第1部分第一章 §1 分類加法計(jì)數(shù)原理和分布乘法計(jì)數(shù)原理

第1部分第一章1理解教材新知把握熱點(diǎn)考向應(yīng)用創(chuàng)新演練知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三 返回 返回 返回 返回 返回 1劉翔為了備戰(zhàn)2012年倫敦奧運(yùn)會(huì)，需要從北京到A地進(jìn)行封閉式訓(xùn)練，每天有7次航班，5列動(dòng)車 問題1：劉翔從北京到A城的方法可分幾類？ 提示：兩類，即乘飛機(jī)、乘動(dòng)車 問題2：這幾類方法都能完成“從北京到A城”這件事嗎？ 提示：都能 問題3：劉翔從北京到A城共有多少種不同的方法？ 提示：7512(種) 返回 2若你班有男生26人，女生24人，從中選一名同學(xué)擔(dān)任班長(zhǎng) 問題4：不同的選法的種數(shù)為多少？ 提示：262450. 返回 分類加法計(jì)數(shù)原理(加法原理) 完成一件事，可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種方法，在第二類辦法中有m2種方法，在第n類辦法中有mn種方法那么，完成這件事共有 N 種方法.m1m2mn 返回 1劉翔從北京到A城需在B城停留，若從北京到B城有7次航班，從B城到A城有5列動(dòng)車 問題1：劉翔從北京到A城需要經(jīng)歷幾個(gè)步驟？ 提示：兩個(gè)，即從北京到B城，從B城到A城 返回 問題2：這幾個(gè)步驟中的某一步能完成“從北京到A城”這件事嗎？ 提示：不能必須“從北京到B城”“從B城到A城”這兩步都完成后才能完成“從北京到A城”這件事 問題3：劉翔從北京到A城共有多少種不同的方法？ 提示：7535(種) 返回 2若你班有男生26人，女生24人，從中選一名男生和一名女生擔(dān)任班長(zhǎng) 問題4：不同的選法的種數(shù)為多少？ 提示：2624624. 返回 分步乘法計(jì)數(shù)原理(乘法原理) 完成一件事需要經(jīng)過n個(gè)步驟，缺一不可，做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法，做第n步有mn種方法那么，完成這件事共有 N 種方法m1m2mn 返回 1分類加法計(jì)數(shù)原理中的每一種方法都可以完成這件事情，而分步乘法計(jì)數(shù)原理的每一個(gè)步驟都是完成這件事情的中間環(huán)節(jié)，都不能獨(dú)立完成這件事情 2分類加法計(jì)數(shù)原理考慮的是完成這件事情的方法被分成不同的類別，求各類方法之和；而分步乘法計(jì)數(shù)原理考慮的是完成這件事情的過程被分成不同的步驟，求各步驟方法之積 返回 返回 例1高二一班有學(xué)生50人，男生30人；高二二班有學(xué)生60人，女生30人；高二三班有學(xué)生55人，男生35人 (1)從中選一名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)主席，有多少種不同的選法？ (2)從高二一班、二班男生中，或從高二三班女生中選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)體育部長(zhǎng)，有多少種不同的選法？ 返回 思路點(diǎn)撥(1)完成的一件事是從三個(gè)班級(jí)中選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)主席；(2)完成的一件事是從一班、二班男生中，或從三班女生中選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)體育部長(zhǎng)，因而可按當(dāng)選學(xué)生來自不同班級(jí)分類，利用分類加法計(jì)數(shù)原理求解 返回 精解詳析(1)選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)主席有3類不同的選法： 第一類，從高二一班選一名，有50種不同的方法； 第二類，從高二二班選一名，有60種不同的方法； 第三類，從高二三班選一名，有55種不同的方法 故任選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)主席的選法共有 506055165種不同的方法 返回(2)選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)體育部長(zhǎng)有3類不同的選法：第一類，從高二一班男生中選，有30種不同的方法；第二類，從高二二班男生中選，有30種不同的方法；第三類，從高二三班女生中選，有20種不同的方法故選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)體育部長(zhǎng)共有30302080種不同的方法 