2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十三篇 推理證明、算法、復(fù)數(shù) 第2講 直接證明與間接證明教案 理 新人教版.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十三篇 推理證明、算法、復(fù)數(shù) 第2講 直接證明與間接證明教案 理 新人教版.doc
2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十三篇 推理證明、算法、復(fù)數(shù) 第2講直接證明與間接證明教案 理 新人教版【xx年高考會(huì)這樣考】1在歷年的高考中,證明方法是??純?nèi)容,考查的主要方式是對(duì)它們?cè)淼睦斫夂陀梅y度多為中檔題,也有高檔題2從考查形式上看,主要以不等式、立體幾何、解析幾何、函數(shù)與方程、數(shù)列等知識(shí)為載體,考查綜合法、分析法、反證法等方法【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】在備考中,對(duì)本部分的內(nèi)容,要抓住關(guān)鍵,即分析法、綜合法、反證法,要搞清三種方法的特點(diǎn),把握三種方法在解決問題中的一般步驟,熟悉三種方法適用于解決的問題的類型,同時(shí)也要加強(qiáng)訓(xùn)練,達(dá)到熟能生巧,有效運(yùn)用它們的目的基礎(chǔ)梳理1直接證明(1)綜合法定義:利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等,經(jīng)過一系列的推理論證,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立,這種證明方法叫做綜合法框圖表示:(其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等,Q表示要證的結(jié)論)(2)分析法定義:從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止這種證明方法叫做分析法框圖表示:.2間接證明一般地,由證明pq轉(zhuǎn)向證明:綈qrt.t與假設(shè)矛盾,或與某個(gè)真命題矛盾從而判定綈q為假,推出q為真的方法,叫做反證法一個(gè)關(guān)系綜合法與分析法的關(guān)系分析法與綜合法相輔相成,對(duì)較復(fù)雜的問題,常常先從結(jié)論進(jìn)行分析,尋求結(jié)論與條件、基礎(chǔ)知識(shí)之間的關(guān)系,找到解決問題的思路,再運(yùn)用綜合法證明,或者在證明時(shí)將兩種方法交叉使用兩個(gè)防范(1)利用反證法證明數(shù)學(xué)問題時(shí),要假設(shè)結(jié)論錯(cuò)誤,并用假設(shè)命題進(jìn)行推理,沒有用假設(shè)命題推理而推出矛盾結(jié)果,其推理過程是錯(cuò)誤的(2)用分析法證明數(shù)學(xué)問題時(shí),要注意書寫格式的規(guī)范性,常常用“要證(欲證)”“即要證”“就要證”等分析到一個(gè)明顯成立的結(jié)論P(yáng),再說明所要證明的數(shù)學(xué)問題成立雙基自測1(人教A版教材習(xí)題改編)p,q(m、n、a、b、c、d均為正數(shù)),則p、q的大小為()Apq Bpq Cpq D不確定解析q p,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)答案B2設(shè)alg 2lg 5,bex(x0),則a與b大小關(guān)系為()Aab BabCab Dab解析alg 2lg 51,bex,當(dāng)x0時(shí),0b1.ab.答案A3否定“自然數(shù)a,b,c中恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí),正確的反設(shè)為()Aa,b,c都是奇數(shù)Ba,b,c都是偶數(shù)Ca,b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù)Da,b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)解析a,b,c恰有一個(gè)偶數(shù),即a,b,c中只有一個(gè)偶數(shù),其反面是有兩個(gè)或兩個(gè)以上偶數(shù)或沒有一個(gè)偶數(shù)即全都是奇數(shù),故只有D正確答案D4(xx廣州調(diào)研)設(shè)a、bR,若a|b|0,則下列不等式中正確的是()Aba0 Ba3b30 Ca2b20 Dba0解析a|b|0,|b|a,a0,aba,ba0.答案D5在用反證法證明數(shù)學(xué)命題時(shí),如果原命題的否定事項(xiàng)不止一個(gè)時(shí),必須將結(jié)論的否定情況逐一駁倒,才能肯定原命題的正確例如:在ABC中,若ABAC,P是ABC內(nèi)一點(diǎn),APBAPC,求證:BAPCAP,用反證法證明時(shí)應(yīng)分:假設(shè)_和_兩類答案BAPCAPBAPCAP考向一綜合法的應(yīng)用【例1】設(shè)a,b,c0,證明:abc.審題視點(diǎn) 用綜合法證明,可考慮運(yùn)用基本不等式證明a,b,c0,根據(jù)均值不等式,有b2a,c2b,a2c.三式相加:abc2(abc)當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取等號(hào)即abc. 綜合法是一種由因?qū)Ч淖C明方法,即由已知條件出發(fā),推導(dǎo)出所要證明的等式或不等式成立因此,綜合法又叫做順推證法或由因?qū)Чㄆ溥壿嬕罁?jù)是三段論式的演繹推理方法,這就要保證前提正確,推理合乎規(guī)律,才能保證結(jié)論的正確性【訓(xùn)練1】 設(shè)a,b為互不相等的正數(shù),且ab1,證明:4.證明(ab)2224.