2019-2020年高中數(shù)學10.1《分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理》備課資料舊人教版必修.doc

2019-2020年高中數(shù)學10.1分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理備課資料舊人教版必修運用乘法原理解決問題時，首先要搞清完成的是怎樣的“一件事”，其次要正確地決定按什么來分步、分為哪幾步，然后為每一步的方法.只有把這件事的每一步都完成，這件事才能算完成.以下例題主要對問題中描述的是怎樣“一件事”及如何分步進行分析，以便于合理正確地運用乘法原理解決問題.例1（1）4名同學選報跑步、跳高、跳遠三個項目，每人報一項，共有多少種報名方法？（2）4名同學爭奪跑步、跳高、跳遠三項冠軍，共有多少種可能的結果？分析：（1）要完成的是“4名同學每人從三個項目中選一項報名”這件事，因為每人必報一項，四人都報完才算完成，于是按人分步，且分為四步，又每人可在三項中選一項，選法為3種，所以共有3=81種報名方法.（2）完成的是“三個項目冠軍的獲取”這件事，因為每項冠軍只能有一人獲得，三項冠軍都有得主，這件事才算完成，于是應以“確定三項冠軍得主”為線索進行分步.而每項冠軍是四人中的某一人，有4種可能情況，于是共有4=43=64種可能的情況.答案：(1)81;(2)64.例2乘積（a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展開后共有多少項？分析：因為展開后的每一項為第一個括號中的一個，第二個括號中的一個與第三個括號中的一個的乘積，所以應分三步：m1=3,m2=4,m3=5,于是展開后共有m1m2m3=3=60項.答案：60項例3有4部車床，需加工3個不同的零件，其不同的安排方法有A.34B.43C.AD.44分析：事件為“加工3個零件”，每個零件都加工完這件事就算完成，應以“每個零件”為分步標準，共3步，而每個零件能在四部機床中的任一臺上加工，所以有4種方法，于是安排方法有4=43=64種.答案：B例45名同學去聽同時進行的4個課外知識講座，每個同學可自由選擇，則不同的選擇種數(shù)是A.54B.45C.5D.分析：因為5名同學都去聽講座，這件事才能完成，所以應以同學進行分步，又因為講座是同時進行的，每個同學只能選擇其中一個講座來聽，于是有4種選擇.當完成時共有4=45種不同選法.答案：B例5集合M=1，2，3的子集共有A.8B.7C.6D.5分析：此題事件為：從集合M中選取部分元素組成子集，因此就以元素為對象進行分步.而M中每個元素有選中與不選兩種情況，于是子集的個數(shù)應為22=23=8個.答案：A說明：此題可推廣到有n個元素的集合M，其子集個數(shù)為2n.例6設集合A=1,2,3,4,B=5,6,7,則從A到B的所有不同映射的個數(shù)是A.81B.64C.12D.以上都不正確分析：因映射為從A到B，所以A中每一個元素在B中應有一元素與之對應，也就是A中所有元素在B種都有象，因此應按A中元素分為4步，而對于A中每一元素，可與B中任一元素對應，于是不同對應個數(shù)應為3=81.答案：A備課資料一、基本原理在高考中的體現(xiàn)例1（xx年高考）某賽季足球比賽的計分規(guī)則是：勝一場，得3分；平一場，得1分；負一場，得0分.一球隊打完15場，積33分.若不考慮順序，該隊勝、負、平的情況共有_種.A.5B.4C.3D.6分析：此題運用分類計數(shù)原理.勝負平積分114033102330+390627+6由上述分類可得，該隊勝、負、平的情況共有3種，故選C.例2（xx年高考）如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡的結點，結點之間的連線表示它們有網(wǎng)線相連.連線標注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時間為可以通過的最大信息量.現(xiàn)從結點A向結點B傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時傳遞，則單位時間內傳遞的最大信息量是A.20B.24C.26D.19分析：網(wǎng)絡中，信息的傳輸要通過結點和網(wǎng)線，在單位時間內，所能傳輸?shù)男畔⒘浚芷淙萘亢土髁康闹萍s.解答本題要抓住結點的分流（或合流作用），以及網(wǎng)絡支路的信息流量.