biāo)為 N1的坐標(biāo)為 ， 由有 （2）證：點(diǎn)A（5，0）在曲線C即橢圓的外部，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線與橢圓C無交點(diǎn)，所以直線斜率存在，并設(shè)為直線的方程為 由方程組 得 依題意，得 當(dāng)時，設(shè)交點(diǎn)，PQ的中點(diǎn)為R，則， 又BR 但不可能成立，所以不存在直線使得 （3）證明：由題有S，則有方程組 由（1）得：將（2）、（5）代入（3）有整理并將（4）、（5）代入得 易知，解得 因，故， 溫馨提醒：(1)注意熟練掌握平面向量的基本知識和基本方法，增強(qiáng)應(yīng)用意識(2)在解答本題時，注意增強(qiáng)信心，細(xì)心進(jìn)行數(shù)學(xué)式子變形，并特別注意整理得得到的一元二次方程，根的判別式大于零.【學(xué)科素養(yǎng)提升之思想方法篇】化整為零，積零為整分類討論思想1.分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法，這種思想在簡化研究對象，發(fā)展思維方面起著重要作用，因此，有關(guān)分類討論的思想的數(shù)學(xué)命題在高考試題中占有重要地位.所謂分類討論，就是在研究和解決數(shù)學(xué)問題時，當(dāng)問題所給對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究，我們就需要根據(jù)數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，將對象區(qū)分為不同種類，然后逐類進(jìn)行研究和解決，最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的解決，這一思想方法，我們稱之為“分類討論的思想”2.分類討論思想的常見類型問題中的變量或含有需討論的參數(shù)的，要進(jìn)行分類討論的；問題中的條件是分類給出的；解題過程不能統(tǒng)一敘述，必須分類討論的；涉及幾何問題時，由幾何元素的形狀、位置的變化需要分類討論的.【典例】已知曲線上的任意點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小1，（1）求曲線的方程；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為，若為曲線上的動點(diǎn)，求的最小值（3）設(shè)點(diǎn)為軸上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作曲線的切線，直線分別與直線及軸交于，以為直徑作圓，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，試探究：當(dāng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動（點(diǎn)與原點(diǎn)不重合）時，線段的長度是否發(fā)生變化？請證明你的結(jié)論【答案】（1）；（2）的最小值為2；（3）線段的長度為定值【解析】試題分析：（1）根據(jù)拋物線的定義得出軌跡方程；（2）設(shè)，將表示為（或）的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求出最小值；（3）設(shè)坐標(biāo)和直線的斜率，根據(jù)相切得出的關(guān)系，求出坐標(biāo)得出圓的圓心和半徑，利用切線的性質(zhì)得出的長試題解析：（1）設(shè)為曲線上的任意一點(diǎn)，依題意，點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等，所以曲線是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線的方程為 （2）設(shè)，則因?yàn)椋援?dāng)時，有最小值2 當(dāng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動（點(diǎn)與原點(diǎn)不重合）時，線段的長度不變，為定值.