《何時獲得最大利潤》（教學(xué)設(shè)計(jì)說明）

第二章 二次函數(shù)6.何時獲得最大利潤廣東省深圳市羅湖區(qū)羅湖中學(xué) 何鉆雄一、學(xué)生知識狀況分析學(xué)生的知識技能基礎(chǔ)：由簡單的二次函數(shù)yx2開始，然后是yax2，yax2+c，最后是y=a(x-h)2，ya(x-h)2+k，yax2+bx+c，學(xué)生已經(jīng)掌握了二次函數(shù)的三種表示方式和性質(zhì)。學(xué)生的活動經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：在前面對二次函數(shù)的研究中，學(xué)生研究了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握了研究二次函數(shù)常用的方法。二、教學(xué)任務(wù)分析 “何時獲得最大利潤”似乎是商家才應(yīng)該考慮的問題，但是這個問題的數(shù)學(xué)模型正是我們研究的二次函數(shù)的范疇。二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式后，很容易求出最大或最小值。而何時獲得最大利潤就是當(dāng)自變量取何值時，函數(shù)值取最大值的問題。因此本節(jié)課中關(guān)鍵的問題就是如何使學(xué)生把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，從而把數(shù)學(xué)知識運(yùn)用于實(shí)踐。即是否能把實(shí)際問題表示為二次函數(shù)，是否能利用二次函數(shù)的知識解決實(shí)際問題，并對結(jié)果進(jìn)行解釋。具體地，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：(一)知識與技能 1、經(jīng)歷探索T恤衫銷售中最大利潤等問題的過程，體會二次函數(shù)是一類最優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型，并感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。 2、能夠分析和表示實(shí)際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，并運(yùn)用二次函數(shù)的知識求出實(shí)際問題的最大(小)值，發(fā)展解決問題的能力。 (二)過程與方法 經(jīng)歷銷售中最大利潤問題的探究過程，讓學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)與人類生活的密切聯(lián)系及對人類歷史發(fā)展的作用，發(fā)展學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力。 (三)情感態(tài)度與價(jià)值觀 1、體會數(shù)學(xué)與人類社會的密切聯(lián)系，了解數(shù)學(xué)的價(jià)值。增進(jìn)對數(shù)學(xué)的理解和學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。2、認(rèn)識到數(shù)學(xué)是解決實(shí)際問題和進(jìn)行交流的重要工具，了解數(shù)學(xué)對促進(jìn)社會進(jìn)步和發(fā)展人類理性精神的作用。教學(xué)重點(diǎn)：能夠分析和表示實(shí)際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，并運(yùn)用二次函數(shù)的知識求出實(shí)際問題的最值教學(xué)難點(diǎn)：能夠分析和表示實(shí)際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，并運(yùn)用二次函數(shù)的知識求出實(shí)際問題的最值三、教學(xué)過程分析本節(jié)課設(shè)計(jì)了六個教學(xué)環(huán)節(jié)：復(fù)習(xí)回顧、創(chuàng)設(shè)問題情境講授新課、鞏固練習(xí)、實(shí)踐應(yīng)用、課堂小結(jié)、課后作業(yè)。第一環(huán)節(jié) 復(fù)習(xí)回顧活動內(nèi)容：1復(fù)習(xí)二次函數(shù)yax2+bx+c的相關(guān)性質(zhì)：頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸、最值等。2復(fù)習(xí)這節(jié)課所要用的其他相關(guān)知識：利潤=售價(jià)進(jìn)價(jià)，總利潤=每件利潤銷售額活動目的：為后面新課作準(zhǔn)備第二環(huán)節(jié) 創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課活動內(nèi)容：（有關(guān)利潤的問題）某商店經(jīng)營T恤衫，已知成批購進(jìn)時單價(jià)是2.5元。根據(jù)市場調(diào)查，銷售量與銷售單價(jià)滿足如下關(guān)系：在一段時間內(nèi)，單價(jià)是13.5元時，銷售量是500件，而單價(jià)每降低1元，就可以多售出200件。請你幫助分析，銷售單價(jià)是多少時，可以獲利最多?設(shè)銷售單價(jià)為x(x13.5)元，那么(1)銷售量可以表示為 ；(2)銷售額可以表示為 ；(3)所獲利潤可以表示為 ；(4)當(dāng)銷售單價(jià)是 元時，可以獲得最大利潤，最大利潤是 這是一個有實(shí)際意義的問題，要想解決它，就必須尋找出問題本身所隱含的一些關(guān)系，并把這些關(guān)系用數(shù)學(xué)的語言表示出來。