解法一：依題意，每個信息由A傳遞到B都要經(jīng)過兩個中間結點，由網(wǎng)絡圖可知：由A送出的信息量最大值為12+12=24.但經(jīng)過第一個結點分流時，能通過的信息量最多為（5+6）+12=23，再經(jīng)過第二個結點分流到達B的信息量最多只能是3+4+6+6=19.故所求最大信息量為19.解法二：由結點A向結點B傳遞的信息，可由不同的4條支路通過，依所設網(wǎng)絡圖，由上至下四條支路所能傳遞的最大信息量依次是3，4，6，6，由于滿足3+412,6+612,因此，雖然由A出發(fā)時，開始只有2個支路，也不妨礙信息的通過，所以由A到B，在單位時間內傳遞的最大信息量是3+4+6+6=19.答案：D例3（xx年高考題）某電腦用戶計劃使用不超過500元的資金購買單價分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤，根據(jù)需要，軟件至少買3片，磁盤至少買2盒，則不同的選購方式共有_種.A.5B.6C.7D.8分析：本題主要考查運用數(shù)學知識分析和解決簡單應用問題的能力，問題的背景是購買時額定資金的分配方式，要求在處理問題時懂得合理的科學分類，并準確進行計數(shù)，不重 不漏.解法一：將購買x件軟件與y件磁盤所需資金列寫成下表（表中的金額以不大于500元為限，且x3,y2） x y 3456232038044050033904504460由上表可知不同的選購方式為7種.解法二：設所購買的軟件數(shù)為x，磁盤數(shù)為y，依題意可知：x,y都是整數(shù)，且應滿足下列各式：問題轉化為求該不等式組的整數(shù)解組個數(shù).不等式組等價于當y=2時，得3x6,所以x的值為3、4、5或6;當y=3時，得3x4;所以x為3、4；當y=4時，得3x3.所以x=3.當y=5時，得3x,無解.綜合得原方程組共有7組整數(shù)解.答案：C例4（xx年高考題）在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟分別種植A、B兩種作物，每種作物種植一壟.為有利于作物生長，要求A、B兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的選壟方法有_種.（結果用數(shù)字作答）分析：本題是一道排列組合的應用題，主要考查基本原理的靈活運用以及基本的計數(shù) 技能.解法一：用表示種上作物的地壟，表示沒有種上作物的地壟，則合乎題意的不同用地方式可畫圖如下：共有6種，對于每種用地方式，地壟上所種的兩種作物可以互換位置，即有兩種不同的種植方式.應用分步計數(shù)原理，共有62=12種不同選壟方法.解法二：將10壟地順次編號為0，1，2，9，依題意，種植作物的2壟地的序號x和y應滿足|x-y|7,為計算方便，不妨設xy,即得x-y7,式中x、y的取值范圍是數(shù)集0，1，2，9.所以7y+7x9.因此，y只能取值為0，1，2.當y=0時，7x9,即x只能取7，8，9；當y=1時，8x9,即x只能取8，9;當y=2時，9x9,即x只能取值9.所以，不等式的解共6組，每一組解（x,y)對應著一種取壟方式，而每一種取壟方式種上不同兩種作物的方法共有2種，故應用分步計數(shù)原理得不同的選壟方法數(shù)為62=12種.解法三：轉化插空法.把空的6壟地看作一個整體，A、B兩種作物可在其余4壟地上種植，共有如下6種情形：A種1壟，B種2，3，4壟；A種2壟，B種3，4壟；A種3壟，B種4壟.同理B與A位置可交換，再將6壟空地插入，一種插法.故不同取壟方法為62=12種.答案：12二、參考練習1.自然數(shù)2520有多少個正約數(shù)?分析：先考慮2520的分解.2520=2332,分四步完成：第一步：取20,21,22,23有4種；第二步：取30,31,32有3種；第三步：取50,51有2種；第四步：取70,71有2種.由分步計數(shù)原理，共有4=48個正約數(shù).2.從1，2，3，4，7，9中任取不相同的兩個數(shù)，分別作為對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，能得到多少個不同的對數(shù)值？分析：注意到1不能為底數(shù)，底數(shù)為1的對數(shù)為0，以2，3，4，7，9中任取兩個不同數(shù)為真數(shù)、底數(shù)，可有54個值，但log23=log49,log24=log39,log32=log94,log42=log93,所以不同對數(shù)值共有54-4+1=17(個）.答案：17個.