一曲線的參數(shù)方程

第 二 講 參 數(shù) 方 程一 曲 線 的 參 數(shù) 方 程 1、 參 數(shù) 方 程 的 概 念 ： 如 圖 ,一 架 救 援 飛 機(jī) 在 離 災(zāi) 區(qū) 地 面 500m高 處 以100m/s的 速 度 作 水 平 直 線 飛 行 . 為 使 投 放 救 援 物 資 準(zhǔn)確 落 于 災(zāi) 區(qū) 指 定 的 地 面 (不 記 空 氣 阻 力 ),飛 行 員 應(yīng) 如 何確 定 投 放 時(shí) 時(shí) 機(jī) 呢 ？ 提 示 ：即 求 飛 行 員 在 離 救 援 點(diǎn) 的 水 平 距 離多 遠(yuǎn) 時(shí) ， 開 始 投 放 物 資 ？ 救 援 點(diǎn)投 放 點(diǎn) 1、 參 數(shù) 方 程 的 概 念 ：xy500o 物 資 投 出 機(jī) 艙 后 ， 它 的 運(yùn) 動(dòng) 由 下 列 兩 種 運(yùn) 動(dòng) 合 成 ：（ 1） 沿 ox作 初 速 為 100m/s的 勻 速 直 線 運(yùn) 動(dòng) ；（ 2） 沿 oy反 方 向 作 自 由 落 體 運(yùn) 動(dòng) 。 如 圖 ,一 架 救 援 飛 機(jī) 在 離 災(zāi) 區(qū) 地 面 500m高 處 以100m/s的 速 度 作 水 平 直 線 飛 行 . 為 使 投 放 救 援 物 資 準(zhǔn)確 落 于 災(zāi) 區(qū) 指 定 的 地 面 (不 記 空 氣 阻 力 ),飛 行 員 應(yīng) 如 何確 定 投 放 時(shí) 機(jī) 呢 ？ xy500o 0,y 令 10.10 .t s得100 , 1010 .x t x m 代 入 得. 1010 所 m以 ， 飛 行 員 在 離 救 援 點(diǎn) 的 水 平 距 離 約 為 時(shí) 投 放 物 資 ，可 以 使 其 準(zhǔn) 確 落 在 指 定 位 置 t xy解 ： 物 資 出 艙 后 ， 設(shè) 在 時(shí) 刻 ， 水 平 位 移 為 ， 垂 直 高 度 為 ， 所 以 2100 , 1500 .2x ty gt )2（ g=9.8m/s1、 參 數(shù) 方 程 的 概 念 ： 如 圖 ,一 架 救 援 飛 機(jī) 在 離 災(zāi) 區(qū) 地 面 500m高 處 以100m/s的 速 度 作 水 平 直 線 飛 行 . 為 使 投 放 救 援 物 資 準(zhǔn)確 落 于 災(zāi) 區(qū) 指 定 的 地 面 (不 記 空 氣 阻 力 ),飛 行 員 應(yīng) 如 何確 定 投 放 時(shí) 機(jī) 呢 ？ 一 、 方 程 組 有 3個(gè) 變 量 ， 其 中 的 x,y表 示 點(diǎn) 的坐 標(biāo) ， 變 量 t叫 做 參 變 量 ， 而 且 x,y分 別 是 t的函 數(shù) 。二 、 由 物 理 知 識(shí) 可 知 ， 物 體 的 位 置 由 時(shí) 間 t唯一 決 定 ， 從 數(shù) 學(xué) 角 度 看 ， 這 就 是 點(diǎn) M的 坐 標(biāo)x,y由 t唯 一 確 定 ， 這 樣 當(dāng) t在 允 許 值 范 圍 內(nèi) 連續(xù) 變 化 時(shí) ， x,y的 值 也 隨 之 連 續(xù) 地 變 化 ， 于 是就 可 以 連 續(xù) 地 描 繪 出 點(diǎn) 的 軌 跡 。三 、 平 拋 物 體 運(yùn) 動(dòng) 軌 跡 上 的 點(diǎn) 與 滿 足 方 程 組的 有 序 實(shí) 數(shù) 對(duì) （ x,y） 之 間 有 一 一 對(duì) 應(yīng) 關(guān) 系 。 ( ),( ).x f ty g t （ 2）并 且 對(duì) 于 t的 每 一 個(gè) 允 許 值 , 由 方 程 組 (2) 所 確 定 的 點(diǎn)M(x,y)都 在 這 條 曲 線 上 , 那 么 方 程 (2) 就 叫 做 這 條 曲 線 的參 數(shù) 方 程 , 聯(lián) 系 變 數(shù) x,y的 變 數(shù) t叫 做 參 變 數(shù) , 簡(jiǎn) 稱 參 數(shù) . 