2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.1 向量的線性運(yùn)算 2.1.3 向量的減法示范教案 新人教B版必修4.doc

2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.1 向量的線性運(yùn)算 2.1.3 向量的減法示范教案 新人教B版必修4教學(xué)分析向量減法運(yùn)算是加法的逆運(yùn)算學(xué)生在理解相反向量的基礎(chǔ)上結(jié)合向量的加法運(yùn)算掌握向量的減法運(yùn)算因此，類比數(shù)的減法(減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù))，首先引進(jìn)相反向量的概念，然后引入向量的減法(減去一個(gè)向量，等于加上這個(gè)向量的相反向量)，通過向量減法的三角形法則和平行四邊形法則，結(jié)合一定數(shù)量的例題，深刻理解向量的減法運(yùn)算通過闡述向量的減法運(yùn)算，可以轉(zhuǎn)化為向量加法運(yùn)算，滲透化歸的數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生理解事物之間的相互轉(zhuǎn)化、相互聯(lián)系的辯證思想，同時(shí)由于向量的運(yùn)算能反映出一些物理規(guī)律，從而加強(qiáng)了數(shù)學(xué)學(xué)科與物理學(xué)科之間的聯(lián)系，提高學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)三維目標(biāo)1通過探究活動(dòng)，使學(xué)生掌握向量減法概念；理解兩個(gè)向量的減法就是轉(zhuǎn)化為加法來進(jìn)行，掌握相反向量2啟發(fā)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，善于獨(dú)立思考，學(xué)會(huì)分析問題和創(chuàng)造性地解決問題；能熟練地掌握用三角形法則和平行四邊形法則作出兩向量的差向量3能熟練地通過作圖，求作兩個(gè)向量的差重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：向量的減法運(yùn)算及其幾何意義教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)向量減法定義的理解課時(shí)安排1課時(shí)導(dǎo)入新課思路1.(類比聯(lián)想導(dǎo)入)上節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了向量的加法概念，并給出了求作和向量的兩種方法由向量的加法運(yùn)算自然聯(lián)想到向量的減法運(yùn)算：減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)向量的減法是否也有類似的法則呢？引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究，由此展開新課思路2.(直接導(dǎo)入)數(shù)的減法運(yùn)算是加法運(yùn)算的逆運(yùn)算本節(jié)課，我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)向量加法的逆運(yùn)算減法引導(dǎo)學(xué)生去探究、發(fā)現(xiàn)推進(jìn)新課(1)向量是否有減法？(2)怎樣定義向量的減法運(yùn)算？(3)如何理解向量的減法？(4)向量的加法運(yùn)算有平行四邊形法則和三角形法則，那么，向量的減法是否也有類似的法則？活動(dòng)：數(shù)的減法運(yùn)算是數(shù)的加法運(yùn)算的逆運(yùn)算，數(shù)的減法定義即減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，因此定義數(shù)的減法運(yùn)算，必須先引進(jìn)一個(gè)相反數(shù)的概念類似地，向量的減法運(yùn)算也可定義為向量加法運(yùn)算的逆運(yùn)算可類比數(shù)的減法運(yùn)算，我們定義向量的減法運(yùn)算，也應(yīng)引進(jìn)一個(gè)新的概念，這個(gè)概念又該如何定義？引導(dǎo)學(xué)生思考，相反向量有哪些性質(zhì)？由于方向反轉(zhuǎn)兩次仍回到原來的方向，因此a和a互為相反向量于是(a)a.我們規(guī)定，零向量的相反向量仍是零向量任一向量與其相反向量的和是零向量，即a(a)(a)a0.所以，如果a、b是互為相反的向量，那么ab，ba，ab0.(1)平行四邊形法則如圖1，設(shè)向量b，a，則b，由向量減法的定義，知a(b)ab.圖1又ba，所以ab.