MATLAB教程_第六章

MATLAB提供大量具有強(qiáng)大數(shù)值計(jì)算功能的函數(shù)。本章著重介紹關(guān)于數(shù)值計(jì)算的函數(shù)。 1多項(xiàng)式表示法 2多項(xiàng)式求值 3多項(xiàng)式乘法和除法 4多項(xiàng)式的微積分 5多項(xiàng)式的根和由根創(chuàng)建多 6多項(xiàng)式部分分式展開 7多項(xiàng)式曲線擬合 8多曲線擬合圖形用戶接口 MATLAB提供了關(guān)于多項(xiàng)式的函數(shù)： 多項(xiàng)式的值； 多項(xiàng)式的根和微分； 多項(xiàng)式擬合曲線； 部分分式。 多項(xiàng)式函數(shù) MATLAB采用行向量表示多項(xiàng)式系數(shù)，多項(xiàng)式系數(shù)按降冪排列。 函數(shù)poly2str()將多項(xiàng)式系數(shù)向量轉(zhuǎn)換為完整形式。 函數(shù)polyval()計(jì)算多項(xiàng)式的值，其具體使用方法如下： y = polyval(p,x)，p為多項(xiàng)式系數(shù)行向量，x代入多項(xiàng)式的值； Y = polyvalm(p,X)，把矩陣X代入多項(xiàng)式p中進(jìn)行計(jì)算。 函數(shù)conv()和deconv()進(jìn)行多項(xiàng)式乘法和除法，其具體使用方法如下： w = conv(u,v)，實(shí)現(xiàn)多項(xiàng)式乘法，返回結(jié)果多項(xiàng)式的系數(shù)行向量； q,r = deconv(u, v)，實(shí)現(xiàn)多項(xiàng)式除法。 （1）多項(xiàng)式的微分 函數(shù)polyder()計(jì)算多項(xiàng)式的微分，其具體使用方法如下： k = polyder(p)，返回多項(xiàng)式p微分的系數(shù)向量； k = polyder(a,b)，返回多項(xiàng)式a b乘積微分的系數(shù)向量； q,d = polyder(b,a)，返回多項(xiàng)式b/a微分的系數(shù)向量。 函數(shù)polyint()計(jì)算多項(xiàng)式的不定積分，其具體使用方法如下： s=polyint(p,k)，返回多項(xiàng)式p不定積分的系數(shù)向量。 （1）多項(xiàng)式的根 函數(shù)roots()求多項(xiàng)式的根，其具體使用方法如下： r = roots(c)，返回多項(xiàng)式c的所有根r。 （2）由根創(chuàng)建多項(xiàng)式 函數(shù)poly()實(shí)現(xiàn)由根創(chuàng)建多項(xiàng)式，其具體使用方法如下： p = poly(r)，輸入r是多項(xiàng)式所有根，返回值為多項(xiàng)式的系數(shù)向量； p = poly(A)，輸入A是方陣，返回值為A的特征多項(xiàng)式的系數(shù)向量。 函數(shù)residue()將多項(xiàng)式之比按部分分式展開，其具體使用方法如下： r,p,k = residue(b,a)，求多項(xiàng)式b/a的部分分式展開； b,a = residue(r,p,k)，從部分分式得到多項(xiàng)式向量。 函數(shù)polyfit()采用最小二乘法對給定數(shù)據(jù)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，其具體使用方法如下： p = polyfit(x,y,n)，采用n次多項(xiàng)式p來擬合數(shù)據(jù)x和y。 運(yùn)行結(jié)果如下圖所示。 曲線擬合的圖形用戶接口可通過圖形窗口的【Tools】菜單中【Basic Fitting】選項(xiàng)啟動。 運(yùn)行結(jié)果如下圖所示。 6.2.1 一維插值6.2.2 二維插值 插值是根據(jù)已知輸入/輸出數(shù)據(jù)集和當(dāng)前輸入估計(jì)輸出值。MATLAB提供大量的插值函數(shù)，如下表所示。插值函數(shù) 一維插值就是對函數(shù)y=f(x)進(jìn)行插值，一維插值的原理如下圖所示。 函數(shù)interp1()實(shí)現(xiàn)一維插值，其具體使用方法如下： yi=interp1(x,y,xi)，x，y是已知數(shù)據(jù)集且具有相同長度的向量； yi = interp1(y,xi)，默認(rèn)x為1:n，其中n為向量y的長度； yi = interp1(x,y,xi,method)，method用于指定插值的方法。 