2019-2020年高中數學 《基本不等式》教案7 蘇教版必修5.doc

2019-2020年高中數學 基本不等式教案7 蘇教版必修5教學目標：通過這節(jié)課，使學生能夠運用均值不等式定理來討論與不等式有關的各類問題。教學重點、難點：均值不等式定理的靈活運用。教學過程：1復習回顧2例題講解：例1：已知a>1，0<b<1，求證：log ablog ba2解題思路分析：由對數函數可知：log ba，log ab0，因此由log ab的結構特點聯(lián)想到用基本不等式去縮小，但條件顯然不滿足，應利用相反數的概念去轉化。log ab0 log ab0 log ab22log ab2 即log ablog ba2當且僅當log ab，log a2b1，log ab1時，等號成立，此時ab1。例2：已知x，y為正實數，且x 21，求x的最大值.解題思路分析：因條件和結論分別是二次和一次，故采用公式ab。同時還應化簡中y2前面的系數為 xx x下將x，分別看成兩個因式x xx 例3：已知x，y為正實數，3x2y10，求函數W的最值.解題思路分析：若利用算術平均與平方平均之間的不等關系，本題很簡單 2 否則，這樣思考：條件與結論均為和的形式，設法直接用基本不等式，應通過平方化函數式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。W0，W23x2y210210()2()2 10(3x2y)20 W2 例4：已知a，b為正實數，2baba30，求函數y的最小值.解題思路分析：這是一個二元函數的最值問題，通常有兩個途徑，一是通過消元，轉化為一元函數問題，再用單調性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進行。法一：a，abb 由a0得，0b15令tb1，1t16，ab2（t）34 t28 ab18 y 當且僅當t4，即b3，a6時，等號成立。法二：由已知得：30aba2b a2b2 30ab2令u則u22u300， 5u3 3，ab18，y評注：在法一，通過消元得到一個分式函數，在分子（或分母）中含有二次式。這種類 型的函數一般都可轉化為x型，從而用基本不等式求解。其處理方法，請同學們仔細體會。實際上，一般含二次式的分式函數y（a，b，c，m，n，p不全為零）均可用此方法求解。例5：某工廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200m2的三級污水處理池（平面圖如圖），如果池外圈周壁建造單價為每米400元，中間兩條隔墻建筑單價為每米248元，池底建造單價為每平方米80元，池壁的厚度忽略不計，試設計污水池的長和寬，使總造價最低，并求出最低造價。解題思路分析：這是一道應用題，一般說來，涉及到“用料最省”、“造價最低”等實際問題時，考慮建立目標函數，求目標函數的最大值或最小值。在建立關于造價的目標函數時，造價是由池外圈周壁，中間隔墻造價，池底造價三部分組成，造價均與墻壁長度有關，應設相關墻壁長度為未知數。若設污水池長為x米，則寬為 （米）水池外圈周壁長：2x（米）中間隔墻長：2（米）池底面積：200（米2）目標函數：y400（2x2）248 280200800（x）1600 16001600448003課堂小結注意利用轉化思想，不等式使用的廣泛性。4課后作業(yè)1）正數a，b，c滿足abc1，求證：(1a)(1b)(1c)8abc2）已知a>0，b>0，ab(ab)1，求ab的最小值。3）若直角三角形周長為1，求它的面積最大值。4）某房屋開發(fā)公司用100萬元購得一塊土地，該地可以建造每層1000m2的樓房，樓 房的總建筑面積（即各層面積之和）每平方米平均建筑費用與建筑高度有關，樓房每升高一層，整幢樓房每平方米建筑費用提高5%。已知建筑5層樓房時，每平方米建筑費用為400元，公司打算造一幢高于5層的樓房，為了使該樓房每平方和的平均綜合費用最低（綜合費用是建筑費用與購地費用之和），公司應把樓層建成幾層？