由此，我們得到ab的作圖方法 (2)三角形法則如圖2，已知a、b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作a，b，則ab，即ab可以表示為從b的終點(diǎn)指向a的終點(diǎn)的向量，這是向量減法的幾何意義圖2討論結(jié)果：(1)向量也有減法運(yùn)算(2)定義向量減法運(yùn)算之前，應(yīng)先引進(jìn)相反向量與數(shù)x的相反數(shù)是x類似，我們規(guī)定，與a長度相等，方向相反的量，叫作a的相反向量，記作a.(3)向量減法的定義我們定義aba(b)，即減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的相反向量規(guī)定：零向量的相反向量是零向量(4)向量的減法運(yùn)算也有平行四邊形法則和三角形法則，這也正是向量的運(yùn)算的幾何意義所在，是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn)思路1例1如圖3，ABCD中，a，b，你能用a、b表示向量、嗎？圖3活動(dòng)：本例是用兩個(gè)向量表示幾何圖形中的其他向量，這是用向量證明幾何問題的基礎(chǔ)要多注意這方面的訓(xùn)練，特別要掌握用向量表示平行四邊形的四條邊與兩條對(duì)角線的關(guān)系解：由向量加法的平行四邊形法則，我們知道ab，同樣，由向量的減法，知ab.變式訓(xùn)練1已知一點(diǎn)O到ABCD的3個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的向量分別是a、b、c，則向量等于()AabcBabcCabc Dabc解析：如圖4，點(diǎn)O到平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的向量分別是a、b、c，結(jié)合圖形有abc.圖4答案：B2若ab，ab.當(dāng)a、b滿足什么條件時(shí)，ab與ab垂直？當(dāng)a、b滿足什么條件時(shí)，|ab|ab|?當(dāng)a、b滿足什么條件時(shí)，ab平分a與b所夾的角？ab與ab可能是相等向量嗎？解：如圖5，用向量構(gòu)建平行四邊形，其中向量、恰為平行四邊形的對(duì)角線圖5由平行四邊形法則，得ab，ab.由此問題就可轉(zhuǎn)換為：當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時(shí)，對(duì)角線互相垂直？(|a|b|)當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時(shí)，對(duì)角線相等？(a、b互相垂直)當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時(shí)，對(duì)角線平分內(nèi)角？(|a|b|)ab與ab可能是相等向量嗎？(不可能，因?yàn)閷?duì)角線方向不同)例2如圖6，已知向量a，b，c，求作向量abc.活動(dòng)：教師讓學(xué)生親自動(dòng)手操作，引導(dǎo)學(xué)生注意規(guī)范操作，為以后解題打下良好基礎(chǔ)；點(diǎn)撥學(xué)生根據(jù)向量減法的三角形法則，需要選點(diǎn)平移作出兩個(gè)同起點(diǎn)的向量解：在平面上任取一點(diǎn)O，作Oa，Ob，則Bab.再作Bc，并以BA、BC為鄰邊作BADC，則BBBabc(如圖7) 圖6 圖7變式訓(xùn)練1在ABCD中，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A.B.C. D.0解析：A顯然正確，由平行四邊形法則，可知B正確，C中，錯(cuò)誤，D中，0正確答案：C2已知向量a，b，c與d，求ab，cd(圖8)圖8解：作a，OBb，作，則ab；作c，d，作，則cd.思路2例1判斷題：(1)若非零向量a與b的方向相同或相反，則ab的方向必與a、b之一的方向相同(2)ABC中，必有0.(3)若0，則A、B、C三點(diǎn)是一個(gè)三角形的三頂點(diǎn)(4)|ab|ab|.解：(1)若a與b方向相同，則ab的方向與a和b方向都相同；若a與b方向相反，則有可能a與b互為相反向量，此時(shí)ab0的方向不確定，說與a、b之一方向相同不妥(2)由向量加法法則，與是互為相反向量，所以有上述結(jié)論(3)因?yàn)楫?dāng)A、B、C三點(diǎn)共線時(shí)也有0，而此時(shí)構(gòu)不成三角形(4)當(dāng)a與b不共線時(shí)，|ab|與|ab|分別表示以a和b為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長，其大小不定；當(dāng)a、b為非零向量共線時(shí)，同向則有|ab|>|ab|，異向則有|ab|<|ab|；當(dāng)a、b中有零向量時(shí)，|ab|ab|.綜上所述，只有(2)正確例2若|8，|5，則|的取值范圍是()A3,8 B(3,8) C3,13 D(3,13)解析：.(1)當(dāng)、同向時(shí)，|853；(2)當(dāng)、反向時(shí)，|8513；(3)當(dāng)、不共線時(shí)，3<|<13.