返回 一點(diǎn)通如果完成一件事有n類不同的辦法，而且這n類辦法是相互獨(dú)立的，無論用哪一類辦法中的哪一種方法都能獨(dú)立地完成這件事，那么求完成這件事的方法種數(shù)就用分類加法計(jì)數(shù)原理分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對(duì)每一類進(jìn)行計(jì)數(shù)，最后用分類加法計(jì)數(shù)原理求和，得到總種數(shù) 返回1上海世博會(huì)期間，一志愿者帶一客人去預(yù)訂房間，賓館有上等房10間，中等房20間，一般房25間，則客人選一間房的選法有 ()A500種B5 000種C55種 D10種解析：選法為10202555種答案：C 返回 2設(shè)x，y N，且xy3，則直角坐標(biāo)系中滿足條件的點(diǎn)M(x，y)共有 ()A3個(gè) B4個(gè)C5個(gè) D10個(gè)解析：第一類x0，y0,1,2,3，共4個(gè)；第二類x1，y0,1,2，共3個(gè)；第三類x2，y0,1，共2個(gè)；第四類x3，y0,1個(gè)滿足條件的點(diǎn)M(x，y)共有432110個(gè)答案：D 返回3在所有的兩位數(shù)中，十位數(shù)字大于個(gè)位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個(gè)？解：依據(jù)“十位數(shù)字大于個(gè)位數(shù)字”進(jìn)行分類，令十位數(shù)字為 m，個(gè)位數(shù)字為n，則有當(dāng) m1時(shí)，n0，有1個(gè)；當(dāng) m2時(shí)，n0,1，有2個(gè)；當(dāng) m3時(shí)，n0,1,2，有3個(gè)；當(dāng) m9時(shí)，n0,1,2,38，有9個(gè)所有這樣的兩位數(shù)共有123945個(gè) 返回 例2某中學(xué)食堂備有6種葷菜，5種素菜，3種湯現(xiàn)要配成一葷一素一湯的套餐，可以配制成多少種不同的套餐？ 思路點(diǎn)撥“配制成一葷一素一湯的套餐”，需分步完成，考察每步有多少種選擇方法，然后根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)即可 返回 精解詳析共分三步： 第一步：配一個(gè)葷菜有6種選擇； 第二步：配一個(gè)素菜有5種選擇； 第三步：配一個(gè)湯有3種選擇 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有65390種不同的套餐 一點(diǎn)通利用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)的一般思路：首先將完成這件事的過程分步，然后再找出每一步中的方法有多少種，求其積，注意各步之間的相互聯(lián)系，每步都完成后，才能完成這件事 返回4現(xiàn)有4件不同款式的上衣和3條不同顏色的長(zhǎng)褲，如果一條長(zhǎng)褲與一件上衣配成一套，則不同配法的種數(shù)為 ()A7 B12C64 D81 返回解析：要完成長(zhǎng)褲與上衣配成一套，分兩步：第一步：選上衣，從4件中任選一件，有4種不同選法；第二步：選長(zhǎng)褲，從3條長(zhǎng)褲中任選一條，有3種不同選法故共有4312種不同的配法答案：B 返回5將3封信投到4個(gè)郵筒，所有投法有 ()A24種 B4種C64種 D81種解析：分三步完成投信這件事第一步投第1封信有4種方法，第二步投第2封信有4種方法，第三步投第3封信有4種方法，故共有N44464種方法答案：C 返回6從1,2,3,4中選三個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的整數(shù)，則滿足下列條件的數(shù)有多少個(gè)？(1)三位數(shù)；(2)三位數(shù)的偶數(shù) 返回解：(1)三位數(shù)有三個(gè)數(shù)位：百位，十位，個(gè)位，故可分三步完成：第一步，排個(gè)位，從1,2,3,4中選1個(gè)數(shù)字，有4種方法；第二步，排十位，從剩下的3個(gè)數(shù)字中選1個(gè)，有3種方法；第三步，排百位，從剩下的2個(gè)數(shù)字中選1個(gè)，有2種方法依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有43224個(gè)滿足要求的三位數(shù) 返回(2)分三步完成：第一步，排個(gè)位，從2,4中選1個(gè)，有2種方法；第二步，排十位，從余下的3個(gè)數(shù)字中選1個(gè)，有3種方法；第三步，排百位，只能從余下的2個(gè)數(shù)字中選1個(gè)，有2種方法故共有23212個(gè)三位數(shù)的偶數(shù). 