運(yùn)行結(jié)果如下圖所示。 二維插值是對兩變量的函數(shù)z=f(x,y)進(jìn)行插值，二維插值的原理如下圖所示： 函數(shù)interp2()實(shí)現(xiàn)二維插值,其具體使用方法如下： zi = interp2(x,y,z,xi,yi)，x,y,z為原始數(shù)據(jù)，返回值zi是插值結(jié)果； zi = interp2(z,xi,yi)，若z=nm，則x=1:n，y=1:m； zi = interp2(x,y,z,xi,yi,method)，method用于指定插值的方法 。 運(yùn)行結(jié)果如下圖所示。 6.3.1 基本數(shù)據(jù)分析函數(shù) 6.3.2 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)矩陣 6.3.3 有限差分和梯度 6.3.4 信號濾波和卷積 6.3.5 傅立葉變換 MATLAB提供大量數(shù)據(jù)分析的函數(shù)，首先給出如下約定： 一維數(shù)據(jù)分析時，數(shù)據(jù)可以用行向量或者列向量來表示； 二維數(shù)據(jù)分析時，數(shù)據(jù)可以用多個向量或者二維矩陣來表示。 1最大值、最小值、平均值、 中間值、元素求和 2標(biāo)準(zhǔn)差和方差 3元素排序 續(xù)表 運(yùn)行結(jié)果如下，并如下圖所示。 MATLAB提供對實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)和字符串的排序函數(shù)。 函數(shù)sort()實(shí)現(xiàn)數(shù)值的排序； 函數(shù)sortrows()實(shí)現(xiàn)對行的排序。 函數(shù)cov()計(jì)算隨機(jī)變量的協(xié)方差矩陣，其具體使用方法如下： C = cov(X)，計(jì)算X代表的隨機(jī)變量的協(xié)方差矩陣； C = cov(x,y)，x和y必須是具有相同長度的向量； C = cov(X,1)，計(jì)算X代表的隨機(jī)變量的協(xié)方差矩陣； C = cov(x,y,1)，x和y必須是具有相同長度的向量。 函數(shù)corrcoef()計(jì)算隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)矩陣，其具體使用方法如下： R = corrcoef(X)，返回X代表的隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)矩陣； R = corrcoef(x,y)，x和y必須是具有相同長度的向量。 函數(shù)diff()計(jì)算差分，其具體使用方法如下： Y = diff(X) ，X可以是向量或矩陣； Y = diff(X,n) ，返回n階差分 ； Y = diff(X,n,dim) ，返回在dim維上的n階差分 。 運(yùn)行結(jié)果如下圖所示。 函數(shù)gradient()計(jì)算梯度，其具體使用方法如下： FX = gradient(F)，返回F在x方向上的梯度； FX,FY = gradient(F)，F(xiàn)X是F在x方向的近似偏導(dǎo)數(shù)，F(xiàn)Y是F在y方向的近似偏導(dǎo)數(shù)； Fx,Fy,Fz,. = gradient(F)，返回N個方向的近似偏導(dǎo)數(shù)； . = gradient(F,h)，h用于指定所有方向上自變量的間距； . = gradient(F,h1,h2,.)，用多個標(biāo)量來指定各個方向上自變量的間距。 運(yùn)行結(jié)果如下圖所示。 1一維數(shù)字濾波 2信號卷積 3去除信號直流或線性成分 MATLAB提供如下表所示的信號濾波和卷積的函數(shù)。信號濾波和卷積函數(shù) 函數(shù)filter()實(shí)現(xiàn)一維數(shù)字濾波，該函數(shù)的具體使用方法如下： y = filter(b,a,X)，X為用于濾波的數(shù)據(jù)，Y為數(shù)據(jù)X通過濾波器之后的值； y,zf = filter(b,a,X)，附加返回一個表示數(shù)據(jù)延遲時間的量zf； y,zf = filter(b,a,X,zi)，zi為初始數(shù)據(jù)延遲，zf等于最終數(shù)據(jù)延遲； y = filter(b,a,X,zi,dim)，在dim維上進(jìn)行數(shù)據(jù)濾波。 