相 對(duì) 于 參 數(shù) 方 程 而 言 ， 直 接 給 出 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) 間 關(guān) 系的 方 程 叫 做 普 通 方 程 。關(guān) 于 參 數(shù) 幾 點(diǎn) 說 明 ： 參 數(shù) 是 聯(lián) 系 變 數(shù) x,y的 橋 梁 ,1. 參 數(shù) 方 程 中 參 數(shù) 可 以 是 有 物 理 意 義 , 幾 何 意 義 , 也 可 以 沒 有 明 顯 意 義 。2.同 一 曲 線 選 取 參 數(shù) 不 同 , 曲 線 參 數(shù) 方 程 形 式 也 不 一 樣 3.在 實(shí) 際 問 題 中 要 確 定 參 數(shù) 的 取 值 范 圍 1、 參 數(shù) 方 程 的 概 念 ： 一 般 地 , 在 平 面 直 角 坐 標(biāo) 系 中 ,如 果 曲 線 上 任 意 一 點(diǎn) 的坐 標(biāo) x, y都 是 某 個(gè) 變 數(shù) t的 函 數(shù) 例 1: 已 知 曲 線 C的 參 數(shù) 方 程 是 （ 1） 判 斷 點(diǎn) M1(0, 1)， M2(5, 4)與 曲 線 C的 位 置 關(guān) 系 ；（ 2） 已 知 點(diǎn) M3(6, a)在 曲 線 C上 , 求 a的 值 。23 , ( )2 1.x t ty t 為 參 數(shù) 一 架 救 援 飛 機(jī) 以 100m/s的 速 度 作 水 平 直 線 飛 行 .在 離災(zāi) 區(qū) 指 定 目 標(biāo) 1000m時(shí) 投 放 救 援 物 資 （ 不 計(jì) 空 氣 阻 力 ,重 力 加 速 g=10m/s） 問 此 時(shí) 飛 機(jī) 的 飛 行 高 度 約 是 多 少 ？（ 精 確 到 1m）變 式 : 2、 方 程 所 表 示 的 曲 線 上 一 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) 是（ ） 練 習(xí) 1 sin ,(cosxy 為 參 數(shù) ）A、 （ 2， 7） ； B、 C、 D、 （ 1， 0） 1 2( , );3 3 1 1( , );2 21、 曲 線 與 x軸 的 交 點(diǎn) 坐 標(biāo) 是 ( )A、 （ 1， 4） ； B、 C、 D、21 ,(4 3x t ty t 為 參 數(shù) ）25( ,0);16 (1, 3); 25( ,0);16 B 已 知 曲 線 C的 參 數(shù) 方 程 是 點(diǎn) M(5,4)在 該 曲 線 上 . （ 1） 求 常 數(shù) a; （ 2） 求 曲 線 C的 普 通 方 程 . 21 2 ,( ).x t ty at 為 參 數(shù) ,a R解 : (1)由 題 意 可 知 : 1+2t=5at2=4解 得 : a=1t=2 a=1(2)由 已 知 及 (1)可 得 ,曲 線 C的 方 程 為 : x=1+2t y=t2 由 第 一 個(gè) 方 程 得 : 12xt 代 入 第 二 個(gè) 方 程 得 : 21( ) ,2xy 2( 1) 4x y 為 所 求 . 訓(xùn) 練 2： 思 考 題 ： 動(dòng) 點(diǎn) M作 等 速 直 線 運(yùn) 動(dòng) , 它 在 x軸 和 y軸 方 向的 速 度 分 別 為 5和 12 , 運(yùn) 動(dòng) 開 始 時(shí) 位 于 點(diǎn) P(1,2), 求 點(diǎn)M的 軌 跡 參 數(shù) 方 程 。解 ： 設(shè) 動(dòng) 點(diǎn) M (x,y) 運(yùn) 動(dòng) 時(shí) 間 為 t， 依 題 意 ， 得 ty tx 122 51所 以 ， 點(diǎn) M的 軌 跡 參 數(shù) 方 程 為 ty tx 122 51參 數(shù) 方 程 求 法 : （ 1） 建 立 直 角 坐 標(biāo) 系 , 設(shè) 曲 線 上 任 一 點(diǎn) P坐 標(biāo) 為 (x,y) （ 2） 選 取 適 當(dāng) 的 參 數(shù)（ 3） 根 據(jù) 已 知 條 件 和 圖 形 的 幾 何 性 質(zhì) , 物 理 意 義 , 建 立 點(diǎn) P坐 標(biāo) 與 參 數(shù) 的 