設(shè)銷售單價(jià)為x元，則與原先的單價(jià)相比，降低了(13.5-x)元，而每降低1元，可多售出200件，降低了(13.5-x)元，則可多售出200(13.5-x)件，因此共售出500+200(13.5-x)件，若所獲利潤用y(元)表示，則y(x-2.5)500+200(13.5-x)。 經(jīng)過分析之后，上面的4個問題就可以解決了。 (1)銷售量可以表示為500+200(13.5-x)=3200200x。 (2)銷售額可以表示為x(3200-200x)=3200x-200x2。 (3)所獲利潤可以表示為(3200x-200x2)-2.5(3200-200x)-200x2+3700x-8000。 (4)設(shè)總利潤為y元，則y-200x2+3700x-8000=-200(x-. -2000拋物線有最高點(diǎn)，函數(shù)有最大值。當(dāng)x9.25元時，y最大= =9112.5元. 即當(dāng)銷售單價(jià)是925元時，可以獲得最大利潤，最大利潤是91125元活動目的：通過這個實(shí)際問題，讓學(xué)生感受到二次函數(shù)是一類最優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型，并感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。在這里幫助學(xué)生分析和表示實(shí)際問題中變量之間的關(guān)系，幫助學(xué)生領(lǐng)會有效的思考和解決問題的方法，學(xué)會思考、學(xué)會分析，是教學(xué)的一個重要內(nèi)容。第三環(huán)節(jié) 鞏固練習(xí)活動內(nèi)容：解決本章伊始，提出的“橙子樹問題”（1.驗(yàn)證猜測；2.進(jìn)一步分析）1本章一開始的“種多少棵橙子樹”的問題，我們得到了表示增種橙子樹的數(shù)量x(棵)與橙子總產(chǎn)量y(個)的函數(shù)關(guān)系是：二次函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)(600-5x)(100+x)-5x2+100x+60000。當(dāng)時曾經(jīng)利用列表的方法得到一個猜測，現(xiàn)在可以驗(yàn)證當(dāng)初的猜測是否正確？你是怎么做的？與同伴進(jìn)行交流。實(shí)際教學(xué)效果：大多數(shù)學(xué)生可以利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式解決問題。y-5x2+100x+60000-5(x2-20x+100-100)+60000-5(x-10)2+60500。 當(dāng)x=10時，y最大=60500。2議一議：（要求學(xué)生畫出二次函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象回答問題） (1)利用函數(shù)圖象描述橙子的總產(chǎn)量與增種橙子樹的棵數(shù)之間的關(guān)系。(2)增種多少棵橙子樹，可以使橙子的總產(chǎn)量在60400個以上？實(shí)際教學(xué)效果： 學(xué)生可以順利解決這個問題，答案如下(1)當(dāng)x<10時，橙子的總產(chǎn)量隨增種橙子樹的增加而增加；當(dāng)x>10時，橙子的總產(chǎn)量隨增種橙子樹的增加而減小。 (2)由圖可知，增種6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵，都可以使橙子總產(chǎn)量在60400個以上。第四環(huán)節(jié) 實(shí)踐應(yīng)用活動內(nèi)容：某商店購進(jìn)一批單價(jià)為20元的日用品，如果以單價(jià)30元銷售，那么半個月內(nèi)可以售出400件。根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，提高銷售單價(jià)會導(dǎo)致銷售量的減少，即銷售單價(jià)每提高1元，銷售量相應(yīng)減少20件。如何提高售價(jià),才能在半個月內(nèi)獲得最大利潤？解：設(shè)銷售單價(jià)為；元，銷售利潤為y元，則 y=(x-20)400-20(x-30) -20x2+1400x-20000 -20(x-35)2+4500。 所以當(dāng)x=35元，即銷售單價(jià)提高5元時，可在半月內(nèi)獲得最大利潤4500元第五環(huán)節(jié) 課堂小結(jié) 本節(jié)課經(jīng)歷了探索T恤衫銷售中最大利潤等問題的過程，體會了二次函數(shù)是一類最優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型，并感受了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。 學(xué)會了分析和表示實(shí)際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，并運(yùn)用二次函數(shù)的知識求出實(shí)際問題中的最大(小)值，提高解決問題的能力。第六環(huán)節(jié) 課后作業(yè)習(xí)題27第1，2題四、教學(xué)反思本節(jié)課中關(guān)鍵的問題就是如何使學(xué)生把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，從而把數(shù)學(xué)知識運(yùn)用于實(shí)踐。即是否能把實(shí)際問題表示為二次函數(shù)，是否能利用二次函數(shù)的知識解決實(shí)際問題，并對結(jié)果進(jìn)行解釋。在教學(xué)中，要對學(xué)生進(jìn)行適時的引導(dǎo)，并采用小組討論的方式掌握本節(jié)課的內(nèi)容，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。5