函數(shù)conv()計(jì)算卷積。 運(yùn)行結(jié)果如下圖所示。 detrend()函數(shù)實(shí)現(xiàn)去除信號中的直流或者線性成分，其具體使用方法如下： y = detrend(x)，如果x是一個向量，從信號x中減去線性成分；如果x是一個矩陣，去除x所有列中的線性成分； y = detrend(x,constant)，如果x是一個向量，減去信號中的直流成分；如果x是一個矩陣，去除所有列中的直流成分； y = detrend(x,linear,bp)，從信號x中減去分段線性函數(shù)。 1一維傅立葉變換和逆變換2二維傅立葉變換和逆變換 傅立葉變換既可以對連續(xù)信號進(jìn)行變換，也可以對離散信號進(jìn)行變換。本小節(jié)只介紹離散傅立葉變換。 函數(shù)fft()實(shí)現(xiàn)一維離散傅立葉變換，其具體使用方法如下： Y = fft(X)，如果X是向量，返回向量X的傅立葉變換；如果X是矩陣，函數(shù)對矩陣X的每一列進(jìn)行傅立葉變換； Y = fft(X,n)，用輸入n指定傅立葉變換的長度； Y = fft(X,dim)，在dim維上進(jìn)行傅立葉變換； Y = fft(X,n,dim)，在dim維上進(jìn)行傅立葉變換，并指定傅立葉變換的長度。 函數(shù)ifft()實(shí)現(xiàn)一維離散傅立葉逆變換，其具體使用方法與函數(shù)fft()類似，只是添加一個選項(xiàng)。 y = ifft(., symmetric)； y = ifft(., nonsymmetric) 。 函數(shù)fft2()實(shí)現(xiàn)二維傅立葉變換，用函數(shù)ifft2來實(shí)現(xiàn)二維傅立葉逆變換。函數(shù)fft2()的具體使用方法如下： Y = fft2(X)，X是矩陣，對矩陣X進(jìn)行二維傅立葉變換； Y = fft2(X,m,n)，m和n指定傅立葉變換的長度。 1函數(shù)的表示 2函數(shù)畫圖 3函數(shù)最小值和零點(diǎn) 4數(shù)值積分 5在功能函數(shù)中使用含參函數(shù) 函數(shù)可以通過以下方式來表示： M文件； 匿名函數(shù)； 函數(shù)inline()。 MATLAB提供函數(shù)畫圖的函數(shù)如下表所示。函數(shù)畫圖的函數(shù) 以函數(shù)fplot()為例介紹畫圖函數(shù)的用法，其具體使用方法如下： fplot(function,limits)，function為待畫圖的函數(shù)，limits是橫坐標(biāo)數(shù)值范圍或橫縱坐標(biāo)數(shù)值范圍； fplot(function,limits,LineSpec)，LineSpec指定畫圖的線條屬性； fplot(function,limits,tol)，tol指定畫圖相對精度； fplot(function,limits,tol,LineSpec)，指定畫圖的線條屬性和畫圖相對精度。 運(yùn)行結(jié)果如下圖所示。 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 函數(shù)y=cos(x+1)/(x2+1) x y 求函數(shù)的最小值和零點(diǎn)的函數(shù)，如下表所示。求函數(shù)最小值和零點(diǎn) 函數(shù)fminbnd()求一元函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的最小值，其具體使用方法如下： x = fminbnd(fun, ,x1,x2)，在區(qū)間x1 x2內(nèi)尋找函數(shù)最小值； x = fminbnd(fun,x1,x2,options)，使用options選項(xiàng)來指定的優(yōu)化器的參數(shù)； x,fval = fminbnd(.)，附加返回函數(shù)最小值。 函數(shù)fminsearch()求多元函數(shù)的最小值。其具體使用方法如下： x = fminsearch(fun,x0)，在初始x0附近尋找局部最小值； x = fminsearch(fun,x0,options)，使用options選項(xiàng)來指定優(yōu)化器的參數(shù)； x,fval = fminsearch(.)