返回 例3(12分)如圖，一環(huán)形花壇分成A，B，C，D四塊現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊地里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，問共有多少種不同的種植方法 返回 思路點(diǎn)撥本題可以先分類，由A，C是否種相同的花分為兩類，也可以先分步，在考慮C時(shí)再分類 精解詳析法一：分為兩類： 第一類：當(dāng)花壇A，C中種的花相同時(shí)有431336種； 第二類：當(dāng)花壇A，C中種的花不同時(shí)有432248種 共有364884種 返回 法二：分為四步： 第一步：考慮A，有4種； 第二步：考慮B，有3種； 第三步：考慮C，有兩類：一是A與C同，C的選法有1種，這樣第四步D的選法有3種；二是A與C不同，C的選法有2種，此時(shí)第四步D的選法也有2種共有43(1322)84種 一點(diǎn)通綜合應(yīng)用兩個(gè)原理時(shí)，一定要把握好分類與分步分類是根據(jù)完成方法的不同類別，分步是根據(jù)一種方法進(jìn)程的不同步驟 返回7已知集合M1，2,3，N4,5,6，7，從兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則在直角坐標(biāo)系中，第一、二象限不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 ()A18 B16C14 D10 返回解析：分為兩大類：第一類，以集合M中的元素為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，集合N中的元素為點(diǎn)的縱坐標(biāo)由分步乘法計(jì)數(shù)原理，有326個(gè)不同的點(diǎn)第二類，以集合N中的元素為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，集合M中的元素為點(diǎn)的縱坐標(biāo)由分步乘法計(jì)數(shù)原理，有428個(gè)不同的點(diǎn)由分類加法計(jì)數(shù)原理，第一、二象限內(nèi)不同的點(diǎn)共有N6814個(gè)答案：C 返回8有不同的中文書7本，不同的英文書5本，不同的法文書3本若從中選出不屬于同一種文字的2本書，共有_種不同的選法解析：分為三類，每一類再分兩步第一類選中文、英文書各一本有7535種選法，第二類選中文、法文書各一本有7321種選法，第三類選英文、法文書各一本有5315種選法，所以總共有35211571種不同的選法答案：71 返回9如圖所示，從甲地到乙地有2條陸路可走，從乙地到丙地有3條陸路可走，又從甲地不經(jīng)過乙地直接到達(dá)丙地有2條水路可走(1)從甲地經(jīng)過乙地到丙地有多少種不同的走法？(2)從甲地到丙地共有多少種不同的走法？ 返回解：(1)由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，從甲地經(jīng)過乙地到達(dá)丙地共有236種不同的走法(2)從甲地到丙地可分兩類：第一類：由甲地直接到丙地，共有2種不同的走法；第二類：由甲地經(jīng)乙地到丙地，共有236種不同的走法由分類加法計(jì)數(shù)原理知，從甲地到丙地共有268種不同的走法 返回1兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理區(qū)別一完成一件事有n類不同的辦法，關(guān)鍵詞是“分類”完成一件事需要n個(gè)步驟，關(guān)鍵詞是“分步”區(qū)別二每類辦法都能獨(dú)立地完成這件事，它是獨(dú)立的、一次的且每次得到的是最后結(jié)果，只需一種方法就可完成這件事每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能獨(dú)立完成這件事，即缺少任何一步都不能完成這件事，只有各個(gè)步驟都完成了，才能完成這件事區(qū)別三各類辦法之間是互斥的、并列的、獨(dú)立的各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨(dú)立的，“關(guān)聯(lián)”確保不遺漏，“獨(dú)立”確保不重復(fù) 返回 2.“分類”“分步”應(yīng)注意 (1)分類要做到“不重不漏”分類后再分別對(duì)每一類進(jìn)行計(jì)數(shù)，最后用分類加法計(jì)數(shù)原理求和，得到總數(shù) (2)分步要做到“步驟完整”完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)，當(dāng)然步與步之間要相互獨(dú)立分步后再計(jì)算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù) 返回點(diǎn)擊下圖