函 數(shù) 式（ 4） 證 明 這 個(gè) 參 數(shù) 方 程 就 是 所 由 于 的 曲 線 的 方 程 小 結(jié) ： 一 般 地 ， 在 平 面 直 角 坐 標(biāo) 系 中 ， 如 果 曲 線 上 任 意 一 點(diǎn) 的 坐 標(biāo)x， y都 是 某 個(gè) 變 數(shù) t的 函 數(shù) ( ),( ).x f ty g t （ 2）并 且 對(duì) 于 t的 每 一 個(gè) 允 許 值 ， 由 方 程 組 （ 2） 所 確 定 的 點(diǎn) M(x,y)都 在 這 條 曲 線 上 ， 那 么 方 程 （ 2） 就 叫 做 這 條 曲 線 的 參 數(shù) 方 程 ， 系 變 數(shù) x,y的 變 數(shù) t叫 做 參 變 數(shù) ， 簡(jiǎn) 稱 參 數(shù) 。 2、 圓 的 參 數(shù) 方 程 y xo r M(x,y) 0M ) ( )(sincossin,cos ),(速 圓 周 運(yùn) 動(dòng) 的 時(shí) 刻 質(zhì) 點(diǎn) 作 勻有 明 確 的 物 理 意 義程 。 其 中 參 數(shù) 的 圓 的 參 數(shù) 方， 半 徑 為這 就 是 圓 心 在 原 點(diǎn) 為 參 數(shù)即角 函 數(shù) 的 定 義 有 ： ， 那 么 由 三， 設(shè)， 那 么 ， 坐 標(biāo) 是轉(zhuǎn) 過 的 角 度 是， 點(diǎn)如 果 在 時(shí) 刻 t rO ttry trxrytrxt rOMtyxM Mt 轉(zhuǎn) 過 的 角 度 。的 位 置 時(shí) ，到 逆 時(shí) 針 旋 轉(zhuǎn)繞 點(diǎn)的 幾 何 意 義 是其 中 參 數(shù) 的 圓 的 參 數(shù) 方 程， 半 徑 為這 也 是 圓 心 在 原 點(diǎn)為 參 數(shù) 為 參 數(shù) ， 于 是 有， 也 可 以 取考 慮 到 0 0)(sincos OMOM OOM rOry rx t 圓 的 參 數(shù) 方 程 的 一 般 形 式 么 樣 的 呢 ？的 圓 的 參 數(shù) 方 程 又 是 怎半 徑 為 那 么 ， 圓 心 在 點(diǎn)普 通 方 程 是 的 參 數(shù) 方 程 ， 它 對(duì) 應(yīng) 的以 上 是 圓 心 在 原 點(diǎn) 的 圓r yxoryx ),(, 00222 2 2 200 00 cos ( )s ( ) ( )in x x yx x ry y y rr 對(duì) 應(yīng) 的 普 通 方 程 為為 參 數(shù) 由 于 選 取 的 參 數(shù) 不 同 ， 圓 有 不 同 的 參數(shù) 方 程 ， 一 般 地 ， 同 一 條 曲 線 ， 可 以選 取 不 同 的 變 數(shù) 為 參 數(shù) ， 因 此 得 到 的參 數(shù) 方 程 也 可 以 有 不 同 的 形 式 ， 形 式不 同 的 參 數(shù) 方 程 ， 它 們 表 示 的 曲 線 可以 是 相 同 的 ， 另 外 ， 在 建 立 曲 線 的 參數(shù) 參 數(shù) 時(shí) ， 要 注 明 參 數(shù) 及 參 數(shù) 的 取 值范 圍 。 例 、 已 知 圓 方 程 x2+y2 +2x-6y+9=0， 將 它化 為 參 數(shù) 方 程 。解 ： x2+y2+2x-6y+9=0化 為 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 ， （ x+1） 2+（ y-3） 2=1， 參 數(shù) 方 程 為 sin3 cos1yx (為 參 數(shù) ) 例 2 如 圖 ， 圓 O的 半 徑 為 2， P是 圓 上 的 動(dòng) 點(diǎn) ，Q(6,0)是 x軸 上 的 定 點(diǎn) ， M是 PQ的 中 點(diǎn) ， 當(dāng) 點(diǎn) P繞 O作 勻 速 圓 周 運(yùn) 動(dòng) 時(shí) ， 求 點(diǎn) M的 軌 跡 的 參 數(shù) 方程 。 