2019-2020年中考數(shù)學(xué) 知識點聚焦 第一章 有理數(shù).doc

2019-2020年中考數(shù)學(xué) 知識點聚焦 第一章 有理數(shù)一、本部分內(nèi)容梳理基礎(chǔ)知識，細講方法技巧，辨析易混易錯，提升中考能力二、本部分內(nèi)容包括：代數(shù)式方程(組)與不等式(組)圖形與坐標、函數(shù)及圖像基礎(chǔ)知識篇空間圖形與幾何初步圖形與變換對稱、平移與旋轉(zhuǎn)圖形與證明統(tǒng)計與概率專題一 實數(shù)第一章 有理數(shù)高頻考點考查頻率所占分值1有理數(shù)的分類2具有相反意義的量3有理數(shù)的大小比較4相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)295有理數(shù)的混合運算6科學(xué)記數(shù)法知能圖譜有理數(shù)的意義有理數(shù)的分類有理數(shù)的運算按正負分按定義分整數(shù)分數(shù)正有理數(shù)0負有理數(shù)有理數(shù)的有關(guān)概念比較有理數(shù)的大小有理數(shù)用計算器進行有理數(shù)的簡單運算有理數(shù)的混合運算乘除及乘方混合運算加減混合運算運算運算律交換律結(jié)合律分配律近似數(shù)科學(xué)記數(shù)法第1講 有理數(shù)的意義知識能力解讀知能解讀 (一)正數(shù)和負數(shù)的意義(1)像，l，8，這樣大于0的數(shù)(“”通常省略不寫)叫作正數(shù)(2)像，這樣在正數(shù)前面加上“”(讀負號)的數(shù)叫作負數(shù)，負數(shù)小于0注意：(1)0既不是正數(shù)也不是負數(shù)，它是一個整數(shù)，它表示正數(shù)和負數(shù)的分界(2)對于正數(shù)和負數(shù)的概念，不能簡單理解為帶“”的數(shù)是正數(shù)，帶“”的數(shù)是負數(shù)如是0，也是0；當時，就是正數(shù)(二)具有相反意義的量正數(shù)和負數(shù)是根據(jù)實際需要而產(chǎn)生的，比如一些具有相反意義的量：收入200元與支出200元，上升7米與下降3米，零上2與零下7等雖然它們都表示一定的數(shù)量，卻意義相反，那么我們?nèi)绾稳ケ硎舅鼈兡?我們把一種意義的量規(guī)定為正的(如收入200元規(guī)定為元)，把另一種和它意義相反的量規(guī)定為負的(如支出200元規(guī)定為元)，于是就產(chǎn)生了正數(shù)和負數(shù)注意：(1)用正數(shù)和負數(shù)表示具有相反意義的量時，哪種意義的量規(guī)定為正，是可以任意選定的(如將上升2米規(guī)定為米或米都可以)，一旦選定一種意義的量為正，則另一種意義相反的量就只能為負(2)具有相反意義的量的特點：具有相反意義的量是成對出現(xiàn)的，單獨一個量不能成為具有相反意義的量；與一個量意義相反的量不止一個；具有相反意義的量包含兩個要素：一是它們的意義相反，二是它們都具有數(shù)量；具有相反意義的量必須是同類量，如節(jié)約3噸油與浪費1噸水不是具有相反意義的量(三)有理數(shù)的分類1有理數(shù)的定義正整數(shù)、0、負整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù)正分數(shù)和負分數(shù)統(tǒng)稱分數(shù)整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)2有理數(shù)的分類：(1)按定義分類：自然數(shù)有理數(shù)整數(shù) 分數(shù) 有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)(2)按正負分類：有理數(shù)注意：(1)在對有理數(shù)進行分類時，要做到不重不漏(2)在分類時，注意0的地位和意義(3)正整數(shù)，0統(tǒng)稱非負整數(shù)(也叫自然數(shù))；負整數(shù)，0統(tǒng)稱非正整數(shù)(四)數(shù)軸在數(shù)學(xué)中，可以用一條直線上的點表示數(shù)，這條直線叫作數(shù)軸，它滿足以下要求：(1)在直線上任取個點表示數(shù)0，這個0點叫作原點；(2)通常規(guī)定直線上從原點向右(或上)為