2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1．3.1 單調(diào)性與最大(小)值 第一課時(shí)教案精講 新人教A版必修1.doc

2019-2020年高中數(shù)學(xué) 13.1 單調(diào)性與最大(小)值 第一課時(shí)教案精講 新人教A版必修1讀教材填要點(diǎn)1定義域?yàn)镮的函數(shù)f(x)的增減性2函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，就說函數(shù)yf(x)在區(qū)間D上具有(嚴(yán)格)的單調(diào)性，區(qū)間D叫做yf(x)的單調(diào)區(qū)間 小問題大思維1定義在(a，b)上的函數(shù)f(x)，若存在x1，x2(a，b)，使得x1x2時(shí)有f(x1)f(x2)，那么f(x)在(a，b)上為增函數(shù)，對嗎？提示：不對，如函數(shù)f(x)x2，(1x1)，存在x1，x2，顯然x1x2，有f(x1)f(x2)，但f(x)x2在(1,1)上不是增函數(shù)2定義在(a，b)上的函數(shù)f(x)，若有無窮多對x1，x2(a，b)使得x1<x2時(shí)有f(x1)<f(x2)，那么f(x)在(a，b)上是增函數(shù)，對嗎？提示：不對，如上述函數(shù)f(x)x2(1x1)3畫出函數(shù)y的圖象，你認(rèn)為：若f(x)在區(qū)間A上為減函數(shù)，在區(qū)間B上也為減函數(shù)，則f(x)在AB上也為減函數(shù)，對嗎？提示：不對，如函數(shù)f(x)(x0)，在(，0)上為減函數(shù)，在(0，)上也為減函數(shù)，但在(，0)(0，)上既不是增函數(shù)，也不是減函數(shù)證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性例1求證：函數(shù)f(x)在(0，)上是減函數(shù)，在(，0)上是增函數(shù)自主解答對于任意的x1，x2(，0)，且x1<x2，有f(x1)f(x2)x1<x2<0，x2x1>0，x1x2<0，xx>0.f(x1)f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)函數(shù)f(x)在(，0)上是增函數(shù)對于任意的x1，x2(0，)，且x1<x2，有f(x1)f(x2).0<x1<x2，x2x1>0，x2x1>0，xx>0.f(x1)f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)函數(shù)f(x)在(0，)上是減函數(shù)利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟如下：(1)取值：設(shè)x1，x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，且x1<x2；(2)作差變形：作差f(x1)f(x2)，并通過因式分解、通分、配方、有理化等手段，轉(zhuǎn)化為易判斷正負(fù)的式子；(3)定號：確定f(x1)f(x2)的符號；,(4)結(jié)論：根據(jù)f(x1)f(x2)的符合及定義判斷單調(diào)性.1證明函數(shù)f(x)x3x在R上是增函數(shù)證明：設(shè)x1，x2R，且x1<x2，則f(x1)f(x2)(xx1)(xx2)(xx)(x1x2)(x1x2)(xx1x2x1)(x1x2)(x1x2)2x1x1<x2，x1x2<0.又(x1x2)2x1>0，f(x1)f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)f(x)在R上是增函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例2畫出函數(shù)yx22|x|3的圖象，并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間自主解答yx22|x|3函數(shù)圖象如圖所示函數(shù)在(，1，0,1上是增函數(shù)，函數(shù)在1,0，1，)上是減函數(shù)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是(，1和0,1，單調(diào)減區(qū)間是1,0和1，)(1)對于初等函數(shù)(ykxb，yax2bxc，yf(k,x)單調(diào)區(qū)間的確定，常借助于函數(shù)圖象去探求，而且這些函數(shù)的單調(diào)區(qū)間作為常識性的內(nèi)容，可以直接使用.