2019-2020年高中數學 4.1.1 導數與函數的單調性教案 北師大選修1-1.doc

2019-2020年高中數學 4.1.1 導數與函數的單調性教案 北師大選修1-1教學過程：【引 例】1、 確定函數在哪個區(qū)間內是增函數？在哪個區(qū)間內是減函數？解：，在上是減函數，在上是增函數。問：1、為什么在上是減函數，在上是增函數？都是反映函數隨自變量的變化情況。2、研究函數的單調區(qū)間你有哪些方法？（1） 觀察圖象的變化趨勢；（函數的圖象必須能畫出的）（2） 利用函數單調性的定義。（復習一下函數單調性的定義）2、確定函數f(x)=2x36x2+7在哪個區(qū)間內是增函數？哪個區(qū)間內是減函數？（1） 能畫出函數的圖象嗎？那如何解決？試一試。提問一個學生：解決了嗎？到哪一步解決不了？（產生認知沖突）（2） （多媒體放映） 【發(fā)現問題】定義是解決單調性最根本的工具，但有時很麻煩，甚至解決不了。尤其是在不知道函數的圖象的時候，如函數f(x)=2x36x2+7，這就需要我們尋求一個新的方法來解決。（研究的必要性）事實上用定義研究函數的單調區(qū)間也不容易。【探 究】我們知道函數的圖象能直觀的反映函數的變化情況，下面通過函數的圖象規(guī)律來研究。問：如何入手？（圖象） 從函數f(x)=2x36x2+7的圖象嗎？1、研究二次函數的圖象；（1） 學生自己畫圖研究探索。（2） 提問：以前我們是通過二次函數圖象的哪些特征來研究它的單調性的？（3） （開口方向，對稱軸）既然要尋求一個新的辦法，顯然要換個角度分析。（4） 提示：我們最近研究的哪個知識（通過圖象的哪個量）能反映函數的變化規(guī)律？（5） 學生繼續(xù)探索，得出初步規(guī)律。幾何畫板演示，共同探究。得到這個二次函數圖象的切線斜率的變化與單調性的關系。（學生總結）：該函數在區(qū)間上單調遞減，切線斜率小于0，即其導數為負；在區(qū)間上單調遞增，切線斜率大于0，即其導數為正；注：切線斜率等于0，即其導數為0；如何理解？就此函數而言這種規(guī)律是否一致？是否其它函數也有這樣的規(guī)律呢？2、先看一次函數圖象；3、再看兩個我們熟悉的函數圖象。（驗證）（1） 觀察三次函數的圖象；（幾何畫板演示）（2） 觀察某個函數的圖象。（幾何畫板演示）指出：我們發(fā)現函數的單調性與導數的符號有密切的關系。這節(jié)課我們就來學習如何用導數研究函數的單調性（幻燈放映課題）?！拘抡n講解】4、請同學們根據剛才觀察的結果進行總結：導數與函數的單調性有什么關系？請一個學生回答。（幻燈放映）一般地，設函數在某個區(qū)間可導，則函數在該區(qū)間內如果在這個區(qū)間內，則為這個區(qū)間內的增函數；如果在這個區(qū)間內，則為這個區(qū)間內的減函數。若在某個區(qū)間內恒有，則為常函數。這個結論是我們通過觀察圖象得到的，只是一個猜想，正確嗎？答案是肯定的。嚴格的證明需要用到中值定理，大學里才能學到。這兒我們可以直接用這個結論。小結：數學中研究問題的常規(guī)思想方法是：從特殊到一般，從簡單的復雜。結論應用：由以上結論知：函數的單調性與其倒數有關，因此我們可以用導數法去探討函數的單調性。下面舉例說明：【例題講解】例1、 求證：在上是增函數。由學生敘述過程老師板書：，即，函數在上是增函數。注：我們知道在R上是增函數，課后試一試，看如何用導數法證明。學生歸納步驟：1、求導；2、判斷導數符號；3、下結論。例2、 確定函數f(x)=2x36x2+7在哪個區(qū)間內是增函數，哪個區(qū)間內是減函數.由學生敘述過程老師板書：解：f(x)=(2x36x2+7)=6x212x, 令6x212x0，解得x2或x0當x(，0)時，f(x)0，f(x)是增函數;當x(2，+)時，f(x)0，f(x)是增函數.令6x212x0，解得0x2.當x(0，2)時，f(x)0，f(x)是減函數. 學生小結：用導數求函數單調區(qū)間的步驟：（1） 確定函數f(x)的定義域；（2） 求函數f(x)的導數f(x).（3） 令f(x)0解不等式，得x的范圍就是遞增區(qū)間.令f(x)0解不等式，得x的范圍，就是遞減區(qū)間【課堂練習】1確定下列函數的單調區(qū)間(1)y=x39x2+24x (2)y=3xx3(1)解：y=(x39x2+24x)=3x218x+24=3(x2)(x4)令3(x2)(x4)0，解得x4或x2.y=x39x2+24x的單調增區(qū)間是(4，+)和(，2)令3(x2)(x4)0，解得2x4.y=x39x2+24x的單調減區(qū)間是(2，4)(2)解：y=(3xx3)=33x2=3(x21)=3(x+1)(x1)令3(x+1)(x1)0，解得1x1.y=3xx3的單調增區(qū)間是(1，1).令3(x+1)(x1)0，解得x1或x1.y=3xx3的單調減區(qū)間是(，1)和(1，+)2、設是函數的導數, 的圖象如圖所示, 則的圖象最有可能是( ) 小結：重點是抓住導函數的圖象與原函數的圖象從哪里發(fā)生聯(lián)系？【課堂小結】1.函數導數與單調性的關系:若函數y=f(x)在某個區(qū)間內可導,如果f (x)>0, 則f(x)為增函數;如果f(x)<0, 則f(x)為減函數.2.本節(jié)課中,用導數去研究函數的單調性是中心,能靈活應用導數解題是目的,另外應注意數形結合在解題中的應用.3.掌握研究數學問題的一般方法:從特殊到一般,從簡單到復雜.【思考題】對于函數f(x)=2x36x2+7思考1、能不能畫出該函數的草圖？思考2、在區(qū)間（0，2）內有幾個解？【課后作業(yè)】課本p42習題2.4 1,2【課后記】本節(jié)課是一節(jié)新授課，課本所提供的信息很簡單，如果直接得出結論，學生也能接受，可學生只能進行簡單的模仿應用。為了突出知識的發(fā)生過程，不把新授課上成習題課，設計思路如下，以便教會學生會思考解決問題：1、首先研究從熟悉的二次函數入手，簡單復習回顧以前的方法；2、 從不熟悉的三次函數入手，使學生體會到以前的知識已不能解決，必須尋求一個新的解決辦法，產生認知沖突，認識到再次研究單調性的必要性；3、 從簡單的、熟悉的函數圖象入手，引導學生從函數的切線斜率變化觀察函數單調性的變化，再與新學的導數聯(lián)系起來，形成結論。另外，也使學生感受到解決數學問題的一般方法：從簡單到復雜，從特殊到一般。4、 應用中重點指導學生的解題步驟，避免考試中隱性失分。在今后的教學中，應注重學生的參與，引發(fā)認知沖突，教會學生思考問題。加強教案設計的合理性，語言做到準確、簡練。節(jié)奏要把握好。