2019-2020年高中數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí) 第十二章12.2 離散型隨機(jī)變量的期望值和方差教案 （理） 新人教A版.doc

2019-2020年高中數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí) 第十二章12.2 離散型隨機(jī)變量的期望值和方差教案 （理） 新人教A版鞏固夯實基礎(chǔ) 一、自主梳理 1.期望：若離散型隨機(jī)變量,=xi的概率為P(=xi)=pi(i=1,2,n,),則稱E=xipi為的數(shù)學(xué)期望,反映了的平均值. 2.方差：稱D=(xi-E)2pi為隨機(jī)變量的均方差，簡稱方差.叫標(biāo)準(zhǔn)差，反映了的離散程度. 3.性質(zhì)：(1)E(a+b)=aE+b,D(a+b)=a2D(a、b為常數(shù)). (2)若B(n,p),則E=np,D=npq(q=1-p). 二、點擊雙基1.袋子里裝有5只球,編號為1,2,3,4,5,從中任取3個球,用表示取出的球的最大號碼,則E等于( )A.4 B.5 C.4.5 D.4.75解析：可以取3,4,5, P(=3)=,P(=4)=,P(=5)=. E=3+4+5=4.5.答案：C2.設(shè)導(dǎo)彈發(fā)射的事故率為0.01,若發(fā)射10次,其出事故的次數(shù)為,則下列結(jié)論正確的是( )A.E=0.1 B.D=0.1C.P(=k)=0.01k0.9910-k D.P(=k)=Ck100.99k0.0110-k解析:B(n,p),E=100.01=0.1.答案:A3.已知B(n,p),且E=7,D=6,則p等于（ ）A. B. C. D.解析:E=np=7,D=np(1-p)=6,所以p=.答案:A4.一個盒子里裝有n-1個白球,1個紅球,每次隨機(jī)地取出一個球,若取到白球則放回再取,若取到紅球則停止取球,則取球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為_.解析：可以取1,2,3,n, P(=k)=(k=1,2,n), E=(1+2+3+n)=.答案：5.有兩臺自動包裝機(jī)甲與乙，包裝重量分別為隨機(jī)變量1、2,已知E1=E2,D1D2,則自動包裝機(jī)_的質(zhì)量較好.解析:E1=E2說明甲、乙兩機(jī)包裝的重量的平均水平一樣.D1>D2說明甲機(jī)包裝重量的差別大,不穩(wěn)定. 乙機(jī)質(zhì)量好.答案:乙誘思實例點撥【例1】設(shè)是一個離散型隨機(jī)變量,其分布列如下表,試求E、D.-101P1-2qq2剖析:應(yīng)先按分布列的性質(zhì),求出q的值后,再計算出E、D.解:因為隨機(jī)變量的概率非負(fù)且隨機(jī)變量取遍所有可能值時相應(yīng)的概率之和等于1,所以 解得q=1-. 于是,的分布列為-101P-1- 所以E=(-1)+0(-1)+1(-)=1-, D=-1-(1-)2+(1-)2(-1)+1-(1-)2(-)=-1.講評:解答本題時,應(yīng)防止機(jī)械地套用期望和方差的計算公式,出現(xiàn)以下誤解:E=(-1)+0(1-2q)+1q2=q2-.鏈接提示 既要會由分布列求E、D,也要會由E、D求分布列,進(jìn)行逆向思維.如:若是離散型隨機(jī)變量,P(=x1)=,P(=x2)=,且x1<x2,又知E=,D=.求的分布列. 解:依題意只取2個值x1與x2,于是有 E=x1+x2=, D=x12+x22-E2=. 從而得方程組 解之,得或 而x1<x2, x1=1,x2=2. 的分布列為12P【例2】 把4個球隨機(jī)地投入4個盒子中去,設(shè)表示空盒子的個數(shù),求E、D.剖析:每個球投入到每個盒子的可能性是相等的.總的投球方法數(shù)為44,空盒子的個數(shù)可能為0個,此時投球方法數(shù)為A44=4!, P(=0)=;空盒子的個數(shù)為1時,此時投球方法數(shù)為C14C24A33, P(=1)=. 同樣可分析P(=2),P(=3).解:的所有可能取值為0,1,2,3. P(=0)=, P(=1)=, P(=2)=, P(=3)=. 的分布列為0123P E=,D=.講評:本題的關(guān)鍵是正確理解的意義,寫出的分布列.鏈接提示 求投球的方法數(shù)時,要把每個球看成不一樣的.=2時,此時有兩種情況:有2個空盒子,每個盒子投2個球;1個盒子投3個球,另1個盒子投1個球.【例3】（xx遼寧高考）某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,每種產(chǎn)品都是經(jīng)過第一和第二道工序加工而成,兩道工序的加工結(jié)果相互獨(dú)立,每道工序的加工結(jié)果均有A、B兩個等級.對每種產(chǎn)品,兩道工序的加工結(jié)果都為A級時,產(chǎn)品為一等品,其余均為二等品.(1)已知甲、乙兩種產(chǎn)品每一道工序的加工結(jié)果為A級的概率如表一所示,分別求生產(chǎn)出的甲、乙產(chǎn)品為一等品的概率P甲、P乙.表一(2)已知一件產(chǎn)品的利潤如表二所示,用、分別表示一件甲、乙產(chǎn)品的利潤,在(1)的條件下,求、的分布列及E、E.表二(3)已知生產(chǎn)一件產(chǎn)品需用的工人數(shù)和資金額如表三所示.該工廠有工人40名,可用資金60萬元.設(shè)x、y分別表示生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品的數(shù)量,在(2)的條件下,x、y為何值時,z=xE+yE最大?最大值是多少?(解答時需給出圖示)表三解:(1)P甲=0.80.85=0.68,P乙=0.750.8=0.6. (2)隨機(jī)變量、的分布列是52.5P0.680.322.51.5P0.60.4 E=50.68+2.50.32=4.2, E=2.50.6+1.50.4=2.1. (3)由題設(shè)知 目標(biāo)函數(shù)為z=xE+yE=4.2x+2.1y.作出可行域(如圖): 作直線l:4.2x+2.1y=0, 將l向右上方平移至l1位置時,直線經(jīng)過可行域上的點M且與原點距離最大,此時z=4.2x+2.1y取最大值. 解方程組 得 故x=4,y=4時,z取最大值,z的最大值為25.2.講評:考查相互獨(dú)立事件的概率,隨機(jī)變量的分布列及期望,線性規(guī)劃模型的建立與求解,考查通過建模解決實際問題的能力.