(2)對于含有絕對值的函數(shù)，往往轉(zhuǎn)化成分段函數(shù)去處理其圖象，借助于圖象的變化趨勢分析相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間).2求函數(shù)f(x)|x1|2x4|的單調(diào)遞減區(qū)間解：f(x)|x1|2x4|畫出函數(shù)f(x)的圖象如下圖所示，函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間是2，)由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)取值范圍例3已知函數(shù)f(x)x22ax3在區(qū)間1,2上單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍自主解答函數(shù)f(x)x22ax3的圖象開口向上，對稱軸為直線xa，畫出草圖如圖所示由圖象可知函數(shù)在(，a和a，)上分別單調(diào)，因此要使函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上單調(diào)，只需a1或a2(其中當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上單調(diào)遞增；當(dāng)a2時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上單調(diào)遞減，從而a(，12，)“若函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為2，)，則a為何值？”解：f(x)開口向上，且函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為2，)，對稱軸xa2，即a2. (1)已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法是：視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參. (2)常見函數(shù)的單調(diào)性列表如下：函數(shù)單調(diào)性一次函數(shù)yaxb(a0)a>0時(shí)，在R上單調(diào)遞增；a<0時(shí)，在R上單調(diào)遞減反比例函數(shù)y(a0)a>0時(shí)，單調(diào)減區(qū)間是(，0)和(0，)；a<0時(shí)，單調(diào)增區(qū)間是(，0)和(0，)二次函數(shù)ya(xm)2n(a0)a>0時(shí)，單調(diào)減區(qū)間是(，m，單調(diào)增區(qū)間是m，)；a<0時(shí)，單調(diào)減區(qū)間是m，)，單調(diào)增區(qū)間是(，m(3)需注意若一函數(shù)在區(qū)間a，b上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的3若函數(shù)f(x)(2a1)xb是R上的減函數(shù)，則a的取值范圍為_解析：f(x)(2a1)xb為一次函數(shù)，當(dāng)2a1<0即a<時(shí)，f(x)是R上的減函數(shù)答案：(，)解題高手妙解題同樣的結(jié)果，不一樣的過程，節(jié)省解題時(shí)間，也是得分！求f(x)x22ax1在區(qū)間0,2上的最大值和最小值巧思先求出函數(shù)的對稱軸xa，分四種情況a<0,0a<1,1a<2，a2時(shí)，討論函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2上的單調(diào)性，再結(jié)合圖形，可分別求出相應(yīng)的最小值和最大值妙解f(x)(xa)21a2，對稱軸為直線xa，當(dāng)a<0時(shí)，由圖1可知f(x)minf(0)1，f(x)maxf(2)34a.當(dāng)0a<1時(shí)，由圖2可知，f(x)minf(a)1a2，f(x)maxf(2)34a.當(dāng)1a<2時(shí)，由圖3可知，f(x)minf(a)1a2，f(x)maxf(0)1；當(dāng)a2時(shí)，由圖4可知，f(x)minf(2)34a，f(x)maxf(0)1.1函數(shù)yx2x1(xR)的遞減區(qū)間是()A.B1，)C. D(，)解析：yx2x1(x)2.其對稱軸為x，在對稱軸左側(cè)單調(diào)遞減，x時(shí)單調(diào)遞減答案：C2函數(shù)f(x)|x|和g(x)x(2x)的遞增區(qū)間依次是()A(，0，(，1 B(，0，1，)C0，)，(，1 D0，)，1，)解析：f(x)|x|的圖象如圖甲，g(x)x(2x)x22x(x22x1)1(x1)21的圖象如圖乙，易知選C.答案：C3已知函數(shù)yax和y在(0，)上都是減函數(shù)，則函數(shù)f(x)bxa在R上是()A減函數(shù)且f(0)<0 B增函數(shù)且f(0)<0C減函數(shù)且f(0)>0 D增函數(shù)且f(0)>0解析：yax和y在(0，)都是減函數(shù)，a<0，b<0.f(x)bxa為減函數(shù)且f(0)a<0.