又a與b不相等故4.考向二分析法的應(yīng)用【例2】已知m0,a,bR,求證:2.審題視點(diǎn) 先去分母,合并同類項(xiàng),化成積式證明m0,1m0.所以要證原不等式成立,只需證明(amb)2(1m)(a2mb2),即證m(a22abb2)0,即證(ab)20,而(ab)20顯然成立,故原不等式得證 逆向思考是用分析法證題的主要思想,通過反推,逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件,正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問題順利獲解的關(guān)鍵【訓(xùn)練2】 已知a,b,m都是正數(shù),且ab.求證:.證明要證明,由于a,b,m都是正數(shù),只需證a(bm)b(am),只需證ambm,由于m0,所以,只需證ab.已知ab,所以原不等式成立(說明:本題還可用作差比較法、綜合法、反證法)考向三反證法的應(yīng)用【例3】已知函數(shù)f(x)ax(a1)(1)證明:函數(shù)f(x)在(1,)上為增函數(shù)(2)用反證法證明f(x)0沒有負(fù)根審題視點(diǎn) 第(1)問用單調(diào)增函數(shù)的定義證明;第(2)問假設(shè)存在x00后,應(yīng)推導(dǎo)出x0的范圍與x00矛盾即可證明(1)法一任取x1,x2(1,),不妨設(shè)x1x2,則x2x10,ax2x11,且ax10.所以ax2ax1ax1(ax2x11)0.又因?yàn)閤110,x210,所以0,于是f(x2)f(x1)ax2ax10,故函數(shù)f(x)在(1,)上為增函數(shù)法二f(x)axln a0,f(x)在(1,)上為增函數(shù)(2)假設(shè)存在x00(x01)滿足f(x0)0,則ax0,又0ax01,所以01,即x02,與x00(x01)假設(shè)矛盾故f(x0)0沒有負(fù)根 當(dāng)一個(gè)命題的結(jié)論是以“至多”,“至少”、“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時(shí),宜用反證法來證,反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾,矛盾可以是:與已知條件矛盾;與假設(shè)矛盾;與定義、公理、定理矛盾;與事實(shí)矛盾等方面,反證法常常是解決某些“疑難”問題的有力工具,是數(shù)學(xué)證明中的一件有力武器【訓(xùn)練3】 已知a,b為非零向量,且a,b不平行,求證:向量ab與ab不平行證明假設(shè)向量ab與ab平行,即存在實(shí)數(shù)使ab(ab)成立,則(1)a(1)b0,a,b不平行,得所以方程組無解,故假設(shè)不成立,故原命題成立規(guī)范解答24怎樣用反證法證明問題【問題研究】 反證法是主要的間接證明方法,其基本特點(diǎn)是反設(shè)結(jié)論,導(dǎo)出矛盾,當(dāng)問題從正面證明無法入手時(shí),就可以考慮使用反證法進(jìn)行證明.在高考中,對(duì)反證法的考查往往是在試題中某個(gè)重要的步驟進(jìn)行.【解決方案】 首先反設(shè),且反設(shè)必須恰當(dāng),然后再推理、得出矛盾,最后肯定.【示例】(本題滿分12分)(xx安徽)設(shè)直線l1:yk1x1,l2:yk2x1,其中實(shí)數(shù)k1,k2滿足k1k220.(1)證明l1與l2相交;(2)證明l1與l2的交點(diǎn)在橢圓2x2y21上 第(1)問采用反證法,第(2)問解l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo),代入橢圓方程驗(yàn)證解答示范 證明(1)假設(shè)l1與l2不相交,則l1與l2平行或重合,有k1k2,(2分)代入k1k220,得k20.(4分)這與k1為實(shí)數(shù)的事實(shí)相矛盾,從而k1k2,即l1與l2相交(6分)(2)由方程組解得交點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)為(9分)從而2x2y22221,此即表明交點(diǎn)P(x,y)在橢圓2x2y21上(12分) 用反證法證明不等式要把握三點(diǎn):(1)必須先否定結(jié)論,即肯定結(jié)論的反面;(2)必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理,即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件,且必須依據(jù)這一條件進(jìn)行推證;(3)推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣,有的與已知矛盾,有的與假設(shè)矛盾,有的與已知事實(shí)矛盾等,但是推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的【試一試】 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足anSn2.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)求證數(shù)列an中不存在三項(xiàng)按原來順序成等差數(shù)列嘗試解答(1)當(dāng)n1時(shí),a1S12a12,則a11.又anSn2,所以an1Sn12,兩式相減得an1an,所以an是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列,所以an.(2)反證法:假設(shè)存在三項(xiàng)按原來順序成等差數(shù)列,記為ap1,aq1,ar1(pqr,且p,q,rN*),則2,所以22rq2rp1.又因?yàn)閜qr,所以rq,rpN*.所以式左邊是偶數(shù),右邊是奇數(shù),等式不成立,所以假設(shè)不成立,原命題得證