，附加返回函數(shù)最小值。 函數(shù)fzero()求一元函數(shù)的零點(diǎn)，其具體使用方法如下： x = fzero(fun,x0)，在x0點(diǎn)附近尋找函數(shù)的零點(diǎn)； x = fzero(fun,x0,x1)，在x0,x1區(qū)間內(nèi)尋找函數(shù)的零點(diǎn)； x = fzero(fun,x0,options)，用options指定尋找零點(diǎn)的優(yōu)化器參數(shù)； x,fval = fzero(.)，附加自變量為x時的函數(shù)值。 函數(shù)optimset()設(shè)定優(yōu)化器參數(shù)，其具體使用方法如下： o p t i o n s = optimset(param1,value1,param2,value2,.)，用參數(shù)名和對應(yīng)的參數(shù)值設(shè)定優(yōu)化器的參數(shù)； optimset，顯示優(yōu)化器的所有參數(shù)名和有效的參數(shù)值； options = optimset，返回一個優(yōu)化器的結(jié)構(gòu)體； options = optimset(optimfun)，返回函數(shù)optimfun()對應(yīng)的優(yōu)化器參數(shù)； o p t i o n s = optimset(oldopts,param1,value1,.)，在原優(yōu)化器參數(shù)oldopts的基礎(chǔ)上，改動指定優(yōu)化器參數(shù)； options = optimset(oldopts,newopts)，用newopts的所有非空參數(shù)覆蓋oldopts中的值。 在函數(shù)optimset()中常用的優(yōu)化器參數(shù)如下表所示。優(yōu)化器參數(shù) 函數(shù)optimget()得到目前優(yōu)化器的參數(shù)，其具體使用方法如下： val = optimget(options,param)，返回優(yōu)化器參數(shù)param的值； v a l = optimget(options,param,default)，返回優(yōu)化器參數(shù)param的值。 MATLAB提供一些的數(shù)值積分函數(shù)，如下表所示。數(shù)值積分函數(shù) 函數(shù)quad()和函數(shù)quadl()來計(jì)算一元函數(shù)的積分。函數(shù)quad()的具體使用方法如下： q = quad(fun,a,b)，計(jì)算函數(shù)fun在a b區(qū)間內(nèi)的定積分； q = quad(fun,a,b,tol)，以絕對誤差容限tol計(jì)算函數(shù)fun在a b區(qū)間內(nèi)的定積分； q = quad(fun,a,b,tol,trace)，當(dāng)trace為非零值時，顯示迭代過程的中間值。 矢量數(shù)值積分等價于多個一元定積分。 函數(shù)dblquad()計(jì)算二重積分。其具體使用方法如下： q = dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)，計(jì)算二元函數(shù)的二重積分； q = dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol)，用tol指定絕對計(jì)算精度； q = dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol,method)，用method指定計(jì)算一維積分時采用的函數(shù)。 功能函數(shù)中的含參函數(shù)的兩種解決方法：嵌套函數(shù)匿名函數(shù) 編寫M文件的函數(shù)時： 首先將含參函數(shù)的參數(shù)作為輸入； 其次在其中調(diào)用功能函數(shù)，形成嵌套； 最后通過調(diào)用該函數(shù)進(jìn)行計(jì)算。 運(yùn)行結(jié)果如下圖所示。 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 b 零 點(diǎn) 用匿名函數(shù)提供函數(shù)參數(shù)的具體步驟如下： 創(chuàng)建一個含參函數(shù)，并保存為M文件格式； 調(diào)用功能函數(shù)的M文件中給參數(shù)賦值； 用含參函數(shù)創(chuàng)建匿名函數(shù)； 把匿名函數(shù)句柄傳遞給功能函數(shù)計(jì)算。 