答案：A4若函數(shù)f(x)|2xa|的單調(diào)遞增區(qū)間是3，)，則a_.解析：由f(x)可得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，)，故3，解得a6.答案：65若函數(shù)f(x)則f(x)的遞減區(qū)間是_解析：分段函數(shù)當(dāng)x1時(shí)，f(x)2x1為增函數(shù)，當(dāng)x<1時(shí)，f(x)5x為減函數(shù)答案：(，1)6已知f(x)，試判斷f(x)在1，)上的單調(diào)性，并證明解：f(x)在 1，)上是增函數(shù)證明：任取x1，x21，)，且x1x2，則f(x2)f(x1)1x1x2，x2x10，x2x10，0.f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)故函數(shù)f(x)在1，)上是增函數(shù)一、選擇題1下圖中是定義在區(qū)間5,5上的函數(shù)yf(x)，則下列關(guān)于函數(shù)f(x)的說法錯(cuò)誤的是()A函數(shù)在區(qū)間5，3上單調(diào)遞增B函數(shù)在區(qū)間1,4上單調(diào)遞增C函數(shù)在區(qū)間3,14,5上單調(diào)遞減D函數(shù)在區(qū)間5,5上沒有單調(diào)性解析：若一個(gè)函數(shù)出現(xiàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上的單調(diào)區(qū)間時(shí)，不能用連接比如05，但f(0)f(5)答案：C2函數(shù)f(x)2x2mx3，當(dāng)x2，)時(shí)，f(x)為增函數(shù)，當(dāng)x(，2時(shí)，函數(shù)f(x)為減函數(shù)，則m等于()A4 B8C8 D無法確定解析：由題意可知x2是f(x)的對稱軸，2，m8.答案：B3下列有關(guān)函數(shù)單調(diào)性的說法，不正確的是()A若f(x)為增函數(shù)，g(x)為增函數(shù)，則f(x)g(x)為增函數(shù)B若f(x)為減函數(shù)，g(x)為減函數(shù)，則f(x)g(x)為減函數(shù)C若f(x)為增函數(shù)，g(x)為減函數(shù)，則f(x)g(x)為增函數(shù)D若f(x)為減函數(shù)，g(x)為增函數(shù)，則f(x)g(x)為減函數(shù)解析：若f(x)為增函數(shù)，g(x)為減函數(shù)，則f(x)g(x)的增減性不確定例如f(x)x2為R上的增函數(shù)，當(dāng)g(x)x時(shí)，則f(x)g(x)2為增函數(shù)；當(dāng)g(x)3x，則f(x)g(x)2x2在R上為減函數(shù)不能確定f(x)g(x)的單調(diào)性答案：C4下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)的是()Ay|x1| By3xCy Dyx24解析：B、C、D在(0,1)上均為減函數(shù)，只有A項(xiàng)在(0,1)上是增函數(shù)答案：A二、填空題5已知函數(shù)f(x)為區(qū)間1,1上的增函數(shù)，則滿足f(x)<f()的實(shí)數(shù)x的取值范圍為_解析：f(x)在1,1上為增函數(shù)，且f(x)<f()，得1x<.答案：1，)6若f(x)x22ax與g(x)在區(qū)間1,2上都是減函數(shù)，則a的取值范圍是_解析：由f(x)x22ax在1,2上是減函數(shù)可得a1，由g(x)在1,2上是減函數(shù)可得a0.0a1.答案：(0,17函數(shù)f(x)|2x1|的遞減區(qū)間是_解析：函數(shù)f(x)|2x1|的圖象如下所示：遞減區(qū)間為(，答案：(，8函數(shù)f(x)|x|在區(qū)間a，)上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：函數(shù)f(x)|x|的圖象為：觀察圖象可知a0.答案：0，)三、解答題9證明函數(shù)f(x)在定義域上是減函數(shù)證明：f(x)的定義域?yàn)?，)，設(shè)0x1<x2，則x1x2<0，且f(x2)f(x1)()() .x1x2<0，>0，f(x2)f(x1)<0，即f(x2)<f(x1)f(x)在它的定義域0，)上是減函數(shù)10函數(shù)f(x)是定義在(0，)上的減函數(shù)，對任意的x，y(0，)，都有f(xy)f(x)f(y)1，且f(4)5.(1)求f(2)的值；(2)解不等式f(m2)3.解：(1)f(4)f(22)2f(2)15，f(2)3.(2)由f(m2)3，得f(m2)f(2)f(x)是(0，)上的減函數(shù)解得m4.不等式的解集為m|m4