yo xP M Q )(sin 3cos sin2sin2,3cos2 6cos2 ),sin2,cos2( ,),(為 參 數(shù)的 軌 跡 的 參 數(shù) 方 程 是所 以 ， 點(diǎn) 由 中 點(diǎn) 坐 標(biāo) 公 式 得 ：的 坐 標(biāo) 是 則 點(diǎn)，的 坐 標(biāo) 是解 ： 設(shè) 點(diǎn) yx M yxP xOPyxM 徑 ， 并 化 為 普 通 方 程 。表 示 圓 的 圓 心 坐 標(biāo) 、 半 所為 參 數(shù)、 指 出 參 數(shù) 方 程 )(sin23 5cos22 yx 4)3()5( 22 yx _4 )0(sin2 cos3 ， 則 圓 心 坐 標(biāo) 是是 的 直 徑為 參 數(shù) ，、 圓 rrry rrx （ 2， 1） 參 數(shù) 方 程 和 普 通 方 程 的 互 化 例 3： 把 下 列 參 數(shù) 方 程 化 為 普 通 方 程 ， 并 說 明 它 們 各 表 示 什 么 曲 線 ？1 sin cos(1) ( ).(2) ( )1 sin 21 23 cos(3) ( ).sinx t xt yy txy 為 參 數(shù) 為 參 數(shù)為 參 數(shù)1.將 曲 線 的 參 數(shù) 方 程 化 為 普 通 方 程 ， 有 利 于 識(shí) 別 曲 線的 類 型 。2.曲 線 的 參 數(shù) 方 程 和 普 通 方 程 是 曲 線 方 程 的 不 同 形 式 。3.在 參 數(shù) 方 程 與 普 通 方 程 的 互 化 中 ， 必 須 使 x、 y的 取值 范 圍 保 持 一 致 。代 入 (消 參 數(shù) )法 恒 等 式 (消 參 數(shù) )法 曲 線 C的 普 通 方 程 和 參 數(shù) 方 程 是 曲 線 C的 兩 種 不 同 代 數(shù) 形式 ， 以 本 質(zhì) 上 講 它 們 是 互 相 聯(lián) 系 的 ， 一 般 可 以 進(jìn) 行 互 化 .通 常 使 用 代 入 消 參 ， 加 減 消 參 ， 使 用 三 角 公 式 消 參 。曲 線 的 參 數(shù) 方 程 曲 線 的 普 通 方 程 .消 去 參 數(shù)引 入 參 數(shù) 說 明 :把 參 數(shù) 方 程 化 為 普 通 方 程 ,常 用 方 法 有 :(1)代 入 (消 參 數(shù) )法(2)加 減 (消 參 數(shù) )法(3)借 用 代 數(shù) 或 三 角 恒 等 式 (消 參 數(shù) )法常 見 的 代 數(shù) 恒 等 式 : 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 21 1(1)( ) ( ) 42(2)( ) ( ) 12(3)( ) ( ) 1t tt tt a att a t at a att a t a 在 消 參 過 程 中 注 意 變量 x、 y取 值 范 圍 的一 致 性 ， 必 須 根 據(jù) 參數(shù) 的 取 值 范 圍 ， 確 定f(t)和 g(t)值 域 得 x、 y的 取 值 范 圍 。 如 果 知 道 變 數(shù) x， y中 的 一 個(gè) 與 參 數(shù) t的 關(guān) 系 ，例 如 x=f(t),把 它 代 入 普 通 方 程 ， 求 出 另 一 個(gè) 變數(shù) 與 參 數(shù) 的 關(guān) 系 y=g(t)， 那 么)( )( tgy tfx 這 就 是 曲 線 的 參 數(shù) 方 程 。二 、 普 通 方 程 參 數(shù) 方 程例 4 (1)設(shè) x=3cos ， 為 參 數(shù) ；2 2 19 4x y 求 橢 圓 的 參 數(shù) 方 程 。 )(sin2cos3 149 ,sin2 sin2sin4)cos1(4 ,149cos9 cos31 22 222 22 為 參 數(shù) 的 參 數(shù) 方 程 是所 以 橢 圓 的 任 意 性 ， 可 取由 參 數(shù) 即所 以 代 入 橢 圓 方 程 ， 得 到） 把解 ： （ yx yx y yy y x 例 4 (1)設(shè) x=3cos ， 為 參 數(shù) ；2 2 19 4x y 求 橢 圓 的 參 數(shù) 方 程 。還 有 其 它方 法 嗎 ？ 例 4 (1)設(shè) x=3cos ， 為 參 數(shù) ；2 2 19 4x y 求 橢 圓 的 參 數(shù) 方 程 。