2019-2020年高考數(shù)學一輪復習 3.3 等比數(shù)列教案.doc

2019-2020年高考數(shù)學一輪復習 3.3 等比數(shù)列教案知識梳理1.定義數(shù)列an從第2項起，每一項與它前一項的比等于同一個常數(shù)的數(shù)列稱作等比數(shù)列.常數(shù)叫公比.2.通項公式：an=a1qn1，推廣形式：an=amqnm.變式：q=（n、mN*）.3.前n項和Sn=注：q1時，=.4.等比中項：若a、b、c成等比數(shù)列，則b為a、c的等比中項，且b=.5.三個數(shù)或四個數(shù)成等比數(shù)列且又知積時，則三個數(shù)可設為、a、aq，四個數(shù)可設為、aq、aq3為好.6.證明等比數(shù)列的方法：（1）用定義：只需證=常數(shù)；（2）用中項性質：只需an+12=anan+2或=.點擊雙基1.一個直角三角形三內角的正弦值成等比數(shù)列，其最小內角是A.arccos B.arcsin C.arccosD.arcsin解析：設RtABC中，C=，則A與B互余且A為最小內角.又由已知得sin2B=sinA，即cos2A=sinA，1sin2A=sinA，解之得sinA=或sinA=（舍）.答案：B2.設an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比q=2，且a1a2a3a30=230，那么a3a6a9a30等于A.210 B.220 C.216 D.215解析：由等比數(shù)列的定義，a1a2a3=（）3，故a1a2a3a30=（）3.又q=2，故a3a6a9a30=220.答案：B3.某純凈水制造廠在凈化水過程中，每增加一次過濾可減少水中雜質20%，要使水中雜質減少到原來的5%以下，則至少需過濾的次數(shù)為A.5B.10C.14D.15解析：由題意列式（120%）n5%，兩邊取對數(shù)得n13.4.故n14.答案：C4.（xx年全國，文14）已知等比數(shù)列an中，a3=3，a10=384，則該數(shù)列的通項an=_.解析：由已知得q7=128=27，故q=2.an=a3qn3=32n3.答案：32n35.如下圖，在楊輝三角中，從上往下數(shù)共有n（nN*）行，在這些數(shù)中非1的數(shù)字之和是_.11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1解析：觀察可知，第n（nN*）行中有n個數(shù)，從左向右依次是二項式系數(shù)C，C，C，C，故當n3時，除了1外，第n行各數(shù)的和為an=C+C+C=2n12.又前兩行全部為數(shù)字1，故前n行非1的數(shù)字之和為a3+a4+an=2（n2）=2n2n.答案：2n2n典例剖析【例1】 已知等比數(shù)列an中，a1+a2+a3=7，a1a2a3=8，求an.剖析：利用等比數(shù)列的基本量a1，q，根據(jù)條件求出a1和q.解：設an的公比為q，由題意知解得或an=2n1或an=23n.評述：轉化成基本量解方程是解決數(shù)列問題的基本方法.思考討論用a2和q來表示其他的量好解嗎？該題的an若成等差數(shù)列呢？【例2】 已知數(shù)列an為等差數(shù)列，公差d0，an的部分項組成下列數(shù)列：a，a，a，恰為等比數(shù)列，其中k11，k25，k317，求k1k2k3kn.剖析：運用等差（比）數(shù)列的定義分別求得a，然后列方程求得kn.解：設an的首項為a1，a、a、a成等比數(shù)列，（a14d）2a1（a116d）.得a12d，q3.aa1（kn1）d，又aa13n1，kn23n11.k1k2kn2（133n1）n2n3nn1.評述：運用等差（比）數(shù)列的定義轉化為關于kn的方程是解題的關鍵，轉化時要注意：a是等差數(shù)列中的第kn項，而是等比數(shù)列中的第n項.【例3】 設各項均為正數(shù)的數(shù)列an和bn滿足5，5，5成等比數(shù)列，lgbn，lgan+1，lgbn+1成等差數(shù)列，且a1=1，b1=2，a2=3，求通項an、bn.剖析：由等比中項、等差中項的性質得an+1=遞推出an=（n2）.解：5，5，5成等比數(shù)列，（5）2=55，即2bn=an+an+1. 又lgbn，lgan+1，lgbn+1成等差數(shù)列，2lgan+1=lgbn+lgbn+1，即an+12=bnbn+1. 由及ai0，bj0（i、jN*）可得an+1=. an=（n2）. 將代入可得2bn=+（n2），2=+（n2）.數(shù)列為等差數(shù)列.b1=2，a2=3，a22=b1b2，b2=.=+（n1）（）=（n+1）（n=1也成立）.bn=.an=（n2）.又當n=1時，a1=1也成立.an=.評述：由Sn求an時要注意驗證a1與S1是否一致.特別提示1.an為等比數(shù)列是an+12=anan+2的充分但不必要條件.2.若證an不是等比數(shù)列，只需證ak2ak1ak+1（k為常數(shù)，kN，且k2）.闖關訓練夯實基礎1.若等比數(shù)列an的公比q0，前n項和為Sn，則S8a9與S9a8的大小關系是A.S8a9S9a8B.S8a9S9a8C.S8a9=S9a8D.不確定解析：由等比數(shù)列通項公式和前n項和公式得S8a9S9a8=a1q3a1q7=a12q7.又q0，則S8a9S9a80，即S8a9S9a8.答案：A2.銀行一年定期的年利率為r，三年定期的年利率為q，銀行為吸收長期資金，鼓勵儲戶存三年定期的存款，那么q的值應略大于A.B.（1+r）31C.（1+r）31D.r解析：由題意得（1+r）31+3q，故q（1+r）31.