天津市七校高三4月聯(lián)考 理科數(shù)學(xué)試題及答案

學(xué)校_ 班 級(jí)_ 姓 名_ 考 號(hào)_ 座位號(hào)_-密-封-線-七校聯(lián)考高三數(shù)學(xué)(理)試卷 2015.04.1、 選擇題（每題5分，共8道）1、設(shè)復(fù)數(shù)z1=1+i,z2=2+bi,若為純虛數(shù),則實(shí)數(shù)b=()A. -2 B.2 C.-1 D.12、不等式組表示的平面區(qū)域是()3、已知, ,則() A. a> b> c B. a> c> b C. c> a> b D. c> b> a4、閱讀如下程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,則程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果為()A.7 B.9 C.10 D.115、已知雙曲線C的離心率為2,焦點(diǎn)為,點(diǎn)A在C上.若|=2|,則cos=()A. B. C. D.6、已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示,則四棱錐P-ABCD的四個(gè)側(cè)面中的最大面積是() A.3 B.8 C. D.6；7、已知正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足,若存在兩項(xiàng),使得,則的最小值為()A. B. C. D.不存在8、已知定義在R上的函數(shù)y=f(x) 對(duì)于任意的x都滿足f(x+1) =-f(x), 當(dāng)-1x< 1時(shí), , 若函數(shù)至少有6個(gè)零點(diǎn), 則a的取值范圍是() A.(5, +)B.5, +)C. (5,7)D.5,7)二、填空題（每題5分，共6道）9、某地區(qū)有小學(xué)150所，中學(xué)75所，大學(xué)25所。現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取60所學(xué)校對(duì)學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查，應(yīng)從小學(xué)中抽取 所學(xué)校，中學(xué)中抽取 所學(xué)校.10、如圖,在圓O中,直徑AB與弦CD垂直,垂足為E,EFDB,垂足為F,若AB=6,AE=1,則DFDB=_.11、若,則二項(xiàng)式 的展開式中常數(shù)項(xiàng)是_.12、已知直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為，則直線被圓所截得的弦長等于 .13、已知，當(dāng)“x” 是“x”的充分不必要條件，則的取值范圍是 .14、在的邊、上分別取、，使，與交于點(diǎn)，若，則 .三、解答題15、（13分）已知ABC的內(nèi)角為A、B、C, 其對(duì)邊分別為a、b、c, B為銳角, 向量, 且.(1) 求角B的大小; (2) 如果b=2, 求SABC的最大值. 16、（13分）PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物,也稱為可入肺顆粒物.我國PM2.5標(biāo)準(zhǔn)采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值,即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí);在35微克/立方米75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級(jí);在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo).某市環(huán)保局從該市市區(qū)2011年全年每天的PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取15天的數(shù)據(jù)作為樣本,監(jiān)測(cè)值如莖葉圖所示(十位為莖,個(gè)位為葉).(1)從這15天的PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中,隨機(jī)抽取三天,求恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率;(2)從這15天的數(shù)據(jù)中任取三天數(shù)據(jù),記表示抽取PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù),求的分布列;(3)以這15天的PM2.5日均值來估計(jì)一年的空氣質(zhì)量情況,則一年(按360天計(jì)算)中平均有多少天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)?PM2.5日均值(微克/立方米)285371434456387986392517、（13分）如圖,在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD底面ABCD,側(cè)棱PA=PD=,PAPD,底面ABCD為直角梯形,其中BCAD,ABAD,AB=BC=1,O為AD中點(diǎn).(1)求直線PB與平面POC所成角的余弦值;(2)求B點(diǎn)到平面PCD的距離;(3)線段PD上是否存在一點(diǎn)Q,使得二面角Q-AC-D的余弦值為?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.18、（13分）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式; (2)設(shè),數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Tn,求使不等式Tn>對(duì)一切nN*都成立的最大正整數(shù)k的值;(3)設(shè),是否存在mN*,使得f(m+15)=5f(m)成立?