2 2cos sin 1cos , sin3cos2sinxy x y令 3 2 為 參 數(shù)法 二 ： 2 .t t(2)設(shè) y= ， 為 參 數(shù) ty txtty tx yx txtx txty 213)(213 149 13),1(9 144922 22 22 222 22 和為 參 數(shù) 的 參 數(shù) 方 程 是所 以 ， 橢 圓于 是 代 入 橢 圓 方 程 ， 得） 把（ 思 考 ： 為 什 么 (2)中 的 兩 個(gè) 參 數(shù) 方 程 合 起 來 才 是 橢 圓的 參 數(shù) 方 程 ？ 2 .t t(2)設(shè) y= ， 為 參 數(shù)分 別 對(duì) 應(yīng) 了 橢 圓 在 y軸 的 右 ， 左 兩 部 分 。 （ 1） 判 斷 點(diǎn) P1（ 1， 2） ， P2（ 0， 1） 與 曲 線 C的 位 置 關(guān) 系（ 2） 點(diǎn) Q(2,a)在 曲 線 l上 ， 求 a的 值 .（ 3） 化 為 普 通 方 程 ， 并 作 圖（ 4） 若 t 0， 化 為 普 通 方 程 ， 并 作 圖 .補(bǔ) 例 1 已 知 曲 線 C的 參 數(shù) 方 程 為 132 2ty tx （ t為 參 數(shù) ） 3321132 21 2 tttt分 析 與 解 答 :（ 1） 若 點(diǎn) P在 曲 線 上 ， 則 可 以 用 參 數(shù) t表 示 出x, y， 即 可 以 求 出 相 應(yīng) t值 .所 以 ， 令 t無 解 ， 點(diǎn) P1不 在 曲 線 C上 .0131 20 2 ttt同 理 ， 令 點(diǎn) P2在 曲 線 C上 . （ 2） Q在 曲 線 C上 ， 22 2 143 1t taa t 2xt （ 3） 將 代 入 y=3t2+1 143 2 xy ,如 圖 .（ 4） t 0, x=2t 0, y=3t2+1 1, 消 去 t， 得 ：143 2 xy t 0時(shí) ， 曲 線 C的 普 通 方 程 為143 2 xy (x 0, y 1). 143 2 xy點(diǎn) 評(píng) :在 （ 4） 中 ， 曲 線 C的 普 通 方 程 的 范 圍 也 可 以只 寫 出 x 0, 但 不 能 寫 成 y 1， 這 是 因 為是 以 x為 自 變 量 ， y為 因 變 量 的 函 數(shù) ， 由 x的 范 圍 可 以 確定 y的 取 值 范 圍 ， 但 反 過 來 不 行 .即 :所 得 曲 線 方 程 為 y=f(x)或 x=g(y)形 式 時(shí) ， 可 以 只寫 出 自 變 量 的 范 圍 ， 但 對(duì) 于 非 函 數(shù) 形 式 的 方 程 ， 即F(x,y)=0， 一 般 來 說 ， x,y的 范 圍 都 應(yīng) 標(biāo) 注 出 來 . （ 1） 互 化 時(shí) ， 必 須 使 坐 標(biāo) x, y的 取 值 范 圍 在 互 化 前 后保 持 不 變 ， 否 則 ， 互 化 就 是 不 等 價(jià) 的 . 如 曲 線 y=x2的 一 種 參 數(shù) 方 程 是 （ ）2 2 24 sin. ; . ; . ;sinx t x tx t x tA B C Dy t y ty ty t 分 析 :在 y=x2中 ， x R, y 0， 在 A、 B、 C中 ， x,y的 范 圍都 發(fā) 生 了 變 化 ， 因 而 與 y=x2不 等 價(jià) ， 而 在 D中 ， x,y范 圍 與y=x2中 x,y的 范 圍 相 同 ， 且 以 x=t,y=t2代 入 y=x2后 滿 足 該 方程 ， 從 而 D是 曲 線 y=x2的 一 種 參 數(shù) 方 程 .（ 2） 在 求 x,y 的 取 值 范 圍 時(shí) ， 常 常 需 用 求 函 數(shù) 值 域 的 各 種方 法 。 如 利 用 單 調(diào) 性 求 函 數(shù) 值 域 ， 二 次 函 數(shù) 在 有 限 區(qū) 間 上求 值 域 ， 三 角 函 數(shù) 求 值 域 ， 判 別 式 法 求 值 域 等 。注 意 : 解 ： y=cos2 =1-2sin2 =1-2x2 應(yīng) 選 C.補(bǔ) 例 2 方 程 sincos2xy 所 表 示 的 曲 線 一 個(gè) 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) 是 ( )(為 參 數(shù) )1 2 1 1.