正方向，從原點向左(或下)為負方向；(3)選取適當?shù)拈L度為單位長度，直線上從原點向右，每隔一個單位長度取一個點，依次表示l，2，3，；從原點向左，用類似方法依次表示，(如圖所示)點撥：(1)利用數(shù)軸，我們可以表示任意一個有理數(shù)，還可以表示任意一個無理數(shù)(2)數(shù)軸是研究數(shù)學(xué)的重要工具，也是“數(shù)形結(jié)合”的重要體現(xiàn)(3)數(shù)軸的定義包含三層含義：數(shù)軸是一條可以向兩端無限延伸的直線；數(shù)軸有三要素：原點、單位長度、正方向；原點的位置、單位長度、正方向都是根據(jù)實際需要規(guī)定的(五)相反數(shù)只有符號不同的兩個數(shù)叫作互為相反數(shù)特別地，0的相反數(shù)是0(1)在數(shù)軸上，互為相反數(shù)的兩個數(shù)對應(yīng)的點與原點的距離相等(幾何意義)(2)數(shù)的相反數(shù)是若，互為相反數(shù)，則(或，或)(六)絕對值一般地，數(shù)軸上表示數(shù) 的點與原點的距離叫作數(shù)的絕對值，記作正數(shù)的絕對值是它本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0，即點撥：因為有理數(shù)的絕對值表示兩點之間的距離，距離總是正數(shù)或零，所以任意一個有理數(shù)的絕對值是非負數(shù)，即(七)有理數(shù)大小比較的常用方法(1)數(shù)軸比較法：將兩數(shù)分別表示在數(shù)軸上，右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大(2)代數(shù)比較法：正數(shù)大于零，負數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負數(shù)；兩個負數(shù)，絕對值大的反而小(3)差值比較法：設(shè)，是兩個任意數(shù)，若，則；若，則；若，則(4)商值比較法：設(shè)，是兩個正數(shù)，若，則；若，則；若，則此外，還有倒數(shù)比較法、中間值比較法、平方比較法、換元比較法等(八)絕對值的非負性(拓展點)(1)正數(shù)和零統(tǒng)稱非負數(shù)，絕對值的意義揭示了絕對值的一個重要性質(zhì)：非負性，即對于任何有理數(shù)，都有如，故絕對值最小的數(shù)是0(2)非負數(shù)的重要性質(zhì)：非負數(shù)有最小值，是0；若幾個非負數(shù)之和等于0，每個非負數(shù)都等于0，即若，則，；有限個非負數(shù)之和仍是非負數(shù)方法技巧歸納方法技巧 (一)有理數(shù)的識別方法識別有理數(shù)的依據(jù)是有理數(shù)的定義及分類標準(二)求相反數(shù)的方法與多層性質(zhì)符號的化簡方法(1)求一個數(shù)的相反數(shù)，只要在這個數(shù)的前面加上“”即可若求一個代數(shù)式(含和、差形式)的相反數(shù)，則把這個代數(shù)式作為一個整體用括號括起來，再在前面加一個“”，如的相反數(shù)是，即(2)含多層性質(zhì)符號的式子，其化簡結(jié)果的符號只與“”的個數(shù)有關(guān)，若“”有偶數(shù)個，則結(jié)果為正；若“”有奇數(shù)個，則結(jié)果為負(三)絕對值的求法求一個數(shù)的絕對值，就是想辦法去掉絕對值號，順序為“先判后去”，即先判斷絕對值號內(nèi)的數(shù)(或式)的符號，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)去掉絕對值號(四)絕對值非負性的應(yīng)用我們知道，對于任意有理數(shù)，有若幾個非負數(shù)的和等于0，則這幾個非負數(shù)均為0(五)數(shù)軸與有理數(shù)大小比較的方法(1)在數(shù)軸上，右邊的點所表示的數(shù)比左邊的點所表示的數(shù)大根據(jù)正、負數(shù)在數(shù)軸上的位置可知：正數(shù)大于0，負數(shù)小于0，正數(shù)大于一切負數(shù)在利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小時，先要確定好有理數(shù)在數(shù)軸上的位置(2)用不等式表示正數(shù)和負數(shù)：正數(shù)大于0，反之，大于0的數(shù)都是正數(shù)，故用“”表示為正數(shù)負數(shù)小于0，反之，小于0的數(shù)都是負數(shù)，故用“”表示為負數(shù)為非負數(shù)，用“”表示；為非正數(shù)，用“”表示(六)數(shù)軸上兩點間的距離數(shù)軸上兩點間的距離等于表示該兩點的數(shù)的差的絕對值易混易錯辨析易混易錯知識1誤認為無論是正數(shù)還是負數(shù)，絕對值大的數(shù)就大2對有理數(shù)進行分類時，易因誤解0的地位和意義而出錯易混易錯 (一)對相反數(shù)的幾何意義理解不透導(dǎo)致漏解(二)對絕對值的意義理解不透導(dǎo)致錯誤(三)混淆負數(shù)與帶負號的數(shù)導(dǎo)致出錯(四)比較有理數(shù)的大小時，忽視原數(shù)的符號導(dǎo)致錯誤中考試題研究中考命題規(guī)律本講是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，中考題一般在準確理解概念的前提下即可正確解答主要考查絕對值和相反數(shù)的概念、有理數(shù)的大小比較，以及利用數(shù)軸進行化簡或解決相關(guān)問題，題型以填空題、選擇題為主中考試題 (一)對相反數(shù)的考查(二)對絕對值的考查(三)有理數(shù)的大小比較(四)利用數(shù)軸解決問題第2講 有理數(shù)的運算知識能力解談知能解讀 (一)有理數(shù)的加法(1)有理數(shù)的加法法則：同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加絕對值不等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得零一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)(2)加法運算律：加法交換律：兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變，即；加法結(jié)合律：三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變，即點撥：有理數(shù)的加法運算可概括為：同號相加一邊倒；異號相加“大”減“小”，符號跟著“大”的跑；相反敷相加“零”正好(二)有理數(shù)的減法有理數(shù)的減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)，即把有理數(shù)的減法利用數(shù)的相反數(shù)變成加法進行運算可表示為點撥：有理數(shù)相減，符號有兩變，先把減變加，減數(shù)變相反，統(tǒng)一成加后，再把結(jié)果算(三)有理數(shù)的乘法(1)有理數(shù)的乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；任何數(shù)與0相乘，都得0(2)有理數(shù)乘法法則的推廣：幾個不是0的數(shù)相乘，負因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積是正數(shù)；負因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積是負數(shù)幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0，積就為0幾個不等于0的數(shù)相乘，首先確定積的符號，然后把絕對值相乘(3)乘法運算律：乘法交換律：兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等，即；乘法結(jié)合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積相等，即；分配律：一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，再把積相加，即說明：(1)多個有理數(shù)相乘，負號當家起作用，奇負偶正規(guī)律定，一數(shù)為0積為0(2)由有理數(shù)乘法法則得出以下結(jié)論：如果兩個數(shù)的積為正數(shù)，那么這兩個數(shù)同正或同負；如果兩個數(shù)的積為負數(shù)，那么這兩個數(shù