2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 1.3 充要條件與反證法教案.doc

2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 1.3 充要條件與反證法教案知識梳理1.充分條件：如果pq，則p叫q的充分條件，原命題（或逆否命題）成立，命題中的條件是充分的，也可稱q是p的必要條件.2.必要條件：如果qp，則p叫q的必要條件，逆命題（或否命題）成立，命題中的條件為必要的，也可稱q是p的充分條件.3.充要條件：如果既有pq，又有qp，記作pq，則p叫做q的充分必要條件，簡稱充要條件，原命題和逆命題（或逆否命題和否命題）都成立，命題中的條件是充要的.4.反證法：當(dāng)直接證明有困難時，常用反證法.點擊雙基1.ac2bc2是ab成立的A.充分而不必要條件B.充要條件C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件解析：abac2bc2，如c=0.答案：A2.（xx年湖北，理4）已知a、b、c為非零的平面向量.甲：ab=ac，乙：b=c，則A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件解析：命題甲:ab=aca（bc）=0a=0或b=c.命題乙:b=c，因而乙甲，但甲乙.故甲是乙的必要條件但不是充分條件.答案：B3.（xx年浙江，8）在ABC中，“A30”是“sinA”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件解析：在ABC中，A300sinA1sinA，sinA30A150A30.“A30”是“sinA”的必要不充分條件.答案：B4.若條件p:a4，q:5a6，則p是q的_.解析：a45a6，如a=7雖然滿足a4，但顯然a不滿足5a6.答案：必要不充分條件5.（xx年春季上海，16）若a、b、c是常數(shù)，則“a0且b24ac0”是“對任意xR，有ax2+bx+c0”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：若a0且b24ac0，則對任意xR，有ax2+bx+c0，反之，則不一定成立.如a=0，b=0且c0時，也有對任意xR，有ax2+bx+c0.因此應(yīng)選A.答案：A典例剖析【例1】 使不等式2x25x30成立的一個充分而不必要條件是A.x0 B.x0C.x1，3，5D.x或x3剖析：2x25x30成立的充要條件是x或x3，對于A當(dāng)x=時2x25x30.同理其他也可用特殊值驗證.答案：C【例2】 求證：關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一根為1的充分必要條件是a+b+c=0.證明：（1）必要性，即“若x=1是方程ax2+bx+c=0的根，則a+b+c=0”.x=1是方程的根，將x=1代入方程，得a12+b1+c=0，即a+b+c=0.（2）充分性，即“若a+b+c=0，則x=1是方程ax2+bx+c=0的根”.把x=1代入方程的左邊，得a12+b1+c=a+b+c.a+b+c=0，x=1是方程的根.綜合（1）（2）知命題成立.深化拓展求ax2+2x+1=0（a0）至少有一負(fù)根的充要條件.證明：必要性：（1）方程有一正根和一負(fù)根，等價于a0.（2）方程有兩負(fù)根，等價于0a1.綜上可知，原方程至少有一負(fù)根的必要條件是a0或0a1.充分性：由以上推理的可逆性，知當(dāng)a0時方程有異號兩根；當(dāng)0a1時，方程有兩負(fù)根.故a0或0a1是方程ax2+2x+1=0至少有一負(fù)根的充分條件.答案：a0或0a1.【例3】 下列說法對不對?如果不對，分析錯誤的原因.（1）x2x2是x=x2的充分條件；（2）x2x2是x=x2的必要條件.解：（1）x2=x+2是x=x2的充分條件是指x2=x+2x=x2.但這里“”不成立，因為x=1時，“”左邊為真，但右邊為假.得出錯誤結(jié)論的原因可能是應(yīng)用了錯誤的推理：x2=x+2x=x2=x.這里推理的第一步是錯誤的（請同學(xué)補充說明具體錯在哪里）.（2）x2=x+2是x=x2的必要條件是指x=x2x2=x+2.但這里“”不成立，因為x=0時，“”左邊為真，但右邊為假.得出錯誤結(jié)論的原因可能是用了錯誤的推理:x=x2=xx+2=x2.這里推理的第一步是錯誤的（請同學(xué)補充說明具體錯在哪里）.評述：此題的解答比較注重邏輯推理.事實上，也可以從真值集合方面來分析：x2=x+2的真值集合是1，2，x=x2的真值集合是0，2，1，20，2，而0，2 1，2，所以（1）（2）兩個結(jié)論都不對.闖關(guān)訓(xùn)練夯實基礎(chǔ)1.