6.5.1 常微分方程組的初值問題 6.5.2 延遲微分方程的問題 6.5.3 常微分方程組的邊界問題 在MATLAB中，可以計(jì)算微分方程數(shù)值解，如： 常微分方程組的初值問題； 延遲微分方程的問題； 常微分方程組的邊界問題。 1顯式常微分方程組 2設(shè)置解法器參數(shù) 3線性隱式常微分方程組 4完全隱式常微分方程組 在MATLAB中可以計(jì)算以下初值問題的數(shù)值解。顯式常微分方程組；線性隱式常微分方程組；完全隱式常微分方程組。 在MATLAB中，用函數(shù)實(shí)現(xiàn)不同的解法，如下表所示。 函數(shù)odeset()設(shè)定解法器參數(shù)，其具體使用方法如下： o p t i o n s = odeset(name1,value1,name2, value2,)，用參數(shù)名和相應(yīng)參數(shù)值設(shè)定解法器的參數(shù)； options= odeset(oldopts,name1, value1,)，修改原來的解法器options結(jié)構(gòu)體oldopts； options = odeset(oldopts,newopts)，合并兩個解法器options結(jié)構(gòu)體oldopts和newopts； odeset，顯示所有的參數(shù)值和它們的默認(rèn)值。 常微分方程組解法器參數(shù) 線性隱式常微分方程組可以利用解法器參數(shù)options來求解。 運(yùn)行結(jié)果如下圖所示。 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 t y 函數(shù)ode15i()求解完全隱式常微分方程組，其具體使用方法如下： t,Y = ode15i(odefun,tspan,y0,yp0) ； t , Y = ode15i(odefun,tspan,y0,yp0,options) 。 函數(shù)decic()得到自洽初始值，其具體使用方法如下： y 0 m o d , y p 0 m o d = decic(odefun,t0,y0,fixed_y0,yp0,fixed_yp0)； y 0 m o d , y p 0 m o d = decic(odefun,t0,y0,fixed_y0,yp0,fixed_yp0,options) 。 運(yùn)行結(jié)果如下圖所示。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 t y 函數(shù)dde23()求解延遲微分方程組，其具體使用方法如下： s o l = dde23(ddefun,lags,history,tspan)； s o l = dde23(ddefun,lags,history,tspan,option)，option結(jié)構(gòu)體用于設(shè)置解法器的參數(shù)。 函數(shù)dde23()的返回值是一個結(jié)構(gòu)體，它包含7個屬性，其中重要的5個屬性如下： sol.x，dde23選擇計(jì)算的時間點(diǎn)； sol.y，在時間點(diǎn)x上的解y(x)； sol.yp，在時間點(diǎn)x上解的一階導(dǎo)數(shù)y(x)； sol.history，方程初始值； sol.solver，解法器的名字dde23； 若需得到tint時刻的解，可以使用函數(shù)deval，即yint = deval(sol,tint)。 函數(shù)bvp4c()的具體使用方法如下： sol = bvp4c(odefun,bcfun,solinit)，odefun代表常微分方程組的函數(shù)，bcfun是描述邊界條件的函數(shù)，solinit是對方程解的猜測解； s o l = bvp4c(odefun,bcfun,solinit,options)，使用options結(jié)構(gòu)體來設(shè)定解法器的參數(shù)。 運(yùn)行結(jié)果如下圖所示。 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Mathieu方程在邊界條件下的解 x y 4階Mathieu方程的特征值 = 17.0973