若存在,求出m的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.19、（14分）橢圓E:(a>b>0)的焦點(diǎn)到直線x-3y=0的距離為,離心率為;拋物線G:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)與橢圓E的焦點(diǎn)重合;斜率為k的直線l過G的焦點(diǎn),與E交于A,B,與G交于C,D.(1)求橢圓E及拋物線G的方程;(2)是否存在常數(shù),使為常數(shù),若存在,求出的值,若不存在,請(qǐng)說明理由.20、（14分）已知函數(shù)f(x) =elnx, g(x) =lnx-x-1, h(x) =x2. (1) 求函數(shù)g(x) 的極大值; (2) 求證: 存在x0(1, +), 使g(x0) =g; (3) 對(duì)于函數(shù)f(x) 與h(x) 定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x, 若存在常數(shù)k, b, 使得f(x) k x+b和h(x) k x+b都成立, 則稱直線y=k x+b為函數(shù)f(x) 與h(x) 的分界線. 試探究函數(shù)f(x) 與h(x) 是否存在“分界線”? 若存在, 請(qǐng)給予證明, 并求出k, b的值; 若不存在, 請(qǐng)說明理由. 高三年級(jí)七校聯(lián)考 理科數(shù)學(xué) 答案（2015.4）一、選擇題：題號(hào)12345678答案ABCBADAA二、填空題：9、36，18 10、5 11、 12、4 13、 14、12三、解答題： 15、解析（1）/（為銳角）（2）由 得 ，. 即的最大值為.16、解析 （1）記“從15天的PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽取三天，恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)”為事件， （4分）（2）依據(jù)條件，服從超幾何分布：其中，的可能值為0,1,2,3,（0，1,2,3） （7分）其分布列為：0123 （10分）（3）依題意可知，一年中每天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)的概率為（11分）設(shè)一年中空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)的天數(shù)為，則.，一年中平均有240天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí).（13分）17、解析（1）在中, ,為中點(diǎn)，所以，又側(cè)面底面，平面平面，平面，所以平面.又在直角梯形中，連結(jié)，易得，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為軸，直線為軸，直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則 ，易證平面，是平面的法向量，.直線與平面所成角的余弦值為.（2）,設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得.點(diǎn)到平面的距離.（3）存在.設(shè)（）,，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得.又平面的一個(gè)法向量為，二面角的余弦值為，得，解得或（舍）,存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，且.18、解析（1）設(shè)、的公共焦點(diǎn)為，由題意得，故，.（2分）橢圓：，拋物線：.（4分）（2）存在.設(shè)，.直線的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立得化簡得，.， （6分） （7分）.直線的方程為與拋物線的方程聯(lián)立得化簡得， （9分）. （11分）,要使為常數(shù)，則，得,故存在,使為常數(shù). （14分）19、解析（1）當(dāng)時(shí)，（1分）當(dāng)時(shí)， （2分）而當(dāng)時(shí)， （）. （4分）（2）， .（7分），單調(diào)遞增，. （8分）令，得，所以. （10分）（3）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，. （12分）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)， （舍去）綜上，存在唯一正整數(shù)，使得成立. （14分）20、解析（1）（）. （1分）令，解得；令，解得. （2分）函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減. （3分）的極大值為 （4分）（2）由（1）知在上單調(diào)遞減，令，則在上單調(diào)遞減.， （5分）取，則.（6分）故存在，使，即存在，使.（7分）（說明: 的取法不唯一, 只要滿足, 且即可）（3）設(shè)（）, 則，當(dāng)時(shí), , 函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.是函數(shù)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，即.函數(shù)與的圖象在處有公共點(diǎn). （9分）設(shè)與存在“分界線”且其方程為，令函數(shù)，由，得在上恒成立，即在上恒成立，即，故. （11分）下面說明：，即（）恒成立.設(shè)，則.當(dāng)時(shí), ，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減, 當(dāng)時(shí)，取得最大值，.（）恒成立. （13分）綜合知，且，故函數(shù)與存在“分界線”, 且，. （14分）、 理科數(shù)學(xué)試卷第 17 頁（共20 頁） 理科數(shù)學(xué)試卷第 18 頁（共20頁）