2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入教案 新人教A版.doc

2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入教案 新人教A版自主梳理1數(shù)系的擴(kuò)充數(shù)系擴(kuò)充的脈絡(luò)是：_，用集合符號(hào)表示為_(kāi)，實(shí)際上前者是后者的真子集自然數(shù)系有理數(shù)系實(shí)數(shù)系NQR 2復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1) 復(fù)數(shù)的概念形如abi (a，bR)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的_和_實(shí)部 虛部 復(fù)數(shù)abi(2)復(fù)數(shù)相等：abicdi_(a，b，c，dR)ac，bd(3)共軛復(fù)數(shù)：abi與cdi共軛_(a，b，c，dR)為z的共軛復(fù)數(shù)。ac，bd3復(fù)數(shù)的幾何意義(1) 建立直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面，叫做復(fù)平面_叫做實(shí)軸，_叫做虛軸實(shí)軸上的點(diǎn)表示_；，虛軸上的點(diǎn)（除原點(diǎn)外）都表示_；各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示_x軸y軸實(shí)數(shù)純虛數(shù)非純虛數(shù)（2）復(fù)數(shù)zabi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)(a，bR)_平面向量_ (3)復(fù)數(shù)的模向量的模r叫做復(fù)數(shù)zabi的模，記作_或_，即|z|abi|_.|z|abi|4復(fù)數(shù)的運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則設(shè)z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，則加法：z1z2(abi)(cdi)_；減法：z1z2(abi)(cdi)_；乘法：z1z2(abi)(cdi)_；除法：_(cdi0) (ac)(bd)i(ac)(bd)i(acbd)(adbc)i (2)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算定律復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對(duì)任何z1、z2、z3C，有z1z2_，(z1z2)z3_.z2z1 z1(z2z3) 5進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算時(shí)，熟記以下結(jié)果有助于簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程(1) (abi)2a22abib2a2b22abi，(abi)(abi)a2b2(2) i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，inin1in2in30 (nN)(3) (1i)22i，(1i)22i，i，i復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算類似于實(shí)數(shù)中的多項(xiàng)式的加減運(yùn)算(合并同類項(xiàng))，復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算是復(fù)數(shù)運(yùn)算的難點(diǎn)，在乘法運(yùn)算中要注意i的冪的性質(zhì)，區(qū)分(abi)2a22abib2與(ab)2a22abb2；在除法運(yùn)算中，關(guān)鍵是“分母實(shí)數(shù)化”(分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù))，此時(shí)要注意區(qū)分(abi)(abi)a2b2與(ab)(ab)a2b2失誤與防范兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小 z2<0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有可能成立，例如：當(dāng)z3i時(shí)z29<0.自我檢測(cè)1復(fù)數(shù)等于()Ai Bi C.iD.iCi.2復(fù)數(shù)z1i，為z的共軛復(fù)數(shù)，則zz1等于()A2i Bi Ci D2iBz1i，1i，z|z|22，zz12(1i)1i.3設(shè)復(fù)數(shù)z滿足i(z1)32i(i為虛數(shù)單位)，則z的實(shí)部是_.解析設(shè)zabi(a、bR)，由i(z1)32i，得b(a1)i32i，a12，a1.4在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿足2i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi) (，)，5已知復(fù)數(shù)z滿足12i，則復(fù)數(shù)z_. i _.題型一復(fù)數(shù)的分類例1已知mR，復(fù)數(shù)z(m22m3)i，當(dāng)m為何值時(shí)，(1)zR；(2)z是純虛數(shù)；(3)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面第二象限；(4)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線xy30上11解(1)當(dāng)z為實(shí)數(shù)時(shí)，則有m22m30且m10得m3，故當(dāng)m3時(shí)，zR.(2)當(dāng)z為純虛數(shù)時(shí)，則有解得m0，或m2.當(dāng)m0或m2時(shí)，z為純虛數(shù)(3)當(dāng)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面第二象限時(shí)，則有，解得m<3或1<m<2，故當(dāng)m<3或1<m<2時(shí)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第二象限(4)當(dāng)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線xy30上時(shí)，則有(m22m3)30，得0，解得m0或m1.