(2, 7); .( , ); .( , ); .(1, 0).3 3 2 2A B C D補(bǔ) 例 3.參 數(shù) 方 程 cos1 sincos1 cosyx （ 為 參 數(shù) ） 化 成 普 通 方 程 為 . 補(bǔ) 例 4： 下 列 參 數(shù) 方 程 (t為 參 數(shù) )與 普 通 方 程 x2-y=0表 示 同 一 曲 線 的 方 程 是 ( )2cos. . . .1 cos 2 1 cos 2cos 1 cos 2 1 cos 2x tgt x tgtx tx tA B C Dt ty yy ty t t t 解 ： 普 通 方 程 x2-y中 的 x R， y0， A.中 x= t 0， B.中 x=cost -1,1 ， 故 排 除 A.和 B.C.中 222cos2sin ty t =ctg2t= 22 11 xttg 即 x2y=1， 故 排 除 C. 應(yīng) 選 D.補(bǔ) 例 5.直 線 ： 3x-4y-9=0與 圓 ： )(,sin2cos2 為 參 數(shù) yx的 位 置 關(guān) 系 是 ( ) A.相 切 B.相 離 C.直 線 過 圓 心 D.相 交 但 直 線 不 過 圓 心 A 線 段 B 雙 曲 線 一 支 C 圓 弧 D 射 線答 案 ： A。分 析 由 y t t y 2 21 1解 得 ， 將 其 代 入 x t x y 3 2 3 1 22 得 ， ， 整 理 得 ： x y 3 5 00 5 0 252 77 1 242 t tx y， 得，故 該 曲 線 是 直 線 x y 3 5 0上 的 一 條 線 段 ， 故 選 A。補(bǔ) 例 6： 曲 線 的 參 數(shù) 方 程 為 223 2 0 51x t ty t ， 則 曲 線 是 ： 補(bǔ) 例 7： 參 數(shù) 方 程 xy cos sinsin 2 212 1 0 2 表 示 ：B 拋 物 線 一 部 分 ， 這 部 分 過 點(diǎn) 1 12， C 雙 曲 線 一 支 ， 這 支 過 點(diǎn) 1 12，D 拋 物 線 一 部 分 ， 這 部 分 過 點(diǎn) 1 12，分 析 因 為 x cos sin sin 2 2 2 2 4 2 22 50 2 0 |sin | 1 0 24 2 4 4 2 41 11 sin sin cos sin2 2 2 2 2 41 0 22 xyy x x 又 ， 即又 因 此 ， 參 數(shù) 方程 表 示 拋 物 線y x 12 2的 一 部 分 ， 這 部 分 過 點(diǎn) 1 12， ， 故 選 B。 1 12， A 雙 曲 線 一 支 ， 這 支 過 點(diǎn) 補(bǔ) 例 8 已 知 直 線 l1: x-ky+k=0, l2:kx-y-1=0. 其 中k為 參 數(shù) ， 求 l1, l2交 點(diǎn) 的 軌 跡 方 程 .解 法 1:求 出 兩 直 線 的 交 點(diǎn) 坐 標(biāo) ， 即 解 方 程 組 : 01 0ykx kkyx 當(dāng) k2 1時(shí) ， 得 到這 就 是 所 求 軌 跡 的 參 數(shù) 方 程 ， 但 如 果 要 求 軌 跡 的 普通 方 程 ， 需 消 去 參 數(shù) k. 1112 222kky k kx （ k為 參 數(shù) ） 解 法 2： 由 kx-y-1=0， 當(dāng) x 0時(shí) ， 可 得 xyk 1代 入 方 程 x-ky+k=0 得 : 012 xyx yyx點(diǎn) 評(píng) : 解 法 2中 ， 方 程 兩 邊 同 除 以 x， 會(huì) 丟 x=0的 解 ； 方 程兩 邊 同 乘 以 x， 會(huì) 增 x=0的 根 ， 所 以 最 后 得 到 軌 跡 方 程 后 應(yīng)檢 驗(yàn) 是 否 是 同 解 變 形 . 兩 種 方 法 得 到 軌 跡 的 不 同 形 式 的 方 程 ， 只 要 把 參 數(shù) 方 程中 的 參 數(shù) 消 去 ， 便 可 得 到 同 樣 的 普 通 方 程 .（ 不 妨 試 試 ，可 利 用 加 減 消 元 法 消 去 k， 但 應(yīng) 關(guān) 注 y 1的 限 制 條 件 。 ）去 分 母 ， 化 簡(jiǎn) 得 :x2-y2+1=0(x 0) 當(dāng) x=0時(shí) ， 存 在 k=0， 使 得 y=-1. 所 以 ， 所 求 軌 跡 的 普 通 方 程 為 :x2-y2+1=0(y 1). 補(bǔ) 例 9: 在 圓 x2+y2-4x-2y-20=0上 求 兩 點(diǎn) A和 B， 使 它 們到 直 線 4x+3y+19=0的 距 離 分 別 最 短 和 最 長 .解 ： 將 圓 的 方 程 化 為 參 數(shù) 方 程 ： sin51 cos52yx （ 為 參 數(shù) ）則 圓 上 點(diǎn) P坐 標(biāo) 為 (2+5cos ， 1+5sin )， 它 到 所 給直 線 之 距 離 2 2| 20cos 15sin 30| | 4cos 3sin 6| |5cos( ) 6|4 3d 故 當(dāng) cos(-)=1， 即 =時(shí) ， d最 長 ， 這 時(shí) ， 點(diǎn) A坐 標(biāo)為 (6， 4)； 當(dāng) cos(-)=-1,即 - 時(shí) ， d最 短 ， 這 時(shí) ，點(diǎn) B坐 標(biāo) 為 (-2， 2). 例 10： 等 腰 直 角 三 角 形 ABC， 三 頂 點(diǎn) A、 B、 C按 順 時(shí) 針 方向 排 列 ， A是 直 角 ， 腰 長 為 a， 頂 點(diǎn) A、 B分 別 在 x軸 y軸上 滑 動(dòng) ， 求 頂 點(diǎn) C的 軌 跡 方 程 （ 要 求 把 結(jié) 果 寫 成 直 角 坐 標(biāo)系 的 普 通 方 程 ）分 析 設(shè) 點(diǎn) C的 坐 標(biāo) 為 (x,y) ， 不 易 直 接 建 立 x,y之 間 的 關(guān) 系 ， 所 以 可考 慮 建 立 x,y之 間 的 間 接 關(guān) 系 式 . CAX完 全 確 定 了 頂 點(diǎn) C的 位 置 ，即 頂 點(diǎn) C的 位 置 是 CAX的 函 數(shù) ， 所 以 可 選 CAX為 參 數(shù)解 ： 如 圖 所 示 ， 設(shè) CAX ， 則 x OA AD a a ay DC a sin cos sin cossin C點(diǎn) 的 參 數(shù) 方 程 為 ： x ay a sin cossin 為 參 數(shù)消 去 參 數(shù) ， 得 普 通 方 程 為 ： x xy y a2 2 22 小 結(jié) ： 與 旋 轉(zhuǎn) 有 關(guān) 的 軌 跡 問 題 ， 常 選 角 為 參 數(shù) 。 補(bǔ) 例 11： 已 知 線 段 BB =4， 直 線 l垂 直 平 分 BB=于 點(diǎn) O，在 屬 于 l并 且 以 O為 起 點(diǎn) 的 同 一 射 線 上 取 兩 點(diǎn) P、 P ， 使OP.OP 9 。 求 直 線 BP與 直 線 B P ， 的 交 點(diǎn) M的 軌 跡方 程 。分 析 以 O為 原 點(diǎn) ， l為 x軸 ， BB為 y軸 建 立 一 直 角 坐 標(biāo) 系 xoy， 如 右 圖所 示 ， 則 B(0,2),B(0,-2).如 圖 可 知 ， 當(dāng) P點(diǎn) 的 位 置 一 定 時(shí) ，P點(diǎn) 的 位 置 完 全 確 定 ， 從 而 完 全 確定 了 M點(diǎn) 的 位 置 ， 所 以 可 選 P點(diǎn) 的坐 標(biāo) 為 參 數(shù) 。 解 ： 設(shè) P a a， ，0 0 ， 則 由 OP OP 9 ， 得 P a9 0，直 線 BP的 方 程 為 ： xa y 2 1直 線 B P 的 方 程 為 ： xa y9 2 1 兩 直 線 方 程 化 簡(jiǎn) 為 ： 2 2 02 9 18 0 x ay aax y 解 和 組 成 的 方 程 組 。 可 得 直 線 BP與 B P的 交 點(diǎn) 坐 標(biāo) 為 ： 2 2218918 29ax a ay a 消 去 參 數(shù) a， 得 ： 4 9 36 02 2x y x 本 題 也 可 將 直 線 BP和 B P 的 方 程 變 形 為 ：xa yax y 1 29 1 2 、 兩 式 相 乘 ， 得 x y2 29 1 4 小 結(jié) ： 本 題 第 二 種 解 法 ， 即 交 軌 法 。 