綜上，可知3|13.答案：C點(diǎn)評(píng)：此題可直接應(yīng)用重要性質(zhì)|a|b|ab|a|b|求解.變式訓(xùn)練1在ABC中， c， b，若點(diǎn)D滿足2，則等于()A.bcB.cbC.bc D.bc答案：A2已知a、b、c是三個(gè)非零向量，且兩兩不共線，順次將它們的終點(diǎn)和始點(diǎn)相連接而成一三角形的充要條件為abc0.證明：已知a0，b0，c0，且a b，b c，c a，(1)必要性：作a，b，則由假設(shè)c，另一方面ab.由于與是一對(duì)相反向量，有0，故有abc0.(2)充分性：作a，b，則ab，又由條件abc0，c0.等式兩邊同加，得c0.c，故順次將向量a、b、c的終點(diǎn)和始點(diǎn)相連接成一三角形.3已知|a|6，|b|8，且|ab|ab|，求|ab|.解：如圖9，設(shè)a， b，以AB、AD為鄰邊作ABCD，則ab， ab.圖9因?yàn)閨ab|ab|，所以| |.又四邊形ABCD為平行四邊形，所以四邊形ABCD為矩形故ADAB.在RtDAB中，|6，|8，由勾股定理，得|10.所以|ab|ab|10.1先由學(xué)生回顧本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：相反向量，向量減法的定義，向量減法的幾何意義，向量差的作圖2教師與學(xué)生一起總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法，類比，數(shù)形結(jié)合，幾何作圖，分類討論課本本節(jié)練習(xí)A組1,2.1向量減法的幾何意義主要是結(jié)合平行四邊形法則和三角形法則進(jìn)行講解的，兩種作圖方法各有千秋第一種作法結(jié)合向量減法的定義，第二種作法結(jié)合向量的平行四邊形法則，直接作出從同一點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)向量a、b的差，即ab可以表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量，第二種作圖方法比較簡捷2鑒于上述情況，教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合向量減法的幾何意義，注意差向量的方向，也就是箭頭的方向不要搞錯(cuò)了，ab的箭頭方向要指向a，如果指向b則表示ba，在幾何證明題目中，特別要掌握用向量表示平行四邊形的四條邊與兩條對(duì)角線的關(guān)系3關(guān)于向量減法，在向量代數(shù)中常有兩種定義方法，第一種方法是將向量的減法定義為向量加法的逆運(yùn)算，也就是說，如果bxa，則x叫作a與b的差，記作ab.這樣作ab時(shí)，可先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，再作a， b，則就是ab.這種定義向量減法，學(xué)生較難理解定義本身，但很容易作ab.第二種方法是在相反向量的基礎(chǔ)上，通過向量加法定義，即定義aba(b)用這種方法定義，通過類比數(shù)的減法，學(xué)生容易接受aba(b)，但作圖較繁實(shí)際上這兩種定義方法沒有本質(zhì)的區(qū)別一、向量減法法則的理解向量減法的三角形法則的式子內(nèi)容是：若兩個(gè)向量相減，則表示兩個(gè)向量起點(diǎn)的字母必須相同(否則無法相減)，這樣兩個(gè)向量的差向量是以減向量的終點(diǎn)的字母為起點(diǎn)，以被減向量的終點(diǎn)的字母為終點(diǎn)的向量只要學(xué)生理解法則內(nèi)容，那么解決起向量加減法的題來就會(huì)更加得心應(yīng)手，尤其遇到向量的式子運(yùn)算題時(shí)，一般不用畫圖就可迅速求解，如下面例題：例1化簡：.解：原式0.例2化簡：.解：原式()()()0.二、備用習(xí)題1下列等式中，正確的個(gè)數(shù)是()abbaabba0aa(a)aa(a)0A5B4C3D22如圖10，D、E、F分別是ABC的邊AB、BC、CA的中點(diǎn)，則等于()圖10A. B.C. D.3下列式子中不能化簡為的是()A() B()()C. D.4已知A、B、C三點(diǎn)不共線，O是ABC內(nèi)一點(diǎn)，若0，則O是ABC的()A重心 B垂心 C內(nèi)心 D外心5若非零向量與滿足|，則ABC的形狀是()A等邊三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形6已知兩向量a和b，求證：|ab|ab|的充要條件是a的方向與b的方向垂直參考答案：1B2.D3.C4.A5.C6證明：(1)充分性：設(shè)a，b，使，以O(shè)A、OB為鄰邊作矩形OBCA，則|ab|，|ab|.四邊形OBCA為矩形，|，故|ab|ab|.(2)必要性：設(shè)a，b，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形，則|ab|，|ab|.|ab|ab|，|.OBCA為矩形a的方向與b的方向垂直