答案：B3.（xx年上海，8）若首項為a1，公比為q的等比數(shù)列an的前n項和總小于這個數(shù)列的各項和，則首項a1，公比q的一組取值可以是（a1，q）=_.解析：由題意知且|q|1對nN都成立，a10，0q1.答案：（1，）（a10，0q1的一組數(shù)）4.設an是首項為1的正項數(shù)列，且（n+1）an+12nan2+an+1an=0（nN*），則它的通項公式an=_.解析：分解因式可得（n+1）an+1nanan+1+an=0，又an0，則（n+1）an+1nan=0，即=.又a1=1，由累積法可得an=.答案：5.定義一種運算“*”對于任意非零自然數(shù)n滿足以下運算性質：（1）1*1=1；（2）（n+1）*1=3（n*1）.試求n*1關于n的代數(shù)式.解：“n*1”是一個整體，聯(lián)想數(shù)列通項形式，設n*1=an，則a1=1，an+1=3an，得an=3n1，即n*1=3n1.6.等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，其前n項中，數(shù)值最大的一項是54，若該數(shù)列的前n項之和為Sn，且Sn=80，S2n=6560，求：（1）前100項之和S100.（2）通項公式an.解：設公比為q，S2nSn=6480Sn，q1.則最大項是an=a1qn1（an0）. 又Sn=80， S2n=6560， 由解得a1=2，q=3，則（1）前100項之和S100=31001.（2）通項公式為an=23n1.培養(yǎng)能力7.數(shù)列an的前n項和為Sn，數(shù)列bn中，b1=a1，bn=anan1（n2），若an+Sn=n.（1）設cn=an1，求證：數(shù)列cn是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列bn的通項公式.（1）證明：a1=S1，an+Sn=n，a1+S1=1，得a1=.又an+1+Sn+1=n+1，兩式相減得2（an+11）=an1，即=，也即=，故數(shù)列cn是等比數(shù)列.（2）解：c1=a11=，cn=，an=cn+1=1，an1=1.故當n2時，bn=anan1=.又b1=a1=，即bn=（nN*）.8.設數(shù)列an、bn（bn0，n*），滿足an（n*），證明：an為等差數(shù)列的充要條件是bn為等比數(shù)列.證明：充分性：若bn為等比數(shù)列，設公比為q，則anlgb1（n1）lgq，an1anlgq為常數(shù)，an為等差數(shù)列.必要性：由an得nanlgb1lgb2lgbn，（n1）an1lgb1lgb2lgbn1，n（an1an）an1lgbn1.若an為等差數(shù)列，設公差為d，則nda1ndlgbn1，bn110，bn10.102d為常數(shù).bn為等比數(shù)列.探究創(chuàng)新9.有點難度喲！設數(shù)列an，a1，若以a1，a2，an為系數(shù)的二次方程：an1x2anx10（n*且n2）都有根、滿足331.（1）求證:an為等比數(shù)列；（2）求an；（3）求an的前n項和Sn.（1）證明：，代入331得anan1，為定值.數(shù)列an是等比數(shù)列.（2）解：a1，an（）n1（）n.an（）n.（3）解：Sn（+)+.思悟小結1.深刻理解等比數(shù)列的定義，緊扣從“第二項起”和“比是同一常數(shù)”這兩點.2.運用等比數(shù)列求和公式時，需對q=1和q1進行討論.3.證明數(shù)列an是等差數(shù)列的兩種基本方法是：（1）利用定義，證明（n2）為常數(shù)；（2）利用等比中項，即證明an2=an1an+1（n2）.教師下載中心教學點睛1.等比數(shù)列的性質在求解中有著十分重要的作用，應讓學生熟練掌握、靈活運用.2.解決等比數(shù)列有關問題的常見思想方法：（1）方程的思想：等比數(shù)列中五個元素a1、an、n、q、Sn可以“知三求二”；（2）分類討論的思想：當a10，q1或a10，0q1時為遞增數(shù)列，當a10，q1或a10，0q1時為遞減數(shù)列；當q0時為擺動數(shù)列；當q=1時為常數(shù)列.3.轉化為“基本量”是解決問題的基本方法.拓展題例【例1】 數(shù)列an中，a1=1，an=an1+1（n2），求通項公式an.解：由an=an1+1，得an2=（an12）.令bn=an2，則bn1=an12，有bn=bn1.bn=bn1=bn2=bn3=b1=（）n1b1.a1=1，b1=a12=1.bn=（）n1.an=2.【例2】 已知數(shù)列an中，a1=，a2=并且數(shù)列l(wèi)og2（a2），log2（a3），log2（an+1）是公差為1的等差數(shù)列，而a2，a3，an+1是公比為的等比數(shù)列，求數(shù)列an的通項公式.分析：由數(shù)列l(wèi)og2（an+1）為等差數(shù)列及等差數(shù)列的通項公式，可求出an+1與an的一個遞推關系式；由數(shù)列an+1為等比數(shù)列及等比數(shù)列的通項公式，可求出an+1與an的另一個遞推關系式.解兩個關系式的方程組，即可求出an.解：數(shù)列l(wèi)og2（an+1）是公差為1的等差數(shù)列，log2（an+1）=log2（a2a1）+（n1）（1）=log2（）n+1=（n+1），于是有an+1=2（n+1）. 又數(shù)列an+1an是公比為的等比數(shù)列，an+1an=（a2a1）3（n1）=（）3（n1）=3（n+1）.于是有an+1an=3（n+1）. 由可得an=2（n+1）3（n+1），an=.