)一正一負；如果兩個數(shù)的積為0，那么這兩個數(shù)中至少有一個是0(四)有理數(shù)的除法(1)倒數(shù)：乘積是l的兩個數(shù)互為倒數(shù)巧記為“分子分母顛倒位置”，如的倒數(shù)為一般地，即若是不等于0的有理數(shù)，則的倒數(shù)為(2)有理數(shù)的除法法則：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)，也可表示為兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除；0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0注意：(1)0不能作除敏(2)巧記“除法化乘法，倒數(shù)是關(guān)鍵”(3)求倒數(shù)的方法：求一個整數(shù)(不為0)的倒數(shù)，只要寫成這個整數(shù)分之一即可；求一個真分數(shù)的倒數(shù)，只要把分數(shù)的分子和分母顛倒位置即可；求一個帶分數(shù)的倒數(shù)，要先將帶分數(shù)化成假分數(shù)，再求它的倒數(shù)；求一個小數(shù)的倒數(shù)，要先把小數(shù)化成分數(shù)，再求它的倒數(shù)(五)有理數(shù)的乘方(1)乘方的概念：求個相同因數(shù)的積的運算，叫作乘方，乘方的結(jié)果叫作冪在中，叫作底數(shù)，叫作指數(shù)一個數(shù)可以看作這個數(shù)本身的1次方(2)乘方的符號法則：正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)；0的任何正整數(shù)次冪都是0注意：(1)一個數(shù)可以看作這個數(shù)本身的1次方，指數(shù)l通常省略不寫；(2)當?shù)讛?shù)是負數(shù)或分數(shù)時，要先用括號將底數(shù)括起來，再在其右上角寫上指數(shù)；(3)0的0次冪無意義(六)有理數(shù)的混合運算順序運算順序：(1)先乘方，再乘除，最后加減；(2)同級運算，從左到右進行；(3)如有括號，先做括號內(nèi)的運算，按小括號，中括號、大括號依次進行注意：(1)運算過程中，帶分數(shù)一般化為假分數(shù)，小數(shù)化為分數(shù)，再進行乘方、乘除等運算，可簡化解題步驟；另外有些運算可同時進行，也可簡化解題步驟(2)在進行混合運算時，除遵守以上原則外，還需注意靈活使用運算律，使運算準確而快捷(七)科學(xué)記數(shù)法(1)把一個絕對值大于10的數(shù)表示成的形式(其中，是正整數(shù))，使用的是科學(xué)記數(shù)法注意：中只有一位整數(shù)，等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1(2)把一個絕對值小于1的非零數(shù)表示成的形式，其中，是一個負整數(shù)，的絕對值等于原數(shù)中左起第一個非零數(shù)字左面所有的0的個數(shù)(包括小數(shù)點左面的那個0)(八)近似數(shù)近似數(shù)：接近準確數(shù)而不等于準確數(shù)的數(shù)，叫作這個數(shù)的近似數(shù)，也叫近似值精確度：近似數(shù)與準確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示一個近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位注意：(1)一個數(shù)要精確到哪一位，只要將它的下一位四舍五入即可，按要求求近似數(shù)時不能連續(xù)從未位向前四舍五入(2)一個近似數(shù)的末尾的0不可省略，省略后原數(shù)的精確度會改變方法技巧歸納方法技巧 (一)有理數(shù)加法運算的解題技巧(1)在進行有理數(shù)加法運算時，首先要弄清兩個加數(shù)的情況，其次按照“一定，二求，三和差”的步驟完成解題任務(wù)“一定”即先確定和的符號；“二求”即求加數(shù)的絕對值；“三和差”即分析確定絕對值是相加還是相減(2)在運算中可靈活運用運算律，使運算簡化(二)有理數(shù)減法運算的解題規(guī)律有理數(shù)的減法，不像算術(shù)里那樣直接減，而是把它轉(zhuǎn)化為加法，借助加法進行計算關(guān)鍵是準確理解減法法則，注意“兩變”和“一不變”“兩變”即改變運算符號(減加)和改變減數(shù)的性質(zhì)符號(變?yōu)橄喾磾?shù))；“一不變”即被減數(shù)和減數(shù)的位置不能交換(三)有理數(shù)加減混合運算的規(guī)律技巧有理數(shù)的加減混合運算的方法：(1)運用有理數(shù)減法法則，將有理數(shù)加減混合運算中的減法運算統(tǒng)一為加法運算，然后省略加號和括號；(2)運用運算律，使運算簡便(四)正確進行有理數(shù)的乘法運算，靈活運用運算律(1)有理數(shù)乘法運算步驟為：第一步，確定符號；第二步，因數(shù)的絕對值相乘(2)有理數(shù)乘法法則中“同號得正，異號得負”專對“兩數(shù)相乘”而言(五)正確進行有理數(shù)的除法運算在有理數(shù)的除法中，一般能整除的，在確定符號后可直接整除；在不能整除的情況下，特別是當除數(shù)是分數(shù)時，往往把除法轉(zhuǎn)化為乘法較方便在乘除混合運算中，注意運算順序，從左向右依次運算(六)有理數(shù)乘方運算的解題方法(1)乘方是一種特殊的乘法運算(因數(shù)相同的乘法運算)，冪是乘方運算的結(jié)果有理數(shù)乘方運算與有理數(shù)的加減乘除運算一樣，首先確定冪的符號，然后再計算絕對值(2)當?shù)讛?shù)是負數(shù)或分數(shù)時，要先用括號將底數(shù)括上，再在右上角寫上指數(shù)，指數(shù)要寫得小一些，例如不能寫為(七)有理數(shù)混合運算的方法與技巧(1)把握好運算順序是關(guān)鍵有理數(shù)運算分三級運算，加減是第一級運算，乘除是第二級運算，乘方與開方(后面講)是第三級運算運算順序：先算高級運算，后算低級運算；若是同級運算，從左向右依次計算；若有括號，就先算括號里面的(2)牢記五種運算的運算法則、運算技巧及運算律，以簡化計算，從而提高解題的速度和準確率(八)用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)的方法把絕對值大于10的數(shù)表示成的形式時，是正整數(shù)且等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1(九)巧用“拆項法”解決有理數(shù)的混合運算問題在有理數(shù)的運算中常把帶分數(shù)拆分成整數(shù)部分和小數(shù)部分和的形式，或把拆成(其中)的形式這樣就可把復(fù)雜的有理數(shù)運算轉(zhuǎn)化為簡單的計算易混易錯辨析易混易錯知識1混淆倒數(shù)與相反數(shù)的概念我們知道，只有符號不同的兩個數(shù)叫作互為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0，或者說和為0的兩個數(shù)互為相反數(shù)任何數(shù)都有相反數(shù)，即的相反數(shù)是而乘積為l的兩個數(shù)互為恒數(shù)，正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負數(shù)的倒數(shù)是負數(shù)，0沒有倒數(shù)，即的倒數(shù)是2混淆有理數(shù)加法與乘法法則在進行有理數(shù)加法和乘法運算時，常因混淆兩個法則而出現(xiàn)或之類的錯誤要切記：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負；兩數(shù)相加，同號取相同的符號，異號(絕對值不相等)取絕對值較大的加數(shù)的符號3對乘方的理解有誤乘方是指幾個相同因數(shù)積的運算，表示個的積，即，在運用乘方公式時易出現(xiàn)的錯誤，要特別注意易混易錯 (一)運算時，符號出錯(二)運算順序不正確(三)錯用運算律中考試題研究中考命題規(guī)律本講的考點主要有有理數(shù)的運算和科學(xué)記數(shù)法，題型以填空題、選擇題為主，主要考查有理數(shù)的運算法則以及在實際問題中的應(yīng)用，有理數(shù)的運算還常以找規(guī)律的形式命題或與其他知識綜合命題近幾年考查科學(xué)記數(shù)法的試題背景多與時代熱點或地方特點相結(jié)合中考試題 (一)有理數(shù)的基本運算(二)有理數(shù)加減法的實際應(yīng)用(三)對科學(xué)記數(shù)法的理解(四)有理數(shù)運算中的規(guī)律性問題