（xx年重慶，7）已知p是r的充分不必要條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，那么p是q成立的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：依題意有pr，rs，sq，prsq.但由于rp，qp.答案：A2.（xx年北京高考題）“cos2=”是“=k+，kZ”的A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件解析：cos2=2=2k=k.答案：A3.（xx年海淀區(qū)第一學(xué)期期末練習(xí)）在ABC中，“AB”是“cosAcosB”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：在ABC中，ABcosAcosB（余弦函數(shù)單調(diào)性）.答案：C4.命題A：兩曲線F（x，y）0和G（x，y）=0相交于點P（x0，y0），命題B：曲線F（x，y）+G（x，y）0（為常數(shù)）過點P（x0，y0），則A是B的_條件.答案：充分不必要5.（xx年北京，5）函數(shù)f（x）=x22ax3在區(qū)間1，2上存在反函數(shù)的充分必要條件是A.a（，1B.a2，+）C.1，2D.a（，12，+）解析：f（x）=x22ax3的對稱軸為x=a，y=f（x）在1，2上存在反函數(shù)的充要條件為1，2（，a或1，2a，+），即a2或a1.答案：D6.已知數(shù)列an的前n項和Sn=pn+q（p0且p1），求數(shù)列an成等比數(shù)列的充要條件.分析：先根據(jù)前n項和公式，導(dǎo)出使an為等比數(shù)列的必要條件，再證明其充分條件.解：當(dāng)n=1時，a1=S1=p+q；當(dāng)n2時，an=SnSn1=（p1）pn1.由于p0，p1，當(dāng)n2時，an是等比數(shù)列.要使an（nN*）是等比數(shù)列，則=p，即（p1）p=p（p+q），q=1，即an是等比數(shù)列的必要條件是p0且p1且q=1.再證充分性：當(dāng)p0且p1且q=1時，Sn=pn1，an=（p1）pn1，=p（n2），an是等比數(shù)列.培養(yǎng)能力7.（xx年湖南，9）設(shè)集合U=（x，y）xR，yR，A=（x，y）|2xy+m0，B=（x，y）|x+yn0，那么點P（2，3）A（UB）的充要條件是A.m1，n5B.m1，n5C.m1，n5D.m1，n5解析：UB=（x，y）nx+y，將P（2，3）分別代入集合A、B取交集即可.選A.答案：A8.已知關(guān)于x的一元二次方程mx24x+4=0， x24mx+4m24m5=0. 求使方程都有實根的充要條件.解：方程有實數(shù)根的充要條件是1=（4）216m0，即m1；方程有實數(shù)根的充要條件是2=（4m）24（4m24m5）0，即m.方程都有實數(shù)根的充要條件是m1.9.已知a、b、c是互不相等的非零實數(shù).求證：三個方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一個方程有兩個相異實根.證明：反證法：假設(shè)三個方程中都沒有兩個相異實根，則1=4b24ac0，2=4c24ab0，3=4a24bc0.相加有a22ab+b2+b22bc+c2+c22ac+a20，（ab）2+（bc）2+（ca）20. 由題意a、b、c互不相等，式不能成立.假設(shè)不成立，即三個方程中至少有一個方程有兩個相異實根.探究創(chuàng)新10.若x、y、z均為實數(shù)，且a=x22y+，b=y22z+，c=z22x+，則a、b、c中是否至少有一個大于零？請說明理由.解：假設(shè)a、b、c都不大于0，即a0，b0，c0，則a+b+c0.而a+b+c=x22y+y22z+z22x+=（x1）2+（y1）2+（z1）2+3，30，且無論x、y、z為何實數(shù)，（x1）2+（y1）2+（z1）20，a+b+c0.這與a+b+c0矛盾.因此，a、b、c中至少有一個大于0.思悟小結(jié)1.要注意一些常用的“結(jié)論否定形式”，如“至少有一個”“至多有一個”“都是”的否定形式是“一個也沒有”“至少有兩個”“不都是”.2.證明充要性要從充分性、必要性兩個方面來證明.教師下載中心教學(xué)點睛1.掌握常用反證法證題的題型，如含有“至少有一個”“至多有一個”等字眼多用反證法.2.強調(diào)反證法的第一步，要與否命題分清.3.要證明充要性應(yīng)從充分性、必要性兩個方面來證.拓展題例【例題】 指出下列命題中，p是q的什么條件.（1）p:0x3，q:|x1|2；（2）p:（x2）（x3）=0，q:x=2；（3）p:c=0，q:拋物線y=ax2+bx+c過原點.解：（1）p:0x3，q:1x3. p是q的充分但不必要條件.（2）pq，qp.p是q的必要但不充分條件.（3）p是q的充要條件.評述：依集合的觀點看，若AB，則A是B的充分條件，B是A的必要條件；若A=B，則A是B的充要條件.