當(dāng)m0或m1時(shí)，點(diǎn)Z在直線xy30上點(diǎn)評(píng)：(1)本題考查復(fù)數(shù)集中各數(shù)集的分類，題中給出的復(fù)數(shù)采用的是標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式，否則應(yīng)先化為代數(shù)形式，再依據(jù)概念求解(2) 判定復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，僅注重虛部等于0是不夠的，還需考慮它的實(shí)部是否有意義變式訓(xùn)練1 當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，z(m25m6)i，(1)為實(shí)數(shù)；(2)為虛數(shù)；(3)為純虛數(shù)；(4)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的第二象限解得m1.解(1)若z為實(shí)數(shù)，則，解得m2.(2)若z為虛數(shù)，則，解得m2且m3.(3)若z為純虛數(shù)，則，解得m3.(4)若z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則，即，m<3或2<m<3.題型二復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算例2計(jì)算：. (1)； (2)2 010；(3)6； (4)2 008.解(1)原式1i.(2)原式1 005i1 005ii1 005ii42511ii2i.(3)方法一原式6i61i.方法二(技巧解法)原式6i61i.(4)原式1 0041 00411i.點(diǎn)評(píng)：復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算主要有加、減、乘、除及求低次方根除法實(shí)際上是分母實(shí)數(shù)化的過(guò)程運(yùn)算結(jié)果在解題中的應(yīng)用，運(yùn)算的最后結(jié)果化為abi (a，bR)的形式要記住一些常用的結(jié)果，如i、i的有關(guān)性質(zhì)等可簡(jiǎn)化運(yùn)算步驟提高運(yùn)算速度變式訓(xùn)練2 (1) i是虛數(shù)單位，等于()Ai Bi C1 D1 (2)已知復(fù)數(shù)z，是z的共軛復(fù)數(shù)，則z_.(3)復(fù)數(shù)的值是_16_題型三復(fù)數(shù)的幾何意義例3如圖所示，平行四邊形OABC，頂點(diǎn)O，A，C分別表示0，32i，24i，試求： (1)所表示的復(fù)數(shù)，所表示的復(fù)數(shù)；(2)對(duì)角線所表示的復(fù)數(shù)；(3)求B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)解(1)，所表示的復(fù)數(shù)為32i.，所表示的復(fù)數(shù)為32i.(2)，所表示的復(fù)數(shù)為(32i)(24i)52i.(3)，表示的復(fù)數(shù)為(32i)(24i)16i，即B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為16i.點(diǎn)評(píng)：根據(jù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、向量及向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，要求某個(gè)向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，只要找出所求向量的始點(diǎn)和終點(diǎn)，或者用向量相等直接給出結(jié)論即可在復(fù)數(shù)的幾何意義中，加法和減法對(duì)應(yīng)向量的三角形法則的方向是應(yīng)注意的問(wèn)題，平移往往和加法、減法相結(jié)合變式訓(xùn)練3 (1)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)65i，23i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B.若C為線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是 ()A48i B82i C24i D4i復(fù)數(shù)65i對(duì)應(yīng)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(6,5)，23i對(duì)應(yīng)B點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,3)由中點(diǎn)坐標(biāo)公式知C點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4)，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為24i.(2)復(fù)數(shù)z134i，z20，z3c(2c6)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，若BAC是鈍角，則實(shí)數(shù)c的取值范圍為_(kāi)解析在復(fù)平面內(nèi)三點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(3,4)，B(0,0)，C(c，2c6)，由BAC是鈍角得<0且B、A、C不共線，由(3，4)(c3,2c10)<0，解得c>，其中當(dāng)c9時(shí)，(6,8)2，三點(diǎn)共線，故c9. c>且c9 (3)已知復(fù)數(shù)zxyi，且|z2|，則的最大值為_(kāi)妙解由|z2|可得，|z2|2(x2)2y23.設(shè)k，即得直線方程為kxy0，圓(x2)2y23的圓心(2,0)到直線kxy0的距離d.解得k，即得的最大值為.題型四 用待定系數(shù)法解決復(fù)數(shù)問(wèn)題例4（1）已知x，y為共軛復(fù)數(shù)，且(xy)23xyi46i，求x，y.（2）已知關(guān)于x的方程x2(m2i)x22i0(mR)有實(shí)數(shù)根，求m.解設(shè)xabi (a，bR)，則yabi，xy2a，xya2b2，代入原式，得(2a)23(a2b2)i46i， 根據(jù)復(fù)數(shù)相等得，解得或或或. 故所求復(fù)數(shù)為或或或. 