它 是 求 兩 條曲 線 系 交 點(diǎn) 軌 跡 的 常 用 方 法 ， 這 種 方 法 不 解 方 程 組 ， 而是 直 接 由 方 程 組 消 去 參 數(shù) 而 得 交 點(diǎn) 的 軌 跡 方 程 。所 求 點(diǎn) M的 軌 跡 是 長 軸 長 為 6， 短 軸 長為 4的 橢 圓 ， 但 不 包 含 點(diǎn) B和 B sin cosby ax例 1 、 將 下 列 參 數(shù) 方 程 化 為 普 通 方 程解 ： 由 式 變 形 得 ： cos222 ax sin222 by將 兩 式 相 加 得 ： 1 2222 byax由 式 變 形 得 ： 21sin ,cos 200 gttvy tvx 例 2 、 將 下 列 參 數(shù) 方 程 化 為 普 通 方 程解 ： 由 得 ： cos0v xt 代 入 ， 消 去 參 數(shù) t ， 得 普 通 方 程xxv gy cossincos2 2220 例 3 、 將 直 線 的 點(diǎn) 斜 式 方 程 y-y0=tg(x-x0) 化 為 參 數(shù) 方 程解 :將 直 線 的 點(diǎn) 斜 式 方 程 變 形 為txxyy cossin 00 是 參 數(shù) ）ttyy txx (.sin ,cos 00 即 例 4 、 將 下 面 參 數(shù) 方 程 化 為 普 通 方程 為 參 數(shù) ） (.tg ,sec by ax解 ： 將 參 數(shù) 方 程 變 形 為 ： .tg ,secbyax再 將 兩 方 程 的 兩 邊 平 方 后 相 減 ， 得 12222 byax 例 5 、 圓 C的 參 數(shù) 方 程 為 .sin2 ,cos2 yx直 線 l 的 方 程 為 3x-4y-9=0,判 斷 直線 與 圓 的 位 置 關(guān) 系 。解 ： 圓 C的 參 數(shù) 方 程 化 為 普 通 方 程 為4 22 yx圓 心 到 直 線 l ： 3x-4y-9=0的 距 離 為 ： 59因 為 圓 心 到 直 線 的 距 離 小 于 圓 的 半 徑 ，所 以 直 線 與 圓 相 交 。 例 6 求 橢 圓 的 焦 點(diǎn) 坐標(biāo) 。 .sin51 ,cos31 yx解 ： 將 橢 圓 的 參 數(shù) 方 程 化 為 普 通 方 程 為125)1(9 )1( 22 yx橢 圓 的 焦 點(diǎn) 坐 標(biāo) 為 ：（ 1， 3） 和 （ 1， -5） 例 7 、 參 數(shù) 方 程 表 示 的 .sin ,cos1 2 2 yx曲 線 是 _ .解 ： 曲 線 的 普 通 方 程 是 ： x y = 0其 中 變 量 x 的 取 值 范 圍 是 0， 1 .方 程 表 示 的 曲 線 是 線 段 . 例 8、 方 程（ 1） 當(dāng) 是 參 數(shù) ， t 是 常 數(shù) 時(shí) ， 方 程 表 示 什 么 曲 線 ？（ 2） 當(dāng) t 是 參 數(shù) ， 是 常 數(shù) 時(shí) ， 方 程 表 示 什 么 曲 線 ？ )1,0(.cos)1( ,sin)1( tttty ttx （ 1）再 將 兩 方 程 的 兩 邊 平 方 后 相 加 ， 得 1)1()1( 2222 tt ytt x （ 橢 圓 ） .cos1 ,sin1tt y tt x （ 2） 當(dāng) t 是 參 數(shù) ， （ k是 整 數(shù) ）2 k tty ttx 1cos ,1sin 1 cos4sin4 2222 yx消 去 t， 得 （ 雙 曲 線 ） 小 結(jié) ： 1.本 節(jié) 課 講 述 了 參 數(shù) 方 程 和 普 通 方 程 的 互化 ， 重 點(diǎn) 研 究 了 參 數(shù) 方 程 化 為 普 通 方 程 。參 數(shù) 方 程 化 為 普 通 方 程 關(guān) 鍵 是 消 去 參 數(shù) ;普 通 方 程 化 為 參 數(shù) 方 程 關(guān) 鍵 是 設(shè) 適 當(dāng) 的 參 數(shù) . 2.對(duì) 于 一 些 參 數(shù) 方 程 的 問 題 ， 可 以 先 將 參數(shù) 方 程 化 為 普 通 方 程 后 再 解 ， 體 現(xiàn) 了 轉(zhuǎn) 化思 想 的 應(yīng) 用 。