點(diǎn)評(píng) 復(fù)數(shù)問(wèn)題的實(shí)數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問(wèn)題的最基本也是最重要的方法，其依據(jù)是復(fù)數(shù)相等的充要條件利用復(fù)數(shù)相等abicdi列方程時(shí)，注意a，b，c，dR的前提條件應(yīng)用復(fù)數(shù)的實(shí)數(shù)化策略可解決求復(fù)系數(shù)方程的實(shí)數(shù)解、求復(fù)平面上動(dòng)點(diǎn)的軌跡等問(wèn)題。對(duì)于復(fù)系數(shù)(系數(shù)不全為實(shí)數(shù))的一元二次方程的求解，判別式不再成立因此解此類方程的解，一般都是將實(shí)根代入方程，用復(fù)數(shù)相等的條件進(jìn)行求解變式訓(xùn)練4 （1）若zcos isin ，則使z21的值可能是()A.B. C. D.解析：z2cos2sin2isin 2cos 2isin 2，當(dāng)時(shí)，z2cos isin 1.（2）已知|z|z12i，求復(fù)數(shù)z.解設(shè)zabi (a、bR)，則(abi)12i.由兩復(fù)數(shù)相等的充要條件得解得所以所求復(fù)數(shù)為z2i.一、選擇題1若復(fù)數(shù)z，則復(fù)數(shù)等于()Ai B.iCi Di2若復(fù)數(shù)(aR，i為虛數(shù)單位)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為 ()A2 B4C6D63對(duì)任意復(fù)數(shù)zxyi(x，yR)，i為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是()A|z|2y Bz2x2y2C|z|2x D|z|x|y|4復(fù)數(shù)z1a2i，z22i，如果|z1|<|z2|，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ()A1<a<1Ba>1 Ca>0Da<1或a>15若(，)，則復(fù)數(shù)(cos sin )(sin cos )i在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限B由三角函數(shù)線知識(shí)得當(dāng)(，)時(shí)，sin cos <0，sin cos >0，故選B.6下面四個(gè)命題：0比i大；兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)其和為實(shí)數(shù)；xyi1i的充要條件為xy1；如果讓實(shí)數(shù)a與ai對(duì)應(yīng)，那么實(shí)數(shù)集與純虛數(shù)集一一對(duì)應(yīng)其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A0 B1 C2 D3A(1)中實(shí)數(shù)與虛數(shù)不能比較大??；(2)兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)時(shí)其和為實(shí)數(shù)，但兩個(gè)復(fù)數(shù)的和為實(shí)數(shù)時(shí)這兩個(gè)復(fù)數(shù)不一定是共軛復(fù)數(shù)；(3)xyi1i的充要條件為xy1是錯(cuò)誤的，因?yàn)闆](méi)有標(biāo)明x，y是否是實(shí)數(shù)；(4)當(dāng)a0時(shí)，沒(méi)有純虛數(shù)和它對(duì)應(yīng)7在復(fù)平面內(nèi)，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是2i，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是13i，則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 ()A12i B12iC34iD34i二、填空題8已知復(fù)數(shù)z與(z2)28i均是純虛數(shù)，則z_2i _9若復(fù)數(shù)z1a2i，z21bi，a，bR，且z1z2與z1z2均為純虛數(shù)，則_. i10已知復(fù)數(shù)z1m2i，z234i，若為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m_.解析是實(shí)數(shù)，64m0，故m.11設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z(23i)64i(i為虛數(shù)單位)，則z的模為_(kāi)2_12已知z12i，z213i，則復(fù)數(shù)的虛部為_(kāi)解析i，故虛部為1.13已知復(fù)數(shù)z112i，z21i，z332i，它們所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C.若xy，則xy的值是_5_14復(fù)數(shù)zxyi (x，yR)滿足|z1|x，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z(x，y)的軌跡方程為_(kāi)解析由|z1|x得|(x1)yi|x，故(x1)2y2x2，x0，整理得y22x1.三、解答題15已知復(fù)數(shù)z1滿足(z12)(1i)1i(i為虛數(shù)單位)，復(fù)數(shù)z2的虛部為2，且z1z2是實(shí)數(shù)，求z2.解(z12)(1i)1iz12i.(4分)設(shè)z2a2i，aR，則z1z2(2i)(a2i)(2a2)(4a)i.z1z2R，a4.z242i.(12分)16已知z是復(fù)數(shù)，z2i、均為實(shí)數(shù)(i為虛數(shù)單位)，且復(fù)數(shù)(zai)2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解設(shè)zxyi (x、yR)，z2ix(y2)i，由題意得y2.(x2i)(2i)(2x2)(x4)i.由題意得x4，z42i.(zai)2(124aa2)8(a2)i，由于(zai)2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，解得2<a<6，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,6)17已知mR，復(fù)數(shù)z(m22m3)i，當(dāng)m為何值時(shí)，(1)zR；(2)z是虛數(shù)；(3)z是純虛數(shù)；(4)4i.解(1)由zR，得解得m3.(2)由z是虛數(shù)，得m22m30，且m10，解得m1且m3.(3)由z是純虛數(shù)，得解得m0或m2.(4)由4i，得(m22m3)i4i，即